Tóm tắt Luận án Mô phỏng dao động của tấm và ống Na nô đơn lớp

thế năng được xác định từ phương trình (2.18) theo chuyển vị nút cho ta được ma trận độ cứng của phần tử hai nút (Zienkiewicz và cs 2005): 2 , , 1,2...6. e r r mp m p E k m p q q  = =   (2.19) Lập luận tương tự, thế năng của một phần tử ba nút (hình 2.5b) có dạng: ( ) 21 2 e e e ijk ijkE C = . (2.20) Qua biến đổi ta có: 7 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 0 1 4 0 2 5 0 3 6 2 2 0 4 7 0 5 8 0 6 90 0 cos cos cos cos cos cos2 sin e ij jk ij jk ij jkijke jk ij jk ij jk ij x x q q y y q q z z q qC E x x q q y y q q z z q ql         + − + + − + + −  =  + + − + + − + + −  (2.25) Ma trận độ cứng k của phần tử ba nút biến dạng góc được xác định như sau: 2 , , 1,2...9. e mp m p E k m p q q  = =   (2.26) Như vậy, ma trận của phần tử hai nút và ba nút là rk và k đã hoàn toàn xác định. Chúng chỉ phụ thuộc vào tọa độ của các nguyên tử ở vị trí cân bằng ban đầu. 2.2.4 Ma trận độ cứng tổng thể Phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM) đã được triển khai và sử dụng thành công để tính toán đặc trưng cơ học của các tấm graphene, BN và SiC trong nghiên cứu gần đây. Trong AFEM, nguyên tử và chuyển vị của nguyên tử được coi như các nút và chuyển vị nút tương ứng. Năng lượng tương tác giữa các nguyên tử sẽ được xây dựng thông qua vị trí tọa độ của các nguyên tử (các nút). Sau đó ma trận độ cứng K sẽ được tính toán bằng đạo hàm bậc hai của hàm năng lượng theo tọa độ nút. 2.2.5 Ma trận khối lượng Theo như Hand, Finch và Riley et al, động năng T của hệ được xác định như sau: ( ) Atom 2 2 2 3 2 3 1 3 1 1 2 N i i i i i T m q q q− − = = + + (2.27) Trong đó, im là khối lượng của nguyên tử thứ i đặt ở vị trí của nó và 3 2 3 1 3, ,i i iq q q− − là vận tốc của nguyên tử i, với i = 1 ÷ NAtom. Phương trình (2.31) có thể được biểu diễn ở dạng ma trận như sau : T1 2 T = Q MQ (2.28) Trong đó, M(3NAtom, 3NAtom) là ma trận khối lượng của hệ nguyên tử. Như vậy: M = diag Atom Atom Atom1 1 1 2 2 2 , , , , , ..., , , ..., , ,i i i N N Nm m m m m m m m m m m m   (2.29) ( )Atom3 , 1NQ là ma trận chuyển vị của hệ. ( ) Atom T Atom 1 2 3 3 33 , 1 , , ..., ,...,i NN q q q q q =  Q (2.30) trong đó, q3i-1 và q3i là chuyển vị tương ứng với hai bậc tự do của nút i. 2.2.6 Hệ phương trình cơ bản Ta có phương trình dao động tự do không cản của hệ như sau: MQ + KQ = 0 (2.31) Nghiệm của phương trình có dạng: ( ) j tt e =Q u (2.32) Thế (2.32) vào (2.31) ta có: ( )2 0, 0− + = M K u u (2.33) Giải phương trình (2.33) ta sẽ thu được tần số dao động tự do f = /(2), và dạng dao động riêng u của hệ. 8 Việc thiết lập và giải phương trình nêu trên được nghiên cứu sinh lập trình trên phần mềm Matlab. CHƯƠNG 3 DAO ĐỘNG NGANG TỰ DO CỦA TẤM NA NÔ 3.1 Giới thiệu Phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM) phát triển trên hàm thế điều hòa được sử dụng để khảo sát đặc trưng dao động ngang tự do của các tấm vật liệu na nô là graphene, boron nitride (BN) và silicon carbide (SiC). Tần số riêng và dạng dao