Tóm tắt Luận án Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô hình vật lý thống kê

g pháp dùng số ngẫu nhiên để lấy mẫu (sampling) trong một tập hợp thống kê bất kỳ cho trước [7,11]. 2.3.1 Nguyên tắc cơ bản của phương pháp mô phỏng Monte Carlo Mục đích của phương pháp MC là tính giá trị trung bình của các đại lượng vĩ mô của một hệ nhiều hạt khi biết được Hamiltonian của hệ. Một số đại lượng thường gặp là tính năng lượng trung bình , độ từ hóa trung bình Thuật toán cơ bản nhất trong mô phỏng Monte-Carlo là thuật toán Metropolis và nó có thể được diễn tả bởi biểu thức xác suất cho phép chuyển cấu hình . (2.8) 2.3.2 Lấy mẫu quan trọng Phép thử quan trọng quyết định bởi cách chọn hàm xác suất sao cho nó thoả mãn biểu thức . Có hai cách chọn xác xuất chuyển trạng thái 10 , (2.9) hoặc là (2.10) là một hệ số tùy ý mà nó có thể chọn là đơn vị [11]. 2.3.3 Các phương pháp biểu đồ a) Phương pháp biểu đồ đơn Mô phỏng Monte Carlo được thực hiện tại nhiệt độ T0 bằng cách tạo ra các cấu hình với xác suất tỉ lệ thuận với trọng số Boltzmann tronng đó , và là Hamiltonian của hệ. Biểu thức phân bố xác suất với bất kỳ có dạng , (2.11) trong đó . H(E,M) là biểu đồ thu được từ mô phỏng. Từ , giá trị trung bình của bất cứ hàm nào của E và M, có thể được tính như là một hàm liên tục của K . (2.12) b) Phương pháp đa biểu đồ Phương pháp đa biểu đồ [8] cho phép xác định các đại lượng vật lý chính xác hơn trong một khoảng nhiệt độ rộng hơn. Hệ phương trình đa biểu đồ có dạng , (2.13) trong đó . (2.14) Như vậy, giá trị trung bình của toán tử nào của S bất kỳ có thể tính được như là một hàm liên tục theo K. Đó là 11 , (2.15) trong đó . (2.16) c) Phương pháp Wang-Landau Các phương pháp biểu đồ chỉ có hiệu quả cao trong việc tính toán các hiệu ứng kích thước hữu hạn. Vì vậy, Wang và Landau đã đề xuất một thuật toán mới được gọi là “thuật toán biểu đồ phẳng” áp dụng trong không gian năng lượng nhằm xác định hàm mật độ trạng thái, từ đó xác định các đại lượng vật lý như là hàm liên tục theo nhiệt độ [16]. Trong vật lý thống kê thì tổng thống kê có thể viết dưới dạng (2.17) Khi tìm được mật độ trạng thái g(E), các đại lượng vật lý như năng lượng, độ từ hoá, nhiệt dung riêng, độ cảm từ có thể tính được một cách dễ dàng như là một hàm liên tục theo nhiệt độ   / ( )    BE k TE Ag E eA T Z , (2.18) trong đó, Z là tổng thống kê. 2.4 Kết luận Chuyển pha gom cụm tồn tại trong hầu hết các loài sinh vật. Ở đó, các quy tắc sắp xếp đóng vai trò chủ đạo cùng với tham số trường ngoài (nhiễu) để cấu thành hành vi. Lý thuyết chuyển pha trong các hệ vật lý được áp dụng một cách tương tự cho hệ sinh học, mặc dù trong các hệ này chỉ từ vài chục đến vài triệu đơn vị. Vì vậy, hiểu rõ chuyển pha trong các hệ vật lý có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật. Hành vi tập thể của các loài sinh vật, đặc biệt là hành vi gom cụm được mô phỏng tốt bằng các mô hình spin trong hệ vật lý. Trong chương này chúng tôi có giới thiệu khái quát về các mô hình spin: Ising, XY, Heisenberg và q-Potts, đó là cơ sở lý luận