Tóm tắt Luận án Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở

Nhóm TP này được hình thành dựa trên các tư tưởng sư phạm (T3a), (T4b), (T4d) của G. Polya và quy luật chuyển hóa giữa lượng và chất của Triết học duy vật biện chứng. Chúng tôi quan niệm: Bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm là cách khéo léo, linh hoạt đưa các đối tượng toán học (bài toán phụ, hình phụ, ẩn phụ, hằng số phụ...) bổ sung vào các yếu tố đã cho của vấn đề cần giải quyết làm “cầu nối” gắn kết các tri thức đã biết với các tri thức cần tìm, cần khám phá; tạo bước ngoặt then chốt cho việc định hướng đúng đắn cách giải quyết vấn đề. Trong DH toán, TP này thường gồm các TP thành phần: TP bổ sung bài toán phụ, TP bổ sung ẩn phụ, TP bổ sung hình phụ, TP bổ sung tham số phụ... 1.5.1.3. Nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới Nhóm TP này được xây dựng dựa trên cơ sở tư tưởng sư phạm (T1), (T3b) và các giai đoạn giải quyết vấn đề (T4) của G. Polya. Nhóm này gồm các TP thành phần: a) TP phân nhỏ là cách thức suy nghĩ khéo léo, linh hoạt để chia một vấn đề toán học phức tạp, khó giải quyết trọn gói thành các vấn đề thành phần đơn giản hơn nhằm 9 mục đích dễ dàng tìm hiểu, huy động, tổ chức kiến thức đã biết vào việc giải quyết và khai thác hiệu quả vấn đề ban đầu. b) TP tách biệt là cách thức suy nghĩ khéo léo, linh hoạt để tách một chi tiết, một bộ phận cụ thể không cần thiết “gây phiền phức” ra khỏi đối tượng hay ngược lại tách phần “cần thiết” khỏi cái toàn thể bao quanh nó, tập trung mọi chú ý vào chi tiết, bộ phận này nhằm mục đích dễ dàng huy động kiến thức đã biết vào việc tìm hiểu, giải quyết và khai thác hiệu quả vấn đề ban đầu. c) TP kết hợp là cách thức suy nghĩ khéo léo, linh hoạt nhằm liên kết những chi tiết, những bộ phận của đối tượng có thể có quan hệ với nhau, bổ sung, hỗ trợ cho nhau hoặc những bộ phận của đối tượng đã được tách ra để xem xét chúng trong một cái toàn thể mới đầy đủ hơn trước, tính hài hoà và thống nhất của nó rõ nét hơn. 1.5.1.4. Nhóm TP chuyển hóa các liên tưởng nhằm huy động đúng kiến thức để giải quyết vấn đề Cơ sở hình thành và phát triển nhóm TP này là tư tưởng sư phạm (T3a), (T4b) của G. Polya. Gồm các TP thành phần sau: a) TP chuyển hóa các liên tưởng nhanh chóng lựa chọn đúng tiền đề để giải quyết vấn đề là cách thức suy nghĩ linh hoạt để nhận ra đặc điểm cơ bản của vấn đề nhằm lựa chọn đúng kiến thức thích hợp (định lý, quy tắc, bài toán “gốc”) giúp dễ dàng giải quyết. b) TP chuyển hóa tri thức sự vật thành tri thức phương pháp là cách suy nghĩ linh hoạt vận dụng các kiến thức (định nghĩa, định lý, quy tắc) trong sách giáo khoa, mối quan hệ giữa các tri thức đó với các vấn đề toán học và thực tiễn, đặc biệt là mối liên hệ logic giữa định lý với các dạng toán để đưa ra các quy trình nhằm giải quyết hiệu quả các vấn đề trong toán học, thực tiễn. 1.5.1.5. Nhóm TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề Nhóm TP này được hình thành trên cơ sở tư tưởng sư phạm về mục đích dạy học (T1), hoạt động trí tuệ (T3c), giai đoạn “hiểu r vấn đề” (T4a) của G. Polya và cặp phạm trù cái chung, cái riêng của triết học duy vật biện chứng. Chúng tôi quan niệm: TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề là cách suy nghĩ khéo léo, sáng tạo để đưa ra giả thuyết của một vấn đề hay cách giải quyết vấn đề thông qua việc quan sát, tính toán, đo đạc của các trường hợp riêng, rồi kết hợp với việc suy luận để khẳng định hay bác bỏ giả thuyết đó. Một số TP thành phần của nhóm TP, đó là: TP thay biến