động riêng của tấm graphene, BN, SiC được tính toán ở các điều kiện biên khác nhau. Bên cạnh mô hình lý tưởng, ảnh hưởng của khuyết tật mất nguyên tử và tỉ lệ kích thước tấm cũng được nghiên cứu. Mô hình các tấm vật liệu na nô lục giác được xây dựng như hình 3.1. nguyên tử loại 1 là Carbon, Boron và nguyên tử Silicon trong các tấm Graphene, BN và SiC. Nguyên tử loại 2 là carbon, nitrogen và nguyên tử carbon trong tấm tương ứng. Điều kiện biên được ký hiệu như sau: - BC1: Tất cả các cạch được ngàm. - BC2: Cạnh trái và phải được ngàm. - BC3: Cạnh trên và dưới được ngàm. - BC4: Cạnh trái được ngàm. - BC5: Cạnh dưới được ngàm. Kết quả được bàn luận và so sánh với các kết quả đến từ các công trình nghiên cứu đáng tin cậy trước đây như: Kết quả sử dụng mô hình mạng lưới tinh thể của Arghavan và cộng sự, kết quả sử dụng mô hình liên tục tương đương của Gupta. 3.2 Kiểm nghiệm mô hình phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM) Mục này đưa ra kết quả tần số riêng của các tấm graphene. Kết quả sẽ được so sánh với những công trình nghiên cứu tin cậy đã được công bố của Arghavan, Singh, công trình nghiên cứu của Arghavan cùng cs và công trình của Gupta cùng cs. Đầu tiên, tác giả khảo sát 10 tần số riêng đầu tiên dao động tự do ngang của tấm graphene với các kích thước khác nhau Lx × Ly như sau: 3,69 nm × 3,69 nm (558 nguyên tử), 30,0 nm × 30,6 nm (35424 nguyên tử) và 30,0 nm × 60,4 nm (69864 nguyên tử). Điều kiện biên trong trường hợp này là ngàm tất cả 4 cạnh (BC1). Kết quả được đưa ra trong bảng 3.2 y, A rm ch ai r Atom style 1 Atom style 2 x, Zigzag Lx L y Hình 3.1 Mô hình tấm vật liệu na nô cấu trúc lục giác. Nó được gọi là tấm Zigzag nếu Lx ≤ Ly và tấm armchair nếu Ly ≤ Lx. 9 Bảng 3.2 So sánh tần số dao động riêng (GHz) của tấm graphene, điều kiện biên BC1. Dạng riêng 3,69 nm × 3,69 nm, 558 nguyên tử 30,0 nm × 30,6 nm, 35424 nguyên tử 30,0 nm × 60,4 nm, 69864 nguyên tử [12] AFEM Sai lệch, % [78] [12] AFEM Sai lệch, % AFEM [12] 1 3502,2 3473,8 -0,8 425,6 423,7 -0,4 302,7 295,9 -2,3 2 3503,8 3496p,7 -0,2 428,1 426,2 -0,4 376,1 378,1 0,5 3 4580,5 4441,1 -3,0 556,1 535,9 -3,6 420,3 413,8 -1,5 4 5220,4 5164,8 -1,1 636,5 628,4 -1,3 426,6 424,4 -0,5 5 5771,9 5748,4 -0,4 705,8 703,7 -0,3 489,5 476,3 -2,7 6 6282,6 6159,6 -2,0 764,6 740,3 -3,2 527,1 510,3 -3,2 7 6298,3 6165,7 -2,1 773,4 745,8 -3,6 572,4 564,3 -1,4 8 6336,2 6412,3 1,2 775,4 783,9 1,1 581,2 571,9 -1,6 9 7076,8 7046,3 -0,4 868,6 860,3 -1,0 611,9 600,1 -1,9 10 7161,2 7082,2 -1,1 873,9 863,6 -1,2 684,8 664,5 -3,0 Các sai lệch (%) xuất hiện trong bảng 3.2 là độ lệch giữa kết quả của phương pháp AFEM với phương pháp sử dụng mô hình mạng lưới tinh thể của Arghavan và cộng sự. Tiếp theo, các tấm graphene hình chữ nhật tỉ lệ các cạnh xấp xỉ 10 (Lx/Ly ~ 10 cho tấm armchair và Ly/Lx ~ 10 cho tấm zigzag) được khảo sát dưới điều kiện biên các cạnh là tự do. Các tần số dao động dọc trục trong mặt phẳng fA (cm-1) và tần số dao động uốn trong mặt phẳng fB (cm-1) của tấm graphene chữ nhật thu được