Tóm tắt Luận án Đa thức ma trận: Sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan

Hệ quả 3.1.1 (Dịnh lý Putinar-Vasilescu, dạng không thuần nhất). Cho G = {(/!,•■• ,pm} £ K[A’] và / € R[x). Già sứdeg(/) = 2d,deg($) = 2di,i = l,.,m. Ký hiệu

d' := max{djỉ = 1, • • • , mị.

Nếu f > 0 trên KQ và Ỉ2d > 0 trên (A7;)2d' \ {0}, Mì tồn tại một số nguyên r > 0 sao cho

(i+x? + --+x^r/e Afc. (3.1)

Định lý 3.1.2. Cho Q = {G1,--• ,Gm} C 5í(R[X]) tà F € 5í(R|X]). ơ«à sửdeg(F) = 2d,deg(Gi) = 2dị,i = l,.,m. Ký hiệu

d' := max{dj|ỉ = 1, • • • , m}.

Già sử lúng F >- 0 trên Kộ và F2d >- 0 Méh (A'ộ)2

(i) một da thức ma trận X € Aíí(R[X]) sao cho

(1 + xỉ + ■ ■ ■ + %ỉ)rXFXr € (Afc)‘ C Afe

(ứ) một da thức khác không b € R[x] sao cho

fc2(l + X? + • • • + X*)rF e (Afc)' C Mg.

Trong trường hợp ợ = 0, thì AÍ0 = TỊ) =: trong (ló,

{

*

^2 A/ Aj : A: € Att(IR[X]),í = với k là số tự nhiên nào (ló j=i

Khi (ló, chúng ta nhận được một hệ quả là (lạng ma trận cũa (lịnh lý biểu (liễn (lương Rcznick (|40, Corollary 4.3]).