Toán - Đề cương ôn hè 8 lên 9

u vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì cả hai vòi chảy được 25% thể tích bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể? Bài 8. Hai tổ công nhân cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo, biết rằng mỗi ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. C. DẠNG TOÁN KHÁC ( NỘI DUNG HÌNH HỌC, CẤU TẠO SỐ ) Bài 1. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộngm, độ dài đường chéo là m. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó. Bài 2. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng m. Nếu giảm chiều dài đi m và giảm chiều rộng đi m thì diện tích mảnh đất giảm đi m2. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất? Bài 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằngm. Đường chéo hình chữ nhật dài m. Tính độ dài hai cạnh mảnh đất hình chữ nhật đó? Bài 4. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng và tổng bình phương hai chữ số của nó bằng . Bài 5. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó. Nếu chia số đó cho chữ số hàng chục thì được thương là 11 và dư là 2. Tìm số đã cho. Bài 6. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 6 và nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Bài 7. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 4 đơn vị, tổng các bình phương của hai chữ số đó là 80. Bài 8. Hai lớp 9A và 9B có tổng số 80 học sinh. Trong đợt quyên góp sách vở ủng hộ các bạn vùng bị thiên tai, bình quân mỗi bạn lớp 9A ủng hộ 2 quyển, mỗi bạn lớp 9B ủng hộ 3 quyển. Vì vậy cả hai lớp ủng hộ 198 quyển. Tính số học sinh mỗi lớp. Bài 9. Hai trường A và B của một thị trấn có 420 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84%. Tính riêng thi trường A đỗ 80%,trường B đỗ 90%. Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi. CHUYÊN ĐỀ 3: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1. Cho vuông tại A có đường cao AH. Chứng minh: . Từ đó chứng minh định lý Py-ta-go. Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có Kẻ đường cao AH. a. Chứng minh: . b. Tính độ dài các cạnh BC, AH. c. Phân giác của góc ACB cắt AH tại E, cắt AB tại D. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và HCE. Bài 3. Cho tam giác vuông tại A có . Đường phân giác của góc cắt cạnh AC tại D. Từ C kẻ tại E. Tính độ dài BC và tỉ số . Chứng minh . Từ đó suy ra . Chứng minh Gọi EH là đường cao . Chứng minh. Bài 4. Cho tam giác có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Chứng minh Chứng minh Gọi F là giao điểm của CH và AB. Chứng minh Chứng minh . Bài 5. Cho , trung tuyến AM. Qua D thuộc cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AM cắt AB, AC tại E và F. a. CMR: DE + DF không đổi khi D di động trên BC b. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF tại K. CMR: K là trung điểm của EF. Bài 6: Cho cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy D, E thuộc AB, AC sao cho . a. CM: Tích BD.CE không đổi b. DM là tia phân giác của c. Tính chu vi của nếu đều. Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Gọi H; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB và AD. Tia Dx cắt AC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. J là điểm đối xứng với D qua I Chứng minh: Bài 8: Cho tam giác ABC; H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: a) đồng dạng b) đồng dạng c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng và GH = 2.OG Bài 9. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại E, tia phân giác của góc AMC cắt AC tại D. a) So sánh và b) Gọi I là giao điểm của AM và ED. Chứng minh I là trung điểm ED. c) Cho BC = 16 cm, . Tính ED d) Gọi F, K lần lượt là giao điểm EC với AM, DM. Chứng minh EF.KC = FK.EC Bài 10. Cho hình thang MNPQ (MN // PQ) , . Gọi O là giao điểm của MP và NQ. a. CMR: . b. Cho MN = 9cm, PQ = 16cm. Tính NQ, NO, OQ và tỉ số diện tích của và . c. Tia phân giác góc MNQ cắt MQ tại A, tia phân giác góc NQP cắt NP tại B. Chứng minh: AM.BP = AQ.BN d. Chứng minh : AB // MN CHUYÊN ĐỀ 4. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC Bài 1. Chứng minh Bài 2. Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b=1. Chứng minh rằng: Bài 3. Cho a+b>1. Chứng minh rằng: Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c là các số dương Bài 5: a.Tìm GTNN của b. Tìm GTLN của c. Cho tam thức bậc hai Tìm GTNN của P khi a > 0 Tìm GTLN của P khi a < 0 Bài 6: Tìm GTNN của các biểu thức sau a. b. c. Bài 7: Tìm GTNN và GTLN của các biểu thức sau: b. Bài 8 : Cho x + y + z = 3 a.Tìm GTNN của b. Tìm GTLN của B = xy + yz + zx c.Tìm GTNN của A + B HƯỚNG DẪN GIẢI Chuyên đề 1- Nam Trung Yên Bài 1: Cho biểu thức: A = a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi c) Tìm x để A = 4 d) Tìm x để A < 2 e) Tìm x để A f) Tìm x để A g) Với x > 1. Chứng minh rằng: A > 1 Bài giải a) A = A = điều kiện xác định: x b) Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: A = Vậy tại x thỏa mãn thì A = c) A = 4 Ûx2x-1=4 điều kiện xác định: x Vậy x = 2 là giá trị cần tìm. d) a < 2 điều kiện xác định: x (*) Với x thì(x - 1)2> 0 ⇒(x - 1)2 + 1 > 0 (*) ⇔ x < 1 Vậy x < 1, x 0 thỏa mãn đề bài. e) Có Để Vậy x = 2 là giá trị cần tìm. f) Thử lại với x = 2 ta có A = 4 Vậy x = 2 là giá trị cần tìm. g) x > 1 ⇔ x – 1 > 0 . Vì x > 1 nên x + 1 > 2 ⇒⇒điều phải chứng minh Bài 2: Cho biểu thức: A = a) Rút gọn A b) Tìm giá trị của A biết c) Tìm x dể A 4 Bài giải a) A = = A = = điều kiện xác định: b) Thay x = 7 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức A ta được A = 49 Vậy tại x thỏa mãn Vậy tại x thỏa mãn thì A = 49 c) với k Vậy để A 4 thì Ta có: Vì . Để A 4 thì Lập bảng: x - 3 1 -1 3 -3 9 -9 x 4 2 6 0 12 -6 Thỏa mãn Loại Thỏa mãn Loại Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy x = 4; 6; 12; -6là giá trị cần tìm. Bài 3: Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tính P với c) Tìm x biết P > 0 d) Tìm x biết P = Bài giải a) 2x2 – 5x + 3 = 2x2 – 2x – 3x + 3 = (x - 1)(2x - 3) P = điều kiện xác định: b) Thay x = 2 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào P ta được: P = Thay x = (thỏa mãn điều kiện xác định) vào P ta được: P = Vậy tại x = 2 thì P = ; tại x = thì P = c) P > 0 điều kiện xác định: Þ 2x – 3 < 0 vì – 1< 0 Vậy thỏa mãn đề bài. d) P = điều kiện xác định: (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = -1; 3 là giá trị cần tìm. Bài 4: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A biết c)Tính giá trị của A biết d) Với giá trị nào của x thì A = 2 e) Tìm điều kiện của x để A < 0 f) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên. g. Tìm điều kiện của x để A > -1 Bài giải Điều kiện xác định: a) b) Với thì c) Với , phương trình (1) trở thành: thỏa mãn Với , phương trình (1) trở thành: (loại) Vậy là nghiệm của phương trình (1). Với thì d) e) f) A nguyên Ta có bảng giá trị sau: -1 1 -2 2 -5 5 -10 10 x -2 0 -3 1 (Loại) -6 4 -11 9 Vậy với thì A nhận giá trị nguyên. g) A>-1 Û 10x+1> -1 Û10X+1+1>0 Ûx+11x+1>0 Û x>-1x< -11 Kết hợp (*) ta được: x>-1x< -11và thì Bài 5: Cho biểu thức: a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của B biết . c) Tìm x biết . d) Tìm giá trị nhỏ nhất của e) Với giá trị nào của x thì B là số nguyên âm lớn nhất? g. Tìm điều kiện của x để Bài giải Điều kiện xác định: và (*) a) Rút gọn b) Với thì c) (1) Với thì pt(1) trở thành: thỏa mãn Với thì pt(1) trở thành: thỏa mãn Vậy và là nghiệm của d) Dấu “=” xảy ra Vậy khi e) B là số nguyên âm lớn nhất Vậy với thì B là số nguyên âm lớn nhất f) (2) Với thì phương trình (2) trở thành: Kết hợp điều kiện: Vô nghiệm. Vớithì phương trình (2) trở thành: Kết hợp điều kiệnNghiệm phương trình (2) là: Vậy với thì Bài 6: Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tính giá trịn của A với giá trị của x thỏa mãn c) Tìm x đề d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài giải Điều kiện xác định: và (*) a) b) Với thì c. d. Dấu “=” xảy ra Vậy Bài 7: Cho biểu thức a) Rút gọn B. b. Tìm B biết c)Tìm x ÎZ để B Î Z. d. Tìm x biết Bài giải Cho biểu thức a) Rút gọn B. (Với ) b) Tìm B biết Ta có: (Loại) hay (Nhận) Khi đó: c)Tìm x ÎZ Để B Î Z thì , nghĩa là Mà Suy ra d) Tìm x: Vì: Trường hợp 1: khi (Thỏa mãn điều kiện) Trường hợp 2: khi (Thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: Bài 9: Cho a) Rút gọn F. b)Tính giá trị của với x là nghiệm của phương trình c) Tính giá trị của x để d) Chứng minh rằng Bài giải Cho a) Rút gọn F. (Với ) b) Tính giá trị của với x là nghiệm của phương trình Ta có: hay hay So điều kiệnvà Thay vào F ta được c) Tính giá trị của x để Để hay (vô lý)hay (Nhận) Vậy để thì d) Chứng minh rằng Ta có: và với và với và Bài 10: Cho biểu thức a) Rút gọn . b)Tính giá trị của biết c)Tìm để d) Tìm biết e) Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất. Bài giải a) Rút gọn Điều kiện xác định: b)Theo đề bài: Ta có: Trường hợp 1: và (*) trở thành: (thỏa mãn). Suy ra Trường hợp 2: (*) trở thành: (không thỏa mãn). Vậy khi thì . c)Ta có Vì nên để thì Trường hợp 1: loại Trường hợp 2:thỏa mãn Trường hợp 3:loại Trường hợp 4:thỏa mãn Vậy thì d) Để thì Trường hợp 1: loại Trường hợp 2: Kết hợp điều kiện xác định suy ra thì e) Ta có Dấu xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện) Vậy thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng Bài 11: Cho biểu thức a) Rút gọn b)Tính giá trị của biết c)Tìm điều kiện của để d) Tìm biết e) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên dương. f) Tìm biết g) Tìm để đạt giá trị lớn nhất. Bài giải a) Rút gọn Điều kiện xác định: b)Ta có: Với thay vào biểu thức ta được Vậy khi c) Ta có (vì ) Kết hợp điều kiện xác định và thì d) Ta có (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy thì e) Để Trường hợp 1: (thỏa mãn) Trường hợp 2: (thỏa mãn) Trường hợp 3: (thỏa mãn). Vậy thì f) Có (vô lý). Vậy không có giá trị của để g) Ta có Có Dấu xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện) Vậy thì đạt giá trị lớn nhất bằng . Bài 12: Cho a) Rút gọn b)Tính giá trị của biết c)Tìm để đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài giải a) Rút gọn Điều kiện xác định: . b)Từ , ta có 2 trường hợp: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Vậy khi thì c. Có Có Dấu xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện xác định). Vậy giá trị lớn nhất khi . HƯỚNG DẪN GIẢI A. DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Bài 1: + Gọi vận tốc của xe thứ nhất là Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là: + Vận tốc của xe thứ hai là: Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là: + Vì xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 30 phút nên ta có phương trình: Vậy, vận tốc của xe thứ nhất là Vận tốc của xe thứ hai là Bài 2: + Gọi vận tốc dự định của người đó là Thời gian dự định người đó đi hết quãng đường AB là: + Thời gian thực tế người đó đi nửa quãng đường đầu là: Vận tốc người đó đi hết nửa quãng đường còn lại là: Thời gian thực tế người đó đi nửa quãng đường sau là: + Vì người đó đến B chậm hơn dự định 1 giờ nên ta có phương trình: Vậy, vận tốc dự định của người đó là . Bài 3: + Gọi vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là Thời gian người đó đi từ A đến B là: + Vận tốc người đó đi từ B về A là: Thời gian người đó đi từ B về A là: + Vì người đó đến B nghỉ 30 phút và thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ nên ta có phương trình: Vậy, vận tốc xe máy đi từ A đến B là . Bài 4: + Gọi vận tốc dự định của ô tô là thời gian dự định của ô tô là + Nếu tăng vận tốc thêm thì đến B sớm hơn dự định 2 giờ nên ta có phương trình: + Nếu giảm vận tốc thì đến B chậm hơn dự định 3 giờ nên ta có phương trình: Từ (1) và (2), ta có: Vậy, độ dài quãng đường AB là Bài 5: Gọi vận tốc của ô tô đi từ là Vận tốc của ô tô đi từ là Nếu cùng khởi hành thì hai xe gặp nhau sau nên ta có pt: Trong thực tế, xe ô tô đi từ đi được thì xe đi từ đi được nên ta có pt Giải hệ ta được Vậy vận tốc ô tô đi từ lần lượt là . Cách 2: Gọi vận tốc của ô tô đi từ là Vận tốc của ô tô đi từ là Trong thực tế, xe ô tô đi từ đi được thì xe đi từ đi được nên ta có pt Giải pt trên được Vậy vận tốc ô tô đi từ lần lượt là . Bài 6: Gọi vận tốc thực của ca nô là Vận tốc ca nô xuôi dòng là Vận tốc ca nô ngược dòng là Thời gian ca nô xuôi dòng là Thời gian ca nô ngược dòng là Theo bài ra ta có pt: Giải pt trên được Vậy vận tốc thực của ca nô là . Bài 7 : Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là Vận tốc ca nô xuôi dòng là Vận tốc ca nô ngược dòng là Thời gian ca nô xuôi dòng là Thời gian ca nô ngược dòng là Theo bài ra ta có pt: Giải pt trên ta được Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là . Bài 8 : Gọi độ dài quãng đường là Khi gặp nhau: - Hai xe đi được - Ô tô tải đi được - Xe con đi được Nếu vận tốc xe con không thay đổi thì khi gặp nhau: Ô tô tải đi được Xe con đi được Thời gian xe con xuất phát sau khi ô tải xuất phát là Ta có pt: Giải pt trên ta được Vậy quãng đường là . B. DẠNG NĂNG SUẤT VÀ CÔNG VIỆC LÀM CHUNG LÀM RIÊNG . Bài 1: Gọi năng suất dự đinh của phân xưởng là x (sản phẩm/ ngày) Thời gian sản xuất 1100 sản phẩm theo quy định là (ngày) Năng suất thực tế của phân xưởng là : (sản phẩm/ ngày) Thời gian sản xuất 1100 sản phẩm theo thực tế là : (ngày) Vì thực tế phân xưởng hoàn thành sớm hơn thời gian quy định 2 ngày nên ta có phương trình : Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng sản xuất được là : 50 sản phẩm Bài 2: Gọi năng suất dự đinh của đội xe là x (tấn/ ngày) Thời gian đội xe chở hết 140 tấn theo quy định là (ngày) Năng suất thực tế của đội xe là : (tấn/ ngày) Thời gian sản xuất 1100 sản phẩm theo thực tế là : (ngày) Vì thực tế đội xe hoàn thành sớm hơn thời gian quy định 1 ngày nên ta có phương trình : Bài 3: Vậy theo kế hoạch đội xe chở hàng hết số ngày là: (ngày) Vì 400 sản phẩm lúc đầu tổ đó làm với năng suất quy định nên thời gian làm 400 sản phầm đó không thay đổi so với quy định. Số sản phẩm đội làm với năng suất mới là : (sản phẩm) Gọi năng suất dự định của tổ là x (sản phẩm/ ngày) Thời gian sản xuất 200 sản phẩm theo quy định là (ngày) Năng suất thực tế của