bởi phương pháp AFEM cũng được so sánh với những kết quả của Gupta và Batra khi sử dụng mô hình liên tục tương đương (bảng 3.3). Các tần số dùng đơn vị cm-1 là tần số đơn vị Hz chia cho tốc độ ánh sáng (3×1010 cm/s). Kết quả thu được từ phương pháp AFEM, tác giả đã sử dụng mô hình nguyên tử rời rạc so sánh với những kết quả thu được từ các phương pháp khác sử dụng mô hình liên tục tương đương là rất khớp nhau (Sai lệch <5%). Điều này chứng minh tính đúng đắn của mô hình và phương pháp được sử dụng trong nghiên cứu này. Bảng 3.3 So sánh tần số dao động (cm-1) của tấm graphene, điều kiện 4 cạnh tự do Tấm Nguyên tử Dạng riêng f A, cm-1 f B, cm-1 [48] AFEM [48] AFEM [48] AFEM AFEM [48] Armchair 2652 2652 1 12,741 13,262 4,1 2,364 2,474 4,7 2 25,467 26,516 4,1 6,220 6,503 4,6 3 38,162 39,752 4,2 11,467 12,003 4,7 Zigzag 2652 2656 1 12,656 13,097 3,5 2,321 2,382 2,6 2 25,303 26,189 3,5 6,098 6,267 2,8 3 37,923 39,268 3,5 11,247 11,583 3,0 Armchair 5886 5886 1 8,628 8,981 4,1 1,620 1,699 4,9 10 2 17,246 17,956 4,1 4,269 4,460 4,8 3 25,843 26,919 4,2 7,861 8,219 4,6 Zigzag 6204 6204 1 8,560 8,900 4,0 1,673 1,736 3,8 2 17,114 17,795 4,0 4,374 4,540 3,8 3 25,647 26,681 4,0 8,017 8,334 4,0 Ta thấy, ở cùng một điều kiện biên, khi kích thước tấm tăng lên thì tần số dao động riêng của tấm graphene giảm. 3.3 Ảnh hưởng của điều kiện biên tới tần số dao động tự do Khảo sát các tấm có số lượng nguyên tử NAtom = 4032 với kích thước như sau: - Tấm graphene Lx = 10,207 nm; Ly = 10,082 nm - Tấm BN Lx = 10,423 nm; Ly = 10,295 nm - Tấm SiC Lx=12,723 nm và Ly= 12,567 nm. Tần số đầu tiên của mười tấm na nô với các điều kiện biên khác nhau được thể hiện trong hình 3.2 - 3.4. Các tần số tự nhiên của tấm có điều kiện biên (BC1) là cao nhất. Tần số các tấm có điều kiện biên (BC4) và (BC5) là thấp nhất. Các tấm có điều kiện biên BC2 và BC3 cho tần số tự nhiên khá tương tự. Kết quả tần số tự nhiên của tấm graphene là cao nhất, trong khi tấm SiC là thấp nhất. 3.4 Ảnh hưởng của kích thước tấm tới tần số dao động tự do Khảo sát các tấm armchair và zigzag với tỉ lệ cạnh khác nhau. Thông số các tấm graphene, BN, SiC tỉ lệ kích thước cạnh Ly/Lx giảm dần là 1:1; 1:0,5 và 1:0,25. Tấm armchair kích thước cạnh zigzag Lx tăng dần từ 10,207 nm đến 20,045 nm đối với tấm graphene, từ 10,42 tới 20,47 nm đối với tấm BN, và từ 12,72 nm tới 24,99 nm đối với tấm SiC. Kết quả ba tần số lẻ đầu tiên của các tấm với kích thước khác nhau được liệt kê trong bảng 3.6 - 3.8. Hình 3.2 Tần số dao động của tấm Graphen phụ thuộc vào điều kiện biên 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F re q u en cy , T H z Mode Graphene BC1 BC2 BC3 BC4 BC5 Hình 3.3 Tần số dao động của tấm BN phụ thuộc vào điều kiện biên 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F re q u en cy , T H z Mode BN BC1 BC2 BC3 BC4 BC5 Hình 3.4 Tần số dao động của tấm SiC phụ thuộc vào điều kiện biên 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F re q u en cy , T H z Mode SiC BC1 BC2 BC3 BC4 BC5 11 Bảng 3.6 Tần