Tóm tắt Luận án Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều

)(1, z, z2, z3, z4, z6)dA (B11, B22, B44)(x,T ) = ∫ A(x) G(x,z,T )(1, z2, z4)dA (2.28) Động năng của dầm T = 1 2 L∫ 0 [ I11(u˙20 + w˙ 2 0)+ 1 2 I12u˙0(w˙0,x +5 ˙θ)+ 1 16 I22(w˙0,x+5 ˙θ)2 − 10 3h2 I34u˙0(w˙0,x + ˙θ)− 56h2 I44(w˙0 + ˙θ)(w˙0+5 ˙θ)+ 25 9h4 I66(w˙0,x + ˙θ)2 ] dx (2.29) trong đó (I11, I12, I22, I34, I44, I66)(x) = ∫ A(x) ρ(x,z) ( 1, z, z2, z3, z4, z6 ) dA (2.30) là các mô-men khối lượng. 6Các độ cứng và mô-men khối lượng cho dầm có thể biểu diễn dưới dạng: Ai j = AC1M1i j − ( AC1M1i j −AC2M2i j )( x L )nx Bi j = BC1M1i j − ( BC1M1i j −B C2M2 i j )( x L )nx (2.31) với AC1M1i j , BC1M1i j là các độ cứng của dầm 1D-FGM tạo bởi C1 và M1; AC2M2i j , BC2M2i j là các độ cứng của dầm 1D-FGM tạo bởi C2 và M2. Các độ cứng của dầm 1D chỉ là hàm của z do đó có thể thu được dưới dạng tường minh. 2.4.2. Phương trình biểu diễn theo γ0 Bằng cách sử dụng góc trượt ngang (hay còn gọi là biến dạng trượt cổ điển), γ0 = w0,x+θ , như là hàm độc lập, ta có thể viết chuyển vị dọc trục và chuyển vị ngang trong (2.13) dưới dạng: u(x,z, t) = u0(x, t)+ 1 4 z ( 5γ0−4w0,x ) − 5 3h2 z 3γ0 w(x,z, t) = w0(x, t) (2.35) Tương tự cách xây dựng các phương trình cơ bản theo cách biểu diễn theo θ , Luận án cũng nhận được các phương trình cơ bản biểu diễn theo γ0. 2.5. Ứng suất nhiệt Giả sử dầm không có ứng suất nhiệt khi nhiệt độ bằng nhiệt độ quy chiếu T0 và chịu ứng suất nhiệt do sự thay đổi nhiệt độ. Ứng suất nhiệt sinh ra do tăng một lượng nhiệt ∆T cho bởi [18, 70]: σTxx =−E(x,z,T)α(x,z,T)∆T (2.41) trong đó mô-đun đàn hồi E(x,z,T ) và hệ số giãn nở nhiệt α(x,z,T) được tính từ phương trình (2.4). Năng lượng biến dạng sinh ra do σTxx có dạng [18, 65]: UT = 1 2 L∫ 0 NTw20,xdx (2.42) 7trong đó NT là tổng lực dọc trục, sinh ra do ứng suất nhiệt σTxx: NT = ∫ A(x) σTxxdA =− ∫ A(x) E(x,z,T )α(x,z,T)∆TdA (2.43) Năng lượng biến dạng tổng thể là tổng của năng lượng biến dạng đàn hồi UB và năng lượng sinh ra do sự tăng của nhiệt độ UT [70]. 2.6. Thế năng của lực ngoài Trường hợp dầm chịu tác động của một lực P không đổi (lực được giả sử chỉ gây uốn cho dầm), di động với vận tốc không đổi v như xét trong Luận án, thế năng của lực di động, V , cho bởi: V =−Pw0(x, t)δ [ x− s(t) ] (2.44) trong đó δ (.) là hàm delta Dirac; x là hoành độ tính từ đầu trái dầm đến vị trí lực; t là thời gian tính từ thời điểm lực P đi vào nút trái của dầm, và s(t) = vt là quãng đường lực P đi được. 2.7. Phương trình chuyển động Việc xây dựng phương trình chuyển động được thực hiện cho trường hợp ITSDT với γ0 là hàm độc lập. Phương trình chuyển động cho dầm dựa trên FSDT và ITSDT với θ là hàm độc lập có thể nhận được bằng cách tương tự. Áp dụng nguyên lý biến phân Hamilton cho các biểu thức năng lượng, ta thu được hệ phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM đặt trong trường nhiệt độ chịu một lực di động như sau: I11u¨0 + 1 4 ( 5γ¨0−4w¨0,x ) I12− 5 3h2 I34γ¨0− [ A11u0,x + 1 4 A12 ( 5γ0,x−4w0,xx ) − 5 3h2 A34γ0,x ] ,x = 0 (2.51) I11w¨0 + [ I12u¨0 + 1 4 ( 5γ¨0−4w¨0,x ) I22− 5 3h2 I44γ¨0 ] ,x − [ A12u0,x + 1 4 