Phương pháp và kỹ thuật điển hình trong tính phân

hính vì lẽ đó trong giảng dạy học sinh dùng phương pháp đổi biến số dạng 1 ,người thầy không quá sa đà vào việc dạy học sinh những dạng toán có tính chất công thức,máy móc. Điều quan trọng là phát triển ở học sinh tư duy logíc,sự sáng tạo ,các em tự mình chiếm lĩnh kiến thức ,tự rút ra những bài học bổ ích từ việc giải được hay không giải được những bài tích phân,có như vậy khi đứng trước những bài toán mới hay những bài toán được ngụy trang thì các em vẫn có được ‘sức đề kháng’’ để vượt qua.Tôi coi đó là tư tưởng chủ yếu của dạy học tích phân nói riêng và môn toán nói chung. 2-Đổi biến số dạng hai: Tư tưởng của kỹ thuật này là :Giả sử ta cần tính tích phân I= ( ) b a f x dxò thì ta chọn X=u(t),với u(t) là hàm số ta chọn thích hợp Biểu diễn dx=u’(t)dt, u( ) , ( )a u ba b= = Biểu thị f(x)dx theo t và dt,giả sử f(x)dx=g(t)dt I= ( ) b a f x dxò = ( )g t dt b a ò là tích phân dễ tìm hơn tích phân ban đầu. Ví dụ 1: Tính I= 2 22 2 0 1 x dx x- ò Lời giải : Nx: ta có sin2t+cos2t =1 nên 1-sin2t=cos2t, 21 sin cost t- = do đó ta nghĩ tới Đặt x=sint t ; 2 2 p pé ùÎ -ê úë û x=0,t=0,x= 2 , 2 4 t p = ,dx=costdt MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 17 I= 2 22 2 0 1 x dx x- ò = I= /4 /4 /42 2 2 0 0 0 sin cos sin cos 1 os2 1 cos 2 8 41 sin x tdt t t c t dt dt tt p p p p- = = = - - ò ò ò Nhận xét 1 : - Có thể đặt x=cost t [ ]0;pÎ -Đối với những tích phân có chứa các biểu thức 2 2a x- ta có thể đặt x=acost , t [ ]0;pÎ hoặc x= asint , t ; 2 2 p pé ùÎ -ê úë û Ví dụ 2: Tính J= 6 2 3 2 9 dx x x - ò Lời giải: Đặt x= 3 , sin t (0; / 2)t pÎ dx= 2 3cos sin tdt t - , 1 13 2,sin , 6,sin 4 2 62 x t t x t t p p = = Þ = = = Þ = J= 6 2 3 2 9 dx x x - ò = /6 2/4 2 3cos 3 9 sin 9 sin sin tdt t t t p p - - ò = /4 4 /6 /6 1 cos 1 cos3 3 36sin sin tdt dt t t t p p p p p = =ò ò Nhận xét 2: - có thể đặt x= 3 , osc t - đối với những tích phân có chứa biểu thức 2 2x a- (a>0) ta có thể đặt x= os a c t hoặc X= , sin a t Ví dụ 3 Tính K= 3 2 2 1 1 x dx x + ò Lời giải; Đặt x=tant,t ( ; ) 2 2 p p Î - 1 , 3 4 3 x t x x p p = Þ = = Þ = , 2 22 1 ; 1 1 tan os cos dt dx x x c t t = + = + = K= 3 2 2 1 1 x dx x + ò = /3 /3 /3 2 2 2 2 2 /4 /4 4 2 1 (sin ) sin os cos sin sin (1 sin ) cos os dt dt d t t c t t t t t t c t p p p p p p = = = -ò ò ò 3 2 2 2 2 2 (1 ) du u u = -ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 18 3 2 2 2 2 du u +ò 3 2 2 2 2 1 du u-ò = 3 2 2 3 ln(2 3)( 2 1) 3 - + - + Nhận xét 3: -Đối với những tích phân có chứa biểu thức (a2+x2)k (a>0)ta thường đăt x=atant hoặc x=acott -Một số tích phấn sau khi bién đổi mới đưa về dạng có chứa biểu thức (a2+x2)k .ta xét ví dụ sau Ví dụ 4 Tính L= 1 4 2 0 1 xdx x x+ +ò Lời giải: L= 1 4 2 0 1 xdx x x+ +ò = 1 2 2 2 2 0 1 ( ) 2 ( ) 1 d x x x+ +ò = 1 2 