số (THz) của tấm graphene Tỉ lệ cạnh AR 1:1 AR 1:0,5 AR 1:0,25 Dạng riêng Thứ nhất Thứ ba Thứ năm Thứ nhất Thứ ba Thứ năm Thứ nhất Thứ ba Thứ năm Tấm các-bon (graphene) armchair, điều kiện biên BC4 1 0.225 0.612 1.070 0.146 0.570 1.570 0.080 0.526 1.570 2 0.190 0.513 0.897 0.121 0.476 1.320 0.066 0.442 1.310 3 0.163 0.443 0.778 0.108 0.415 1.120 0.063 0.381 1.140 4 0.144 0.389 0.681 0.093 0.363 0.993 0.054 0.335 1.000 5 0.129 0.347 0.605 0.082 0.323 0.891 0.047 0.299 0.895 6 0.115 0.313 0.549 0.076 0.294 0.794 0.042 0.270 0.808 Tấm các-bon (graphene) zigzag, điều kiện biên BC5 1 0.227 0.613 1.080 0.146 0.569 1.560 0.081 0.521 1.560 2 0.187 0.508 0.895 0.120 0.470 1.300 0.067 0.433 1.290 3 0.166 0.446 0.782 0.107 0.416 1.130 0.060 0.381 1.140 4 0.143 0.388 0.681 0.095 0.363 0.977 0.051 0.332 0.991 5 0.126 0.343 0.604 0.083 0.321 0.868 0.045 0.294 0.874 6 0.116 0.314 0.550 0.077 0.294 0.791 0.042 0.269 0.804 Tấm các-bon (graphene) armchair, điều kiện biên BC2 1 0.630 1.130 1.390 0.555 1.090 1.810 0.410 1.060 2.110 2 0.529 0.950 1.160 0.462 0.914 1.530 0.340 0.889 1.770 3 0.455 0.818 1.000 0.403 0.792 1.290 0.311 0.766 1.530 4 0.400 0.718 0.878 0.352 0.694 1.140 0.270 0.673 1.340 5 0.357 0.640 0.782 0.313 0.617 1.030 0.238 0.600 1.200 6 0.321 0.578 0.707 0.285 0.559 0.911 0.212 0.541 1.080 Tấm các-bon (graphene) zigzag, điều kiện biên BC3 1 0.637 1.140 1.390 0.556 1.100 1.790 0.413 1.050 2.090 2 0.525 0.941 1.150 0.458 0.904 1.490 0.339 0.869 1.740 3 0.462 0.826 1.010 0.405 0.797 1.300 0.302 0.766 1.530 4 0.400 0.718 0.877 0.354 0.694 1.120 0.260 0.666 1.330 5 0.353 0.634 0.777 0.312 0.612 0.996 0.229 0.589 1.180 6 0.324 0.580 0.709 0.286 0.561 0.906 0.211 0.539 1.080 Bảng 3.7 Tần số (THz) của tấm BN Tỉ lệ cạnh AR 1:1 AR 1:0,5 AR 1:0,25 Dạng riêng Thứ nhất Thứ ba Thứ năm Thứ nhất Thứ ba Thứ năm Thứ nhất Thứ ba Thứ năm Tấm BN armchair, điều kiện biên BC4 1 0.190 0.517 0.898 0.124 0.481 1.314 0.068 0.449 1.320 2 0.161 0.434 0.751 0.102 0.402 1.113 0.056 0.377 1.100 3 0.138 0.374 0.651 0.091 0.351 0.941 0.054 0.325 0.974 4 0.121 0.328 0.570 0.079 0.307 0.833 0.046 0.286 0.856 5 0.109 0.293 0.507 0.070 0.272 0.747 0.040 0.255 0.761 6 0.098 0.264 0.460 0.065 0.248 0.666 0.036 0.230 0.684 Tấm BN zigzag, điều kiện biên BC5 12 Bảng 3.8 Tần số (THz) của tấm SiC 1 0.192 0.517 0.901 0.124 0.479 1.310 0.069 0.444 1.310 2 0.158 0.429 0.749 0.102 0.396 1.090 0.057 0.369 1.090 3 0.140 0.377 0.654 0.091 0.351 0.950 0.051 0.325 0.963 4 0.121 0.327 0.570 0.080 0.307 0.819 0.044 0.283 0.835 5 0.107 0.289 0.505 0.070 0.270 0.728 0.038 0.250 0.737 6 0.098 0.265 0.460 0.065 0.248 0.663 0.036 0.229 0.678 Tấm BN armchair, điều kiện biên BC2 1 0.528 0.958 1.160 0.466 0.920 1.520 0.347 0.904 1.790 2 0.443 0.804 0.973 0.389 0.769 1.287 0.288 0.759 1.500 3 0.381 0.692 0.841 0.339 0.666 1.080 0.263 0.654 1.300 4 0.335 0.608 0.737 0.296 0.584 0.960 0.228 0.575 1.140 5 0.299 0.542 0.656 0.263 0.519 0.863 0.201 0.512 1.020 6 0.269 0.489 0.593 0.239 0.470 0.765 0.180 0.462 