phân xưởng là : (sản phẩm/ ngày) Thời gian sản xuất 200 sản phẩm theo thực tế là : (ngày) Vì thực tế phân xưởng hoàn thành sớm hơn thời gian quy định 1 ngày nên ta có phương trình : Bài 4 : Gọi số sản phẩm tổ một được giao theo kế hoạch là: (sản phẩm) ( ). Số sản phẩm tổ hai được giao theo kế hoạch là : (sản phẩm) Thực tế, tổ một vượt mức 10% nên làm được số sản phẩm là : (sản phẩm) Thực tế, tổ hai vượt mức 20% nên làm được số sản phẩm là : (sản phẩm) Vì thực tế cả hai tổ làm được 910 sản phẩm nên ta có phương trình : Vậy số sản phẩm tổ một làm theo kế hoạch là : 250 sản phẩm; số sản phẩm tổ hai phải làm theo kế hoạch là : (sản phẩm) Bài 5: Gọi số xe định dùng lúc đầu của đội là (chiếc) Theo dự định, số hàng mỗi xe phải chở là : (tấn) Thực tế, số xe chở hàng của đội là : (chiếc) Khi đó mỗi xe phải chở số tấn hàng là : (tấn) Do thực tế mỗi xe phải chở thêm 1 tấn so với dự định nên ta có phương trình : Vậy số xe định dùng lúc đầu của đội là 12 chiếc. Bài 6 : Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là : Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là : (h) Năng suất của người thứ nhất là : (công việc/h) Năng suất của người thứ hai là : (công việc/h) Năng suất chung của cả hai người là : (công việc / h) Do đó ta có phương trình : Vậy thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là 4 giờ, Thời gian làm một mình xong công việc của người thứ hai là: giờ. Bài 7 : Vì hai vòi chảy trong 16 giờ thì đầy bể nên năng suất chung của hai vòi là : (bể/ h) Gọi năng suất chảy của vòi thứ nhất là : (bể/ h) Năng suất chảy của vòi thứ hai là : (bể/ h) Trong 3 giờ, vòi thứ nhất chảy được lượng nước là : (bể) Trong 6 giờ, vòi chảy được lượng nước là : (bể) Vì khi đó cả hai vòi chảy được lượng nước là (bể) nên ta có phương trình : Vậy thời gian chảy đầy bề của vòi thứ nhất là : giờ Thời gian chảy một mình đầy bể của vòi thứ hai là : giờ Bài 8 : Gọi năng suất của tổ thứ nhất là : (áo/ ngày) . Trong 3 ngày, tổ thứ nhất sản xuất được : (áo) Số áo tổ hai may được trong 1 ngày là : (áo) Trong 5 ngày tổ hai may được số áo là : (áo) Vì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo nên ta có phương trình : Vậy một ngày, tổ thứ nhất may được 170 áo, tổ thứ hai may được: áo. DẠNG TOÁN KHÁC ( NỘI DUNG HÌNH HỌC, CẤU TẠO SỐ ) Bài 1 : Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là . Chiều dài mảnh đất đó là: Vì mảnh đất có đường chéo dài m, theo định lý Pytago ta có phương trình: Vậy mảnh đất có chiều rộng dài và chiều dài dài . Bài 2: Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là . Chiều dài mảnh đất đó là: Diện tích mảnh đất là: Nếu giảm chiều dài đi m thì chiều dài là và giảm chiều rộng đi m thì chiều rộng là . Do đó, diện tích mảnh đất là Khi đó, diện tích mảnh đất giảm đi m2 nên ta có phương trình: (TMĐK) Vậy mảnh đất ban đầu có chiều rộng dài và chiều dài dài . Bài 3: Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật là: Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là ,. Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là Vì mảnh đất có đường chéo dài nên theo định lý Pytago ta có phương trình: Nếu chiều rộng mảnh đất là thì chiều dài mảnh đất là ( Vô lí vì chiều dài ngắn hơn chiều rộng) Nếu chiều rộng mảnh đất dài thì chiều dài mảnh đất dài (thỏa mãn) Vậy mảnh đất có chiều rộng dài và chiều dài dài . Bài 4: Gọi chữ số hàng chục là Vì tổng các số của số tự nhiên cần tìm bằng nên chữ số hàng đơn vị là: Theo đề bài, tổng hai chữ số của số cần tìm bằng nên ta có phương trình: (TMĐK) Vậy