quan trọng cho việc lựa chọn mô hình để nghiên cứu trong luận án. 12 Ngoài ra, chúng tôi cũng đã trình bày về phương pháp mô phỏng MD và mô phỏng MC. Trong nghiên cứu về chuyển pha thì phương pháp MC với thuật toán Metropolis được sử dụng rất hiệu quả. Để nghiên cứu hiệu ứng kích thước hữu hạn, người ta sử dụng các phương pháp biểu đồ để tính chính xác các lũy thừa tới hạn. Thuật toán biểu đồ phẳng được đề xuất gần đây bởi Wang và Landau, đây là phương pháp hữu hiệu trong việc xác định chuyển pha loại I. Trên cơ sở lý thuyết này, tùy thuộc vào hành vi của sinh vật và mục đích nghiên cứu, chúng ta sẽ lựa chọn các mô hình và phương pháp hiệu quả nhất để áp dụng. Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu các kết quả nghiên cứu về chuyển pha gom cụm trong các hệ sinh vật bằng các phương pháp mô phỏng MD và MC. Chƣơng 3. NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG CÁC HỆ TỰ TỔ CHỨC 3.1 Giới thiệu chung Để áp dụng các mô hình vật lý trong việc nghiên cứu các hành vi của các loài sinh vật, người ta đưa ra một số khái niệm và đại lượng tương đương giữa hai hệ này: - Những tác động từ bên ngoài gây ảnh hưởng đến hành vi của các cá thể trong nhóm sinh vật được gọi là “nhiễu”, nó đóng vai trò tương đương với một đại lượng vật lý cơ bản, đó là nhiệt độ. - Hành vi của các loài sinh vật và pha trong mô hình spin sắt từ:  Khi không có sự tác động của các yếu tố xung quanh, gây nguy hiểm đến tính mạng, các cá thể trong bầy (đàn) sinh vật sẽ có khuynh hướng di chuyển tản mát ra xung quanh tìm kiếm thức ăn. Vị trí và hướng chuyển động của chúng trong không gian là khác nhau, vì vậy mà chúng được xem như là một hệ hỗn độn. Hành vi này được gọi là hành vi tự do và nó tương đương với pha mất trật tự trong mô hình spin.  Khi có tác động từ bên ngoài thì các cá thể sinh vật sẽ chuyển động lại gần nhau và tạo thành cụm (flocking), chúng cố gắng sắp xếp theo cùng một định hướng nhằm tạo nên một khối vững chắc để tự vệ. Hành vi này được gọi là gom cụm (flocking), và có thể xem như tương đương với pha trật tự của hệ spin ở nhiệt độ thấp. 13  Khi tác động từ bên ngoài trở nên rất mạnh và nó có thể gây nguy hiểm đến tính mạng của các cá thể sinh vật, thì chúng sẽ bỏ chạy tán loạn ra mọi hướng với tốc độ di chuyển nhanh nhất mà chúng có thể. Hành vi này tương đương với pha mất trật tự ở nhiệt độ cao trong mô hình spin. - Chuyển pha: quá trình chuyển từ hành vi này sang hành vi khác của các loài sinh vật được gọi là “chuyển pha”. Điển hình là quá trình thay đổi hành vi gom cụm sang hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật. 3.2 Hiệu ứng góc quan sát 3.2.1 Góc quan sát Hình 3-1 Thông số trật tự phụ thuộc nhiễu tương ứng với các góc quan sát xác định [10]. Trong việc nghiên cứu hiệu ứng góc quan sát, Gao và các cộng sự [10] đã đưa vào định nghĩa mới cho thông số trật tự ( ) 1 1 i n i t a i V e n     và khảo sát được sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu. Tuy nhiên, kết quả công bố cho thấy rằng, nhiễu tới hạn tăng khi giảm góc giới hạn từ xuống . Mặt khác, thông số trật tự mà họ thu được không diễn tả đúng dáng điệu của thông số trật tự tương ứng với các góc quan sát và (Hình 3-1). Để nghiên cứu về vấn đề này, chúng tôi sử dụng mô hình Vicsek chuẩn kết hợp với định nghĩa góc quan sát để khảo sát ảnh hưởng của góc quan sát vào hành vi flocking. 