Tóm tắt Luận án Giản đồ pha điện tử ở mô hình Falicov – Kimball với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss

thức (1.3.4) không còn đúng nữa, điện tử bị bẫy và sự chuyển động khuếch tán của nó bị dừng hoàn toàn [6]. Ý tƣởng này ban đầu đƣợc đƣa ra để giải thích một số kết quả thực nghiệm của nhóm của Feher, theo đó thời gian phục hồi của các spin điện tử trong chất bán dẫn pha tạp dài một cách bất thƣờng. Đặc biệt, Anderson đƣa ra giả thuyết rằng, khi quãng đƣờng tự do trung bình của điện tử nhỏ hơn chiều dài bƣớc sóng Fermi 2 /F Fk  , thay vì cho rằng các điện tử nhƣ là các sóng lan truyền với thời gian sống ngắn, chúng có thể đƣợc xem nhƣ các sóng bị giam cầm trong không gian với thời gian sống dài. Hàm sóng  r của điện tử đƣợc định xứ theo hàm mũ xung quanh một tâm 0r , trên một khoảng cách  , đƣợc gọi là độ dài định xứ, và chúng ta có   2 0 exp . r r r A         (1.3.5) Để giải thích hiện tƣợng định xứ xuất hiện nhƣ thế nào, Anderson đã sử dụng mô hình liên kết chặt trong một mạng tinh thể mất trật tự, mô hình này đã trở thành mô hình mẫu trong nghiên cứu hiện tƣợng định xứ. Trong mô hình Anderson, điện tử chịu ảnh hƣởng của một thế ngẫu nhiên i tại mỗi nút i của mạng tinh thế, và nó có thể nhảy qua các nút lân cận nhờ số hạng nhảy 11 nút t. Sự tƣơng tác giữa điện tử với điện tử đƣợc bỏ qua. Hamiltonian của mô hình này có dạng [6] † † . .,i i i i j i ij H t h cc c c c    (1.3.6) trong đó tham số ngẫu nhiên i đƣợc phân bố độc lập và đồng nhất, chẳng hạn với dạng phân bố hộp (đều) sau đây:   1 W W , , W 2 2 . W W 0 , , 2 2 i i i p                       (1.3.7) Nếu W = 0 hàm riêng của mô hình là các trạng thái Bloch, còn trong trƣờng hợp ngƣợc lại, nếu 0t  Hamiltonian là chéo và mỗi trạng thái riêng đều định xứ hoàn toàn trên mỗi nút của mạng tinh thể. Điều gì xảy ra giữa hai trƣờng hợp giới hạn này căn cứ vào tỉ số W / t : nếu nó lớn, có rất ít khả năng để điện tử tìm thấy một mức năng lƣợng sát nhau và không quá xa nhau trong không gian, và nhƣ thế sự chồng chập của hàm sóng ở các nút tƣơng ứng là Hình 1.4. Các hàm sóng định xứ ở vật liệu bất trật tự 2 chiều [7] 12 không đáng kể. Để hiểu rõ hơn điều này chúng ta xét một Hamiltonian gồm 2 nút mạng, với số hạng chéo 1 , 2 và số hạng nhảy nút t. Dễ dàng thực hiện việc chéo hóa nó. Rõ ràng trong trƣờng hợp này độ lệch của các trạng thái riêng với các véc tơ trên nút ban đầu t chịu sự chi phối của tỉ số 1 2 t   và sự chênh lệch giữa các giá trị năng lƣợng riêng E1 và E2 đƣợc cho bởi   2 2 1 2 t   . Bởi vậy, nếu 1 2 t  , hàm riêng gần đúng bằng các hàm sóng trên nút ban đầu, trong khi nếu 1 2 t  chúng ta thu đƣợc hai trạng thái riêng trong đó xác xuất đƣợc chia sẻ giữa các nút (cộng hƣởng). Trong mô hình Anderson chúng ta có thể tƣởng tƣợng rằng, nếu mất trật tự mạnh  W t sẽ có một vài cộng hƣởng cô lập và các hàm sóng