0 1 ( ) 2 ( ) 1 d t t t+ +ò = 1 2 20 1 ( )1 2 2 1 3 ( ) ( ) 2 2 d t t + + + ò = 3 2 1 2 2 2 1 ( ) 2 3 ( ) ( ) 2 d u u + ò Đặt 3 tan , ( ; ) 2 2 2 t p pa Î - ,u= 3 1tan 3 ,, 2 3 2 6 u p pa a aÞ = Þ = = Þ = L = 3 2 1 2 2 2 1 ( ) 2 3 ( ) ( ) 2 d u u + ò = 3 3 2 2 6 6 3 1 3 32 32 3 18os . (1 tan ) 4 d d c p p p p a p a a a = = + ò ò , Nhận xét 5 Một số tích phân có chứa các biểu thức ( )( )x a b x- - ,b>a>0 Khi đó ta đặt X=a+(b-a)sin2t , t 0; 2 pé ùÎ ê úë û .ta xét ví dụ sau Ví dụ 5: Tính M= 3 2 5 4 ( 1)(2 )x x dx- -ò Lời giải : Nhận xét a=1,b=2 Đặt x=1+sin2t t 0; 2 pé ùÎ ê úë û ,dx=2sintcostdt,x= 5 3; 4 6 2 4 t x t p p Þ = = Þ = M= 3 2 5 4 ( 1)(2 )x x dx- -ò = 3 2 5 4 ( 1)(2 )x x dx- -ò =2 4 2 2 6 sin (1 sin ) sin cost x t tdt p p - =ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 19 2 4 2 2 6 sin cost tdx p p =ò 4 6 1 1 3 (1 os2 ) ( ) 2 8 12 8 c t d p p p - = -ò . Nhận xét 6: Bằng cách khai thác tương tự ta sẽ rút ra đựợc các cách biến số dạng 2 đối với những tích phân có chứa những biểu thức được thống kê qua bảng sau: Dấu hiệu Cách chọn 2 2a x- (a>0) X=asint t ; 2 2 p pé ùÎ -ê úë û hoặc x=acost t [ ]0;pÎ 2 2x x- (a>0) X= sin a t t ; 2 2 p pé ùÎ -ê úë û \0 X= os a c t t [ ]0;pÎ \ / 2p 2 2a x+ (a>0) X=atant t ; 2 2 p pæ öÎ -ç ÷ è ø ho ặc X=acott t ( )0;pÎ a x a x + - hoặc a x a x - + X=acos2t ( )( )x a b x- - X=a+(b-a)sin2t Nhận xét 7: -Đôi khi để sử dụng đổi biến số dạng 2 laị bắt đầu từ dạng 1 Ví dụ 6: Tính K= 24 4 2 4 sin os (tan 2 t anx 5) xdx c x x p p- - + ò (Đề thi dự bị 2008-B) Lời giải: MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 20 Biến đổi K= 2 24 4 4 2 2 4 4 sin tan (t anx) os (tan 2 t anx 5) (tan 2 t anx 5) xdx xd c x x x p p p p- - = - + - +ò ò Đặt tanx=t đổi cận đưa K vể dạng K= 1 1 1 12 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 2 5) 3 ( 2 t 5) 2 5 ( 1) 4 t dt d t t dt dt t t t t- - - - - + = + - - + - + - +ò ò ò ò Lại đặt t-1=2tant đổi cận tính toán ta được K=2-ln2 3 8 p -Một trong những phép đổi biến hay dùng nữa là phép thay biến x=a-t đói với những tích phân có cận trên là a và hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức lượng giác và các biểu thức này có liên quan đến cận trên là a (Theo nghĩa chúng có mối quan hệ đến các góc liên quan đặc biệt).Vì lẽ đó các tích phân này thường có cận trên là ; ;2 ,... 2 p p p Khi tính các tích phân này thường dẫn tới giải một phương trình đơn giản với ẩn số là t Ví dụ 7: Tính H= /2 4 4 4 0 sin os sin xdx c x x p +ò Lời giải: Đặt x= 2 t dx dt p - Þ = - và ta có I= 0 4 4 4 2 sin os sin xdx c x xp - +ò = /2 4 4 4 0 os os sin c xdx c x x p +ò suy ra 2I= /2 /24 4 4 4 0 0 sin os / 2 os sin 4 x c xdx dx x c x x p p pp+ = = Þ = +ò ò Ví dụ 8 Tính F= 2 3 0 osxc xdx p ò Lời giải: Đặt x=2 t dx dtp - Þ = - và ta có I= 0 2 2 2 3 3 3 3 2 0 