Thiết kế các mô hình trực quan động hỗ trợ việc dạy, học toán bằng phần mềm The geometer’s sketchpad (GSP)

THIẾT KẾ CÁC MÔ HÌNH TRỰC QUAN ĐỘNG HỖ TRỢ VIỆC DẠY, HỌC TOÁN BẰNG PHẦN MỀM THE GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP). GV: Lê quang Hùng Trường THPT Đặng Trần Côn Các khái niệm toán học tuy có mức độ tư duy cao, nhưng đều là sự khái quát của những sự vật, hiện tượng tồn tại trong thực tế nên việc sử dụng phương tiện trực quan để minh họa, củng cố các khái niệm có liên quan đến thực tế trong dạy học toán là một yêu cầu không thể thiếu đối với giáo viên toán chúng ta. Trong các năm gần đây, việc sử dụng công nghệ thông tin (CNTT) trong dạy học toán tương đối phổ biến, hầu hết các giáo viên toán đều được giới thiệu và sử dụng khá thành thạo các phần mềm hỗ trợ cho việc giảng dạy toán bậc THPT như The Geometer’s Sketchpad, Géospacw, Cabri . Qua tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy các phần mềm này nếu được sử dụng hợp lý thì đây là một phương tiện trực quan tốt, vì nó không chỉ giúp học sinh thấy được các khái niệm toán học một cách tự giác - không cần phải mô tả nhiều - mà còn giúp cho học sinh có thể chủ động đặt ra hoặc đoán nhận các bài toán sau khi quan sát, tìm tòi (dưới sự hướng dẫn, gợi ý của giáo viên). Có thể thấy hai khả năng nổi bật của các phần mềm trên là: 1. Khả năng xây dựng các mô hình trực quan động: Với các phần mềm trên việc thiết kế các mô hình toán “động” trong phẳng, và đặc biệt trong không gian, là tương đối dễ thực hiện và sử dụng khá thuận tiện, chẳng hạn như: đồ thị hàm số, phương trình, bất phương trình, dãy số, giới hạn, tính liên tục, tích phân trong đại số, giải tích lớp 10,11,12, các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn, các phép biến hình trong phẳng, các bài toán liên quan đến quỹ tích, dựng hình, các bài toán về điểm cố định, tiếp xúc,... trong hình học phẳng lớp 10, các khối đa diện, khối nón, khối chóp, mặt cầu, mặt phẳng, và tương giao giữa các mặt, quan hệ song song , vuông góc, phép chiếu song song ,... trong hình học 11, 12. Các phần mềm này có thể trình diễn các mô hình động một cách hấp dẫn, sinh động mà các phương tiện khác khó thực hiện được. Có thể minh họa điều này bằng một số các mô hình được dựng bằng The Geometer’s Sketchpad, chứa trong các tệp tin đính kèm. 1 Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Hình 5 Hình 6 2 Hình 7 Hình 8 Hình 9 Hình 10 Hình11 2. Khả năng dẫn dắt học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức. Đối với toán, giải được bài toán hay giải quyết được vấn đề là quan trọng, nhưng đặt được bài toán, phát hiện, đoán nhận được vấn đề lại quan trọng hơn, vì đây là mầm mống của sự 3 sáng tạo, là động cơ của sự phát triển. Việc đặt ra một bài toán sau khi cho học sinh khảo sát các trường hợp đặc biệt rồi khái quát lên, hoặc từ trường hợp tổng quát đưa về trường hợp riêng, thường dễ được chấp nhận hơn là đột ngột đưa ra bài toán mà học sinh chưa hiểu vì sao, từ đâu có bài toán đó. Các phần mềm toán có thể hỗ trợ giáo viên việc này, để minh họa ta xét các ví dụ sau. Ví dụ: Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh 0MA MB+ =uuur uuur r . Chúng ta có thể cho học sinh tiếp cận bài toán bằng cách - Vẽ vectơ tổng DE DA D= +uuur uuur uuBur với A, B là hai điểm cho trước, D là điểm tùy ý. - Rê chậm điểm D đến các vị trí khác nhau trên mặt phẳng cho học sinh quan sát rồi đặt câu hỏi. H: Vectơ DE uuur uuur r qua điểm cố định nào? H: Điểm D ở vị trí nào thì ? 