14 3.2.2 Phát triển mô hình Mô hình lý thuyết được đề xuất bởi Vicsek và các cộng sự [15], hệ bao gồm cá thể, ký hiệu bởi chỉ số i trong khoảng từ 1 đến N, chuyển động trong mặt phẳng (x, y) có kích thước với điều kiện biên tuần hoàn. Cá thể thứ i được đặc trưng bởi vị trí và vận tốc có trị tuyệt đối . Trong mô phỏng ta sử dụng điều kiện đầu tại thời điểm các hạt phân bố ngẫu nhiên trong không gian với cùng vận tốc tuyệt đối , chiều chuyển động của mỗi cá thể được xác định bởi góc có giá trị ngẫu nhiên trong khoảng từ 0 đến . Quy tắc cập nhật vị trí và chiều ở thời điểm của cá thể thứ i có dạng , (3.1) , (3.2) (3.3) ở đây là bước thời gian, và tương ứng là các thành phần vị trí và hướng của cá thể thứ i ở thời điểm t. Số hạng cuối trong công thức (3.3) là một số ngẫu nhiên được chọn trong khoảng , được gọi là nhiễu mà nó đóng vai trò như thông số nhiệt độ. Ký hiệu là trung bình của các hướng chuyển động của các cá thể trong vòng tròn bán kính R quanh các thể i và chính nó, được xác định bởi biểu thức sau . (3.4) Để nghiên cứu hiệu ứng về góc quan sát, chúng tôi giả thiết rằng khả năng quan sát của cá thể thứ i được xác định bởi hình rẻ quạt có bán kính R. Góc nhìn toàn phần được xác định bởi góc (Hình 3-2). Trong trường hợp , ta thu lại được mô hình Vicsek chuẩn. Để thuận tiện trong việc tính toán do tính đối xứng góc qua véc tơ định hướng , ta sử dụng ký hiệu . Như vậy, chỉ có các cá thể lân cận nằm trong tầm nhìn của của cá thể thứ i mới được xét đến trong quá trình tương tác, nghĩa là được đưa vào tính toán góc trung bình trên công thức (3.4). 15 Hình 3-2 Góc quan sát của cá thể thứ i, ký hiệu là một nửa góc quan sát. Thông số trật tự của hệ này được viết lại dưới dạng , (3.5) trong đó N là tổng số cá thể. Dĩ nhiên, thông số trật tự là một hàm của nhiễu . Tương tự như trong lý thuyết nhiệt động lực học, chúng ta sử dụng biểu thức variance của thông số trật tự (hay còn gọi là độ cảm từ) . (3.6) Từ đó, chúng ta có thể xác định được giá trị tới hạn của nhiễu tại điểm chuyển pha thông qua việc xác định giá trị mà đạt giá trị cực đại. 3.2.3 Kết quả mô phỏng Trong tất cả các mô phỏng, chúng tôi sử dụng các tham số mô hình cụ thể như sau: bán kính đường tròn và bước thời gian , vận tốc tuyệt đối và mật độ xác định , nghĩa là kích thước không gian . Tổng số cá thể của hệ được xét là 100, 196, 400, 900, 1600, 2500 và 3600, N được gọi là kích thước hệ. Góc quan sát thay đổi giữa 0 và , hay . Đầu tiên chúng tôi khảo sát trong trường hợp tới hạn khi góc quan sát của các cá thể là 360o, chúng ta thu được thông số trật tự và variance của nó phụ thuộc nhiễu biểu diễn trên các Hình 3-3 với kích thước hệ N = 100. Kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả mô phỏng của Vicsek. Sau