0 0 (2 ) os (2 ) (2 ) os 2 os ost c t dt t c tdt c tdt tc tdt p p p p p p p p- - - = - = -ò ò ò ò 2 3 0 2 osI c tdt p Þ = ò = 2 0 os3 3cos 0 4 c t t dt p + =ò Ví dụ 9: MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 21 Tính M= 2 0 s inx 1 os x dx c x p +ò Lời giải: Đặt x= t dx dtp - Þ = - M= 2 0 s inx 1 os x dx c x p +ò = 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( )sin sin sin sin sin 2 1 os 1 os 1 os 1 os 2 1 os t tdt tdt t tdt tdt tdt M M c t c t c t c t c t p p p p p p pp p- = - Þ = Þ = + + + + +ò ò ò ò ò Lại đặt u=cost suy ra du=sintdt M= 1 1 2 2 2 2 0 1 0 s int 2 1 os 2 1 1 4 dt dt dt c t t t pp p pp - = = = + + +ò ò ò Nhận xét 8: Lời giải của các bài toán trên dựa vầo tính chất : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b thoả mãn f(x)=f(a+b-x) thì ( ) ( ) 2 b b a a a b xf x dx f x dx + =ò ò Đặc biệt hơn : Nếu f(x) là hàm số liên tục trên [ ]0;1 thì (s inx) (s inx) 2 xf dx f dx p a p a a a p- - =ò ò Nếu f(x) là hàm số liên tục trên [ ]0;1 thì 2 2 ( osx) ( osx)xf c dx f c dx p a p a a a p - - =ò ò Các tính chất này sẽ được chứng minh và ứng dụng trong kỹ thuật sử dụng lớp các Tích phân đặc biệt . IV-Kỹ thuật sử dụng Tích phân từng phần Cơ sở lý thuyết :Theo công thức về phép tính vi phân ta có d(uv)=udv+vdu Hay udv=uv-vdu MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 22 b b b a a a udv uv vduÞ = -ò ò (I) Công thức trên gọi là công thức tính tích phân từng phần ,Phương pháp sử dụng công thức Trên để tính gọi là phương pháp tích phân từng phần. Nhận dạng : Hàm số dưới dấu tích phân thường là hàm hai biến số khác nhau Ý nghĩa: Đưa một tích phân phức tạp về một tích phân đơn giản hơn .Trong nhiều trường hợp khi sử dụng tích từng phần sẽ giảm bớt hàm số dưới dấu tích phân và cuối cùng chỉ còn một hàm số dưới dấu tích phân. Như vậy để tính b a udvò ta chuyển về tính b a vduò ,Như vậy điều quan trọng nhất khi tính tích phân từng phần là phải chọn u,v thích hợp đảm bảo hai nguyên tắc cơ bản sau -Chon u,v sao cho du đơn giản dv dễ tính -Tích phân b a vduò dễ tính hơn so với b a udvò Sau đây là một số dạng Tích phân thường được sử dụng kỹ thuật “Tích phân từng phần” 1-Dạng I ( ) ln b k a P x xdxò : ( )K ZÎ Thường chọn: 1lnln ( )( ) kk du k xdxu x v p x dxdv p x dx -ì =ì = ïÞí í ==î ïî ò Chọn u như vậy để khử lnx dưới dấu Tích phân , đồng thời dễ tìm V Ví Dụ 0: (ĐHKD-2010)Tính tích phân 1 3 2 ln e I x xdx x æ ö= -ç ÷ è øò 1 2 1 1 1 3 1 2 ln 2 ln 3 ln . e e e I I I x xdx x xdx x dx x x æ ö= - = -ç ÷ è øò ò ò1424314243 1 1 ln e I x xdx= ò ;Đặt ln dx u x du x = Þ = ; 2 2 x dv xdx v= Þ = 2 2 2 2 1 11 1 1 1 1 ln 2 2 2 2 2 4 e eex e x e I x xdx æ ö æ ö + = - = - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 23 Tính I2 : Đặt t = lnx Þ dxdt x = x = 1 ; t = 0; x = e ; t = 1. 