Ôn thi Cao học Toán kinh tế - Phần xác suất

ät biến cố Aj nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ. Nhận xét: Với A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1. 11 Ví dụ: Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi. Xét các biến cố sau: - Ai (i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2-i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I. - Bj (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2-j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II. Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi: - A0 , A1 , A2. - B0 , B1 , B2. - A0B0 , A0B1 , A0B2 , A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 , A2B1 , A2B2. - A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2. 5.2. Công thức xác suất đầy đủ Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi. Khi đó, với A là một biến cố bất kỳ, ta có: n j j j 1 P(A) P(A )P(A/A ) = = ∑ 5.3. Công thức Bayes: Với các giả thiết như trong 4.2, ta có với mỗi 1 ≤ k ≤ n: k k k k k n j j j 1 P(A )P(A/A ) P(A )P(A/A )P(A /A) P(A) P(A )P(A/A ) = = = ∑ Ví dụ. Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô I 2 sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ra 2 sản phẩm. a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu. b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I. Lời giải. Gọi - A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. - Aj (j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 - j) sản phẩmxấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I. 12 Khi đó A0, A1, A2 là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có: . 105 45)( ; 105 50)( ; 105 10)( 2 15 0 5 2 10 2 2 15 1 5 1 10 1 2 15 2 5 0 10 0 == == == C CC C CC C CC AP AP AP a) Yêu cầu của bài toán là tính xác suất P(A). Theo Công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(A0) P(A/A0) + P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2). Ta có: 136 72)/( 2 17 1 9 1 8 0 == C CCAAP 136 70)/( 136 72)/( 2 17 1 7 1 10 2 2 17 1 8 1 9 1 == == C CC C CC AAP AAP Suy ra xác suất của biến cố A là 5231,0 . 136 70. 105 45 136 72. 105 50 136 72. 105 10 )/()()/()()/()()( 221100 = ++= ++= AAPAPAAPAPAAPAPAP b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Khi đó biến cố A đã xảy ra. Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện P(A1/A). Aùp dụng Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có 13 0,4819. 0,5231 136 72. 105 50 P(A) ))P(A/AP(A /A)P(A 111 === §6. CÔNG THỨC BERNOULLI 6.1. Công thức Bernoulli Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau. Giả sử ở mỗi phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất p không đổi, hoặc không xảy ra với xác suất q = 1 – p. Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Công thức Bernoulli tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là: k k n k n nP (k) p qC −= 6.2. Hệ quả: Với các giả thiết như trên ta có: - Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là qn. - Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là pn. Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Cho máy sản xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có: a) 3 sản phẩm tốt. b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt. Lời giải. Gọi Ak (k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5-k) sản phẩm xấu có trong 5 sản phẩm thu được. Aùp dụng Công thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta có: kkkknkk nk CC qpAP −− == 55 )4,0()6,0()( a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là: .3456,0)4,0()6,0()( 23353 ==CAP b) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt chính là P(A3 + A4 + A5). Ta có: .68256,0 )6.0()4,0()6,0(3456,0 )()()()( 544 5 543543 = ++= ++=++ C APAPAPAAAP 14 B - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN - PHÂN PHỐI XÁC SUẤT §1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. 1.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép thử. Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên. Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên. 1.2. Phân loại: a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị. Ví dụ: Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành công. Khi đó X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1;..; n. b) Loại liên tục: Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các số thực. Ví dụ: Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương. Ta có T là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục. 1.3. Luật phân phối: a) Trường hợp rời rạc: Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x0, x1,…,xn ta lập bảng: X x0 x1 ……………………….. xn P p0 p1 …………………………. pn trong đó: - pk = P(X = xk) ≥ 0 với k = 0,1, …, n. - n k k 0 p 1 = =∑ , nghĩa là p0 + p1 +…+ pn = 1 . Ví dụ: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X. Lời giải Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Aùp dụng Công thức tính xác suất lựa chọn ta được: 15 . 3 1)2( ; 15 8)1( ; 15 2)0( 2 10 0 4 2 6 2 2 10 1 4 1 6 1 2 10 2 4 0 6 0 ==== ==== ==== C CC C CC C CC XPp XPp XPp Vậy luật phân phối của X là X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 b) Trường hợp liên tục: Trường hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê các giá trị của X ở dòng trên, ta chỉ ra đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó (a, b có thể hữu hạn hoặc vô hạn). Còn thay cho xác suất p0, p1,…, pn ta đưa ra hàm mật độ f(x) thoả các tính chất sau: - f(x) ≥ 0 với mọi x ∈[a;b]. - ∫ = b a dxxf .1)( - ∫=≤≤ β α βα .)()( dxxfXP §2. CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. 2.1. Mode: Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x0 của X được xác định như sau: - Nếu X rời rạc thì x0 là giá trị mà xác suất P(X = x0) lớn nhất trong số các xác suất P(X = x). - Nếu X liên tục thì x0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất. Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy nhất. Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau. Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 Do đó Mod(X) = 1. 16 2.2. Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình). 1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được xác định như sau: - Nếu X rời rạc có luật phân phối X x0 x1 ……………………….. xn P p0 p1 …………………………. pn thì ∑ = = n k kk pxXM 0 )( , nghĩa là M(X) = x0p0 + x1p1+…+ xnpn - Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì ∫= ba dxxxfXM .)()( Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên , ta có X có phân phối như sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 Do đó kỳ vọng của X là M(X) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2. 2) Tính chất: Kỳ vọng có các tính chất sau: Tính chất 1: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính hằng số đó, nghĩa là: M(C) = C (C: Const). Tính chất 2: Với k là hằng số ta có M(kX) = kM(X). Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y). Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có M(XY) = M(X)M(Y). 2.3. Phương sai và độ lệch chuẩn. 1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực không âm định bởi: 17 D(X) = M((X - μ)2) trong đó μ = M(X) là kỳ vọng của X. Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu )(Xσ . Vậy )()( XDX =σ . 2) Công thức tính phương sai: Từ định nghĩa của phương sai ta có công thức khác để tính phương sai như sau: D(X) = M(X2) – [M(X)] 2 trong đó M(X2), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X2 và X. Như vậy, - Nếu X rời rạc có luật phân phối X x0 x1 ……………………….. xn P p0 p1 …………………………. pn thì công thức trên trở thành n n 2 2 k k kk k 0 k 0 D(X) p ( x p )x = = = −∑ ∑ - Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì ∫∫ −= baba dxxxfdxxfxXD 22 ))(()()( Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 và kỳ vọng của X là M(X) = 1,2ø . Suy ra phương sai của X là: D(X) = M(X2) – [M(X)] 2 = 02.2/15 + 12.8/15 + 22.1/3 - (1,2)2 = 32/75 ≈ 0,4267. Độ lệch chuẩn của X là: .6532,04267,0)()( ≈== XDXσ 3) Tính chất: Phương sai có các tính chất sau: Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0, nghĩa là: D(C) = 0 Tính chất 2: Với k là hằng số ta có 18 D(kX) = k2(D(X). Tính chất 3: Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có: D(X + Y) = D(X) + D(Y). Chú ý: Ta có thể sử dụng phần mềm thống kê trong các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS,..) để tính kỳ vọng , phương sai và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Ví