đó thay đổi các góc quan sát và thu được giá trị nhiễu tới hạn tính toán được tương ứng với các góc quan sát là và . Kết quả chỉ rõ rằng, trong tất cả 16 các trường hợp góc quan sát thay đổi, giá trị thông số trật tự đều bằng 1 tại miền nhiễu thấp và dần về 0 khi nhiễu cao. Điều này là đúng với ý nghĩa của Landau về thông số trật tự. Kết quả này đã khắc phục tồn tại trong nghiên cứu của Gao và các cộng sự (Hình 3-1). Hình 3-3 Thông số trật tự (hình bên trái) và varian của nó (hình bên phải) biến thiên theo với các góc quan sát và . Ta thấy trên Hình 3-3 thông số trật tự đạt giá trị cực đại ( ) ở vùng nhiễu thấp. Các cá thể trong nhóm chuyển động song song với nhau theo cùng một hướng nào đó, và hệ được xem như ở pha trật tự. Trạng thái này tương đương với hành vi gom cụm của các loài sinh vật. Khi tăng nhiễu lên thì các cá thể bắt đầu chuyển động với định hướng lệch so với hướng trung bình của các cá thể lân cận, bởi vậy giá trị trung bình hướng chuyển động của các cá thể giảm, dẫn đến thông số trật tự giảm. Ở vùng nhiễu cao, các cá thể trong nhóm sinh vật chuyển động một cách hỗn loạn, dẫn đến thông số trật tự của hệ giảm dần đến zero. Trạng thái này của hệ được gọi là hỗn độn hay pha mất trật tự ở vùng nhiễu cao. Nó tương đương với hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật khi gặp nguy hiểm. Tiếp tục khảo sát chi tiết trên nhiều giá trị khác nhau của góc quan sát, chúng ta thiết lập giản đồ pha trong không gian với biến thiên trong khoảng từ 0 đến (nghĩa là ). Kết quả chỉ ra trong Hình 3-4 cho chúng ta thấy giá trị tới hạn giảm nhanh khi giảm góc quan sát từ đến , sau đó giảm chậm trong miền . 17 Hình 3-4 Giản đồ pha trong không gian với N = 100, 400 và 900. Pha (I) và (II) ứng với góc quan sát của con mồi và vật săn. Chúng ta dễ dàng nhận thấy giản đồ được chia thành hai pha phân cách bởi góc quan sát . Pha thứ nhất (pha I) tương ứng với góc quan sát rộng của các loài con mồi có cấu trúc mắt nằm ở hai bên. Pha thứ hai tương ứng với các loài thú săn có cấu trúc mắt nằm ở phía trước. Một câu hỏi gợi mở từ điều này là phải chăng có sự tách pha xảy ra tại giá trị góc quan sát ? Để giải đáp cho câu hỏi này, chúng ta tiến hành khảo sát giá trị tới hạn của nhiễu phụ thuộc vào kích thước của hệ với các giá trị của góc quan sát khác nhau. Hình 3-5 Nhiễu tới hạn như là hàm của nghịch đảo của kích thước hệ 1/N đối với . Trên Hình 3-5. Ta thấy, nhiễu tới hạn giảm khi tăng kích thước của hệ N. Đối với các giá trị góc quan sát ở pha I ( ), hội tụ về một giá trị không đổi (hằng số). Ngược lại, đối với góc quan sát ở pha II thì hội tụ về 0, nghĩa là không có chuyển pha trong 18 miền này. Kết quả này đã thêm phần khẳng định về sự tách pha theo góc quan sát tại giá trị tới hạn , phù hợp với những nhận xét trên giản đồ pha. Tóm lại, chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật chỉ xảy ra đối với các loài sinh vật thuộc loại con mồi với cấu trúc mắt có góc quan sát rộng hơn 180o, . Như chúng ta đã biết thì luỹ thừa tới hạn trong hệ spin được xác định thông qua hệ thức [7], trong đó L là kích thước mạng và là một luỹ thừa tới hạn khác. Chú ý là ta không thể xác định được luỹ thừa tới hạn trong mô hình đang xét. Bởi vậy, ta đưa vào một định nghĩa tương đương mà nó được xác định dựa trên hệ thức , với N là tổng số cá thể của hệ và là giá trị cực đại của variance (công thức (3.6)). Xét một số trường hợp góc tới hạn mà chúng đại diện cho pha (I) và pha (II), chúng ta tính toán được các luỹ thừa tới hạn , tương ứng với các góc quan sát và , tương ứng với . Hình 3-6 Sự phụ thuộc của vào N tính theo tỷ lệ . Kết quả tính toán luỹ thừa tới hạn này đã được trình bày trên Hình 3-6. Các điểm số liệu gần như hoàn toàn nằm trên đường thẳng lý thuyết. Về mặt định lượng, ta thấy có sự khác biệt về độ lớn của luỹ thừa tới hạn. Giá trị đối với các góc quan sát rộng (pha I), và tương ứng với trường hợp ngược lại của góc quan sát (pha II). Tóm lại, dưới tác động của môi trường xung quanh, hành vi của các loài sinh vật thay đổi từ pha gom cụm có trật tự sang pha mất trật tự. Chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật phụ thuộc rất nhiều vào khả năng quan sát của các loài sinh vật. Khả năng quan sát càng rộng thì hành 19 vi gom cụm càng thể hiện rõ. Có sự tồn tại của giá trị tới hạn của góc quan sát mà nó phân chia chuyển pha gom cụm thành hai miền (pha I và II) tương ứng với cấu trúc mắt của hai loài con mồi và thú săn. Khi số lượng cá thể của hệ tăng lên thì giá trị tới hạn của nhiễu tại điểm chuyển pha giảm. Như vậy, nhiễu tới hạn không chỉ phụ thuộc vào góc quan sát mà còn phụ thuộc vào kích thước hệ N. 3.3 Đề xuất các mô hình mới để nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật Trong nghiên cứu chuyển pha trật tự của các hệ các loài sinh vật, cơ sở nghiên cứu là mô hình Vicsek chỉ giải thích được chuyển pha ở miền nhiễu cao, nghĩa là chuyển pha từ trật tự sang mất trật tự mà không giải thích được chuyển pha trong miền nhiễu thấp. Mặc khác, các kết quả nghiên cứu từ đó cũng cho rằng chuyển pha là liên tục. Tuy nhiên, quan sát các kết quả thực nghiệm ta nhận thấy chuyển trạng thái diễn ra rất nhanh nên ta dự đoán là chuyển pha gián đoạn (loại I). Vì vậy chúng tôi sẽ nghiên cứu rõ các vấn đề chuyển pha này bằng cách đề xuất các mô hình mới dựa trên cơ sở các mô hình vật lý thống kê. 3.3.1 Mô hình spin XY Trong mô hình này, chúng ta xét các cá thể trong nhóm giống như các spin XY, có thể chuyển động tự do với cùng vận tốc trong mặt phẳng có kích thước . Hướng chuyển động của cá thể thứ i được diễn tả bởi véc tơ spin hai thành phần . Định nghĩa này tương tự với vận tốc trong mô hình Vicsek. a) Định nghĩa tương tác Xét một hệ tự tổ chức gồm N phần tử chuyển động liên tục trong mặt phẳng (x, y). Phần tử thứ i có vị trí và hướng chuyển động với giá trị tuyệt đối là . Hamiltonian của hệ được định nghĩa dưới dạng , (3.7) trong đó được gọi là tương tác trao đổi giữa các cá thể. Nghĩa là , (3.8) 20 với là khoảng cách giữa cá thể thứ i và thứ j. là hằng số dương, đặc trưng cho tương tác sắt từ trong mô hình spin. Số hạng thứ hai trong