gần đúng bằng các véc tơ sóng trên nút. Trong trƣờng hợp này điện tử bị bẫy xung quanh một tâm và hàm sóng của nó đƣợc cho bởi hàm bao. Ngƣợc lại khi số hạng nhảy nút đủ mạnh so với mất trật tự, chúng ta sẽ có nhiều cộng hƣởng phủ nhau và hệ sẽ có thuộc tính kim loại. Các trạng thái riêng định xứ đƣợc chờ đợi xuất hiện trong đuôi phổ năng lƣợng. Lý do trực quan đầu tiên là những trạng thái này có nguồn gốc từ năng lƣợng ngẫu nhiên lớn, và do đó, có thể trông đợi chúng bị ảnh hƣởng bởi mất trật tự nhiều hơn các trạng thái tại tâm phổ. Lý do thứ hai đƣợc đề xuất bởi Lifshitz: nhƣ đã đề cập ở trên, sự khuếch tán có thể xảy ra nếu bƣớc sóng Fermi F của điện tử nhỏ hơn rất nhiều quãng đƣờng tự do trung bình. Do đó, một tiêu chuẩn trực quan cho xuất hiện định xứ là điều kiện .F l (1.3.8) 13 Vì các trạng thái thuộc đuôi phổ có chiều dài bƣớc sóng lớn hơn so với các trạng thái ở trung tâm, chúng ta kì vọng sự định xứ xảy ra đầu tiên ở đuôi phổ. Đối với mỗi giá trị mất trật tự W có một năng lƣợng giới hạn Ec, đƣợc gọi là biên độ linh động (mobility edge), chia tách các trạng thái định xứ với các trạng thái phi định xứ. Trong trƣờng hợp của mô hình Anderson, chúng đƣợc biểu diễn định tính trong Hình.1.5. Mật độ trạng thái  E đối xứng và hai biên độ linh động Ec1 và Ec2 tách biệt, với mỗi giá trị của W các trạng thái định xứ nằm từ phần đuôi vùng đến các trạng thái lan truyền ở phần tâm vùng. Bằng cách thay đổi mức Fermi EF so với biên độ linh động có thể thu đƣợc quá trình chuyển pha kim loại – điện môi tại nhiệt độ bằng không (T = 0K). Đặc biệt, nếu EF > Ec1 hệ vận hành nhƣ kim loại, trong trƣờng hợp ngƣợc lại thì nhƣ một chất điện môi. Tồn tại một giá trị tới hạn Wc của bất trật tự để Ec1 = Ec2 , và tất cả các trạng thái trong phổ đƣợc định xứ nhƣ đƣợc chỉ ra ở Hình 1.6. Trạng thái định xứ Trạng thái định xứ Trạng thái lan truyền Hình.1.5. Các trạng thái định xứ xuất hiện đầu tiên ở đuôi vùng, như chờ đợi trực quan. Với một giá trị ấn định của bất trật tự W < Wc, bằng cách thay đổi mức Fermi so với đuôi vùng, chuyển pha kim loại – điện môi có thể xảy ra trong hệ. 14 Trực giác của Anderson và khám phá cơ chế của định xứ Anderson thể hiện sự phá vỡ bức tranh khuếch tán thông thƣờng: chất điện môi của Anderson không liên quan đến việc lấp đầy các dải mà liên quan đến sự hình thành các bẫy điện tử trong mạng do có bất trật tự [7]. E Điện môi Anderson Kim loại Khe Khe Hình 1.6. Giản đồ pha định tính của mô hình Anderson trên mặt phẳng W-E. Với mỗi giá trị của bất trật tự W, có 2 biên vùng đối xứng và khi bất trật tự tăng quá giá trị tới hạn Wc thì toàn bộ phổ đều bị định xứ. Các đường đứt nét chỉ các biên vùng mà phía ngoài nó mật độ trạng thái bằng không [7]. 