số bởi hằng số; TP thay một vị trí bất kỳ của hình bởi một ví trí đặc biệt; TP xét trường hợp tới hạn; TP xét các trường hợp tương tự đơn giản hơn... 1.5.2. Một số đặc điểm cơ bản của thủ pháp hoạt động nhận thức i) TPHĐNT giúp người học tăng nhanh khả năng tìm giải pháp giải quyết vấn đề. 10 ii) TPHĐNT không có quy tắc chung tiến hành các bước cụ thể để tìm giải pháp mà chúng gợi ý cho người học những gì nên làm để có thể nhanh chóng tìm ra giải pháp; một TP có nhiều cách thực hiện để đưa ra nhiều giải pháp khác nhau. iii) Một số vấn đề có thể được giải quyết bằng cách sử dụng nhiều TP khác nhau nên cần lựa chọn TP hiệu quả hơn để sử dụng và ngược lại một số vấn đề đòi hỏi phải sử dụng nhiều hơn một TP để có giải pháp hiệu quả. iv) Các TPHĐNT có mối liên hệ mật thiết nhau. v) Không phải tất cả các tình huống nhận thức đều đòi hỏi sử dụng TP mà chúng thường được vận dụng vào giải quyết các vấn đề khó khăn, không quen thuộc đối với HS. 1.6. Mối liên hệ giữa thủ pháp hoạt động nhận thức và năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tƣ duy sáng tạo 1.6.1. TPHĐNT vừa là phương tiện vừa là kết quả của hoạt động giải quyết vấn đề 1.6.2. TPHĐNT trong hoạt động DH phát hiện và giải quyết vấn đề 1.6.3. TPHĐNT góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo cho HS TP là công cụ hữu hiệu để HS lĩnh hội kiến thức toán học trong quá trình học tập. Với đặc trưng khéo léo, linh hoạt của TPHĐNT không những giúp HS phát triển tốt khả năng phát hiện và giải quyết các vấn đề mà còn góp phần bồi dưỡng cho các em tính độc đáo, mềm dẻo, nhuần nhuyễn, nhạy cảm để giải quyết hiệu quả vấn đề trong thực tiễn khi điều kiện và bối cảnh thay đổi. Nói cách khác, TPHĐNT có vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng các năng lực giải quyết vấn đề và năng lực tư duy sáng tạo cho người học. 1.7. Điều kiện sƣ phạm của việc bồi dƣỡng TPHĐNT theo tƣ tƣởng sƣ phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán ở trƣờng THCS 1.7.1. Sự phát triển tư duy của học sinh THCS Sự phát triển cấu trúc nhận thức của HS các lớp cuối cấp THCS là sự hình thành và phát triển các tri thức lý luận, gắn với các mệnh đề, tư duy trừu tượng. Đây chính là những đặc điểm thuận lợi trong việc hình thành và phát triển TPHĐNT cho các em. 1.7.2. Chương trình môn Toán các lớp cuối cấp THCS ở Việt Nam 1.7.3. Các nhân tố cơ bản ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh THCS trong DH môn Toán Có nhiều yếu tố liên quan đến việc bồi dưỡng các TPHĐNT toán học cho HS. Trong đó, theo chúng tôi sáu nhân tố cơ bản là: Động lực để hình thành, khắc sâu TPHĐNT; đặc điểm của vấn đề; đặc điểm của TPHĐNT; kinh nghiệm, kỹ năng của HS về vận dụng TPHĐNT; Kỹ năng của GV về vận dụng TPHĐNT; phương pháp dạy học bồi dưỡng TPHĐNT của GV. Các nhân tố cơ bản này không tồn tại độc lập mà chúng có quan hệ mật thiết, tác động qua lại với nhau một cách biện chứng. Bởi vậy, để tăng cường việc bồi dưỡng các TP cho HS chúng ta cần vận dụng một cách hiệu quả các nhân tố trên. 11 1.7.4. Các giai đoạn hình thành và khắc sâu TPHĐNT toán học cho HS Các giai đoạn bồi dưỡng TPHĐNT thường diễn ra như sau: lĩnh hội nội dung của TP  độc lập vận dụng TP đó  di chuyển sang tình huống nhận thức mới. Ta có sơ đồ: Sơ đồ. Các giai đoạn và mức độ hình thành, phát triển TP 1.7.5. Một số hình thức bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh Việc bồi dưỡng TPHĐNT thường không được trình bày một cách tường minh mà có thể được tiến hành dưới các hình thức và cấp độ như sau: 1.7.5.1. Thông báo