phương trình (3.7) có dạng thế Morse , (3.9) ở đây, là các hằng số đặc trưng cho mô hình. Do sự cạnh tranh tương tác giữa tương tác trao đổi và thế Morse ở khoảng cách gần, các hạt có xu hướng tiến lại gần nhau và đồng thời đổi hướng . Để tránh hiện tượng này, chúng ta đưa thêm vào thế hoá học có biểu thức được viết dưới dạng như sau , (3.10) với là hằng số, được xác định qua biểu thức và là tổng số hạt trong một đơn vị diện tích bao quanh cá thể i. Phép lấy tổng trong các công thức (3.8) và (3.9) được tính cho các cá thể lân cận gần nằm trong vòng tròn bán kính có tâm tại vị trí của hạt đang xét. Bán kính này được gọi là bán kính cắt (cut-off) sao cho giá trị của thế tương tác giữa hai hạt đủ bé khi khoảng cách giữa chúng lớn hơn bán kính này ( ). Tương tự như trong mô hình spin, chúng ta sử dụng các định nghĩa cho thông số trật tự (độ từ hoá) là , (3.11) Để đánh giá mức độ gom cụm của các cá thể trong một hệ, ta sử dụng đại lượng mật độ có dạng . (3.12) 3.3.2 Kết quả mô phỏng Bây giờ ta áp dụng thuật toán vừa được trình bày ở phần trên để mô phỏng tính toán các đại lượng cơ bản của mô hình mới. Chúng ta sử dụng các tham số mô hình như sau: , bán kính cut-off của thế tương tác trao đổi (3.8) và thế hoá học (3.10) được chọn là . Các tham số cho thế Morse là và . Thế 21 hoá học . Vận tốc cực đại có giá trị không đổi . Với mỗi giá trị nhiễu , thời gian tính cân bằng là bước MC trên mỗi cá thể, số bước MC trên mỗi cá thể thực hiện để tính toán các đại lượng trung bình là . Điều kiện biên tuần hoàn được áp dụng trên cả hai chiều x, y. Xét hệ gồm cá thể chuyển động tự do trong không gian giới hạn bởi hình vuông kích thước . Thông số trật tự của hệ và mật độ các cá thể được xác định thông qua các biểu thức (3.11) và (3.12). Hình 3-7 Thông số trật tự và mật độ phụ thuộc vào nhiễu với N = 100. Hình 3-7 là đồ thị của thông số trật tự và mật độ phụ thuộc vào nhiễu. Ta thấy rằng, hệ trải qua hai điểm chuyển pha khi nhiễu thấp và nhiễu cao . Các điểm chuyển pha tách hệ thành 3 pha: pha I, II và III tương ứng với nhiễu thấp , nhiễu trung bình và nhiễu cao . Trong pha I, thông số trật tự có giá trị khoảng 0.2 và mật độ . Ta nói, hệ ở pha không trật tự với mật độ thấp. Pha I có thể xem như tương ứng với hành vi tự do của các loài sinh vật khi không bị tác động của trường ngoài, ở đó các cá thể phân bố rộng trong không gian và định hướng mất trật tự để dễ dàng tìm kiếm thức ăn. Trong trường hợp nhiễu cao , hệ thay đổi từ pha trật tự mật độ cao (pha II) sang pha không trật tự mật độ thấp (III). Thông số trật tự giảm nhanh về 0, đồng thời mật độ giảm nhanh xấp xỉ bằng 0. Pha III tương ứng với hành vi chạy tán loạn của các cá thể trong nhóm sinh vật, chúng chạy tản ra theo mọi hướng khác nhau với tốc độ nhanh nhất nhằm tránh xa thú săn để bảo toàn sinh mạng. Như vậy, với việc đề xuất mô hình mới dựa trên một số định nghĩa tương tác đã biết trong vật lý, chúng ta đã diễn tả được một cách đầy đủ 22 cả hai quá trình chuyển pha ở vùng nhiễu thấp và ở vùng nhiễu cao. Diễn tả được các hành vi của các