Ôn thi Cao học Toán kinh tế - Phần thống kê

chính xác 9% và độ tin cậy 96% thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa? Giải. Các số liệu của bài toán đã được xét nhiều lần. Nhắc lại rằng : - Cỡ mẫu n = 100. - Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B là Fn = 0,17. a) Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1- α khi lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác ε = 8% = 0,08. Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: 17 n nF (1 F )z nα −ε = trong đó ϕ(zα) = γ /2 . Suy ra n n n 100z 0,08. 2,13. F (1 F ) 0,17(1 0,17)α = ε = =− − Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là 2 (z ) 2 (2,13) 2.0, 4834 96,68%.αγ = ϕ = ϕ = = Vậy độ tin cậy đạt được là 96,68%. b) Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác ε = 9% = 0,09 và độ tin cậy γ = 1- α = 96% = 0,96. Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: n nF (1 F )z nα −ε = trong đó ϕ (zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = 2,06. Suy ra 2 n n 2 z F (1 F )n α −= ε Thực tế yêu cầu: 2 2 n n 2 2 z F (1 F ) 2,06 .0,17(1 0,17)n 73,92. 0,09 α − −≥ = ≈ε Giá trị n nguyên nhỏ nhất thoả bất đẳng thức trên là n1 = 74. Vì n1 = 74 < 100 (100 là cỡ mẫu đang có) nên ta không cần điều tra thêm sản phẩm nữa. 2.5. Ước lượng khoảng cho phương sai Xét đám đông X có phân phối chuẩn và mẫu (X1, X2,..., Xn), ta có các công thức ước lượng khỏang cho phương sai σ2 = D(X) với độ tin cậy γ = 1 - α như sau: 18 Trường hợp 1: M(X)μ = đã biết: 2 2 i i 2 2 1 2 2 (X ) (X ) ; α α− ⎛ ⎞− μ − μ⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ trong đó 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ được cho trong bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2(n) với n bậc tự do thỏa 2 2P( )αχ > χ = α ; 2 i(X )− μ∑ là tổng bình phương của mẫu (X1 - μ, X2 - μ,..., Xn- μ). Trường hợp 2: M(X)μ = chưa biết: 2 2 2 2 1 2 2 (n 1)S (n 1)S; α α− ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ trong đó 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ được cho trong bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (k) với k = n-1 bậc tự do thỏa 2 2P( )αχ > χ = α ; S2 là phương sai mẫu hiệu chỉnh. • Bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n) với n bậc tự do cho ta các giá trị 2αχ thỏa 2 2P( )αχ > χ = α . Ví dụ: với n = 30; α = 0,01 ta có 2 37,57αχ = . (Trong một số tài liệu khác, kí hiệu 2αχ chỉ giá trị mà 2 2P( )αχ ≤ χ = α . Theo nghĩa này thì 2αχ chính là giá trị 21−αχ mà ta đã xét ở trên). Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 Giả sử X có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng phương sai của X với độ tin cậy 95% trong mỗi trường hợp sau: 19 a) Biết giá trị trung bình của X là 25cm. b) Chưa biết giá trị trung bình của X. Giải. a) Giả thiết cho ta μ = M(X) = 25. Ta có ước lượng khoảng của phương sai với độ tin cậy γ = 1 - α = 95% (α = 0,05) là: 2 2 i i 2 2 1 2 2 (X ) (X ) ; α α− ⎛ ⎞− μ − μ⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ Ta lập bảng: Xi -μ -12 -8 -4 0 4 8 12 ni 8 9 20 16 16 13 18 Từ đó ta tìm được cỡ mẫu n = 100; 2i(X ) 5728− μ =∑ . Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n) với n = 100 bậc tự do ta được: 2 2 2 2 0,05 1 0,95124,3 và 77,93α −αχ = χ = χ = χ = Vậy ước lượng khoảng của phương sai là: 5728 5728; (46,08;73,50) 124,3 77,93 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, phương sai của chỉ tiêu X của loại sản phẩm trên từ 46,08(cm2) đến 73,50(cm2). b) Ta có ước lượng khoảng của phương sai với độ tin cậy γ = 1 - α = 95% (α = 0,05) là: 2 2 2 2 1 2 2 (n 1)S (n 1)S; α α− ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ Các số liệu của bài toán đã được tính trong các ví dụ trước. Nhắc lại rằng : - Cỡ mẫu n = 100. - ).(36,26 cmX = - ).