TPHĐNT trong quá trình hoạt động 1.7.5.2. Truyền thụ ngầm ẩn thông qua tập luyện những HĐ ăn khớp với TPHĐNT Kết luận chƣơng 1 Trong chương này, chúng tôi đã hệ thống hoá quan điểm của nhiều nhà khoa học về HĐNT, HĐNT toán học, TPHĐNT và tư tưởng sư phạm của G. Polya về dạy học TP Phân tích, so sánh các quan điểm này và đưa ra một cách quan niệm TPHĐNT toán học; TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya; và một số TPHĐNT cụ thể theo tư tưởng sư phạm của G. Polya thường sử dụng trong học toán ở trường THCS. Luận án đã chứng tỏ sự cần thiết phải bòi dưỡng TPHĐNT cho HS giúp các em độc lập chiếm lĩnh kiến thức, tài liệu học tập; phát triển năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo. Trên cơ sở phân tích lý luận, chúng tôi xác định được một số nhân tố cơ bản, các giai đoạn hình thành và các hình thức bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya làm cơ sở cho việc khảo sát thực trạng ở Chương 2 và đề xuất các biện pháp ở Chương 3. GV dạy Phát triển TP Xa Gần Lĩnh hội nội dung TP Tình huống tương tự Di chuyển sang tình huống nhận thức mới Độc lập vận dụng TP đó Tình huống khái quát, Hình thành TP HS độc lập tìm ra 12 Chƣơng 2 KHẢO SÁT THỰC TRẠNG 2.1. Mục đích khảo sát Tìm hiểu thực trạng của những vấn đề liên quan đến việc bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong quá trình DH môn Toán ở trường THCS. 2.2. Nội dung khảo sát - Tìm hiểu nhận thức của GV môn Toán ở trường THCS trong việc bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS: Vai trò của việc bồi dưỡng TPHĐNT trong quá trình học tập của HS? Mức độ quan tâm của GV đối với việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS? Những trở ngại, khó khăn khi tiến hành bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong quá trình DH toán? - Mức độ hiện có của HS về vận dụng các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong quá trình giải quyết vấn đề? - Cách thức bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong DH môn Toán như thế nào? 2.3. Đối tƣợng khảo sát - 145 GV dạy toán THCS trên địa bàn thành phố Hà Tĩnh, thị xã Hồng Lĩnh và các huyện Thạch Hà, Can Lộc, Kỳ Anh của tỉnh Hà Tĩnh. - 166 HS lớp 8, 9 thuộc các trường THCS Lê Văn Thiêm (thành phố Hà Tĩnh); trường THCS Phan Huy Chú (huyện Thạch Hà) và trường THCS Bắc Hồng (thị xã Hồng Lĩnh). 2.4. Phƣơng pháp khảo sát Để tìm hiểu các vấn đề nêu trên, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau: - Phương pháp điều tra giáo dục: Sử dụng phiếu hỏi (gồm 19 câu) điều tra một số giáo viên Toán THCS trên địa bàn tỉnh Hà Tĩnh, thu thập và xử lý thông tin; Dự giờ một số tiết toán ở các lớp 8, 9 của các trường khảo sát, quan sát việc GV hình thành, khắc sâu TPHĐNT cho HS và việc HS vận dụng các TPHĐNT để giải quyết vấn đề. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trò chuyện, phỏng vấn, xin ý kiến GV, cán bộ quản lý trường THCS về các vấn đề liên quan đến DH bồi dưỡng TPHĐNT cho HS. 2.5. Kết quả khảo sát 2.5.1. Kết quả khảo sát đối với giáo viên 2.5.1.1. Nhận thức của GV về TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm G. Polya 2.5.1.2. Vấn đề bồi dưỡng TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong DH môn Toán ở trường THCS 2.5.2. Kết quả khảo sát đối với HS 2.5.2.1. Về khả năng sử dụng nhóm TP biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ 2.5.2.2. Về khả năng sử dụng nhóm TP bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có và tri thức cần tìm 2.5.2.3. Về khả năng vận dụng nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới 13 2.5.2.4. Về khả năng sử dụng nhóm TP chuyển hóa các liên tưởng nhằm huy động đúng kiến thức giải quyết vấn đề 2.5.2.5. Về nhóm TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề Kết luận chƣơng 2 Thông qua kết quả khảo sát, có thể thấy, nhìn chung việc bồi dưỡng các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS hiện nay ở trường THCS trong DH môn Toán chưa được quan tâm đúng mức. Cụ thể: - Về phía GV: Đa số đều nhận thức được việc bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya ở trường THCS là hết sức cần thiết, góp phần nâng cao chất lượng DH Toán, đặc biệt là giúp HS phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực tư duy sáng tạo. Tuy nhiên: Một số GV chưa hiểu biết nhiều về các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya; hầu hết GV chưa có cách thức bồi dưỡng một cách phù hợp, hiệu quả; một bộ phận GV đã tiến hành bồi dưỡng TPHĐNT cho HS nhưng chỉ thông qua một số ví dụ rời rạc, chưa có tính hệ thống; GV chưa chú ý đến việc bồi dưỡng TP cho nhiều nhóm đối tượng HS (khá, giỏi, trung bình,...) mà chủ yếu tập trung vào nhóm đối tượng HS khá, giỏi. - Về phía HS: Hầu hết HS chưa biết nhiều về TP và việc vận dụng vào giải quyết vấn đề. Khả năng hình thành, vận dụng TPHĐNT của HS chỉ mới dừng lại làm theo sự gợi ý chỉ dẫn của GV. Một số ít HS khá giỏi biết tự hình thành và vận dụng các TP thích hợp khi giải quyết vấn đề còn hầu hết nhóm HS trung bình trở xuống dường như đứng ngoài cuộc. Những vấn đề về thực trạng đã nghiên cứu sẽ là cơ sở thực tiễn quan trọng để xây dựng các biện pháp sư phạm trong chương sau. Chƣơng 3 MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƢỠNG CÁC THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC THEO TƢ TƢỞNG SƢ PHẠM CỦA G. POLYA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở CÁC LỚP CUỐI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ 3.1. Định hƣớng xây dựng và thực hiện biện pháp 1) Các biện pháp phải thể hiện rõ mục đích là góp phần bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán các lớp cuối cấp THCS; trên cơ sở đó giúp HS phát triển khả năng giải quyết vấn đề, khả năng sáng tạo và có thể độc lập chiếm lĩnh tài liệu học tập. 2) Các biện pháp phải quan tâm đến việc tăng cường HĐ cho người học, phát huy tối đa (trong chừng mực có thể) tính tích cực, độc lập của HS và được thể hiện thông qua các phương pháp DH tích cực vận dụng ở trường THCS, đồng thời đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục Việt Nam theo hướng “tiếp cận năng lực” trong giai đoạn hiện nay. 14 3) Các biện pháp được xây dựng dựa trên những khó khăn, chướng ngại, sai lầm phổ biến của HS khi giải quyết các vấn đề trong việc DH môn Toán ở trường THCS nhằm giúp HS khắc phục những khó khăn, chướng ngại, sai lầm đó. 4) Các biện pháp phải căn cứ vào mục tiêu, nội dung, phương pháp DH môn Toán ở trường THCS; đồng thời xuất phát từ thực trạng của việc DH toán ở trường THCS và đặc biệt là thực tế việc hình thành, khắc sâu TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán các lớp cuối cấp THCS. 5) Các biện pháp có thể thực hiện được trong điều kiện thực tế của quá trình DH môn Toán ở trường THCS. 3.2. Một số biện pháp bồi dƣỡng các TPHĐNT cho HS theo tƣ tƣởng sƣ phạm của G. Polya trong dạy học môn Toán các lớp cuối cấp ở trƣờng THCS 3.2.1. Biện pháp 1. Gợi động cơ bên trong, kích thích nhu cầu của HS trong việc bồi dưỡng các TPHĐNT 3.3.1.1. Mục đích của biện pháp Giúp HS nhận thức được vai trò, ý nghĩa, tầm quan trọng của TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya và tạo động lực để họ hình thành, khắc sâu các TP. Từ đó, các em có ý thức hơn trong việc bồi dưỡng TPHĐNT để phát hiện và giải quyết vấn đề. 3.2.1.2. Cơ sở và vai trò của biện pháp Biện pháp này phù hợp với các định hướng đã nêu ở trên, đặc biệt là định hướng thứ hai, thứ tư và nhân tố đầu tiên trong sơ đồ 1.5; tư tưởng sư phạm (T2b) của G. Polya. TPHĐNT của HS được hình thành, phát triển trong HĐ giải quyết vấn đề và chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố khác nhau. Trên cơ sở các nghiên cứu tâm lý học: Mọi HĐ của con người đều là HĐ có mục đích, được thúc đẩy bởi động cơ của HĐ đó. Trong Luận án, chúng tôi tập trung vào mối quan hệ giữa động cơ bên trong và nhu cầu bồi dưỡng TPHĐNT. 3.2.1.3. Tổ chức thực hiện biện pháp a) Làm cho HS thấy được tính hữu ích của TPHĐNT trong giải quyết vấn đề, từ đó các em tự kích hoạt hứng thú, nhu cầu của bản thân trong việc hình thành và vận dụng TPHĐNT Thứ nhất, giúp HS biết nhờ TPHĐNT họ có thể thâm nhập và phát hiện được vấn đề. Thứ hai, giúp HS thấy rõ TPHĐNT là công cụ quan trọng để khắc phục các khó khăn, chướng ngại, sai lầm trong việc giải quyết các vấn đề. Thứ ba, TPHĐNT chuẩn bị tốt nhất cho HS giải quyết những tình huống tương tự hoặc có nhiều biến đổi trong học tập cũng như trong cuộc sống và phát triển các vấn đề. b) Thiết kế các tình huống có dụng ý sư phạm nhằm tạo hứng thú, kích thích nhu cầu của HS trong việc bồi dưỡng các TPHĐNT 3.2.1.4. Lưu ý khi thực hiện biện pháp - Cần chú trọng việc gợi động cơ trung gian và động cơ kết thúc, nhấn mạnh hiệu quả của những TPHĐNT trong quá trình giải quyết vấn đề. 15 - Giúp HS thấy được vai trò của các TP không chỉ nói bằng lời, cần thông qua những tình huống có chuẩn bị trước, được cài đặt trước để tác động đến sự cảm nhận của HS. 3.2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện cho HS có nhiều cơ hội trải nghiệm để tìm hiểu, phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề một cách tinh tế 3.2.2.1. Mục đích của biện pháp Nhằm bồi dưỡng cho HS các nhóm TP: sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề; biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ; cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới. Mặt khác, nhờ vận dụng TPHĐNT một cách phù hợp người học sẽ dễ dàng tìm hiểu và phát hiện được vấn đề. 3.2.2.2. Cơ sở và vai trò của biện pháp Dựa vào các định hướng trong mục 3.1, các nhân tố cơ bản trong sơ đồ 1.5 và các giai đoạn hình thành, phát triển TP theo sơ đồ 1.6; tư tưởng sư phạm (T4a) của G. Polya cùng các phương pháp DH khám phá có hướng dẫn, DH giải quyết vấn đề. 3.2.2.3. Tổ chức thực hiện biện pháp a) Tập luyện cho HS biết thay biến bởi hằng, thay vị trí bất kỳ bởi vị trí đặc biệt; xét trường hợp tới hạn, xét vấn đề tương tự đơn giản hơn để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề Để thực hiện cách thức này, có thể tiến hành như sau: Thứ nhất, yêu cầu HS giải quyết một số tình huống nhận thức để các em nhận ra các dạng toán cần vận dụng TP này; Thứ hai, tập cho HS biết quan sát, thực nghiệm (đo đạc, tính toán) và mô tả những điều quan sát hay khảo sát đó; Thứ ba, giúp HS hình thành giả thuyết (nêu dự đoán) phát hiện vấn đề; Thứ tư, chứng minh các giả thuyết dự đoán bằng suy diễn (HĐ này sẽ được trình bày cụ thể trong biện pháp 3.2.3); Thứ năm, giúp người học biết vận dụng TP quy nạp, thực nghiệm vào các tình huống nhận thức khác giúp dễ dàng phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề nhằm khắc sâu TP này cho các em (phần này sẽ được chúng tôi tiếp tục trình bày cụ thể ở biện pháp 3.2.4). Ví dụ. Tìm số tự nhiên n sao cho 1! 