15 CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT MÔI TRƢỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ ANDERSON 2.1. SƠ LƢỢC VỀ HÀM GREEN Vào những năm 1950 - 1960 các hàm Green lƣợng tử đƣợc Feynman và Schwinger đề xuất nhƣ là các hàm truyền trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Ngay sau đó chúng đƣợc mở rộng cho vật lí thống kê và hệ nhiều hạt. Hàm Green vật lý có thể là hàm Green một hạt hay hàm Green nhiều hạt. Khi hàm Green đƣợc xác định thì các tính chất vật lý của hệ tƣơng ứng cũng đƣợc xác định theo. Trong phần này sẽ đƣa ra các định nghĩa về hàm Green trong vật lý lƣợng tử đƣợc Zubarev đƣa ra vào năm 1960 để giải gần đúng các bài toán trong hệ tƣơng quan mạnh. 2.1.1 Định nghĩa các hàm Green hai thời gian.  Hàm Green trễ Gr.            ' ' ', , . r rG t t i t t A t B t A t B t            (2.1.1)  Hàm Green sớm Ga.            ' ' ', , . a aG t t i t t A t B t A t B t           (2.1.2)  Hàm Green nhân Gc      ' ' †, , (t, t').cG t t i A t B t G    (2.1.3) Trong các công thức trên: Toán tử sắp xếp thứ tự thời gian từ lớn đến nhỏ:                ', ' ' ' ' .A t B t t t A t B t t t B t A t      Hàm Heaviside (hàm bƣớc) . 16 Ở đây ... là kí hiệu lấy trung bình thống kế của hệ, tức là  1 HX Tr e X Z  , với H là Hamiltonian của hệ, 1 T   là nhiệt độ nghịch đảo và  HZ Tr e  là hàm phân hoạch của hệ.  A t và  'B t là toán tử phụ thuộc thời gian trong biểu diễn Heisenberg và tiến hóa theo quy luật    ';iHt iHt iHt iHtA t e Ae B t e Be    Tùy theo các hạt là Fermion ( 1   ) hoặc boson ( 1  ) mà  ,A B AB BA    là giao hoán tử hay phản giao hoán tử. Từ định nghĩa ta có: Khi t < t’ thì  ' 0t t   , tức là  ', 0rG t t  . Khi t > t ’ thì  ' 0t t   , tức là  ', 0.aG t t  Xét hàm Green đối với hệ cân bằng ( tức là Hamiltonian không phụ thuộc vào thời gian) thì hàm Green hai thời gian chỉ phụ thuộc vào hiệu số giữa hai thời gian    ,G t t G t t   . Chứng minh: xét hàm Green trễ:                    , , . rG t t i t t A t B t i t t A t B t B t A t                    (2.1.4) Mặt khác ta có:                 1 1 1 . H H iHt iHt iHt iHt iH t t iH t tH A t B t Tr e A t B t Tr e e Ae e Be Tr e e Ae B                    (2.1.5) Nhƣ vậy hàm Green trễ (2.1.4) chỉ phụ thuộc vào hiệu t t . Vì vậy ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier thuận nghịch 17      . 2 i t td G t t G e           (2.1.6)     .i tG dtG t e      (2.1.7) 2.1.2. Phƣơng trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian. Phƣơng trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian có thể nhận đƣợc bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian cho hàm Green. Xét phƣơng trình chuyển động cho hàm Green trễ:                                           , ' , , ' , , , ' , . r r r G t t t t A t i A t B t i t t i B t t t t G t t i t t A t B t i t t A H t B t t G t t i t t A t B t A H t B t t                                                         (2.1.8) Với hàm Green sớm ta cũng thu đƣợc kết quả tƣơng tự. Vậy phƣơng trình chuyển động cho hảm Green hai thời gian có dạng:             , ' , . G t t i t t A t B t A H t B t t            (2.1.9) Lấy ảnh Fourier cho phƣơng trình (2.1.9) ta thu đƣợc    , , .A B A B A H B      (2.1.10) Phƣơng trình (2.1.10) đƣợc gọi là phƣơng trình chuyển động cho hàm Green viết dƣới dạng tần số. 18 2.1.3. Một ví dụ về tính hàm Green. Bài toán: Tính hàm Green của hệ điện tử trong mô hình Hubbard ở các trƣờng hợp riêng U = 0 và t = 0 Hamiltonian Hubbard trong tập thống kê lớn   †0 1 ij ij ij 1 . 2 i j i i i H H H t c c U n n             (2.1.11) Với †i i in c c   là toán tử số hạt; ijt là thông số nhảy nút của điện tử từ nút j sang nút i; U là tƣơng tác Coulomb địa phƣơng của hai điện tử trên nút i. Ta có :             † ' ij ij ' ' ij † † ij ij ' ' ' ij kj kj ' ' ' 1 , , , 2 1 2 . k k i j k i i i j ki i i i ki i i i ki i j k k j c H t c c c U c n n t c U c c c c c c t c Un c                                                         (2.1.12) Ta có phƣơng trình chuyển động cho hàm Green của hệ :       † † ij ij ij ,im mj i i i j m G G t G U c c c c                 (2.1.13) Phƣơng trình (2.1.13) trở thành:      ij ij ,( ) .im mj iii j m G t G U            (2.1.15)  Xét giới hạn U = 0 . Phƣơng trình (2.1.15) với lƣu ý imt t  với lân cận gần nhất ta đƣợc:    ij ij( ) .mj m G t G         (2.1.16) Chuyển sang biểu diễn Fourier theo tọa độ:   † †ilm,j .i l m jc c c c        (2.1.14) 19               ij ij 1 , 1 . 1 , i j i j i j ik R R k k ik R R k ik R R ik mj k m k G e G k N e N G e G k N                             (2.1.17) Từ (2.1.16) và (2.1.17) suy ra:     1 , , k G k k         (2.1.18) với   .ikk t e       Đây là hàm Green của điện tử linh động khi bỏ qua tƣơng tác. Hệ luôn là kim loại.  Xét giới hạn 0t  . Ta tính:   † †iii,j .i i i jc c c c        Với    , ij , , , .iii j im iim j imi j iim jU n t                Ta sử dụng gần đúng nguyên tử: ij 0t  khi i j và đặt ii kt  ta thu đƣợc:  , ij .iii j k n U             (2.1.19) Từ (2.1.15) và (2.1.19) ta thu đƣợc kết quả:  ij 1 . k k n n G U                   (2.1.20) Đây là hàm Green của điện tử không linh động (không có nhảy nút). Điện tử bị định xứ và hệ là điện môi [8]. 20 2.2. LÝ THUYẾT MÔI TRƢỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ ANDERSON 2.2.1. Lý thuyết trƣờng trung bình động cho hệ đồng nhất Trong lý thuyết trƣờng trung bình động, bản chất vật lý của bài toán hệ nhiều hạt đƣợc quy về bài toán ở các mô hình đơn tạp đƣợc liên kết tự hợp với một môi trƣờng hiệu dụng. Để lấy ví dụ, ta xét mô hình Hubbard có Hamiltonian đƣợc cho ở công thức (1.2.1) ở Chƣơng 1. Giả sử có một hệ thỏa mãn tính bất biến tịnh tiến nhƣ trong Hình 2.1. Xét một nút bất kì trong hệ, nếu số nút lân cận tiến tới vô cùng, theo định lý giới hạn trung tâm những thăng giáng trong không gian là nhỏ và có thể bỏ qua. Điều này có nghĩa là ảnh hƣởng từ các nút khác có thể đƣợc thay thế bằng một môi trƣờng hiệu dụng, tức là tất cả các bậc tự do trên các nút khác sẽ đƣợc tích hợp nhƣ là một bể ngoài đối với nút đã cho, đƣợc thể hiện ở Hình 2.2 . Do đó động lực học tại nút đã cho ấy (tạp) có thể đƣợc coi là sự tƣơng tác (sự lai hóa) của nút này với bể. Hơn thế nữa, bể này tự nó không tƣơng tác. Hình 2.2: Hình minh họa của phương pháp hốc Bể Hình 2.1: Hình minh họa cho hệ có sự tương tác giữa các nút 21 Bây giờ phƣơng trình Hamiltonion hiệu dụng đƣợc viết lại dƣới dạng:     † † †ˆ ˆ ˆ ,f i iH c c n Un n c f f c                          (2.2.1) trong đó, số hạng đầu là năng lƣợng của điện tử dẫn; số hạng thứ hai biểu hiện năng lƣợng của tạp; số hạng thứ ba là thế năng tƣơng tác Coulomb ở tạp;  là tham số lai hóa giữa tạp và bể. Chỉ số  là bậc tự do của trạng thái điện tử của bể. Do đó bài toán hệ nhiều hạt chuyển thành bài toán tạp lƣợng tử. Chú ý rằng đến tƣơng tác Coulomb chỉ tồn tại ở nút tạp. Nếu năng lƣợng của các điện tử tƣơng quan  và tham số lai hóa  đã biết, chúng ta có thể thu đƣợc hàm Green G cho tạp khi lực tƣơng tác Coulomb 0U  . Hàm Green này chứa tất cả các thông tin của bể. Do đó nếu biết đƣợc hàm Green thì sẽ biết đƣợc bể. Sau đó chúng ta có thể tính toán và thu đƣợc hàm Green  G i  với U tùy ý. i biểu thị tần số trên trục Matsubara. Ý tƣởng vật lý của lý thuyết trƣờng trung bình động dựa trên việc nhận thấy rằng năng lƣợng riêng  ,k i  trở thành không phụ thuộc k trong giới hạn vô hạn chiều. Tức là    , n nk i i    . Cách tính hai đại lƣợng này nhƣ sau: Năng lƣợng riêng trong vô hạn chiều có thể đƣợc suy ra từ lý thuyết nhiễu loạn, chỉ chứa các phần tử địa phƣơng.     ,, , .i j n n i jr r i i    (2.2.2) Trong đó ni là tần số Matsubara, ,i jr r là vị trí nút mạng i và j. Năng lƣợng riêng chỉ phụ thuộc vào hàm Green địa phƣơng.       . n n n G i i G i           (2.2.3) Trong đó  nG i    là hàm Luttinger-Ward. Thực tế là năng lƣợng riêng không phụ thuộc k trong số chiều vô hạn làm cho việc nghiên cứu đơn nút trở 22 nên chính xác trong giới hạn vô hạn chiều nếu sự thăng giáng cục bộ đƣợc xử lý chính xác. Khi biết năng lƣợng riêng, chúng ta có thể tìm đƣợc hàm Green của mạng tại nút i:       1 1 1 , ,i n k k n k G i G k i N N i i                  (2.2.4) trong đó  là thế hóa học và k là độ tán sắc. Hàm Green trần là hàm Green không có tƣơng tác       0 1 1 1 1 . i k n k n n G i N i G i i                (2.2.5) Từ định nghĩa của hàm Green  ni G chúng ta có thể có đƣợc mối quan hệ    0 , i n G i i     G (2.2.6) và       1 1 .n n nG i i i       G (2.2.7) Do đó, chúng ta thu đƣợc tất cả các thông tin về bể từ hàm Green của tạp và năng lƣợng riêng. Đồng thời hàm Green và năng lƣợng riêng cũng đƣợc xác định bởi bể, thiết lập chính xác bởi G . Nhƣ vậy, phƣơng trình (2.2.7) là phƣơng trình tự hợp khép kín. Nghĩa là lời giải tự hợp của các đại lƣợng cục bộ cho bài toán mạng ban đầu đƣa đến lập luận hợp lý rằng một đơn tạp kết hợp vơi một bể hiệu dụng là một mô hình hiệu quả cho bài toán mạng ban đầu. Mặc dù lý thuyết trƣờng trung bình động đƣợc dẫn ra trong giới hạn d → ∞, nó có kết quả đáng ngạc nhiên trong điều kiện gần đúng số chiều hữu hạn, ngay cả ở chiều 3d  miễn là sự thăng giáng không gian nhỏ. Trong lý thuyết trƣờng trung bình động, tất cả các thăng giáng không gian của năng lƣợng riêng đã bị bỏ qua, trong khi các thăng giáng lƣợng tử địa phƣơng đƣợc tính đến đầy đủ. Đó là lý do tại sao lý thuyết đƣợc gọi là 23 “thuyết động học”. Ở đây, bộ giải tạp mô tả động lực học địa phƣơng của hệ nhiều hạt lƣợng tử. Do đó, mô hình tạp lƣợng tử là một bài toán tƣơng tác hệ nhiều hạt mà ở đó cần các phƣơng pháp đáng tin cậy để tính năng lƣợng riêng địa phƣơng của mô hình tạp. Hơn thế nữa, gần đây lý thuyết trƣờng trung bình động đƣợc cải tiến để tính đến các thăng giáng không gian cho các cụm trong không gian xung lƣợng hoặc trong không gian thực. Bằng cách thay thế một mô hình mạng của hệ nhiều hạt phức tạp bằng mô hình đơn tạp, bậc tự do có thể đƣợc giảm đáng kể và do đó bài toán đƣợc đơn giản hóa với lý thuyết trƣờng trung bình động. Hơn nữa, mô hình đơn tạp đƣợc nghiên cứu rộng rãi. Tất cả các phƣơng pháp đƣợc khai thác để giải mô hình đơn tạp Anderson có thể sử dụng để giải phƣơng trình DMFT. 2.2.2 Lý thuyết môi trƣờng điển hình cho định xứ Anderson Để nghiên cứu hệ bất trật tự cần phải sử dụng các hàm phân bố của các đạị lƣợng ngẫu nhiên mà ta quan tâm. Thực ra, trong các bài toán vật lý hay thống kê ngƣời ta thƣờng quan tâm đến các giá trị “điển hình” của các đại Hình 2.3. Mô hình minh họa kêt quả tính toán DMFT và mối quan hệ giữa DMFT và bộ giải tạp [9]  Bộ giải tạp G Hàm Weiss Đầu vào Đầu ra Hội Tụ? 24 lƣợng ngẫu nhiên đƣợc cho bởi giá trị khả dĩ nhất của hàm phân bố . Tuy nhiên, trong nhiều trƣờng hợp chúng ta không biết đƣợc toàn bộ hàm phân bố mà chỉ biết đƣợc một số thông tin hạn chế về hệ thống thông qua các moment hay các cumulant của nó. Trong trƣờng hợp đó điều quan trọng là chọn đƣợc đại lƣợng trung bình chứa đựng nhiều thông tin nhất của biến ngẫu nhiên. Ví dụ, nếu hàm phân bố của biến ngẫu nhiên có một đỉnh và các đuôi giảm nhanh thì giá trị điển hình của đại lƣợng ngẫu nhiên có thể ƣớc lƣợng tốt bằng kỳ vọng, tức là trung bình cộng của nó. Tuy nhiên có nhiều trƣờng hợp, chẳng hạn nhƣ với mật độ trạng thái địa phƣơng (LDOS) của hệ bất trật tự, biết đƣợc trung bình cộng là chƣa đủ, vì hàm phân bố trải rộng và do đó đƣợc đặc trƣng bởi vô hạn các moment. Vì vậy, không ngạc nhiên khi trung bình cộng của LDOS hoàn toàn không giống với giá trị điển hình của nó. Nghĩa là, trung bình cộng của đại lƣợng ngẫu nhiên đơn hạt không là tới hạn tại chuyển pha Anderson và do vậy không mô tả đƣợc chuyển pha này. Việc tìm kiếm thông số trật tự một hạt khả dĩ có thể phân biệt đƣợc trạng thái định xứ và trạng thái lan truyền trong chuyển pha Anderson là một trong những thách thức chủ yếu khi nghiên cứu hệ điện tử không trật tự. Trái với trung bình cộng, trung bình nhân đƣa ra một xấp xỉ tốt hơn cho giá trị khả dĩ nhất của mật độ trạng thái định xứ. Dobrosavljevic và các cộng sự đã phát triển lý thuyết môi trƣờng điển hình TMT để nghiên cứu các hệ không trật tự, trong đó mật độ trạng thái điển hình (TDOS) đƣợc xấp xỉ bằng cách lấy trung bình nhân theo các cấu hình không trật tự, thay cho mật độ trạng thái lấy trung bình cộng. Phần này trình bày vắn tắt TMT [10]. a. Các điều kiện tự hợp Nhƣ đã trình bày ở phần trên ý tƣởng chính của DMFT là: trong mạng có tƣơng tác, một nút mạng đƣợc lấy ra và các nút mạng khác đƣợc ánh xạ vào một bể các hạt không tƣơng tác. Nhƣ vậy mô hình mạng đã đƣợc ánh xạ sang mô hình “tạp”, bao gồm một nút duy nhất có tƣơng tác (“tạp”) đƣợc lên kết với một bể hạt không tƣơng tác. Sự liên kết giữa tạp và bể có thể đƣợc mô tả thông qua hàm lai hay hàm hốc   . Xét hệ bất trật tự, để hình thành lý thuyết tự hợp cho tham số trật tự, chúng ta thực hiện theo “phƣơng pháp hốc”. Đây là cách tiếp cận chung mà ta 25 có thể rút ra từ DMFT. Theo cách tiếp cận này, một nút đã cho trƣớc đƣợc xem nhƣ đƣợc đặt vào một trƣờng hiệu dụng đƣợc mô tả bởi hàm năng lƣợng riêng định xứ   . Để đơn giản chúng ta tập trung vào mô hình liên kết chặt của các điện tử không tƣơng tác với năng lƣợng nút ngẫu nhiên i với phân bố  iP  . Hàm Green định xứ tƣơng ứng có dạng:     1 , ,i iG             (2.2.8) “Hàm hốc” đƣợc cho bởi:      ' ", o i         (2.2.9) và     1 ,o oG       (2.2.10) trong đó hàm Green mạng    ' , o o A G d          (2.2.11) là biến đổi Hilbert của mật độ trạng thái trần  oA  đặc trƣng cho cấu trúc vùng. Cho một trƣờng hiệu dụng đƣợc đặc trƣng bởi năng lƣợng riêng   ta đánh giá đƣợc tham số trật tự mà ta chọn là mật độ trạng thái đặc trƣng TDOS đƣợc cho bởi :       exp ln , ,typ i i iA d P A      (2.2.12) trong đó, LDOS     1 , Im ,i iA G      (mật độ trạng thái địa phƣơng) cho bởi các phƣơng trình từ (2.2.8) đến (2.2.11). Theo quan hệ nhân quả, hàm 26 Green tƣơng ứng với  typA  phải là mở rộng giải tích, xác định thông qua biến đổi Hilbert.    typ typ ' . A G d          (2.2.13) Cuối cùng, ta đóng vòng lặp tự hợp bằng cách điều chỉnh các hàm Green của trƣờng hiệu dụng bằng với hàm Green tƣơng ứng với tham số trật tự định xứ, do đó       e .ff o typG G G      (2.2.14) Chú ý là phƣơng pháp đƣợc xác định bằng các phƣơng trình từ (2.2.8) đến (2.2.14) không là cách điển hình để giải quyết đƣợc bài toán. Các cách tiếp cận tƣơng tự có thể đƣợc sử dụng trong bất kỳ lý thuyết nào đƣợc đặc trƣng bởi năng lƣợng riêng định xứ. Điều đặc biệt duy nhất