()4827,7( 222 cmS = 20 Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n-1) với n-1 = 99 ≈100 bậc tự do ta được: 2 2 2 2 0,05 1 0,95124,3 và 77,93α −αχ = χ = χ = χ = Vậy ước lượng khoảng của phương sai là: 2 299.(7,4827) 99.(7,4827); (44,59;71,13) 124,3 77,93 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, phương sai của chỉ tiêu X của loại sản phẩm trên từ 44,59(cm2) đến 71,13(cm2). §3. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT 3.1. Kiểm định giả thiết về kỳ vọng 1) Bài toán: Xét đám đông X có kỳ vọng μ = M(X) chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào mẫu (X1, X2,…, Xn) để kiểm định giả thiết: H0: μ = μ0 (μ0 là hằng số ) với giả thiết đối H1: μ ≠ μ0 với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Ta có 4 trường hợp: Trường hợp 1: n ≥ 30; σ2 = D(X) đã biết: Bước 1: Tính 0 (X ) nt .− μ= σ Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2. Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα : • Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. • Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. Trường hợp 2: n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết: Bước 1: Tính 0 (X ) nt . S − μ= Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2. Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα : • Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. • Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. 21 Trường hợp 3: n < 30; X có phân phối chuẩn; σ2 = D(X) đã biết: Qui tắc kiểm định giống trường hợp 1. Trường hợp 4: n < 30; X có phân phối chuẩn; σ2 = D(X) chưa biết: Bước 1: Tính 0 (X ) nt . S − μ= Bước 2: Đặt k = n - 1. Tra bảng phân phối Student ứng với bậc tự do k và mức ý nghĩa α tìm giá trị kt tα α= . Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với tα: • Nếu |t| ≤ tα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. • Nếu |t| > tα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. 3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết đối mang dấu bất đẳng thức thì qui tắc kiểm định có sự thay đổi tương ứng như sau: • Kiểm định H0: μ = μ0 với giả thiết đối H1: μ > μ0. Bài toán này thường chỉ đặt ra khi 0X > μ . Khi đó các giá trị 0(X ) nt − μ= σ hoặc 0(X ) nt S − μ= đều dương. Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh |t| với zα hoặc tα thì ta so sánh t với z2α hoặc t2α. Cụ thể: Đối với các trường hợp 1, 2, 3: Nếu t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. Nếu t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. Đối với trường hợp 4: Nếu t ≤ t2α thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. Nếu t > t2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. • Kiểm định H0: μ = μ0 với giả thiết đối H1: μ < μ0. Bài toán này thường chỉ đặt ra khi 0X < μ . Khi đó các giá trị 0(X ) nt − μ= σ hoặc 0(X ) nt S − μ= đều âm. Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh |t| với zα hoặc tα thì ta so sánh -t với z2α hoặc t2α. Cụ thể: Đối với các trường hợp 1, 2, 3: Nếu -t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. Nếu -t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. 22 Đối với trường hợp 4: Nếu -t ≤ t2α thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. Nếu -t > t2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được xếp vào loại B. a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn của chỉ tiêu X là 29cm. Hãy nhận định về tình hình sản xuất với mức ý nghĩa 1%. b) Theo qui định, gía trị trung bình của chỉ tiêu X là 25cm. Các số liệu trên thu thập được từ các sản phẩm do một máy sản xuất. Với mức ý nghĩa 2% có thể kết luận rằng các sản phẩm do máy sản suất có chỉ tiêu X cao hơn qui định hay không? c) Bằng phương pháp sản xuất mới, sau một thời gian, người ta thấy giá trị trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B là 16cm. Hãy cho kết luận về