11 2 2 0 0 1 2 2 t I tdt æ ö = = =ç ÷ è ø ò . Vậy 2 2 2 e I - = Ví Dụ 1: (ĐHKD-2009): Tính tích phân 3 2 1 3 ln x I dx (x 1) + = +ò 33 3 3 3 3 1 22 2 2 2 2 1 1 1 1 11 3 ln x dx ln x dx 3 3 ln x I dx 3 dxI 3 I dx (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 4 (x 1) + - = = + = = = = + + + + + +ò ò ò ò ò Đặt u = lnx dxdu x Þ = 2 dx dv . (x 1) = + Chọn 1v x 1 - = + 3 3 3 3 2 1 1 1 1 ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3 I ln x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2 = - + = - + - = - + + + +ò ò ò Vậy : 3 I (1 ln 3) ln 2 4 = + - Ví Dụ 2: (ĐHKD-08) I= 2 3 1 ln x dx xò Lời giải: Đặt 3 3 2 ln 1 2 dx duu x x dx dxdv vx x x ìì == ïï ïÞ Þí í -=ï ï = =î ïî ò : I= 2 2 2 3 2 31 1 1 ln ln 3 2ln 2 2 2 16 x x dx dx x x x - - = + =ò ò Nhận xét: Một số tích phân muốn đưa về dạng trên cần thông qua đổi biến số dạng 1 Ví dụ 3: J= 2 2 6 cos ln(s inx) sin x dx x p p ò Lời giải: Viết lại J= 2 2 6 ln(s inx) (s inx) sin d x p p ò Đặt t=sinx , Đổi cận ta đi đến tích phân sau J= 1 2 1 2 ln t dt tò Đặt 2 2 ln 1 dt duu t t dt dtdv v dtt t t ìì == ïï ïÞ Þí í -=ï ï = =î ïî ò M= 1 1 1 2 1 2 ln 1 2ln 2 t dt t t - = + = -ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 24 Ví dụ 4: K= 3 2 4 ln(tan x) os dx c x p p ò Lời giải: Ngoài cách trình bày bằng đổi biến sau đó dùng tích phân từng phần như trên ta có thể trình bày trực tiếp như sau K= 3 2 4 ln(tan x) os dx c x p p ò = 3 4 ln(t anx) (t anx)d p p ò Đặt ln (t anx) sin x cos(t anx) t anx dx duu x dv d v ìì == ïÞ Þí í =î ï =î K= 3 3 3 4 4 4 t anx 3 ln 3 3 ln 3 tan x ln(t anx) t anx 3 1 sin cos 2 2 dx x x p p p p p p - = - = - +ò Nhận xét 2 :Do không có công thức tính nguyên hàm của biểu thức chứa lnx nên mục Đích của ta khi tính tích phân trên là khử lnx ,vì vậy số lần sử dung công thức Tính tích phân từng phần phụ thuộc vào số K trong tích phân ( ) ln b k a P x xdxò .Cụ thể là k=1 (như ví dụ trên) dùng một lần,k=2 sử dụng 2 lần ......ta xét thêm ví dụ sau mô ta điều đó Ví dụ 5: L= 3 2 1 ln e x xdxò (ĐHKD-07) Lời giải: Đặt 2 43 3 2 ln ln 4 xdx du u x x xdv x dx v x dx ì =ïì =ï ïÞ Þí í =ïî ï = = ïî ò L= 4 2 4 3 ' 1 1 ln 1 ln 4 2 4 e ex x e x x L- = -ò Lại đặt 43 3 ln 4 dx du u x x xdv x dx v x dx ì =ïì =ï ïÞ Þí í =ïî ï = = ïî ò L’= '4 4 3 1 1 ln 1 3 1 4 4 16 16 e ex x e x dx- = -ò Từ đó L= 45 1 32 e - Nhận xét 3: Mộ số tích phân chứa p(x) phức tạp ,ta vẫn dựa vào cách đặt trên để khử lnf(x) MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 25 Ví dụ 6: N= 3 2 2 1 ln( 1) 1 x x x x + + + ò Lời giải: Đặt 2 32 2 2 3 1 2 02 2 ln( 1) 1 1ln( 1) 2ln 3 3 11 1 dx duu x x x N x x x dxx xdv v dx xx x ì =ì = + + ïï +ïÞ Þ = + + + - = -í í =ï ï = = ++î ï +î ò ò Dạng 2: ( ) cos b a P x xdxò ( ( ) cos b a P x xdxò ) Đặt cos ( ) u x dv P x dx =ì í =î Hoặc cos ( ) dv x u P x dx =ì í =î