dụ: Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối như sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 1) Vào MODE SD: Bấm MODE… và bấm số ứng với SD, trên màn hình sẽ hiện lên chữ SD. 2) Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1(Scl) = AC. Kiểm tra lại: Bấm REPLAY Up hoặc Down thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa. 3) Nhập số liệu: xi; pi M+ (DATA) 0 ; (bấm SHIFT ,) 2 ab/c 15 M+ 1 ; 8 ab/c 15 M+ 2 ; 1 ab/c 3 M+ 4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm REPLAY Down để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số liệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu mới sẽ thay cho số liệu cũ. Ví dụ: Nhập sai 0 ; 2 ab/c 5 M+ (DATA). Khi kiểm tra ta thấy: - x1 = 0 (đúng). - Freq1 = 2/5 (sai) Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 2/5, bấm 2 ab/c 15 = thì nhận được số liệu đúng Freq1 = 2/15. Số liệu nào bị nhập dư thì để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và tần số tương ứng) sẽ bị xóa. Chẳng hạn, nhập dư 3 ; ab/c 3 M+ (DATA). Khi kiểm tra ta thấy x4 = 3 (dư). Ta để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 3 và xác suất tương ứng 1/3) sẽ bị xóa. Chú ý: Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. 5) Đọc kết quả: - Bấm SHIFT 2 1 ( X ) = ta được kỳ vọng M(X) = 1,2. 19 - Bấm SHIFT 2 2 (xσn) = ta được độ lệch chuẩn (X) 0, 6532.σ = - Suy ra phương sai D(X) = [σ(X)]2= (0,6532)2= 0,4267. Chú ý: Đối với máy CASIO 500A, có một số thay đổi như sau: • Bấm MODE để vào MODE SD. • Xóa bộ nhớ thống kê bằng cách bấm SHIFT AC =. Kiểm tra lại bằng cách bấm SHIFT 6 thấy ra 0 là đã xóa. • Khi nhập số liệu, ta thay ; bằng ×. §3. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI. 3.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội, kí hiệu X ∼ H(N, NA, n), trong đó N, NA, n là các số nguyên dương , 0 < n, NA < N, nếu X rời rạc nhận các giá trị k nguyên từ max{0; n + NA - N} đến min{n; NA} theo Công thức tính xác suất lựa chọn: C CC n N kn NN k N AAkXP − −== )( 3.2. Các đặc số của phân phối siêu bội. Giả sử X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n). Khi đó X có các đặc số như sau: a) Kỳ vọng: N Npới A== vnpXM )( . b) Phương sai. pqv N nNnpqXD −=− −= 1 1 )( ới . Ví dụ. Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi. Gọi X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X và xác định kỳ vọng, phương sai của X. Lời giải Ta thấy X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) với N = 12; NA = 8, n = 4. Do đó X nhận các giá trị k nguyên từ max {0; 4+8-12} = 0 đến min{4; 8} = 4 với các xác suất định bởi: C CC kkkXP 4 12 4 48)( − == Từ đây ta tính được P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495; 20 P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495. Vậy luật phân phối của X là: X 0 1 2 3 4 P 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495 Kỳ vọng của X là M(X) np 4. 2,667.= = =8 12 Phương sai của X là D(X) npq 4. (1 ) 0,6465.= = − =N - n 8 8 12 - 4 N -1 12 12 12 -1 §4. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC 4.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức, kí hiệu X∼ B(n,p), trong đó n số nguyên dương , 0 < p < 1, nếu X rời rạc nhận n + 1 giá trị nguyên 0,1,…, n với các xác suất được tính theo theo Công thức Bernoulli: .)( knkkn qpkXP C −== Trường hợp n = 1, ta còn nói X có phân phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(p). 4.2. Các đặc số của phân phối nhị thức. Giả sử X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p). Khi đó X có các đặc số như sau: a) Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + 1. b) Kỳ vọng: M(X) = np. c) Phương sai: D(X) = npq Ví dụ: Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 5 sản phẩm chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X. Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu? Lời giải. Ta thấy X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 5, p = 0,6. Suy ra X nhận 6 giá trị nguyên 0,1,…, 5 với các xác suất được tính theo theo Công thức Bernoulli: .)4,0()6,0()( 55 kkkknkk n CC qpkXP −− === Từ đây ta tính được P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304; 21 P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776. Vậy luật phân phối của X là: X 0 1 2 3 4 5 P 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776 - Kỳ vọng của X là M(X) = np = 5.0,6 = 3. - Phương sai của X là D(X) = npq = 5.0,6. 