A22 ( 5γ0,x−4w0,xx ) − 5 3h2 A44γ0,x ] ,xx = ( NTw0,x ) ,x −Pδ [ x− s(t) ] (2.52) 81 4 I12u¨0 + 1 16 I22 ( 5γ¨0−4w¨0,x ) − 1 3h2 I34u¨0− 1 3h2 I44 (5 2 γ¨0− w¨0,x ) + 5 9h4 I66γ¨0− [ 1 4 A12u0,x + 1 16A22 ( 5γ0,x−4w0,xx ) − 1 3h2 A34u0,x − 1 3h2 A44 (5 2 γ0,x−w0,xx ) − 5 9h4 A66γ0,x ] ,x +5 ( 1 16B11− 1 2h2 B22 + 1 h4 B44 ) γ0 = 0 (2.53) Để ý thấy rằng các hệ số trong hệ phương trình vi phân chuyển động là các độ cứng và mô-men khối lượng của dầm, các đại lượng này là hàm của biến không gian theo chiều dài dầm và nhiệt độ, do đó việc giải hệ bằng phương pháp giải tích gặp nhiều khó khăn. Phương pháp PTHH được Luận án lựa chọn để tính toán các đặc trưng dao động của dầm. Kết luận Chương 2 Chương 2 đã xây dựng các phương trình cơ bản cho dầm 2D-FGM. Các phương trình được thiết lập trên cơ sở hai lý thuyết biến dạng trượt là FSDT và ITSDT. Ảnh hưởng của nhiệt độ và sự thay đổi của thiết diện ngang được xem xét trong việc thiết lập các phương trình cơ bản. Các biểu thức năng lượng được trình bày chi tiết cho cả FSDT và ITSDT trong Chương 2. Đặc biệt, với ITSDT, các phương trình cơ bản và biểu thức năng lượng được xây dựng trên cơ sở coi góc quay của thiết diện ngang hoặc góc trượt ngang là các hàm độc lập. Biểu thức cho năng lượng biến dạng sinh ra do sự tăng nhiệt độ và biểu thức thế năng của lực di động cũng được đề cập trong Chương 2. Hệ phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM cũng được xây dựng cho trường hợp ITSDT với γ0 là hàm độc lập. Các biểu thức năng lượng này được sử dụng để thiết lập các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng dùng trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM ở Chương 3. Chương 3. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN Chương này xây dựng các mô hình PTHH, tức là thiết lập biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho một phần tử đặc trưng của dầm 2D-FGM. Mô hình PTHH được xây dựng từ các biểu thức năng lượng nhận được sử dụng hai lý thuyết dầm trong Chương 2. Các hàm dạng khác nhau được lựa chọn thích hợp để phần tử dầm nhận được có độ tin cậy cao và tốc độ hội tụ tốt. Véc-tơ lực nút và thuật toán số dùng trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM được đề cập ở cuối chương. 93.1. Mô hình phần tử dầm FSDT Mô hình PTHH xây dựng từ các đa thức Kosmatka, trong Luận án gọi là mô hình FBKo tránh được hiện tượng nghẽn trượt. Thêm vào đó, mô hình này có tốc độ hội tụ và độ tin cậy cao trong tính toán tần số dao động riêng của dầm. Tuy nhiên, mô hình FBKo với 6 bậc tự do có nhược điểm là các đa thức Kosmatka phải tính toán lại mỗi khi thay đổi lưới phần tử, vì thế tốn thời gian tính toán. Mô hình PTHH sử dụng các hàm dạng thứ bậc, trong Luận án gọi là mô hình FBHi, là một trong các lựa chọn để khắc phục nhược điểm trên. Các hàm dạng thứ bậc gần đây được sử dụng để phát triển mô hình PTHH trong phân tích dầm 1D-FGM (chẳng hạn Luận án của Bùi Văn Tuyển). Dựa trên các biểu thức năng lượng nhận được trong Chương 2, sử dụng hàm dạng Kosmatka Luận án xây dựng được mô hình FBKo, sử dụng các hàm nội suy thứ bậc Luận án xây dựng được mô hình phần tử FBHi cho phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Việc xây dựng các mô hình dựa trên các lý thuyết và các hàm dạng là tương tự nhau, mục 3.2 sẽ trình bày chi tiết việc xây dựng các ma trận độ cứng và khối lượng cho một phần tử đặc trưng dựa trên ITSDT. 