Ví dụ 1: I= /4 2 0 (2cos 1)x x dx p -ò Lời giải: viết lại I= /4 2 0 (2cos 1)x x dx p - =ò /4 0 os2xc xdx p ò Đặt /4 /4 /4 00 0 sin 2 cos 2 sin 2 1 sin 2 os2 sin 2 ( )2 2 2 2 4 1 8 2 x dv xdx v dx x x x x c x I xdx u x du dx p p p p ì= =ì ïÞ Þ = + = -í í=î ï =î = + ò Ví dụ 2 J= 1 cos(ln ) e x dx p ò Lời giải Đặt sin(ln ) cos(ln ) x dx u x du x dv dx v x ì= =ì ïÞí í=î ï =î J=xcos(lnx)| 1 ep - 1 1 sin(ln ) e x dx e J p p= - -ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 26 Đặt os(ln ) sin(ln ) c x dx u x du x dv dx v x ì= =ì ïÞí í=î ï =î J1 = xsin(lnx)| 1 ep - 1 1 os(ln ) 1 2 e e c x dx J J e J J p p p += - Þ = - - - Þ = -ò Ví dụ 3: K= 3 2 3 s inx cos x dx x p p- ò (ĐH Vinh-2001) Lời giải: Biến đổi K= 3 2 3 s inx cos x dx x p p- ò = 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 4 4 5 2 ( ) 2 2 tan 2 ln(tan ) cos cos cos 3 2 4 3 12 dx x xd x x x x p p pp p p p p æ ö ç ÷ == - = - + -ç ÷ ç ÷ è ø ò ò Nhận xét : Một số tích phân trước khi sử dung tích phân từng phần cần biến đổi để đưa về có dạng trên, ta xét một ví dụ sau để mô tả đièu đó Ví dụ 4: L= 2 2 0 (2 1)cosx xdx p -ò (Đề thi dự bị KB-2005) Lời giải Biến đổi L như sau 2 2 2 2 2 0 0 0 0 22 2 2 1 0 0 2 2 0 1 os2 1 1 (2 1) cos (2 1)( ) (2 1) (2 1) os2 2 2 2 1 1 (2 1) 2 2 8 4 1 (2 1) os2 2 c x x xdx x dx x dx x c xdx L x dx x x L x c xdx p p p p p p p p p + - = - = - + - é ù= - = - = -ë û = - ò ò ò ò ò ò 2 2 2 0 0 1 1 (2 1) ; cos 2 sin 2 2 2 1 1 1 (2 1)sin 2 sin 2 4 2 2 u x du dx dv xdx v x L x x xdx p p = - Þ = = Þ = = - - = -ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 27 Do đó L= 2 1 8 4 2 p p - - Ví dụ 5:M= 4 sinx 0 (t anx cos )e x dx p +ò (Đề thi dự bị KB-2005) Lời giải: Biến đổi M như sau [ ] 4 4 4 sinx sinx 0 0 0 14 4 inx sinx 24 4 00 0 0 (t anx cos ) t anx cos (cos ) (s inx) ln(cos ) ln 2 cos s e x dx dx e xdx d x dx e d x e e x p p p p p p p + = + = - + = - + = + ò ò ò ò ò Dạng 3: cos b kx a e mxdxò ( hoặc sin b kx a e mxdxò ) Đặt 1 1cos s inmx kx kx du e dxu e k dv mxdx v m ì =ïì = ïÞí í =î ï = ïî Hoặc Đặt 1 1cos s inmx kx kx v e dxdv e k u mxdx dv m ì =ïì = ïÞí í =î ï = ïî Ví dụ 1: K= 2 2 0 cos3xe xdx p ò Đặt 2 2 2 1 cos3 s in3x 3 x x du e dxu e dv xdx v ì =ì = ïÞ Þí í = =î ïî K= 2 2 0 cos3xe xdx p ò = 2 2 22 0 1 0 1 2 1 2 sin 3 sin 3 3 3 3 3 x xe x e xdx e K p p p- = - -ò lại đặt 2 2 2 1 sin 3 cos3x 3 x x du e dxu e dv xdx v ì =ì = ïÞ Þí í = = -î ïî K1 = 2 20 1 2 os3 3 3 xe c x K p + từ đó suy ra K= 1 2 4 3 2 3 9 9 13 e e K K p p- - -- - Û = . Nhận xét : -Cũng có thể đặt 22 1 2 cos3 3s in3x xx v e dxdv e u xdx d ìì == ïÞí í =î ï = -î và thu được kết quả như trên . MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 28 -Tích phân ( hoặc sin b kx a e mxdxò ) dùng phương pháp từng phần Bao giờ cũng phải dùng hai lần song điều chú ý là trong