loài sinh vật. Đã khắc phục được hạn chế của các mô hình đã được đề xuất trước đây bởi các tác giả khác. Tuy nhiên, mô hình mới được đề xuất vẫn còn tồn đọng một số hạn chế, đó là chưa xác định được loại chuyển pha gom cụm. Nguyên nhân là phải thực hiện thời gian mô phỏng rất lâu để có thể đưa hệ về trạng thái cân bằng ở vùng nhiễu thấp. Đôi khi, hệ rơi vào trạng thái đông cứng từng phần (frozen). Để khắc phục những hạn chế trên, chúng tôi sẽ tiếp tục đề xuất một mô hình khác dựa trên mô hình q-Potts và sẽ được trình bày trong mục tiếp theo của chương này. 3.3.3 Mô hình q-Potts Trên quan sát thực tế thì các cá thể sinh vật trong cùng một nhóm có phản ứng khác nhau trước tác động của môi trường bên ngoài. Ví dụ như khi đối mặt với một đối tượng kích thích nào đó, một số cá thể sẽ phản ứng ngay với kích thích này, trong khi đó có một số cá thể sẽ phản ứng chậm hơn hoặc không có phản ứng gì. Hiện tượng này thường được diễn tả bởi các tập logic “mờ” (fuzzy logic). Hay nói cách khác, hành vi phản ứng của các loài sinh vật thường là không đồng nhất, cho dù chúng sống chung trong cùng một bầy đàn. a) Xây dựng mô hình Dựa vào cơ sở suy luận vừa trình bày ở trên, chúng ta đưa ra giả thiết rằng, mỗi một cá thể sinh vật được đặc trưng bởi hai bậc tự do, tương ứng với trạng thái nội tại và trạng thái thể hiện ra bên ngoài của chúng. Trạng thái nội tại có thể rơi vào một trong hai lựa chọn: hoặc là bị kích thích, hoặc là không bị kích thích. Trạng thái nội tại này được lượng hoá bởi ký hiệu mà nó chỉ nhận một trong hai giá trị: nếu như cá thể này bị kích thích và nếu như nó không bị kích thích. Trạng thái bên ngoài (bậc tự do thứ 2) của một cá thể được đặc trưng bởi vị trí trong không gian và hướng chuyển động . Chú ý là trạng thái nội tại là một thông số quan trọng của mô hình và nó sẽ quyết định cho hành vi của mỗi cá thể trong đàn, nghĩa là quyết định cho việc tương tác hay không tương tác với các cá thể lân cận. Chúng ta giả thiết thêm rằng, trạng thái nội tại của một cá thể nào đó ở trạng thái không bị kích thích (không lo lắng, sợ hãi) thì năng lượng nội tại của nó có giá trị là (với là một số dương). Ngược lại, năng lượng 23 của nó sẽ là nếu như chúng cảm thấy sợ hãi trước tác động của nhiễu, hay còn gọi là trạng thái bị kích thích. Theo lý thuyết vật lý thống kê thì xác suất để cá thể nào đó nằm ở trạng thái không bị kích thích hoặc bị kích thích có thể xác định được dựa trên các biểu thức [6]: , (3.13) trong đó là hàm tổng thống kê và được định nghĩa bởi công thức . (3.14) Chú ý rằng, do . Bởi vậy, xu hướng chuyển về trạng thái không bị kích thích sẽ tỷ lệ với . Từ đó ta tính được tổng số cá thể ở trạng thái không bị kích thích: . (3.15) với là tổng số cá thể trong hệ. Từ đây ta có thể suy ra số các cá thể bị kích thích . (3.16) Bây giờ, chúng ta đặt hệ bao gồm N cá thể này trên một mạng có cấu trúc tam giác 2 chiều với kích thước . Kích thước không gian được chọn sao cho tổng số các nút mạng phải lớn hơn nhiều so với tổng số các cá thể, nghĩa là . Nhờ vậy mà các cá thể có thể dịch chuyển dễ dàng từ nút mạng này sang nút mạng khác. Trạng thái định hướng của mỗi cá thể được chọn tương tự với spin trong mô hình Potts đồng hồ q trạng thái, nghĩa là véc tơ định hướng có góc lệnh so với trục hoành nhận q giá trị gián đoạn từ 0 đến , nghĩa là với . Để đơn giản, chúng ta chọn giá trị tương ứng với 6 lân cận gần nhất của một cá thể trong mạng tam giác. Lúc đó, trạng thái định hướng của mỗi cá thể được gán cho các giá trị là với các góc lệch tương ứng . Các véc tơ định hướng này được diễn tả trên Hình 3-8. 24 Hình 3-8 Sơ đồ các véc tơ định hướng với trạng thái. Hamiltonian của hệ được viết dưới dạng , (3.17) ở đây tổng được tính trên các cá thể lân cận bậc III. Hệ số được chọn có dạng của thế Lennard-Jones: , (3.18) trong đó là khoảng cách giữa hai cá thể và . Ta chọn để cho tại khoảng cách (tính theo đơn vị hằng số mạng), là một số dương. Tương tác giữa hai cá thể và hoàn toàn phụ thuộc vào trạng thái nội tại của chúng. Cụ thể là nếu cả hai cá thể không bị kích thích , và trong các trường hợp còn lại. Chú ý là một cá thể ở trạng thái bị kích thích vẫn tương tác với các cá thể không bị kích thích, nhờ vậy mà nó có thể diễn tả được hành vi tập thể của các loài sinh vật. b) Nghiên cứu chuyển pha trong hành vi gom cụm Tương tự như đã thực hiện mô phỏng cho mô hình spin XY, chúng ta sử dụng lại các đại lượng vật lý cơ bản như thông số trật tự và mật độ được định nghĩa như sau: - Thông số trật tự , (3.19) với . (3.20) Phép tính tổng trong công thức (3.20) được thực hiện trên tất cả các cá thể của hệ. Ta thấy rằng, khi hệ ở pha trật tự thì tất cả các cá thể có cùng 25 một giá trị , do đó mà thông số trật tự đạt giá trị cực đại . Đối với pha mất trật tự, các cá thể có thể nhận tất cả các giá trị khả dĩ của , nghĩa là với mọi giá trị , dẫn đến . - Mật độ , (3.21) với là số cá thể lân cận gần nhất xung quanh . Đại lượng trong công thức (3.21) đặc trưng cho phân bố không gian của các cá thể. Như vậy, hành vi của một nhóm sinh vật hoàn toàn có thể được mô tả đầy đủ bởi hai tham số và . Tiếp theo, chúng ta thực hiện mô phỏng bằng phương pháp Monte- Carlo với các thông số mô hình được chọn như sau: , (tính theo đơn vị năng lượng), kích thước hệ và 900, kích thước mạng không gian . Ban đầu, vị trí của các cá thể được gieo ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều trên không gian mạng. Giá trị định hướng của các cá thể cũng được gieo ngẫu nhiên bởi các số nguyên từ 1 đến 6. Tại mỗi bước mô phỏng với một giá trị xác định của nhiễu , ta tính toán số các cá thể bị kích thích dựa trên công thức (3.16). Sau đó ta chọn ngẫu nhiên cá thể trong hệ và gán trạng thái nội tại của chúng với trạng thái bị kích thích . Các cá thể còn lại hiển nhiên được gán cho trạng thái không bị kích thích . Vị trí và định hướng của một cá thể đang xét sẽ được cập nhật theo thuật toán Metropolis. Quá trình mô phỏng được thực hiện với bước MC trên một cá thể để đưa hệ về trạng thái cân bằng, các đại lượng trung bình thống kê được tính toán trên bước MC cho mỗi cá thể. Để bảo toàn số hạt