0DE = Hình 12 Sau đó giáo viên có thể - Rê điểm D sao cho D trùng với E, cho học sinh quan sát, dự đoán. - Tạo vết cho đoạn DE rồi rê điểm D đến các vị trí khác nhau cho học sinh quan sát, dự đoán. Hình 13 Hình 14 Có thể hướng dẫn học sinh khám phá xa hơn bằng cách đặt vấn đề là với mỗi vị trí của điểm D ta có một vị trí xác định của điểm E, khi điểm D di động điểm E di động theo. 4 Giả sử điểm D di động trên đường tròn (O) (hoặc trên đường thẳng d) cho trước. H: Khi đó điểm E vạch nên hình gì? Hãy xác định hình mà điểm E vạch nên khi điểm D di động trên (O) (hoặc trên đường thẳng d). Trong trường hợp cần thiết có thể tạo vết cho điểm E để học sinh dễ dàng đoán nhận quĩ tích của điểm E. Hình 15 Tương tự bài toán trên ta xét bài toán trọng tâm của tam giác ABC. Ví dụ: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh 0=++ GCGBGA . Học sinh hoàn toàn “bất ngờ” khi tiếp cận bài toán trên, tại sao là trọng tâm mà không là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, hay là một điểm nào khác? Với GSP giáo viên có thể dẫn dắt học sinh tiếp cận bài toán bằng cách. Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Hãy dựng các vectơ tổng: MBMAMD += và MCMBMAME ++= . Hình 16 H: Vị trí nào của điểm M thì vectơ tổng 0=++ MCMBMA ? Dùng chuột rê điểm M đến trùng với điểm E (để có vectơ tổng bằng 0 ). Đến đây học sinh có thể đoán nhận được vị trí của điểm M chính là trọng tâm của tam giác, và hình vẽ ở vị trí này cũng đã gợi ý hướng chứng minh. Hình 17 Hoặc tiếp cận bằng cách khác. 5 Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Hãy dựng vectơ tổng: MCMBMAME ++= . - Dùng chuột rê điểm M, cho học sinh quan sát và trả lời câu hỏi. H: Tìm điểm cố định I mà vectơ tổng ME luôn đi qua . Hình 18 Nếu học sinh vẫn chưa phát hiện được, ta có thể tạo vết cho vectơ ME , rê điểm M tùy ý, rồi cho học sinh nhận xét. Hình 19 - Có thể đặt các câu hỏi để học sinh có thể khám phá xa hơn. H: “so sánh” vectơ ME và vectơ MI . (Có thể dẫn dắt bằng cách đo các đoạn ME, MI để so sánh). Trong trường hợp học sinh đã biết phép nhân một số thực với một vectơ ta có thể gợi ý để học sinh có thể tiếp cận, khám phá bài toán về đường thẳng Ơ le. Dựng thêm trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác ABC. 6 Hình 20 Đặt các câu hỏi : Có nhận xét gì về vectơ ME uuur khi M đến trùng với G, với H, với O? Hãy dự đoán các hệ thức vectơ liên quan đến các điểm G, H, O cho mỗi trường hợp. Thay đổi vị trí của các điểm A, B, C các dự đoán trên có còn đúng không? Thử chứng minh các dự đoán trên, rồi từ đó hãy suy ra các hệ thức vectơ giữa các điểm O, G, H. Vẫn bài toán trên, có thể đặt thêm các câu hỏi khám phá. Điểm E sẽ chuyển động như thế nào khi điểm M di động trên đường tròn (O), giải thích tại sao? Câu hỏi tương tự khi cho điểm M di động trên một đường thẳng (d) nào đó. Đó là