2! ... !   A n là một số chính phương. + Với bài này, HS nhận ra cái đã cho là biểu thức 1! 2! ... !   A n (chứa biến số tự nhiên n), điều phải tìm là các số tự nhiên n để A là số chính phương. Cái phải tìm chưa được hiện hữu nên TP đầu tiên mà người giải nghĩ đến là quy nạp thực nghiệm thay biến bởi hằng để đưa ra dự đoán những giá trị n thỏa mãn. Tự nhiên nhất là hãy lần lượt cho n nhận các giá trị từ nhỏ đến lớn, như vậy HS lần lượt tính giá trị của biểu thức A với các trường hợp: 1,2,3,4,5,6n rồi lần lượt tính giá trị của biểu thức A trong những trường hợp đó của n và đưa ra dự đoán những giá trị n thỏa mãn. n 1 2 3 4 5 6 A 1 3 9 33 153 873 Quan sát bảng trên (có thể lấy thêm một số trường hợp nữa, có trường hợp n là số nguyên tố và cũng có cả trường hợp n là hợp số) người giải dự đoán phát hiện được vấn đề cần giải quyết, đó là: chỉ có với 1n và 3n thỏa mãn, còn dường như n càng lớn thì 16 A tận cùng bằng 3 nên không là số chính phương. Nhưng đó vẫn chỉ là dự đoán! Để khẳng định hay bác bỏ dự đoán trên người giải toán phải kết hợp với suy diễn (việc chứng minh dự đoán trên sẽ được trình bày ở biện pháp 3). b) Tập luyện cho HS khéo léo, linh hoạt biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ để diễn đạt lại tình huống, bài toán theo một cấu trúc mới đơn giản hơn, gần gũi hơn với các tri thức đã biết và phù hợp với nhận thức của HS giúp dễ dàng hiểu r vấn đề Để bồi dưỡng nhóm TP này, chúng ta cần chú trọng các HĐ sau: i) Tập luyện cho HS diễn đạt các bài toán có nội dung thực tiễn cần giải quyết theo ngôn ngữ toán học (hình vẽ, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ). - Hướng dẫn HS khéo léo đưa ra phương trình, hệ phương trình là cách biểu diễn hợp lý của một bài toán thực tiễn - Hướng dẫn HS khéo léo đưa ra một sơ đồ (sơ đồ đoạn thẳng, sơ đồ Ven) là đại diện hợp lý của một bài toán thực tiễn. ii) Tập luyện cho HS biểu diễn tình huống toán học dưới các cách nhìn khác nhau bằng cách chuyển đổi ngôn ngữ giữa các lĩnh vực (số học, đại số và hình học) hay chuyển đổi ngôn ngữ trong một phân môn dựa vào mối liên hệ bên trong của của các đối tượng đó. c) Tập luyện cho HS xác định được các thông tin trong vấn đề đã cho bởi những vấn đề bộ phận và xác định được thông tin nào là cần thiết, thông tin nào là thứ yếu để hiểu r hơn vấn đề 3.2.3. Biện pháp 3. Tập luyện cho HS hình thành và vận dụng hợp lý TPHĐNT trong giai đoạn lập một kế hoạch giải quyết vấn đề 3.2.3.1. Mục đích của biện pháp Biện pháp này góp phần bồi dưỡng các nhóm TP: cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới; bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm, cần khám phá; chuyển hóa các liên tưởng nhằm huy động đúng kiến thức giải quyết vấn đề. Mặt khác, khi HS biết vận dụng những TP đó một cách thích hợp các em sẽ phát triển khả năng tìm phương án giải quyết vấn đề. 3.2.3.2. Cơ sở của biện pháp Dựa trên các định hướng đã nêu ở trên, các hình thức, các nhân tố trong sơ đồ 1.5, các giai đoạn theo sơ đồ 1.6 để bồi dưỡng TPHĐNT, tư tưởng (T2a), (T4b) của G. Polya và các phương pháp DH giải quyết vấn đề, DH khám phá có hướng dẫn. 3.2.3.3. Tổ chức thực hiện biện pháp a) Tập luyện cho HS biết phân chia vấn đề thành các vấn đề bộ phận đơn giản hơn; loại bỏ những chi tiết “không cần thiết” và biết kết hợp các yếu tố một cách hợp lý để tìm phương án giải quyết vấn đề ban đầu. Bồi dưỡng các TP này cho HS trong quá trình tìm