hai lần dùng phải thống nhất trong hai cách đặt u,v cùng một kiểu nếu không thì sau hai lần sử dung tích phân lại trở lại ban đầu. Thật vậy sau khi đặt 2 2 2 1 cos3 s in3x 3 x x du e dxu e dv xdx v ì =ì = ïÞ Þí í = =î ïî K= 2 2 0 cos3xe xdx p ò = 2 2 22 0 1 0 1 2 1 2 sin 3 sin 3 3 3 3 3 x xe x e xdx e K p p p- = -ò ta không đặt như trên mà đặt 22 1 2 sin 3 3cos3x xx v e dxdv e u xdx du ìì == ïÞ Þí í =î ï =î K1= 2 20 1 3 1 3 sin 3 2 2 2 2 xe x K e K p p- = - từ đó ta có K= 1 2 1 3( ) 3 3 2 2 e e K K Kp p- - Û = như vậy ta không tính được tích phân trên . Hiên tượng đó gọi là hiện tượng xoay vòng trong tích phân. Đó là điều mà ta phải tránh khi tính tích phan bằng phương pháp từng phần , Dạng 4: ( ) b kx a P x e dxò Đặt , ( )( ) 1 ekx kx du P x dxu P x dv e dx v dx k ì ==ì ïÞí í = =î ïî Ví dụ 1: I= 1 2 0 ( 2) xx e dx-ò (ĐHKD-06) Đặt 1 2 2 1 2 022 0 ( 2) 1 1 5 3 ( 2)1 2 2 4e 2 x x xx du dxu x e I x e e dx v dxdv e dx =ì= -ì -ïÞ Þ = - - =í í ==î ïî ò Nhận xét : Một số tích phân có dạng trên ,nhưng trước khi dùng từng phần ta phải đổi biến số để việc sử dụng tích phân từng phần được thuận lợi hơn Ví dụ 2: I= 2 1 3 0 xx e dxò Lời giải: MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 29 Nhận thấy I= 2 1 3 0 xx e dxò = I= 2 1 2 2 0 1 2 xx e dxò vì vậy Đặt x2=t ,dt=2xdx 23 1 2 x tx e dx te dt= x=0 thì t=0,x=1 thì t=1 I= 2 1 3 0 xx e dxò = I= 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 t t t tete dt tde te e dt e= = - = - =ò ò ò Ví dụ 3: Tính I= 2 2 2 0 ( 2) xx e dx x +ò Lời giải: Đặt u=x2e x suy ra du=xe x(x+2)dx; dv= 2 1 ( 2) 2 dx v x x - Þ = + + I= 2 22 2 2 0 0 02 x x xx e xe dx e xe dx x - + = - + + ò ò . lại đặt u=x,dv=e x ta có 2 2 2 2 0 0 0 1x x xx e dx xe e dx e= - = +ò ò Nên I=-e2+e 2+1=1 Nhận xét 1 : nếu đặt 2 2( 2) x u x = + thì việc tính tích phân trên lại trở về tính tích phân 2 0 2 xxe x +ò rõ dàng là phức tạp hơn rất nhiều so với tích phân ba đầu.vì vậy việc chon u,v thích hợp là rất quan trọng trong tính tích phân từng phần. Nhân xét 2: Một số tích phân có dạng ( ) b kx a P x e dxò muốn sử dụng được phương pháp như trên phải qua đổi biến số: Ví dụ 4: Tính K= 2 0 1 s inx 1 cos xe dx x p + +ò Lời giải: Phân tích K= 2 2 2 1 2 0 0 0 1 s inx 1 s inx 1 cos 1 cos 1 cos x x xe dx e dx e dx K K x x x p p p + = + = + + + +ò ò ò Xét K1= MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 30 2 2 2 2 2 0 20 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 1 1 (tan ) tan tan 1 cos 2 2 22 os 2 sin sin 1 cos2 os 2 x x x x x x x x x x e dx e dx e d e e dx xx c x x e e dx e e dx K K e K K e x xc p p p p p p p p p p p = = = - + = - = - - Þ = + - = + ò ò ò ò ò ò Cách 2: Có thể đặt 2 2 (1 cos ) s inx1 s inx (1 cos ) (1 cos )1 cos x x x duu x xx dv e dx v e ì é ù++ì = -= ïï ê ú+ +Þ+í í ë û ï ï= =î î dx Từ đó