số cần tìm là 23 hoặc 32. Bài 5. Gọi chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là Số đã cho gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó nên số đã cho là Chữ số hàng chục là: Nếu chia số cần tìm cho chữ số hàng chục thì được thương là 11 và dư là 2 nên ta có PT Vậy số cần tìm là . Bài 6. Gọi chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là Tổng các chữ số của số đã cho bằng 6 nên chữ số hàng chục là . Giá trị số đã cho là: Giá trị số mới là: Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị ta có PT: Chữ số hàng đơn vị là 2, chữ số hàng chục là 4 Vậy số cần tìm là 42. Bài 7. Gọi chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là Chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 4 đơn vị nên chữ số hàng chục là Tổng các bình phương của hai chữ số đó là 80 nên Chữ số hàng đơn vị là 8, chữ số hàng chục là 4 Vậy số cần tìm là 48. Bài 8. Gọi số học sinh lớp 9A là: (học sinh) Hai lớp 9A và 9B có tổng số 80 học sinh nên số học sinh lớp 9B là: (học sinh) Mỗi bạn lớp 9A ủng hộ 2 quyển nên lớp 9A ủng hộ quyển Mỗi bạn lớp 9B ủng hộ 3 quyển nên lớp 9B ủng hộ quyển. Cả hai lớp ủng hộ 198 quyển nên Vậy lớp 9A có 42 học sinh, 9B có 38 học sinh. Bài 9. Gọi số học sinh trường A dự thi lớp 9 là (học sinh) Hai trường A và B của một thị trấn có 420 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84% nên tổng số học sinh hai trường là học sinh. Do đó: số học sinh trường B dự thi lớp 9 là học sinh Riêng thi trường A đỗ 80%,trường B đỗ 90% nên Vậy số học sinh dự thi lớp 9 của trường A là 300 học sinh, của trường B là 200 học sinh. CHUYÊN ĐỀ 3: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1. Cho vuông tại A có đường cao AH. Chứng minh: . Từ đó chứng minh định lý Py-ta-go. Hướng dẫn: a. * Xét và có: là góc chung (g.g) (Cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (đpcm) (1) * Xét và có: (vì cùng phụ với ) (g.g) (Cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (đpcm) (2) * Chứng minh định lý Pytago: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. Chứng minh : Xét vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Từ (1) và (2) ta được : (đpcm) b. Ta có : và (cmt) => (tính chất bắc cầu) (Cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (đpcm). c. Theo câu a, và Ta được: (đpcm). d. Ta có: Mặt khác, ta cũng có: Từ (3) và (4) suy ra: (đpcm). Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có Kẻ đường cao AH. a. Chứng minh: . b. Tính độ dài các cạnh BC, AH. c. Phân giác của góc ACB cắt AH tại E, cắt AB tại D. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và HCE. Hướng dẫn: a. Xét và có: là góc chung (g.g) (đpcm). b. Áp dụng định lý Py-ta-go vào vuông tại A, ta được: Ta lại có: Mặt khác, ta cũng có: Từ (1) và (2) suy ra: Vậy c. Áp dụng định lý Py-ta-go vào vuông tại H, ta được: Xét và có: (vì tia phân giác của góc ACB cắt AH tại E, cắt AB tại D) (g.g) Vậy Bài 3. Cho tam giác vuông tại A có . Đường phân giác của góc cắt cạnh AC tại D. Từ C kẻ tại E. Tính độ dài BC và tỉ số . Chứng minh . Từ đó suy ra . Chứng minh Gọi EH là đường cao . Chứng minh. Hướng dẫn: Xét vuông tại A có: * Xét có: là phân giác của (gt) (T/c đường phân giác trong tam giác) Chứng minh Có (chứng minh câu b) (2 góc tương ứng) Mà (đối đỉnh) Xét và có: (cmt) (Cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) Có(câu c) Xét và có: Từ (1) và (2) (đpcm) Bài 4. Cho tam giác có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Chứng minh Chứng minh Gọi F là giao điểm của CH và AB. Chứng minh Chứng minh . Hướng dẫn: Có (vì AD là đường cao) Có (vì BE là đường cao) Xét và có: (g.g) Xét và có: (đối đỉnh) Xét có: Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H(gt) H là trực tâm (T/c ba đường cao trong tam giác) CF là đường cao của .