3.2. Mô hình phần tử dầm ITSDT Với hai cách biểu diễn của trường chuyển vị, hai mô hình PTHH tương ứng với hai cách biểu diễn này sẽ được xây dựng dưới đây. Để tiện lợi, mô hình PTHH sử dụng góc quay θ là hàm độc lập, trong Luận án gọi là mô hình TBSθ , mô hình PTHH sử dụng γ0 là hàm độc lập trong Luận án gọi là mô hình TBSγ . 3.2.1. Mô hình phần tử TBSθ Khác với mô hình PTHH dựa trên FSDT, véc-tơ chuyển vị nút cho phần tử dầm hai nút, (i, j), sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba nói chung và ITSDT nói riêng gồm tám thành phần: dSθ = {ui wi wi,x θi u j w j w j,x θ j}T (3.28) Các chuyển vị u0, w0 và góc quay θ được nội suy từ các chuyển vị nút qua các hàm dạng theo phương trình: u0 = NudSθ , w0 = NwdSθ , θ = NθdSθ (3.29) trong đó Nu, Nw và Nθ tương ứng là các ma trận hàm dạng cho u0, w0 và θ . Ở đây, các hàm dạng tuyến tính được sử dụng để nội suy cho chuyển 10 vị dọc trục u0(x, t) và góc quay của thiết diện ngang θ (x, t), các đa thức Hermite được sử dụng để nội suy cho chuyển vị ngang w0(x, t). Với phép nội suy ta có thể viết được biểu thức cho các thành phần biến dạng dưới dạng ma trận thông qua véc-tơ chuyển vị nút (3.28) như sau: εSθm = u0,x = BSθm dSθ εSθb = 1 4 (5θ,x +w0,xx) = BSθb dSθ εSθhs = 5 3h2 (θ,x +w0,xx) = B Sθ hs d Sθ εSθs = θ +w0,x = BSθm dSθ (3.33) Trong (3.33), các ma trận biến dạng-chuyển vị BSθm , BSθb , B Sθ hs và B Sθ s có dạng sau: BSθm = { − 1 l 0 0 0 1 l 0 0 0 } BSθb = 1 4 { 0 − 6l2 + 12x l3 − 4 l + 6x l2 − 5 l 0 6 l2 − 12x l3 − 2 l + 6x l2 5 l } BSθhs = 5 3h2 { 0 − 6l2 + 12x l3 − 4 l + 6x l2 − 1 l 0 6 l2 − 12x l3 − 2 l + 6x l2 1 l } BSθs = { 0 − 6xl2 + 6x2 l3 1− 4x l + 3x2 l2 l− x l 0 6x l2 − 6x2 l3 − 2x l + 3x2 l2 x l } (3.34) Biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi UB trong phương trình (2.27) được viết dưới dạng: UB = 1 2 nE ∑(dSθ )T kSθ dSθ (3.9) với ma trận độ cứng phần tử kSθ được định nghĩa như sau: kSθ = kSθm +kSθb +k Sθ s +kSθhs +k Sθ c (3.35) 11 trong đó: kSθm = l∫ 0 ( BSθm )T A11BSθm dx ; kSθb = l∫ 0 ( BSθb )T A22BSθb dx kSθs = 25 l∫ 0 ( BSθs )T( 1 16B11− 1 2h2 B22 + 1 h4 B44 ) BSθs dx kSθhs = l∫ 0 ( BSθhs )T A66BSθhs dx kSθc = l∫ 0 [( BSθm )T A12BSθb − ( BSθm )T A34BSθhs − ( BSθb )T A44BSθhs ] dx (3.36) tương ứng là ma trận độ cứng sinh ra từ biến dạng dọc trục, biến dạng uốn, biến dạng trượt, biến dạng trượt ngang bậc cao và các biến dạng tương hỗ. Khác với ma trận độ cứng phần tử trong FSDT, ma trận độ cứng phần tử trong lý thuyết biến dạng trượt bậc ba còn có thêm các thừa số sinh ra từ biến dạng trượt bậc cao. Tất nhiên, biểu thức cho ma trận độ cứng tương hỗ trong (3.36) cũng khác với trường hợp mô hình FBKo và mô hình FBHi. Động năng của dầm cũng có thể viết dưới dạng: T = 1 2 nE ∑( ˙dK)T m ˙dK (3.13) với ma trận khối lượng phần tử nhất quán cho bởi: m=m11uu +m12uθ +m22θθ +m34uγ +m44θγ +m66γγ +m11ww (3.37) 12 trong đó m11uu = l∫ 0 NTu I11Nudx ; m12uθ = 1 4 l∫ 0 NTu I12(Nw,x + 5Nθ )dx m22θθ = l∫ 0 1 16(N T w,x + 5NTθ )I22(Nw,x + 5Nθ )dx ; m34uγ =− 5 3h2 l∫ 0 NTu I34(Nw,x +Nθ )dx m44θγ =− 5 12h2 l∫ 0 (NTw,x + 5NTθ )I44(Nw,x +Nθ )dx m66γγ = 25 9h4 l∫ 0 (NTw,x +NTθ )I66(Nw,x +Nθ )dx ; m11ww = l∫ 0 NTwI11Nwdx (3.38) là các ma trận khối lượng phần tử nhất quán thành phần. 3.2.2. Mô hình phần tử TBSγ Với γ0 là hàm độc lập, véc-tơ chuyển vị nút cho phần tử hai nút điển hình, (i, j), gồm các thành phần: dSγ = {ui wi wi,x γi u j w j w j,x γ j}T (3.39) Chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang và góc trượt ngang được nội suy từ các chuyển vị nút bởi: u0 = NudSγ , w0 = NwdSγ , γ0 = Nγ dSγ (3.40) với Nu,Nw và Nγ tương ứng là các ma trận hàm dạng cho u0,w0 và γ0. Ở đây hàm dạng tuyến tính được dùng để nội suy cho chuyển vị dọc trục u0(x, t) và góc trượt ngang γ0, các hàm Hermite được sử dụng cho chuyển vị ngang w0(x, t). Việc xây dựng các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng phần tử nhận được hoàn toàn tương tự như mô hình phần tử TBSθ . 3.3. Ma trận độ cứng do nhiệt độ Sử dụng các hàm nội suy cho chuyển vị ngang w0(x, t) ta có thể viết biểu thức cho năng lượng biến dạng sinh ra do nhiệt độ (2.42) dưới dạng ma trận như sau: UT = 1 2 nE ∑dTkTd (3.44) 13 trong đó kT = l∫ 0 BTt NTBtdx (3.45) là ma trận độ cứng phần tử sinh ra do sự tăng của nhiệt độ. Với các lý thuyết dầm khác nhau, ma trận độ cứng phần tử do nhiệt độ đều có dạng (3.45). Điểm khác nhau duy nhất là sự khác nhau của các hàm dạng Nw được lựa chọn cho w0(x, t) dẫn tới sự khác nhau của ma trận biến dạng- chuyển vị Bt = (Nw),x trong (3.45). 3.4. Phương trình chuyển động rời rạc Bỏ qua ảnh hưởng cản của vật liệu dầm, phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM sau khi rời rác hóa có thể viết dưới dạng ngôn ngữ PTHH như sau: M ¨D+KD= Fex (3.49) trong đó D, ¨D tương ứng là các véc-tơ chuyển vị và gia tốc tổng thể tại các điểm nút của dầm, K, M, Fex tương ứng là các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ tải trọng nút tổng thể. Trong trường hợp dao động tự do, vế phải của phương trình (3.49) được gán bằng 0: M ¨D+KD= 0 (3.52) 3.5. Thuật toán số Việc giải phương trình (3.52) được đưa về việc giải bài toán giá trị riêng. Phương trình (3.49) có thể giải bằng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark. Phương pháp gia tốc trung bình không đổi với khả năng ổn định số không điều kiện được sử dụng trong Luận án này. Kết luận Chương 3 Chương 3 xây dựng mô hình PTHH cho một phần tử dầm hai nút dựa trên hai lý thuyết biến dạng trượt. Với phần tử dầm FSDT, mô hình PTHH được xây dựng dựa trên hai hàm dạng khác nhau, hàm dạng Kosmatka và hàm dạng thứ bậc. Mô hình PTHH sử dụng ITSDT được xây dựng từ các hàm tuyến tính và hàm dạng Hermite, trong đó hàm Hermite được dùng để nội suy chuyển vị ngang. Biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho mô hình dựa trên ITSDT được xây dựng trên cơ sở coi góc quay của thiết diện ngang hoặc góc trượt ngang là các hàm độc lập. Biểu 14 thức cho ma trận độ cứng sinh ra do sự tăng nhiệt độ và véc-tơ lực nút cho trường hợp dầm chịu lực di động cũng được xây dựng trong Chương. Chương 4. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN Kết quả số được trình bày trên cơ sở phân tích ba bài toán: (1) Dao động tự do của dầm 2D-FGM trong môi trường nhiệt độ; (2) Dao động tự do của dầm thon 2D-FGM; (3) Dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGM chịu tác động của lực di động. Từ kết quả số nhận được, một số kết luận liên quan tới ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số thiết diện, nhiệt độ môi trường và độ mảnh dầm tới tần số dao động riêng và mode dao động được rút ra. Ứng xử động lực học của dầm 2D-FDM dưới tác dụng của lực di động cũng được thảo luận trong Chương. 4.1. Sự hội tụ và độ tin cậy của mô hình PTHH 4.1.1. Sự hội tụ của mô hình PTHH Sự hội tụ của bốn mô hình PTHH phát triển trong Luận án trong đánh giá tham số tần số dao động cơ bản µ của dầm 2D-FGM tựa giản đơn có thiết diện ngang không đổi (c = 0), không tính tới ảnh hưởng của nhiệt độ (∆T = 0K) được kiểm tra trong Luận án. Một số nhận xét có thể rút ra sau đây: - Tham số tần số cơ bản của dầm 2D-FGM nhận được từ bốn mô hình PTHH phát triển trong Luận án rất sát nhau. - Ba trong số bốn mô hình PTHH, cụ thể là mô hình FBKo, mô hình FBHi và mô hình TBSγ , có tốc độ hội tụ cao. Khi sử dụng ba mô hình này để tính toán, tham số tần số dao động cơ bản của dầm 2D-FGM hội tụ tới giá trị không thay đổi chỉ với 16 hoặc 18 phần tử. Mô hình phần tử TBSθ hội tụ rất chậm, cần tới 70 phần tử để tính toán tần số dao động cơ bản của dầm. - Giá trị của cặp tham số vật liệu (nx,nz) không ảnh hưởng tới tốc độ hội tụ của các mô hình PTHH. Từ sự hội tụ của các mô hình PTHH phân tích trên đây, Luận án sẽ chỉ sử dụng các mô hình có sự hội tụ tốt để tính toán và so sánh kết quả số. Sự hội tụ của mô hình phần tử FBHi trong đánh giá tham số tần số cơ bản của dầm thon cũng được Luận án thực hiện. Tốc độ hội tụ của mô hình PTHH trong tính toán tần số dao động cơ bản của dầm thon chậm hơn khi tính toán tần số dao động của dầm có thiết diện không đổi. Mô hình FBHi cần tới 30 phần tử để đạt được tốc độ hội tụ trong đánh giá tần số của dầm. 15 4.1.2. Độ tin cậy của mô hình PTHH Do chưa có kết quả công bố về dao động của dầm 2D-FGM tạo từ bốn vật liệu thành phần với tỷ phần thể tích thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa như nghiên cứu trong Luận án, vì thế việc so sánh sẽ được thực hiện cho dầm 1D-FGM, trường hợp riêng của dầm 2D-FGM. Các kết quả so sánh nhận được trong mục này cho thấy các tần số dao động riêng có tính tới ảnh hưởng của nhiệt độ và sự thay đổi của thiết diện ngang cũng như đáp ứng động lực học nhận được từ các mô hình PTHH phát triển trong Luận án là đáng tin cậy. Kết quả này cho phép khẳng định độ tin cậy của các mô hình PTHH và chương trình tính toán số của Luận án và có thể dùng để nghiên cứu dao động của dầm 2D-FGM. 4.2. Dao động tự do 4.2.1. Dầm có thiết diện không đổi 4.2.1.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu Hình 4.1 minh họa ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên của dầm S-S với ∆T = 50K. 