0.919 Tấm BN zigzag, điều kiện biên BC3 1 0.533 0.962 1.160 0.467 0.921 1.500 0.348 0.893 1.780 2 0.440 0.796 0.966 0.385 0.760 1.250 0.286 0.741 1.470 3 0.387 0.699 0.845 0.341 0.670 1.090 0.255 0.653 1.300 4 0.335 0.607 0.736 0.297 0.584 0.939 0.220 0.568 1.130 5 0.296 0.536 0.651 0.262 0.515 0.836 0.194 0.502 0.995 6 0.271 0.491 0.594 0.240 0.472 0.760 0.179 0.460 0.914 Tỉ lệ cạnh AR 1:1 AR 1:0,5 AR 1:0,25 Dạng riêng Thứ nhất Thứ ba Thứ năm Dạng riêng Thứ nhất Thứ ba Thứ năm Dạng riêng Thứ nhất Tấm SiC armchair, điều kiện biên BC4 1 0.118 0.320 0.550 0.077 0.298 0.806 0.043 0.282 0.818 2 0.100 0.269 0.460 0.064 0.249 0.683 0.034 0.232 0.666 3 0.085 0.232 0.399 0.057 0.217 0.577 0.033 0.204 0.607 4 0.075 0.203 0.349 0.050 0.190 0.511 0.029 0.180 0.531 5 0.068 0.181 0.310 0.044 0.169 0.459 0.025 0.160 0.471 6 0.061 0.164 0.281 0.040 0.153 0.408 0.022 0.145 0.423 Tấm SiC zigzag, điều kiện biên BC5 1 0.119 0.321 0.553 0.077 0.297 0.803 0.043 0.279 0.815 2 0.098 0.266 0.459 0.064 0.246 0.669 0.035 0.232 0.674 3 0.087 0.234 0.401 0.057 0.217 0.583 0.032 0.204 0.597 4 0.075 0.203 0.350 0.050 0.190 0.503 0.027 0.178 0.518 5 0.066 0.180 0.310 0.044 0.168 0.447 0.024 0.157 0.457 6 0.061 0.164 0.282 0.041 0.154 0.407 0.022 0.144 0.420 Tấm SiC armchair, điều kiện biên BC2 1 0.323 0.594 0.714 0.287 0.571 0.932 0.215 0.568 1.100 2 0.272 0.499 0.597 0.240 0.479 0.791 0.179 0.477 0.922 3 0.233 0.429 0.517 0.209 0.413 0.665 0.163 0.411 0.812 4 0.205 0.377 0.452 0.183 0.362 0.590 0.141 0.361 0.710 5 0.183 0.336 0.403 0.162 0.323 0.530 0.125 0.322 0.630 6 0.165 0.303 0.364 0.147 0.291 0.470 0.112 0.290 0.566 13 Kết quả cho thấy tần số dao động tự do của tấm vật liệu graphene giảm khi kích thước của tấm tăng ở cả hai loại tấm zigzag và armchair và ở tất cả các điều kiện biên. Tần số của tấm armchair và tấm zigzag khá giống nhau khi cùng điều kiện biên và cùng tỉ lệ cạnh. Ở dạng dao động 1 và 3 đối với cả tấm zigzag và tấm armchair tần số dao động tự do của tấm có tỉ lệ cạnh AR 1:1 cao hơn các tấm tỉ lệ cạnh AR 1:0,5 và tỉ lệ cạnh AR 1:0,25. Ngược lại, trong dạng dao động 5, tấm armchair điều kiện biên BC2 và tấm zigzag điều kiện biên BC3, tần số dao động tự do của tấm có tỉ lệ cạnh AR 1:0.25 cao nhất, tiếp đến là tấm có tỉ lệ AR 1:0,5 cuối cùng là AR 1:1. Cũng trong dạng dao động 5, tấm zigzag điều kiện biên BC5 và tấm armchair BC4 tỉ lệ cạnh AR 1:0,25 và AR 1:0,5 có tần số dao động tự do là khá tương đồng, còn lại các tấm có tỉ lệ cạnh AR 1:1 cho tần số thấp nhất. 3.5 Ảnh hưởng của khuyết tật mất nguyên tử đến tần số dao động tự do của tấm Trong mục này ba tấm vật liệu graphene, BN và SiC như trong mục 3.3 được dùng để nghiên cứu ảnh hưởng của khuyết tật tới tần số dao động tự do của chúng. - Tấm graphene Lx = 10,207 nm; Ly = 10,082 nm - Tấm BN Lx = 10,423 nm; Ly = 10,295 nm - Tấm SiC Lx = 12,723 nm và Ly = 12,567 nm. Có hai mô hình khuyết tật được đề xuất là: - Mất 14 nguyên tử ở trung tâm tấm dọc theo phương zigzag (DF1) và - Mất 6 nguyên tử ở trung tâm tấm