(T/c trực tâm trong tam giác) Xét và có: d, Ta có: (1) (2) (3) Từ (1), (2) và (3) Bài 5. Cho , trung tuyến AM. Qua D thuộc cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AM cắt AB, AC tại E và F. a. CMR: DE + DF không đổi khi D di động trên BC b. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF tại K. CMR: K là trung điểm của EF. Hướng dẫn: a. CMR: DE + DF không đổi khi D di động trên BC Trong có (Định lí Ta - lét) (1) Trong có (Định lí Ta - lét) (2) Cộng từng vế của (1) và (2) ta được : Vậy khi D di động trên BC thì tổng DE + DF luôn không đổi và bằng 2AM. b. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF tại K. CMR: K là trung điểm của EF. Cách 1: Trong tứ giác AKDM có AK//MD (gt) và AM//KD(gt) => AKDM là hình bình hành (DHNB hình thoi) => AK = MD (tính chất hình thoi) Trong có AK//DB theo hệ quả định lí ta lét ta có (3) Trong có AK//DC và AM//FD theo định lí ta lét ta có (4) Từ (3) và (4) suy ra : Vây KE = KF hay K là trung điểm của EF. Cách 2: Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AM và AC lần lượt tại I và J Dễ thấy tứ giác AKEI là hình bình hành AK= EI ; KE =AI (*) Và Trong có JE // BC, MC = MD IJ = IE (Theo bổ đề hình thang) mà AK = EI nên IJ = AK Xét Từ (*) và (**) suy ra KE = KF hay K là trung điểm của EF. Bài 6: Cho cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy D, E thuộc AB, AC sao cho . a. CM: Tích BD.CE không đổi b. DM là tia phân giác của c. Tính chu vi của nếu đều. Hướng dẫn: a. CM: Tích BD.CE không đổi Xét có (Tính chất tổng 3 góc trong tam giác) Lại có: Mà (gt, 2 góc kề đáy của tam giác cân) Suy ra Do đó Mà BM = CM nên Vậy tích BD.CE không đổi và luôn bằng b. DM là tia phân giác của Ta có (chứng minh câu a) => Xét và có và (gt) ( hai góc tương ứng) Vậy DM là tia phân giác của . c. Tính chu vi của nếu đều. Từ M hạ HI, MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC, DE (I AB, H AC, K DE) Theo câu a ta có Theo câu b ta có Suy ra Ta chứng minh được (cạnh huyền- góc nhọn) EK = EH (hai cạnh tương ứng) Ta cũng có (cạnh huyền- góc nhọn) DI = DK (hai cạnh tương ứng) cân tại A có AM là trung tuyến nên AM cũng là phân giác của góc A (cạnh huyền- góc nhọn) AI = AH (hai cạnh tương ứng) Khi đó Chu vi Ta chứng minh được Vậy chu vi tam giác ADE khi tam giác ABC đều là : Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Gọi H; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB và AD. Tia Dx cắt AC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. J là điểm đối xứng với D qua I Chứng minh: Hướng dẫn: O a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD; AD // BC (đ/n) (T/c bắc cầu) Do H và K lần lượt là hình chiếu của C trên AB, AD Xét có: (các cạnh tương ứng tỉ lệ) => b) Ta có: Do là góc ngoài tại đỉnh B của = + (t/c góc ngoài tam giác) = 900 + (1) Ta có CK AD ( gt) Mà BC // AD (gt) CK BC (từ vuông góc đến song song) = 900 Ta có = + = 900 + (2) Từ (1) và (2) = Xét có: c) Từ B kẻ BO AC (O AC) Ta có = = 900 Xét có: Xét có: Cộng (3) với (4) vế với vế ta được: d) Ta có AB // CD mà M thuộc AB AM // CD Xét Ta có AD // BC (cmt), N thuộc BC AD // CN Xét Từ (5) và (6) e) Ta có: Xét Xét Từ Bài 8: Cho tam giác ABC; H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: a) đồng dạng b) đồng dạng c) Ba điểm