phuơng pháp mới với mức ý nghĩa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn). d) Theo số liệu thống kê cũ, gía trị trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B là 16,5cm. Các số liệu trên thu thập được sau khi đã áp dụng một phương pháp sản xuất mới. Hãy cho kết luận về nhận định cho rằng phương pháp mới có tác dụng làm giảm chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B với mức ý nghĩa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn). Giải. Các số liệu của bài toán đã tính được : - Cỡ mẫu n = 100. - Kỳ vọng mẫu của X: ).(36,26 cmX = - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X: ).()4827,7( 222 cmS = - Cỡ mẫu loại B: nB = 17. - Kỳ vọng mẫu của XB: ).(1176,15 cmXB = - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của XB: ).()0580,2( 222 cmSB = a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: 23 H0: μ = 29 với giả thiết đối H1: μ ≠ 29. Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có 0(X ) n (26,36 29) 100t 3,5281. S 7,4827 − μ −= = = − Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = =(1- α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta được zα = 2,58. Bước 3: Kiểm định. Vì |t| = 3,5281 > 2,58 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0: μ=29. Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, tình hình sản xuất không bình thường vì giá trị trung bình của chỉ tiêu X không đúng tiêu chuẩn. b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α = 2% = 0,02: H0: μ = 25 với giả thiết đối H1: μ > 25. Vì n ≥ 30; σ2= D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có 0(X ) n (26,36 25) 100t 1,8175. S 7,4827 − μ −= = = Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,96/2 = 0,48 ta được z2α = 2,06. Bước 3: Kiểm định. Vì t =1,18175 < 2,06 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: μ=29. 24 Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, không thể kết luận rằng các sản phẩm do máy trên sản suất có chỉ tiêu X cao hơn qui định. c) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μB = M(XB) của chỉ tiêu X = XB của các sản phẩm loại B với mức ý nghĩa α = 2% = 0,02: H0: μB = 16 với giả thiết đối H1: μB ≠ 16 Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, σ2B= D(XB) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có B 0 B B (X ) n (15,1176 16) 17t 1,7678. S 2,0580 − μ −= = = − Bước 2: Đặt k = nB -1 = 16. Tra bảng phân phối Student ứng với k = 16 và α = 0,02 ta được tα = 2,583. Bước 3: Kiểm định. Vì |t| = 1,7678 < 2,583 = tα nên ta chấp nhận giả thiết H0: μB = 16. Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, phương pháp mới không có tác dụng làm thay đổi giá trị trung bình của chỉ tiêu XB của các sản phẩm loại B. d) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μB = M(XB) của chỉ tiêu X = XB của các sản phẩm loại B với mức ý nghĩa α = 2% = 0,02: H0: μB = 16,5 với giả thiết đối H1: μB < 16,5. Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, σ2B= D(XB) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có 25 B 0 B B (X ) n (15,1176 16,5) 17t 2,7696. S 2,0580 − μ −= = = − Bước 2: Đặt k = nB - 1 = 16. Tra bảng phân phối Student ứng với k = 16 và 2α = 0,04 ta được 2t α = 2,2354. Bước 3: Kiểm định. Vì -t = 2,7696 > 2,2354 = 2t α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μB = 16,5, nghĩa là chấp nhận μB < 16,5. Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, phương pháp mới có tác dụng làm giảm giá trị trung bình của chỉ tiêu XB của các sản phẩm loại B. 3.2. Kiểm định giả thiết về tỉ lệ 1) Bài toán: Xét đám đông X có tỉ lệ p chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào mẫu (X1, X2,…, Xn) để kiểm định giả thiết: H0: p = p0 (p0 là hằng số ) với giả thiết đối H1: p ≠ p0 với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Bước 1: Tính n 0 0 0 (F p ) nt p q −= với q0 = 1- p0. Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2. Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα : • Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: p = p0. • Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: p = p0. 3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết đối mang dấu bất đẳng thức thì qui tắc kiểm định có sự thay đổi tương ứng như sau: • Kiểm định H0: p = p0 với giả thiết đối H1: p > p0 Bài toán này thường chỉ đặt ra khi Fn > p0. Khi đó giá trị n 0 0 0 (F p ) nt p q −= sẽ dương. 26 Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh |t| với zα thì ta so sánh t với z2α . Cụ thể: Nếu t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: p = p0. Nếu t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: p = p0. • Kiểm định H0: p = p0 với giả thiết đối H1: p < p0 Bài toán này thường chỉ đặt ra khi Fn < p0. Khi đó giá trị n 0 0 0 (F p ) nt p q −= sẽ âm. Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh |t| với zα thì ta so sánh -t với z2α . Cụ thể: Nếu -t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: p = p0. Nếu -t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: p = p0. Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 27cm trở lên dược xếp vào loại A. a) Một tài liệu cũ cho rằng tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Hãy nhận định về phương pháp mới với mức ý nghĩa 1%. b) Tỉ lệ sản phẩm loại A trước đây là 40%. Các số liệu trên thu thập được sau khi đã áp dụng một kỹ thuật mới. Với mức ý nghĩa 3%, có thể nói rằng kỹ thuật mới làm tăng tỉ lệ sản phẩm loại A hay không? Giải. Ta tính được: - Cỡ mẫu n = 100. - Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại A là Fn = 47/100 = 0,47. a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p các sản phẩm loại A với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: H0: p = 60% = 0,6 với giả thiết đối H1: p ≠ 0,6 27 Ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có n 0 0 0 (F p ) n (0, 47 0,6) 100t 2, 6536. p q 0,6(1 0,6) − −= = = −− Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta được zγ = 2,58. Bước 3: Kiểm định: Vì|t|= 2,6536 > 2,58 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0: p=0,6. Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, tài liệu thống kê cũ dã lạc hậu, không còn phù hợp với thực tế. b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p các sản phẩm loại A với mức ý nghĩa α = 3% = 0,03: H0: p = 40% = 0,4 với giả thiết đối H1: p > 0,4 Ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có n 0 0 0 (F p ) n (0, 47 0,4) 100t 1,4289. p q 0,4(1 0,4) − −= = =− Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,94/2 = 0,47 ta được z2α = 1,88. Bước 3: Kiểm định: Vì t = 1,4289 < 1,88 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: p = 0,6. Kết luận: Với mức ý nghĩa 3%, kỹ thuật mới không làm tăng tỉ lệ sản phẩm loại A. 28 3.3. Kiểm định giả thiết về phương sai 1) Bài toán: Xét đám đông X có phân phối chuẩn với phương sai σ2 = D(X) chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào mẫu (X1, X2,…, Xn) để kiểm định giả thiết: H0: σ2 = σ02 (σ0 là hằng số ) với giả thiết đối H1: σ2 ≠ σ02 với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Bước 1: Tính 2 2 0 (n 1)St .−= σ Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n-1) với n-1 bậc tự do tìm các giá trị 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ . Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh t với 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ . • Nếu 2 1 2 α− χ ≤ t ≤ 2 2 αχ thì chấp nhận giả thiết H0: σ2 = σ02. • Nếu t < 2 1 2 α− χ hoặc t > 2 2 αχ thì bác bỏ giả thiết H0: σ2 = σ02. 