Tóm tắt Luận án Đa thức ma trận: Sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn duong và một số vấn đề liên quan

Dinh lý 1.2.6 (Krivine-Stengle, |25, Õ4|). Cho một tập con G = {<71,., <7,n} c R[A'] và một da thức f € R[x]. Khi dó:

(i) f > 0 trên KG nếu và chỉ nếu tồn tại p,q € sao cho pf = 1 + ợ.

f > 0 trên KG nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên m > 0 và p.q E TG sao cho pf = f2m + 9-

(iu) f = 0 trên KG nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên m > 0 sao cho —f2m E TGỈ

(iv) KG = 0 nếu và chỉ nếu —1 € TG-

Trong trường hợp G = 0 thì KG = Rn,Mc = TG = J2R[X]2. Khi (ló, (lịnh lý Artin (Định lý 1.2.2) là một hệ quả của Định lý 1.2.6.

Trong (lịnh lý Krivine-Stengle, biểu (liễn của các (la thức dương (tương ứng, không âm, băng không) trôn tập KG luôn có "mẩu thức". Việc tìm biểu (lien "không mẩu thức" cho các da thức dương (tương ứng, không âm, bằng không) trên một tập nửa dại số dóng cơ bàn là một vắn dề quan trọng và có nhiều ứng dụng trong việc giài quyết bài toán tối ưu da thức cũng như bài toán mômen. Định lý biểu (lien dương không mẩu thức dầu tiên dược dưa ra bơi Schmũdgen, cụ the như sau.