dọc theo phương armchair (DF2). Kết quả ảnh hưởng của các khuyết tật mất nguyên tử đến tần số dao động tự do (%) của tấm graphene với các điều kiện biên khác nhau được biểu diễn ở hình 3.25 – 3.29, của tấm BN được biểu diễn ở hình 3.30 – 3.34 và của tấm SiC được biểu diễn ở hình 3.35 – 3.39. Tấm SiC zigzag, điều kiện biên BC3 1 0.327 0.597 0.714 0.288 0.570 0.922 0.216 0.561 1.100 2 0.269 0.494 0.593 0.237 0.472 0.770 0.178 0.466 0.909 3 0.237 0.434 0.519 0.210 0.415 0.670 0.158 0.410 0.803 4 0.205 0.377 0.452 0.183 0.361 0.577 0.136 0.357 0.696 5 0.181 0.333 0.400 0.161 0.319 0.514 0.120 0.316 0.614 6 0.166 0.304 0.365 0.148 0.292 0.467 0.111 0.289 0.564 Graphene - BC1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mode V ar ia ti o n , % Pristine DF1 DF2 Hình 3.25 Ảnh hưởng của khuyết tật đến tần số riêng của tấm graphene có điều kiện biên BC1 Graphene - BC2 -4 -3 -2 -1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mode V ar ia ti o n , % Pristine DF1 DF2 Hình 3.26 Ảnh hưởng của khuyết tật đến tần số riêng của tấm graphene có điều kiện biên BC2 14 Trường hợp điều kiện biên BC1, tần số dao động tự do của dạng dao động 1, 2, 6 và 7 tăng trong đó tần số của tấm có khuyết tật DF1 cao hơn so với tấm khuyết tật DF2. Ở dạng dao động thứ 3, 9 và 10 thì khác biệt rất nhỏ, không đáng kể. Với dạng dao động 4, 5 và 8 tần số dao động tự do giảm, tần số của các tấm chịu khuyết tật DF1 thấp hơn so với tấm khuyết tật DF2. Trường hợp của BC2, tần số tự nhiên của dạng dao động 1, 2, 7 và 10 tăng, trong đó tần số của tấm có khuyết tật DF1 cao hơn so với tấm khuyết tật DF2. Ở dạng dao động 3, 6 và 8 khác nhau không đáng kể và thứ 4, thứ 5 và giảm tại 9. Điều kiện biên BC3, tần số dao động tự do dạng dao động 1, 2, 6, 7 và 10 tăng trong đó tần số của tấm khuyết tật DF1 cao hơn so với tấm khuyết tật DF2, dạng dao động 3 và các dạng còn lại khác nhau không đáng kể, dạng thứ 4, 5, 8 và 9 giảm. Với các điều kiện biên còn lại BC4, BC5 tần số của hầu hết các dạng dao động giảm, đặc biệt là ở dạng 5 và 6. Đối với các tấm vật liệu BN và SiC kết quả về tần số là tương đồng về xu hướng các dạng khi xét cùng điều kiện biên, cùng tỉ lệ cạnh và cùng dạng khuyết tật. Trong đó tấm graphene cho giá trị về tần số là lớn nhất, thứ hai là BN và cuối cùng là SiC. Kết quả cho thấy ảnh hưởng (%) của các khuyết tật mất nguyên tử (DF1) và (DF2) tới tần số dao động riêng của các tấm là không nhiều. Cụ thể sai lệch tần số riêng so với tấm nguyên trong khoảng từ 1% - 5%. CHƯƠNG 4 DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA ỐNG NA NÔ 4.1 Giới thiệu Trong chương này, phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM) phát triển trên hàm thế điều hòa tiếp tục được sử dụng để khảo sát đặc trưng dao động tự do của các ống na nô đơn lớp boron nitride (BN) silicon carbide (SiC) và ống na nô các-bon (CNT). Ống na nô đơn lớp zigzag, armchair được tạo thành từ các tấm vật đơn lớp bằng cách cuốn tấm theo phương zigzag, armchair tương ứng. Các thông số hình học biểu diễn ống na nô đơn lớp được đưa ra theo bảng 1.1. Tần số dao động tự do và dạng riêng của ống vật liệu na nô đơn lớp (SWNT) được tính toán có xét tới ảnh hưởng của sự thay đổi đường kính ống, chiều dài ống và Graphene - BC3 -3 -2 -1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mode V ar ia ti o n , % Pristine DF1 DF2 Hình 3.27 Ảnh hưởng của khuyết tật đến tần số riêng của tấm graphene có điều kiện biên BC3 Graphene - BC4 -4 -3 -2 -1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mode V ar ia ti o n , % Pristine DF1 DF2 Hình 3.28 Ảnh hưởng của khuyết tật đến tần số riêng của tấm graphene có điều kiện biên BC4 Graphene - BC5 -3 -2 -1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mode V ar ia ti o n , % Pristine DF1 DF2 Hình 3.29 Ảnh hưởng của khuyết tật đến tần số riêng của tấm graphene có điều kiện biên BC5 15 điều kiện biên: Thay đổi đường kính tương ứng sự thay đổi bước véc tơ n theo bảng 4.1; Thay đổi chiều dài ống thương ứng với sự thay đổi của tỉ lệ chiều dài trên đường kính (L/D); Các điều kiện biên được xét ở đây bao gồm: - C-C: hai đầu ống được ngàm. - C-F: một đầu ống ngàm, đầu còn lại tự do. - F-F: Hai đầu ống tự do. Bảng 4.1 Thông số bước véc tơ với đường kính ống (n,0) D(nm) (n,n) D(nm) BN SiC CNT BN SiC CNT 7 0.56 0.683 0.548 4 0.554 0.676 0.542 9 0.719 0.878 0.705 5 0.692 0.845 0.678 11 0.879 1.07 0.861 6 0.831 1.01 0.814 13 1.04 1.27 1.02 7 0.969 1.18 0.949 15 1.2 1.46 1.17 8 1.11 1.35 1.08 17 1.36 1.66 1.33 9 1.25 1.52 1.22 19 1.52 1.85 1.49 10 1.38 1.69 1.36 21 1.68 2.05 1.64 11 1.52 1.86 1.49 23 1.84 2.24 1.8 12 1.66 2.03 1.63 25 2 2.44 1.96 13 1.8 2.2 1.76 27 2.16 2.63 2.11 14 1.94 2.37 1.9 29 2.32 2.83 2.27 15 2.08 2.54 2.03 Kết quả về tần số và dạng dao động của ống sẽ được tính toán đưa ra bàn luận và so sánh với kết quả sử dụng các phương pháp khác đã được công bố trước đây như: Phương pháp mô hình liên tục tương đương của Gupta và cộng sự, phương pháp sử dụng mô hình mạng lưới tinh thể của S. Arghavan cùng cộng sự, và phương pháp dầm đàn hồi ba chiều của A. Sakhaee-Pour. 4.2 Kiểm nghiệm mô hình AFEM tính toán cho ống na nô So sánh các kết quả của phương pháp AFEM với phương pháp sử dụng mô hình mạng lưới tinh thể của S. Arghavan và A.V. Singh, kết quả trên bảng 4.6 cho thấy độ lệch tần số của hai phương pháp nhỏ hơn 5%. Bảng 4.6 So sánh tần số dao động tự do của các ống CNT BC CNT (8,0), D=0,626nm, L=5,826nm CNT (6,6), D=0,814nm, L=5,66nm C-F C-C C-F C-F Dạng riêng AFEM [11] Dạng riêng AFEM [11] Dạng riêng AFEM [11] Dạng riêng AFEM [11] Dạng riêng 1 0.074 0.075 -0.804 0.427 0.432 -1.230 0.103 0.104 -0.866 0.545 0.537 1.414 2 0.074 0.075 -0.804 0.427 0.432 -1.230 0.103 0.104 -1.151 0.545 0.540 0.907 3 0.427 0.432 -1.066 1.040 1.058 -1.720 0.556 0.557 -0.090 1.204 1.216 -0.946 4 0.427 0.432 -1.066 1.040 1.058 -1.720 0.556 0.559 -0.572 1.244 1.249 -0.368 5 0.613 0.630 -2.637 1.210 1.266 -4.430 0.645 0.626 3.118 1.254 1.267 -1.034 16 4.3 Dao động tự do dọc trục của ống na nô 4.3.1 Ảnh hưởng của đường kính