giải pháp, chúng ta cần tiến hành: Thứ nhất, giúp người học xác định được các tình huống nhận thức thường sử dụng. 17 Thứ hai, giúp người học biết quan sát đặc điểm của vấn đề và liên tưởng tới những kiến thức đã biết để tìm tòi lời giải bằng cách chia vấn đề thành các bộ phận độc lập, đầy đủ theo một tiêu chí nào đó và có thể loại bỏ những chi tiết “gây phiền phức”, không cần thiết ra khỏi vấn đề cần giải quyết. Thứ ba, r n luyện cho học sinh khả năng biến đổi bài toán về dạng dễ chia nhỏ giúp dễ dàng phát hiện phần “không cần thiết” để loại bỏ khỏi vấn đề. Thứ tư, tập cho HS biết thiết lập các mối liên kết từ sự kết hợp những ý tưởng, tính chất, chức năng... của những đối tượng khác với đối tượng cho trước và các mối liên hệ bên trong của đối tượng để có được sản phẩm sáng tạo. Thứ năm, chú trọng r n luyện cho HS các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp để bồi dưỡng các TP phân nhỏ, tách biệt và kết hợp trong GQVĐ. Ví dụ, trở lại bài toán Tìm số tự nhiên n sao cho 1! 2! ... !   A n là một số chính phương. Người học dễ dàng nhận thấy sau khi đưa ra được giả thuyết dự đoán “với n là số tự nhiên lớn hơn 3 thì 1! 2! ... !   A n không là số chính phương”, các em phải chứng minh bằng suy diễn để khẳng định hay bác bỏ dự đoán này. Kết hợp định nghĩa giai thừa của một số tự nhiên, HS dễ dàng nhận thấy với 5n thì !n có chứa các thừa số 2 và 5 nên sẽ tận cùng bằng 0. Do đó, với 5n chữ số tận cùng của A luôn bằng chữ số tận cùng của 1! 2! 3! 4! 33    và bằng 3. Vì vậy, dễ dàng tìm được phương án giải quyết bài toán ban đầu thông qua hai bài toán bộ phận (do    * * 3 * 4     n n n n ): 1) Với giá trị nào của n với  * 3 n n thì 1! 2! ... !   A n là số chính phương? 2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 4n thì 1! 2! ... !   A n không là số chính phương. * Ngoài ra, cần chú trọng việc tập luyện cho HS đổi vị trí và nhóm các yếu tố một cách hợp lý nhằm thay đổi “cấu trúc” và có thể làm thay đổi trọng tâm bài toán theo quan niệm của người giải để chia bài toán ban đầu thành các bài toán bộ phận đơn giản hơn. b) Bổ sung các bài toán phụ, ẩn phụ, hình phụ giúp HS dễ dàng tìm phương án giải quyết vấn đề Thứ nhất, giúp người học xác định được các yếu tố phụ thường sử dụng và một số tình huống nhận thức thường sử dụng TP bổ sung yếu tố phụ. Thứ hai, tập luyện cho HS biết sử dụng một số hướng để bổ sung yếu tố phụ. Ví dụ. Hình thành và khắc sâu TP bổ sung hình phụ. Có nhiều cách thức để hình thành và khắc sâu TP bổ sung hình phụ. Trong ví dụ này, chúng tôi trình bày một số cách thức bồi dưỡng TP đó: i) Tập luyện cho HS phân tích yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong tình huống cần giải quyết bằng cách khai thác mối liên hệ nhân quả của yếu tố đã cho, kiến thức đã biết và yếu tố cần tìm nhằm phát hiện ra yếu tố phụ cần bổ sung Xét bài toán: Cho góc xOy và điểm I thuộc miền trong góc đó. Dựng đường thẳng d qua I lần lượt cắt các cạnh Ox, Oy tại các điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. 18 Điểm M, N cần dựng có thể được xuất phát từ các nguồn gốc sau: +) M, N là hai đỉnh đối diệncủa hình bình hành có tâm là I, khi đó vẽ hình phụ là hình bình hành tâm I, bằng cách: Xác định 'O trên đường thẳng OI sao cho 'IO IO , 'O nằm khác phía O đối với I và dựng qua 'O các đường thẳng lần lượt song song với Oy và Ox cắt Ox và Oy tương ứng tại M, N (Hình 1a). +) M là ảnh đối xứng của N qua phép đối xứng tâm I, khi đó hình phụ là ảnh ' 'O y của Oy qua phép đối xứng tâm I, suy ra ' ' M Ox O y (Hình 1b). +) I