0,4 = 1,2. - Giá trị tin chắc nhất của X chính là Mod(X): Mod(X) = k với k là số nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + 1 ⇔ 5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1 ⇔ 2,6 ≤ k ≤ 3,6 ⇔ k = 3. Vậy giá trị tin chắc nhất của X là k = 3. 4.3. Định lý: Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n). Giả sử rằng n rất nhỏ so với N. Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối nhị thức X ≈ Y, trong đó Y ∼ B(n,p) với ANp N = , nghĩa là: k k n k nP (X k) p qC −= = (k = 0, 1, …) Ví dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và 2000 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt. Lời giải Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra. Khi đó X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) với N = 10000; NA= 8000; n =10. Vì n = 10 rất nhỏ so với N = 10000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 10; p = NA/N = 8000/10000 = 0,8. Do đó xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt là: 7 7 3 10P (X 7) (0,8) (0,2) 0,2013.C= = ≈ 22 §5. PHÂN PHỐI POISSON 5.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson, kí hiệu X ∼ P(a), trong đó hằng số a > 0, nếu X rời rạc nhận vô hạn đếm được các giá trị nguyên k = 0,1,…, với các xác suất định bởi: . ! )( k aekXP ka− == 5.2. Các đặc số của phân phối Poisson. Giả sử X có phân phối Poisson X ∼ P(a). Khi đó X có các đặc số như sau: a) Kỳ vọng: M(X) = a. b) Phương sai. D(X) = a 5.3. Tính chất:. Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1 ∼ P(a1), X2 ∼ P(a2). Khi đó X1 + X2 cũng có phân phối Poisson: X1 + X2 ∼ P(a1+ a2). 5.4. Định lý Poisson: Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p khá bé (thông thường p < 0,1). Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y ∼ P(a) với a = np, nghĩa là: ! )( k aekXP ka− ≈= (k = 0, 1, …) Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong một giờ máy hoạt động có 1 ống sợi bị đứt là 0,2%. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt. Lời giải Gọi X là tổng số ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 1000, p = 0,002. Vì n = 1000 khá lớn và p = 0,002 khá bé nên ta có thể xem X có phân phối Poisson: X ∼ P(a) với a = np = 1000.0,002 = 2. Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy là: .6767,0 !2 2 !1 2 !0 2 )2()1()0()20( 221202 ≈ ++≈ =+=+==≤≤ −−− eee XPXPXPXP 23 §6. PHÂN PHỐI CHUẨN 6.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn, kí hiệu X ∼ N(μ, σ2), trong đó μ, σ là các hằng số và σ > 0, nếu X liên tục và có hàm mật độ xác định trên R định bởi: . 2 1)( 2 2 2 )( , σ μ σμ πσ −−= x exf 6.2. Các đặc số của phân phối chuẩn. Giả sử X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2). Khi đó X có các đặc số như sau: a) Mode: Mod (X) = μ. b) Kỳ vọng: M(X) = μ. c) Phương sai: D(X) = σ2 6.3. Hàm Gauss: Hàm Gauss f(x) là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn chính tắc X ∼ N(0,1): . 2 1)( 2 2x exf −= π Hàm Gauss là hàm số chẵn (nghĩa là f(-x) = f(x)), liên tục trên R. Người ta đã lập bảng giá trị của hàm Gauss, trong đó ghi các giá trị f(x) trên đoạn [0;3,99]. Khi x > 3,99, hàm Gauss giảm rất chậm, do đó ta xấp xỉ: ∀x > 3,99, f(x) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001. Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Gauss ta có: f(1,14) ≈ 0,2083; f(-2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396. f(-6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001. 6.4. Hàm Laplace. Hàm laplace ϕ(x) là hàm số xác định trên R định bởi: . 2 1)( 0 2 2 dtex x t ∫ −= πϕ Hàm Laplace y = ϕ(x) là hàm số lẻ (nghĩa là ϕ (-x) = - ϕ (x)), liên tục trên R. Người ta đã lập bảng giá trị của hàm Laplace, trong đó ghi các giá trị ϕ(x) trên đoạn [0; 5]. Khi x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm, do đó ta xấp xỉ: ∀x > 5, ϕ(x) ≈ ϕ(5) ≈ 0,5. 24 Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Laplace ta có: ϕ (1,14) ≈ 0,3729; ϕ (-2,15) = - ϕ(2,15) ≈ - 0,4842. ϕ (-6,12) = - ϕ (6,12) ≈ - ϕ (5) ≈ -0,5. 