tới tần số dao động tự do dọc trục Xét các ống vật liệu các-bon, SiC, BN, chiều dài ống L = 23 nm với ba điều kiện biên là ngàm hai đầu ống (C-C), ngàm một đầu ống (C-F) và hai đầu ống tự do (F-F). Đường kính ống thay đổi bằng cách thay đổi hai bước véc tơ đơn vị (n, m) theo bảng 4.1. Kết quả về tần số dao động tự do dọc trục được tính toán đưa ra trong hình (4.1 - 4.3). Kết quả như sau: Tần số dao động dọc trục tỉ lệ thuận với đường kính ống, đường kính tăng thì tần số cũng tăng. Tần số của ống zigzag có giá trị xấp xỉ ống armchair, lớn hơn trung bình khoảng 1,5% ở cả dải đường kính, cho tất cả các ống vật liệu và cả ba điều kiện biên. Trong cùng điều kiện biên tần số của ống các-bon (CNT) luôn có giá trị lớn nhất, lớn hơn trung bình khoảng 50% so với ống SiC và 16% so với ống BN. Các trường hợp ống có điều kiện biên (C-C) cho giá trị về tần Hình 4.1 Tần số đầu tiên dạng dao động dọc trục của ống na nô, chiều dài L=23nm, điều kiện biên C-C Hình 4.2 Tần số đầu tiên dạng dao động dọc trục của ống na nô, chiều dài L=23nm, điều kiện biên C-F Hình 4.3 Tần số đầu tiên dạng dao động dọc trục của ống na nô, chiều dài L=23nm, điều kiện biên F-F 17 số dọc trục lớn nhất, cụ thể lớn hơn hai lần so với ống có điều kiện biên ngàm một đầu C-F. Đường kính ống tăng 4 lần nhưng tần số chỉ thay đổi trung bình 2% như vậy có thể thấy tần số dọc trục không bị ảnh hưởng nhiều bởi đường kính. Điều này đúng cho tất cả các trường hợp ống được khảo sát. Trong đó các ống zigzag tần số thay đổi khoảng 2,3% trong khi các ống aimchair có tần số thay đổi là 1,6% như vậy các ống zigzag chịu ảnh hưởng của đường kính ống lớn hơn ống armchair. 4.3.2 Ảnh hưởng của chiều dài tới tần số dao động tự do dọc trục Xét các ống vật liệu các-bon, SiC, BN có bước véc tơ đối với ống zigzag là n = 19 và armchair n = 11; m = 11. Ba điều kiện biên là C-C, C-F và F-F. Chiều dài ống thay đổi bằng cách thay đổi tỉ số chiều dài trên đường kính (L/D). Tỉ lệ chiều dài trên đường kính L/D thay đổi lần lượt tăng dần từ 5. Kết quả về tần số dao động tự do dọc trục khi thay đổi chiều dài ống được tính toán đưa ra trong hình (4.4 - 4.6). Kết quả như sau: Chiều dài ống tăng thì tần số cũng giảm.Tần số của ống zigzag có giá trị xấp xỉ ống armchair, lớn hơn trung bình khoảng 0,7% ở cả dãy tỉ số L/D khảo sát. Trong cùng điều kiện biên tần số của ống các-bon (CNT) luôn có giá trị lớn nhất, lớn hơn trung bình khoảng 87% so với ống SiC và 18,5% so với ống BN.Các trường hợp ống có điều kiện biên (C-C) cho giá trị về tần số dọc trục lớn nhất, cụ thể lớn gấp hơn hai lần so với ống có điều kiện biên ngàm một đầu C-F. Tần số giảm 10 lần trong toàn dãy chiều dài ống được khảo sát cho thấy tần số dọc trục bị ảnh hưởng nhiều bởi chiều dài ống. Điều này đúng cho tất cả các trường hợp ống được khảo sát. Hình 4.4 Tần số dao động tự do dọc trục đầu tiên của ống na nô zigzag(19,0) và armchair (11,11), điều kiện biên C-C Hình 4.5 Tần số dao động tự do dọc trục đầu tiên của ống na nô zigzag(19,0) và armchair (11,11), điều ki