các câu hỏi mở, học sinh có thể giải thích được hay không do khả năng, kiến thức của mình, một số học sinh khá có thể dùng tam giác đồng dạng để giải, các học sinh chưa giải được sẽ cố gắng tìm cách để giải, trong quá trình tìm lời giải các em sẽ học được nhiều kiến thức bổ ích, và sau này khi học về phép vị tự học sinh sẽ thấy thích thú vì bài toán có thể dễ dàng giải được bằng phép vị tự. Hình 21 Hình 22 7 Ngoài các khả năng trên các phần mềm còn hỗ trợ giáo viên trong việc tính toán, đo đạc. Ví dụ: Khi dạy định lý Fecma (Giải tích 12) có thể dùng đồ thị của hàm số y = f(x) = a.(x-m)3 + b(x-m)2+c(x-m)+d để dẫn dắt, minh họa (a, b, c, d, m là các tham số được điều khiển bằng các thanh trượt, dùng để điều chỉnh hình dạng, vị trí của đồ thị). Dùng công cụ để tính đạo hàm f’(x), dựa vào đó để vẽ tiếp tuyến tại điểm (x; f(x)), x là điểm tùy ý trên trục hoành có hoành độ là x. - Dùng bảng tính (calculator) tính f(x), f ’(x), dựng tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (x; f(x)). - Dùng nút lệnh cho x di chuyển đến các điểm cực trị x1, x2, cho học sinh nhận xét các giá trị f ’(x) tại các điểm cực trị, nhận xét tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm này từ đó có dự đoán về định lý Fecma và ý nghĩa hình học của nó. Hình 23 Có thể dùng đồ thị hàm số y = f(x) = | x2 – 1| để dẫn dắt học sinh dự đoán hệ qủa của định lý Fecma: điểm cực trị là điểm tới hạn. Tính giá trị f ’(x) với x là điểm trên trục hoành có hoành độ là x. Cho x di chuyển đến các điểm x1= -1, x0=0, x2=1. Tại các điểm x1, x2 đạo hàm không xác định (không có đạo hàm) được minh họa qua tiếp tuyến bên phải và bên trái của đồ thị tại các điểm này có hệ số góc khác nhau, tại điểm x0=0 đạo hàm bằng 0, tiếp tuyến nằm ngang, tiếp tuyến bên trái trùng với tiếp tuyến bên phải. Hình 24 8 Ví dụ: Định lý Thales trong không gian. Dựng ba mặt phẳng (P), (Q), (R) song song với nhau, cắt hai đường thẳng a, a’ lần lượt tại các điểm A, B, C, A’, B’ C’. Các mặt phẳng (P), (Q), (R) được điều khiển lên xuống bằng các thanh trượt D1, D2, D3, chuyển đổi vị trí các đường thẳng a, a’ bằng cách rê các điểm A, C, A’, C’. Tính các khoảng cách AB, AC, A’B’, A’C’. Hình 25 Khi thay đổi các đường thẳng và các mặt phẳng độ dài các đoạn thẳng AB, AC, A’B’, A’C’ thay đổi, lập các tỉ số AB/AC, A’B’/A’C’, rồi thay đổi các mặt phẳng, đường thẳng cho học sinh rút ra nhận xét, dự đoán định lý. Có thể hỏi thêm các tỉ số trên có phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng đối với các mặt phẳng không? Tỉ số đó phụ thuộc vào yếu tố nào? Rê các điểm A, C, A’, C’, D1, D2, D3 cho học sinh nhận xét. Trong xu thế đổi mới phương pháp dạy học, tinh giản chương trình theo hướng giảm nhẹ tính hàn lâm; tăng cường tính trực quan trong việc chứng minh, xây dựng khái niệm ; tạo tình huống cho học sinh tích cực chủ động trong việc khám phá, lĩnh hội kiến thức thì việc sử dụng các phần mềm toán trong dạy học toán là cần thiết. Tuy vậy khi thiết kế bài dạy cần phải chú trọng đến việc kết hợp với các phương tiện, thiết bị dạy học khác, vận dụng các phương pháp dạy học một cách linh hoạt, hợp lý làm cho tiết dạy hấp dẫn, đạt hiệu quả cao . 9