ta có K= 2 2 '2 2 2 2 0 2 2 2 1 s inx (1 cos ) s inx 1 e 2 ( ) 1 cos (1 cos ) (1 cos ) 2 (1 cos ) 1 2 ( ) 2 1 cos x x x x o o x o x e e e dx e dx x x x x e e e x p p p p p p p é ù+ + - - = - - =ê ú+ + + +ë û - - = + ò ò Để lyện tập ta có thể tính các tích phân sau I= 2 5 1 ln xdx xò ;J= 2 2 1 1 ln ln e e dx x x æ ö-ç ÷ è øò ;K= 4 0 tan xx dx p ò ; L= 2 1 ln (1 ) e x dx x+ò ;M= 2 2 1 ( 2 ) xx x e dx+ò V-Tích phân liên kết Đôi khi việc tính một số tích phân I= ( ) b a f x dxò gặp nhiều khó khăn ta thường Hay nghĩ đến một tích phân J= ( ) b a g x dxò sao cho việc tính các tích phân mI+nJ và pI-qJ thuận lợi .Khi đó việc tính I,J thường đưa về giải hệ phương trình 1 2 mI nJ C pI qJ C + =ì í - =î Khi đó ta nói I và J là các tích phân liên kết với nhau. Việc lựa chọn tích phân liên kết với một tích phân cho trước phụ thuộc vào đặc điểm của hàm dưới dấu tích phân và cận của chúng .Do đặc thù của các hàm lượng giác nên ta thường dùng phương pháp liên kết các tích phân đối với các tích phân chứa các hàm số lượng giác . MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 31 Ví dụ 1 I= 4 3 0 4sin x (s inx cos ) dx x p +ò Lời giải: Xét J= 4 3 0 4 osx (s inx cos ) c dx x p +ò ta có I+J= 4 4 4 02 20 0 4 2 2 tan( ) 2 (s inx cos ) 4os ( ) 4 dx dx x x c x p p pp p + = - = + - ò ò (1) Mặt khác J-I = 4 4 4 03 2 2 0 0 4( osx-sinx) d(sinx+cosx) 2 2 2 (s inx cos ) (s inx cos ) (s inx cos ) c dx dx x x x p p p = = = - + + +ò ò (2) Từ (1) và (2) ta có I= 2 2 Ví dụ 2: Tính I= 23 0 sin x sinx 3 cos dx x p +ò Lời giải Xét tích phân J= 23 0 os x sinx 3 cos c dx x p +ò ta có I-3J= 2 23 3 3 0 0 0 sin 3 os x (sin 3 osx)(sin 3 osx) (s inx 3 cos ) s inx 3 cos s inx 3 cos x c dx x c x c dx x dx x x p p p - - + = = - = + +ò ò ò 3(cos 3 sinx) 1ox p - + = - I+J= 2 23 3 3 3 0 0 0 0 (sin os x) 1 1 2 2s inx 3 cos s inx 3 cos 1 3 sin( )(s inx cos ) 32 2 x c dx dx dx dx x x xx p p p p p + = = = + + ++ ò ò ò ò = 3 3 3 0 20 0 tan( ) 1 1 1 ln 32 6 ln tan( ) 2 2 2 2 6 2os ( ) tan( ) tan( ) 2 6 2 6 2 6 x d dx x x x x c p p p p p p p p é ù+ê úë û= = + = + + + ò ò Vậy ta có hệ phương trình 3 1 3ln 3 2 ln 3 8 2 I J I I J - = -ì -ï Û =í + =ïî MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 32 Tổng quát: 2sin x sinx cos dx A B x b a + ò thường liên kết với J= 2os x s inx cos c dx A B x b a + ò Ví dụ 3: I= 2 3 0 (5cos 4sinx) (s inx cos ) x dx x p - +ò Lời giải Xét J= 2 3 0 (5sin 4 osx) (s inx cos ) x c dx x p + +ò ta có I+J= 2 2 2 2 03 2 20 0 0 (sin osx) 1 1 tan( ) 1 (s inx cos ) (s inx cos ) 2 2 4os 4 x c dx dx dx x x x c x p p p pp p + = = = - = + + æ ö-ç ÷ è ø ò ò ò (1) Mặt khác đặt x= 2 t p - ta có I= 2 2 2 3 3 3 0 0 0 (5cos 4s inx) (5sin 4cos ) (5sin 4cos ) (s inx cos ) (s int cos ) (s inx cos ) x dx t t dx x x dx J x t x p p p - - - = = = + + +ò ò ò (2) Từ (1) và (2) ta có I= 1 2 Ví dụ 4: I= 2 2 2 0 ( os3 ) ( os6 )c x c x dx p ò Lời giải Xét tích phân J= 2 2 2 0 (sin 3 ) ( os6 )x c x dx p ò Ta có I+J= 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 [(sin 3 ) ( osx) ]( os6 ) ( os6 ) (1 os12 ) 2 4 x c c x dx c x dx c x dx p p p p + = = + =ò ò ò Mặt khác I - J= 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 [(sin 3 ) ( osx) ]( os6 ) os6 ( os6 ) 1 sin (sin 6 ) 6 8 x c c x dx c x c x dx x d x p p p pé ù- = = - =ë ûò ò ò Vậy ta có I = J = 8 p Nhận xét :Ta có thể chọn tích phân liên kết khác là J= 2 2 2 0 ( os3 ) (sin 6 )c x x dx p ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 33 Ví dụ 5: Tính I= 20092 2009 2009 0 ( os ) (s inx) (cos ) c x dx x p +ò Lời giải: Xét J= 20092 2009 2009 0 (sin ) (s inx) (cos ) x dx x p +ò Đặt x= ; 0; 0 2 2 2 t dx dt x t x t p p p - Þ = - = Þ = = Þ = Ta có J = 2009 020092 2009 2009 2009 20090 2 2009 20092 2 2009 2009 2009 2009 0 0 (sin( ))(sin ) 2 ( ) (s inx) (cos ) 2(s in( )) (cos( )) 2 2 (cos ) ( os ) (s int) (cos ) (s inx) (cos ) tx dx d t x t t t c x dx dx t x p p p p p p p p - = - = + - + - = + + ò ò ò ò Mà I+J= 2009 20092 2 2009 2009 0 0 (s inx) ( os ) (s inx) (cos ) 2 4 c x dx dx I J x p p p p+ = = Þ = = +ò ò Ví dụ 6: Tính I= 36 0 sin s inx cos xdx x p +ò Lời giải: Xét tích phân liên kết J= 36 0 os s inx cos c xdx x p +ò Ta có I+J = 3 36 6 6 0 0 0 (sin os ) 1 1 1 (1 sin 2 ) ( os2 ) s inx cos 2 4 6 8 x c x dx x dx x c x x p p p p+ = - = + = - +ò ò Lại có I-J = 23 36 6 0 0 6 6 0 0 1 (s inx cos ) (s inx cos )(sin os ) 1 s inx cos 2 s inx cos 1 1 s inx cos 1 3 2 (s inx cos ) (s inx cos ) [ ln s inx cos ] ln 2 sinx cos 2 2 2 x x dxx c x dx x x x x d x x x p p p p é ù+ + -- ë û= = + + + +é ù+ + + = + + = -ê ú+ë û ò ò ò từ đó ta có I= 1 1 3 2 1ln 12 2 2 4 16 p + + - - Nhận xét : Đối với tích phân ta có thể trình bày theo cách khác như sau MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 34 2I= 3 3 3 3 3 3 3 36 6 6 0 0 0 (sin os ) (sin os ) (sin os ) (sin os ) s inx cos s inx cos s inx cos x c x x c x x c x dx x c x dx dx x x x p p p + + - + - = + + + +ò ò ò Sau đó trình bày như trên . Nhận xét chung : Do đặc điểm của các hàm số lượng giác nên các tích phân Liên kết thường được dùng rất nhiều trong tích phân lượng giác .Vì vậy khi tính tích phân lượng giác học sinh cần nhìn kỹ vào biểu thức lựơng giác nằm ngay dưới dấu tích phân để có thể lựa chọn cách giải nhanh và thuận lợi Để luyện tập ta xét các tích phân sau I= 4 0 sin x 1 sin 2 dx x p +ò :J= 4 0 sin x cos sin 2 os2 xdx x c x p +ò ;K= 4 0 sin 5 9 os5 7sin 5 xdx c x x p -ò ; L= 4 5 5 5 0 os2 os2 os2 c xdx c x c x p +ò M= 4 0 1 t anx dx p +ò ; K= 4 2 2 0 ( os 2 )( os 4 )c x c x dx p ò ; P= 42 4 4 0 ( os ) (s inx) (cos ) c x dx x p +ò VI-Tích phân các hàm số phân thức hữu tỷ