6.5. Công thức tính xác suất của phân phối chuẩn. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2). Khi đó, xác suất để X lấy các giá trị thuộc [a;b] là: b aP(a X b) ( ) ( )− μ − μ≤ ≤ = ϕ − ϕσ σ (1) trong đó ϕ(x) là hàm Laplace. Đặc biệt, với mỗi k > 0, ta có: Ví dụ: Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lương ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 50kg và phương sai 100kg2. Một sản phẩm được xếp vào loại A nếu có trọng lượng từ 45kg đến 55kg. Tính tỉ lệ sản phẩm loại A của loại sản phẩm trên. Lời giải Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm đã cho. Từ giả thiết ta suy ra X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2) với μ = 50, σ2 = 100 (σ = 10). Vì một sản phẩm được xếp vào loại A khi có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản phẩm loại A chính là xác suất P(45 ≤ X ≤ 55). Aùp dụng công thức trên ta có .383,0 1915,0.2 )5,0(2 )5,0()5,0( ) 10 5045() 10 5055()5545( = = = −−= −−−=≤≤ ϕ ϕϕ ϕϕXP (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được ϕ (0,5) = 0,1915). Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A là 38,3%. 6.6. Định lý Moivre-Laplace: Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p không quá gần 0 cũng không quá gần 1 (thông thường 0,1 ≤ p ≤ 0,9). Khi đó có thể xấp xỉ X 25 bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn: X ≈ Y, trong đó Y ∼ N(μ, σ2) với μ = np, npq=σ (q = 1-p) nghĩa là: a) ).(1)( σ μ σ −≈= kfkXP (k = 0,1,2,…) b) )()()( 1221 σ μϕσ μϕ −−−≈≤≤ kkkXkP ( k1 < k2) trong đó f(x) là hàm Gauss; ϕ(x) là hàm Laplace. Ví dụ. Sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: Từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 140 kiện trong rất nhiều kiện. Tính xác suất để có: a) 93 kiện được nhận. b) Từ 90 đến 110 kiện được nhận. Lời giải Trước hết ta tìm xác suất để một kiện được nhận khi khách hàng kiểm tra kiện đó. Theo giả thiết mỗi kiện chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu, khách hàng chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm tốt thì chọn kiện.Do đó theo Công thức tính xác suất lựa chọn ta có xác suất để một kiện được nhận là: . 3 2)3()2()32( 3 10 0 4 3 6 3 10 1 4 2 6 333 =+=+=≤≤= C CC C CCPPkPp Gọi X là tổng số kiện hàng được nhận trong 140 kiện được kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 140, p = 2/3. Vì n = 140 khá lớn và p = 2/3 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X có phân phối chuẩn như sau: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np = 140.2/3 = 93,3333, .5777,53/1.3/2.140 === npqσ a) Xác suất để có 93 kiện được nhận là: 1 93 1 93 93,33P (X 93) f ( ) f ( ) 5,5777 5,5777 1 1 0,3982f ( 0, 06) f (0, 06) 0, 0714. 5,5777 5,5777 5,5777 − μ −= = =σ σ = − = = = (Tra bảng giá trị hàm Gauss ta được f(0,06) = 0,3982). b) Xác suất để có từ 90 đến 110 kiện được nhận là: 26 110 90P (90 X 110) ( ) ( ) 110 93,3333 90 93,3333 ( ) ( ) 5,5777 5,5777 (2,99) ( 0,6) (2,99) (0,6) 0,498625 0,2257 0,724325. − μ − μ≤ ≤ = ϕ − ϕσ σ − −= ϕ − ϕ = ϕ − ϕ − = ϕ + ϕ = + = (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được ϕ (2,99) = 0,498625; ϕ(0,6) = 0,2257). BÀI TẬP Bài 1: Có ba khẩu súng I, II và III bắn độc lập vào một mục tiêu. Mỗi khẩu bắn 1 viên. Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba khẩu I, II và III lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,5. Tính xác suất để a) có 1 khẩu bắn trúng. b) có 2 khẩu bắn trúng. c) có 3 khẩu bắn trúng. d) ít nhất 1 khẩu bắn trúng. e) khẩu thứ ba bắn trúng biết rằng có 2 khẩu trúng. Bài 2: Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ, 1 bi trắng; hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi. a) Tính xác suất để được 4 bi đỏ. b) Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng. c) Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. d) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Hãy tìm xác suất để bi trắng có được của hộp I. Bài 3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3 sản phẩm tốt thì dừng lại. a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3. b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. b) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Tính xác suất để ở lần kiểm tra