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 2 3 4 5 n z n x µ 1 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 10 15 20 n z n x µ 2 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 20 30 40 n z n x µ 3 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 30 40 50 60 n z n x µ 4 Hình 4.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên của dầm S-S với ∆T = 50K Từ Hình 4.1 ta có thể thấy rằng: - Với một giá trị cho trước của nx, tham số tần số cơ bản µ1 có xu hướng giảm khi nz tăng. Đồng thời, sự giảm này rõ nét hơn khi giá trị của nx lớn. Ảnh hưởng của tham số vật liệu theo chiều dài dầm, nx, tới 16 tham số tần số cơ bản của dầm ngược với ảnh hưởng của nz. Cụ thể, khi nx tăng, tham số tần số cơ bản của dầm cũng tăng. Thêm vào đó, sự tăng của tham số tần số µ1 nhanh hơn khi giá trị của nz nhỏ hơn. - Tham số tần số cơ bản của dầm đạt giá trị lớn nhất khi nx = 2 và nz = 0, trường hợp này ứng với dầm 1D-FGM có cơ tính biến đổi dọc trục tạo bởi 2 gốm. - Quy luật phụ thuộc của các tham số tần số cao hơn vào tham số vật liệu tương tự như quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu, tức là các tham số tần số tăng lên khi nx tăng và giảm đi khi nz tăng. Quy luật này không phụ thuộc vào giá trị của ∆T . 4.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ Hình 4.2 minh họa sự phụ thuộc của tham số µ1 vào tham số vật liệu của dầm tựa giản đơn với các giá trị khác nhau của ∆T . 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 2 3 4 5 n z n x µ 1 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 2 3 4 5 n z n x µ 1 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 2 3 4 5 n z n x µ 1 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 2 3 4 5 n z n x µ 1 (c) ∆T=40 K (d) ∆T=80 K (a) ∆T=0 K (a) ∆T=20 K Hình 4.2. Sự phụ thuộc của tham số µ1 vào tham số vật liệu của dầm tựa giản đơn với các giá trị khác nhau của ∆T Một số nhận xét rút ra từ Hình 4.2 như sau: - Quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu không thay đổi khi giá trị của ∆T tăng lên. Tuy nhiên, sự tăng của tham số tần số cơ bản khi nx tăng và sự giảm của tham số tần số cơ bản khi nz 17 tăng chịu ảnh hưởng bởi sự tăng nhiệt độ. Đặc biệt, khi nz tăng từ 0 đến 2, tham số tần số cơ bản của dầm giảm mạnh hơn rất nhiều, đặc biệt là khi nx lớn. - Tham số tần số cơ bản của dầm giảm rõ rệt khi giá trị của ∆T tăng lên. 4.2.1.3. Dầm với các điều kiện biên khác nhau Một số nhận xét được rút ra từ mục này như sau: - Tham số tần số dao động của dầm 2D-FGM với biên C-C là cao nhất, trong khi dầm với biên C-F có tham số tần số dao động thấp nhất. ở nhiệt độ phòng (∆T = 0K) quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu nhận được cho dầm C-C và C-F tương tự như với dầm S-S. Ngoài ra tham số tần số cơ bản của dầm C-F rất nhạy cảm với sự thay đổi của tham số vật liệu theo chiều dài, đặc biệt là khi nz nhỏ. - Sự phụ thuộc của các tham số tần số lớn hơn, µ2, µ3 và µ4 của dầm C-C và C-F vào tham số vật liệu cũng tương tự như của dầm S-S. - Nhiệt độ môi trường, như trường hợp dầm S-S, cũng làm giảm tham số tần số cơ bản của dầm C-C và C-F. Tuy nhiên, sự suy giảm này chịu ảnh hưởng rõ nét bởi tham số vật liệu và điều kiện biên. Cụ thể, dầm C-C ít bị ảnh hưởng bởi sự tăng nhiệt độ. Ngược lại, dầm C-F rất nhạy cảm với sự tăng của nhiệt độ. 4.2.1.5. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm Quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu của dầm với L/h = 10 và L/h = 30, như ta thấy từ Hình 4.7, là như nhau. Tuy nhiên khi tỷ số L/h tăng, tham số tần số của dầm giảm đáng kể. Cần lưu ý rằng, các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng với dầm ở nhiệt độ phòng, khi độ mảnh của dầm tăng lên thì tham số tần số của dầm cũng tăng. Tuy nhiên, như thấy từ Hình 4.7, điều này không còn đúng khi ảnh hưởng của nhiệt độ được xét tới. Điều này có thể giải thích bởi độ cứng của dầm có độ mảnh lớn giảm mạnh hơn nhiều so với dầm có độ mảnh thấp khi dầm đặt trong môi trường nhiệt độ cao. 4.2.1.4. Mode dao động Hình 4.8 minh họa ba mode dao động đầu tiên w0,u0 và γ0 của dầm S- S với hai cặp tham số vật liệu (nx,nz) = (0.0,0.5) và (nx,nz) = (0.5,0.5), trong môi trường nhiệt độ phòng (∆T = 0). Như ta thấy từ Hình 4.8, các mode dao động của dầm 2D-FGM, Hình 18 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 n z n x µ 1 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 n z n x µ 1 (b) ∆T=50 K, L/h=30(a) ∆T=50 K, L/h=10 Hình 4.7. Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm S-S với các giá trị L/h khác nhau (∆T = 50K) 0 0.25 0.5 0.75 1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.25 0.5 0.75 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.25 0.5 0.75 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.25 0.5 0.75 1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.25 0.5 0.75 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.25 0.5 0.75 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 (a) (b) mode 1 mode 2 mode 2 mode 3 mode 3 mode 1 n x =0, n z =0.5 n x =0.5, n z =0.5 w0 u0 γ0 Hình 4.8. Ba mode dao động đầu tiên cho u0, w0 và γ0 của dầm S-S với ∆T = 0K: (a) (nx,nz) = (0,0.5), (b) (nx,nz) = (0.5,0.5) 4.8(b), rất khác so với các mode dao động của dầm 1D-FGM trên Hình 4.8(a). Trong khi mode dao động thứ nhất và thứ 3 cho chuyển vị ngang w0 của dầm 1D-FGM đối xứng qua trục đi qua điểm giữa của dầm thì với dầm 2D-FGM mode dao động không còn đối xứng. Ta cũng thấy rõ sự khác nhau trong các mode dao động của u0 và γ0 từ Hình 4.8(a) và Hình 4.8(b). Ở mode dao động thứ hai, với dầm 1D-FGM, mode dao động cho γ0 đối xứng với trục đi qua điểm giữa của dầm nhưng tính đối xứng này không còn cho dầm 2D-FGM. Như vậy, sự thay đổi của tính chất vật liệu 19 theo chiều dài trong dầm 2D-FGM ảnh hưởng đáng kể tới mode dao động của dầm FGM. Ngoài ra trong Luận án cũng xét ảnh hưởng của nhiệt độ và giá trị của cặp tham số vật liệu tới mode dao động của dầm, nhiệt độ và tham số vật liệu không chỉ làm thay đổi biên độ dao động lớn nhất mà cả tính đối xứng của các mode này. 4.2.2. Dầm thon 4.2.2.1. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu Quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu của dầm thon 2D-FGM nhận được tương tự như dầm có thiết diện không đổi. Tuy nhiên tham số vật liệu theo chiều cao dầm ảnh hưởng ít hơn tới tần số dao động cơ bản của dầm thon so với dầm có thiết diện ngang không đổi, đặc biệt với dầm thon có điều kiện biên C-F. 4.2.2.2. Ảnh hưởng của tham số thiết diện và dạng thon Ảnh hưởng của tham số thiết diện c tới tham số tần số cơ bản của dầm thon 2D-FGM với nz = 0.5 và các giá trị khác nhau của nx được minh họa trên các Hình 4.14-4.16 tương ứng cho các điều kiện biên C-F, S-S và C-C. Như có thể thấy từ các Hình vẽ, sự thay đổi của tham số tần số cơ bản khi tham số thiết diện c thay đổi chịu ảnh hưởng mạnh bởi điều kiện biên và dạng thon. Trong khi tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F tăng khi tăng tham số thiết diện thì tham số µ1 của các dầm S-S và C-C giảm. Nhận xét này đúng cho cả ba dạng thon A, B và C. Với mỗi điều kiện biên cho trước, sự phụ thuộc của tham số tần số µ1 vào tham số thiết diện chịu sự ảnh hưởng bởi dạng thon. Tốc độ thay đổi của tham số tần số µ1 vào tham số thiết diện c là mạnh nhất cho các dầm C-F và S-S với dạng thon C. Tuy nhiên, với dầm C-C điều này lại xảy ra với dạng thon B. 4.2.2.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm Một số nhận xét được rút ra từ Mục này như sau: - Ảnh hưởng của độ mảnh dầm tới tần số dao động của dầm thon ít hơn so với dầm có thiết diện ngang không đổi. - Điều kiện biên đóng vai trò quan trọng tới ảnh hưởng của độ mảnh dầm lên tham số tần số cơ bản của dầm. Sự tăng của tham số tần số cơ bản của dầm S-S khi L/h0 tăng nhiều hơn đáng kể so với trường hợp dầm C-F và điều này đúng với mọi cặp các giá trị của tham số vật liệu và tham số thiết diện. 20 0 0.3 0.6 0.9 1 1.5 2 2.5 3 c µ 1 0 0.3 0.6 0.9 1 1.5 2 2.5 3 c µ 1 0 0.3 0.6 0.9 1 1.5 2 2.5 3 c µ 1 0 0.3 0.6 0.9 1 1.5 2 2.5 3 c µ 1 Case A Case B Case C Case A Case B Case C Case A Case B Case C Case A Case B Case C (a) n x =0, n z =0.5 (b) n x =0.5, n z =0 (c) n x =2, n z =0.5 (d) n x =0.5, n z =2 Hình 4.14. Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản của dầm thon C-F: (a) (nx,nz) = (0,0.5), (b) (nx,nz) = (0.5,0), (c) (nx,nz) = (2,0.5), (d) (nx,nz) = (0.5,2) 0 0.3 0.6 0.9 1 2 3 4 5 c µ 1 0 0.3 0.6 0.9 1 2 3 4 5 c µ 1 0 0.3 0.6 0.9 1 2 3 4 5 c µ 1 0 0.3 0.6 0.9 1 2 3 4 5 c µ 1 Case A Case B Case C Case A Case B Case C Case A Case B Case C Case A Case B Case C (a) n x =0, n z =0.5 (b) n x =0.5, n z =0 (d) n x =0.5, n z =2(c) n x =2, n z =0.5 Hình 4.15. Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản của dầm thon S-S: (a) (nx,nz) = (0,0.5), (b) (nx,nz) = (0.5,0), (c) (nx,nz) = (2,0.5), (d) (nx,nz) = (0.5,2) 4.3. Dao động cưỡng bức 4.3.1. Ảnh hưởng của vận tốc lực di động 21 0 0.3 0.6 0.9 3 5 7 9 c µ 1 0 0.3 0.6 0.9 3 5 7 9 c µ 1 0 0.3 0.6 0.9 3 5 7 9 c µ 1 0 0.3 0.6 0.9 3 5 7 9 c µ 1 Case A Case B Case C Case A Case B Case C Case A Case B Case C Case A Case B Case C (a) n x =0, n z =0.5 (b) n x =0.5, n z =0 (d) n x =0.5, n z =2(c) n x =2, n z =0.5 Hình 4.16. Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản của dầm thon C