3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết đối mang dấu bất đẳng thức thì qui tắc kiểm định có sự thay đổi tương ứng như sau: • Kiểm định H0: σ2 = σ02 với giả thiết đối H1: σ2 > σ02 Bài toán này thường chỉ đặt ra khi S2 > σ02. Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh t với 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ , ta so sánh t với 2αχ . Cụ thể: Nếu t ≤ 2αχ thì chấp nhận H0: σ2 = σ02. Nếu t > 2αχ thì bác bỏ H0: σ2 = σ02. • Kiểm định H0: σ2 = σ02 với giả thiết đối H1: σ2 < σ02 Bài toán này thường chỉ đặt ra khi S2 < σ02. Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh t với 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ , ta so sánh t với 21−αχ . Cụ thể: Nếu t ≥ 21−αχ thì chấp nhận H0: σ2 = σ02. Nếu t < 21−αχ thì bác bỏ H0: σ2 = σ02. 29 Ví dụ: Đường kính của một chi tiết máy là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn. Người ta đo thử 28 chi tiết máy do một máy sản xuất và tìm được phương sai mẫu hiệu chỉnh là S2 = (2,0853)2 (cm2). a) Khi máy hoạt động bình thường thì độ lệch chuẩn của X của các chi tiết máy do máy sản xuất là 1,8cm. Với mức ý nghĩa 1%, hãy xét xem máy có hoạt động bình thường không. b) Theo qui định mới, nếu độ lệch chuẩn của X lớn hơn 1,6cm thì phải điều chỉnh lại máy. Với mức ý nghĩa 5%, có phải điều chỉnh lại máy không? Giải. Ta có: - Cỡ mẫu n = 28. - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X: 2 2 2S (1,9231) (cm ).= a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về phương sai σ2 = D(X) với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: H0: σ2 = (1,8)2 với giả thiết đối H1: σ2 ≠ (1,8)2 Bước 1: Ta có: 2 2 2 2 0 (n 1)S 27.(2,0853)t 36,2373 (1,8) −= = =σ Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (k) với k = n – 1 = 27 bậc tự do, ta tìm được 2 20,005 2 49,65αχ = χ = và 2 2 0,9951 2 11,80765α−χ = χ = . Bước 3: Kiểm định: Vì 2 1 2 11,80765α−χ = ≤ t = 36,2373 ≤ 2 2 49,65 α= χ nên ta chấp nhận giả thiết H0: σ2 = (1,8)2 . Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, máy hoạt động bình thường. b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về phương sai σ2 = D(X) với mức ý nghĩa α = 5% = 0,05: 30 H0: σ2 = (1,6)2 với giả thiết đối H1: σ2 > (1,6)2 Bước 1: Ta có: 2 2 2 2 0 (n 1)S 27.(2,0853)t 45,8628 (1,6) −= = =σ Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2(k) với k = n – 1 = 27 bậc tự do, ta tìm được 2 20,05 40,11αχ = χ = . Bước 3: Kiểm định: Vì t = 45,8628 > 240,11 α= χ nên ta bác bỏ giả thiết H0: σ2 = (1,6)2, nghĩa là chấp nhận σ2 > (1,6)2. Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, phải điều chỉnh lại máy. 3.4. Kiểm định giả thiết so sánh hai kỳ vọng 1) Bài toán: Xét hai đám đông X, Y với các kỳ vọng μX = M(X) và μY = M(Y) đều chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào các mẫu 11 2 n(X , X ,..., X ) và 21 2 n(Y , Y ,..., Y ) để kiểm định giả thiết: H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX ≠ μY với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Gọi n1, n2 lần lượt là các cỡ mẫu của X và Y. Ta có 2 trường hợp: Trường hợp 1: n1 ≥ 30 và n2 ≥ 30: Bước 1: Tính 2 2 X Y 1 2 X Yt S S n n −= + Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2. Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα : • Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: μX = μY. • Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: μX = μY. 31 Trường hợp 2: n1 < 30 hoặc n2 < 30; X và Y có phân phối chuẩn: Bước 1: Tính 2 2 X Y 1 2 X Yt S S n n −= + Bước 2: Đặt k = n1 + n2 - 2. Tra bảng phân phối Student ứng với bậc tự do k và mức ý nghĩa α tìm giá trị kt tα α= . Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với tα: • Nếu |t| ≤ tα thì chấp nhận giả thiết H0: μX = μY. • Nếu |t| > tα thì bác bỏ giả thiết H0: μX = μY. 3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết đối mang dấu bất đẳng thức thì qui tắc kiểm định có sự thay đổi tương ứng như sau: • Kiểm định H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX > μY Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh |t| với zα hoặc tα thì ta so sánh t với z2α hoặc t2α. Cụ thể: Đối với các trường hợp 1: Nếu t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: μX = μY. Nếu t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: μX = μY. Đối với trường hợp 2: Nếu t ≤ t2α thì chấp nhận giả thiết H0: μX = μY. Nếu t > t2α thì bác bỏ giả thiết H0: μX = μY. • Kiểm định H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX < μY Ta đưa về việc kiểm định giả thiết: H0: μY = μX với giả thiết đối H1: μY > μX và đưa về trường hợp vừa xét ở trên (Thực chất là ta so sánh -t với z2α hoặc t2α ). Ví dụ: Theo dõi giá cổ phiếu của hai công ty A và B trong một số ngày, người ta tính được các số liệu sau: Kỳ vọng mẫu Độ lệch mẫu hiệu chỉnh Công ty A 38,24 2,2 Công ty B 37,10 1,5 a) Cho biết số liệu trên có được từ 31 ngày theo dõi giá trị cổ phiếu (mỗi ngày một giá trị cho mỗi công ty). Vậy với mức ý nghĩa 32 1%, có thể nói rằng có sự khác biệt thực sự về giá cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B hay không? b) Cho biết số liệu trên có được từ 20 ngày theo dõi giá trị cổ phiếu (mỗi ngày một giá trị cho mỗi công ty).Với mức ý nghĩa 4%, có thể nói rằng giá cổ phiếu trung bình của công ty A thực sự cao hơn của công ty B hay không (Giả sử các giá trị cổ phiếu có phân phối chuẩn)? Giải. a) Đây là bài toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: H0: μA = μB với giả thiết đối H1: μA ≠ μB Vì n1 = n2 = 31 > 30 nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có: A B 2 2 2 2 A B 1 2 X X 38,24 37,1t 2,3838. S S (2,2) (1,5) n n 31 31 − −= = = + + Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta được zγ = 2,58. Bước 3: Kiểm định: Vì|t|= 2,3838 < 2,58 = zα nên ta chấp nhận giả thiết H0: μA = μB. Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, giá trị cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B có thể xem là như nhau, nghĩa là không có sự khác biệt thực sự về giá cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B. b) Đây là bài toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghĩa α = 4% = 0,04: H0: μA = μB với giả thiết đối H1: μA > μB 33 Vì n1 = n2 = 20 < 30 và các giá trị cổ phiếu XA, XB đều có phân phối chuẩn nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có: A B 2 2 2 2 A B 1 2 X X 38,24 37,1t 1,9147. S S (2,2) (1,5) n n 20 20 − −= = = + + Bước 2: Đặt k = n1 + n2 – 2 = 38. Tra bảng phân phối Student ứng với k = 38 và 2α = 0,08 ta được 2t α = 1,799. Bước 3: Kiểm định: Vì t = 1,9147 > 1,799 = 2t α nên ta bác bỏ H0: μA = μB, nghĩa là chấp nhận μA > μB. Kết luận: Với mức ý nghĩa 4%, có thể xem giá trị cổ phiếu trung bình của công ty A thực sự cao hơn của công ty B. 3.5. Kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ 1) Bài toán: Xét hai đám đông X, Y trong đó X có tỉ lệ p1; Y có tỉ lệ p2 đều chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào các mẫu 11 2 n(X , X ,..., X ) và 21 2 n(Y , Y ,..., Y ) để kiểm định giả thiết: H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 ≠ p2 với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Gọi n1, n2 lần lượt là các cỡ mẫu và Fn1, Fn2 lần lượt là các tỉ lệ mẫu của X và Y. Ta có qui tắc kiểm định như sau: Bước 1: Tính n1 n2 0 0 1 2 F Ft 1 1p (1 p ) n n −= ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠ với 1 n1 2 n20 1 2 n F n Fp n n += + Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2. Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα : • Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2. • Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: p1 = p2. 34 3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường