Tóm tắt Luận án Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong C

Định lý 2.1.3. Cho V là tập con giải tích trong một miền bị chặn DcCn. Giả sứ tồn tại ỳ) e PSH~(y\'iỊ) —oo thoa mãn các diều kiện sau :

(z) F := {z E V : ỉị)(z) — —00} là một tập con đóng của V.

(ù) V \ F là tập giải tích bất khả quy địa phương trong D\ F.

Giá sứ tồn tại E cV sao cho Jz — JC với tất cả z G V \E. Khi đó với mọi u e PSH~(yỴ tồn tại hai dãy {ujj>i c PSH~(y \ F) và c PSH;(y) có tính chất sau

(a) Uj ị u trên V \ F và Uj là liên tục tại mọi điểm V \ (E u F).

(b) Vj —> u trên V \ (Ễ u F) và lim Vj < u* trên V.

(c) Giả sử V có chiều thuần túy k. E là đa cực trong V và hàm u là bị chặn địa

phương trên V khi đó dày có thê chọn bị chặn đều địa phương trên V và

(ddcVj)k —> (ddcu)k trong tôpô yếu —* khi j —> oc.

Kết quả tiếp theo (lề cập tới một trường hợp mà tập E trong (lịnh lý trên có thể xuất hiện.

Dịnh lý 2.1.4. Cho V là một tập con giải tích Stein trong một miền bị chặn D c cn. Giả sử tồn tại V e PSH~(V),v —00 và một compact K c dv thỏa màn các tính chất sau:

(i) linw(z) = — oo, V£ G K.

(ii) jị={ỏẸ}y^(dV)\K.

Khi đó ta có các khẳng định sau:

(a) Với mọi z e V \ E, E := {z € V : v(z) = —oc} ta có Jz = JC.

(h) Giả sứ V là bất khả quy địa phương khi dó với mọi u G PSH~(V) tồn tại

một dẫy Uj G PSH~(V) sao cho Uj liên tục tại mọi điểm của Ư := V \ (K u E)

và Uj ị u* trên u.

Nhắc lại rằng tập giải tích V được gọi là Stein nếu tồn tại một hàm (la (liều hòa dưới 99 trên V sao cho {z E V : 92(2) < c} d V với mọi c G R. Ta gọi 92 là một hàm vét cạn đa điều hòa dưới của V.

Định lý dưởi dãy nghiên cứu sự tồn tại của một hàm da diều hòa dưới cực dại

hên tục bị chặn u trên V sao cho giá trị biên của u trùng với một hàm hên tục cho trước trên dv. Nhắc lại rằng u E PSH(V) dược gọi là cực dại nếu với mọi tập mở compact tương dối u của V và mọi V G PSHịV) sao cho V < u trên V \ u ta có V < u trên V.