trong lý thuyết môi trƣờng điển hình là việc chọn TDOS đƣợc xác định qua phƣơng trình (2.2.12) nhƣ tham số trật tự định xứ. Nếu ta chọn trung bình cộng thay thế cho trung bình nhân của TDOS thì lý thuyết này quy về gần đúng thế kết hợp thông dụng (CPA), là kết quả tuyệt vời cho DOS trung bình cộng với bất kì giá trị sự mất trật tự nào, nhƣng không xuất hiện chuyển pha Anderson. Do đó, TMT là một lý thuyết có đặc tính rất giống với CPA, với một sự khác biệt nhỏ nhƣng rất quan trọng đó là việc lựa chọn chính xác tham số trật tự cho định xứ Anderson. Trong sự tính toán theo công thức nhƣ trong DMFT, tất cả các số liệu về cấu trúc vùng điện tử chứa trong lựa chọn của DOS trần  oA  . Có thể giải số các phƣơng trình từ (2.2.8) đến (2.2.14). Ta minh họa các kết quả này bởi mô hình bán nguyệt đơn giản cho DOS trần ở Hình.1.6 đƣợc cho bởi     24 1 2oA      khi đó    0 0 / 16G   . Năng lƣợng nút ngẫu nhiên i tuân theo phân bố đều trong đoạn W W ; 2 2       , với W chính là số đo mất trật tự của hệ. Độ rộng vùng đƣợc lấy làm đơn vị của năng lƣợng. 27 TDOS giảm dần và cuối cùng triệt tiêu ngay cả tại trung tâm vùng tại W 1,36 . Với W<Wc , một phần phổ TDOS vẫn hữu hạn tƣơng ứng với vùng các trạng thái lan truyền (điện tử linh động), và sau đó nó giảm với bất trật tự. Đƣờng liền nét chỉ ngƣỡng linh động (đƣợc cho bởi tần số trong đó TDOS triệt tiêu đối với một W xác định), còn đƣờng đứt nét là biên vùng mà ở đó mật độ trạng thái tính theo CPA bị triệt tiêu. b. Hành xử tới hạn: Sự hiểu biết sâu sắc hơn nữa về hành xử tới hạn đạt đƣợc bằng cách lƣu ý rằng tại gần W=Wc , chúng ta chứng tỏ rằng có thể đƣa ra lời giải giải tích các phƣơng trình từ (2.2.8) đến (2.2.14). Để bắt đầu chúng ta hãy tập trung tại trung tâm vùng  0  và khai triển các phƣơng trình từ (2.2.8) đến (2.2.14) theo những bậc của tham số trật tự " . Ở trƣờng hợp lấp đầy một nửa, tại giới hạn  0  của các đại lƣợng của phƣơng trình tự hợp ,G và  trở thành các số thuần ảo, và tại gần bất trật tự tới hạn hàm Green điển hình có thể đƣợc khai triển lũy thừa theo tham số trật tự " .             2 2 2 2 " , " ' " "exp log " " " " " . i i typ i i i G i i d P i f i a b                                 (2.2.15) Trong đó    0 exp 2 ln ,a f d P       (2.2.16)         '' 2 2'' 0 '' 0 2 " . lim '' " 2 2 0 , f b a d P a d P aP                              (2.2.17) 28 Nếu chọn mật độ trạng thái trần dạng bán nguyện nhƣ phần trên thì ( ) 16 ( )G    , do vậy kết hợp với (2.2.16), ta có: 216 " " " ,a b     (2.2.18) Tại W Wc thì " tiến đến 0, suy ra a = 16, sau đó thay giá trị của a vào (2.2.16) nhận đƣợc W W / 2 1,3591c e   phù hợp với tính số. Gần quá trình chuyển pha, tức là W Wc , từ điều kiện 16 = a – b " , kết hợp với (2.2.16) và (2.2.17), ta tìm đƣợc [10]:   2 16 " 4 W W .typ cA             (2.2.19) 29 CHƢƠNG 3. GIẢN ĐỒ PHA ĐIỆN TỬ Ở FKM VỚI BẤT T