Tóm tắt Luận án Phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

1.2.6. Các thành tố của năng lực trực giác toán học của học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông 1.2.6.1. Năng lực liên tưởng và hình dung được vấn đề: Trong dạy học môn Toán, khi tiếp xúc với vấn đề phức tạp, trừu tượng, quá trình nhận thức của HS diễn ra dễ dàng hơn nếu họ có thể liên tưởng đến những vấn đề đã biết (vấn đề tương tự hay đối lập, quan hệ nhân quả) có liên quan đến nó và hình dung ra được việc sử dụng hình ảnh trực quan để thấu hiểu vấn đề phức tạp hay thấy được mô hình cụ thể biểu diễn làm cho vấn đề đó trở nên đơn giản, gần gũi hơn để có thể nắm bắt được vấn đề hay cách thức giải quyết của vấn đề. Do đó, NL liên tưởng và hình dung được vấn đề được hiểu như là chủ thể HS có khả năng liên hệ những kiến thức quen thuộc liên quan đến vấn đề, kết nối được các đối tượng, quan hệ toán học với nhau trong những tình huống nhận thức cụ thể, đồng thời có khả năng hình dung được trong đầu về không gian vấn đề, để chủ thể có thể nắm bắt hay giải quyết được vấn đề toán học đang xem xét. 1.2.6.2. Năng lực khái quát hóa nhanh chóng: TGTH là nhận thức trực tiếp các yếu tố, đối tượng toán học, xem như là sự bừng sáng đột ngột, có thể là kết quả của sự vận động các cách thức hành động khái quát và các cấu trúc rút gọn. Theo V. A. Krutexki “Trong nhiều trường hợp, sự bừng sáng đột ngột của HS có NL có thể được giải thích bởi sự ảnh hưởng vô thức của kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của chúng là NL KQH các đối tượng, các quan hệ, các phép toán học và NL tư duy bằng các cấu trúc rút gọn”. Bởi TGTH là sự nhận thức nắm bắt các đối tượng, quan hệ và vấn đề toán học một cách nhanh chóng do xảy ra sự giản lược, rút gọn các bước lập luận phân tích trong quá trình lĩnh hội của chủ thể nhận thức trên cơ sở NL KQH các đối tượng, quan hệ và vấn đề toán học đó. Do đó muốn hình thành NL TGTH cho HS cần luyện tập NL KQH một cách nhanh chóng để có thể giúp họ thấy được bản chất, quy luật của vấn đề toán học hay thấy được ngay chiến lược giải một bài toán. 1.2.6.3. Năng lực phán đoán và đưa ra quyết định: Trong dạy học Toán, NL phán đoán và đưa ra quyết định có liên quan trực tiếp tới khả năng TGTH của HS. Việc HS có thể nắm 9 bắt ngay được chiến lược, giải pháp giải quyết của vấn đề, hay nhận thức nhanh chóng các đối tượng, quan hệ toán học thể hiện qua việc HS có khả năng đưa ra những phán đoán cho vấn đề đang xem xét (có thể cảm nhận ngay ban đầu khi mới tiếp cận vấn đề, hoặc đưa ra phán đoán sau khi thực hiện các liên tưởng, suy luận nhanh chóng). Dựa trên những dự đoán đó, HS hình dung và lựa chọn phán đoán thích hợp từ đó có những quyết định cho việc GQVĐ. Việc đề xuất ngay những phán đoán khi cảm nhận ngay về vấn đề là cách thức cần thiết và quan trọng đối với người học để tiến hành TGTH trong giải quyết các vấn đề không quen thuộc mà HS chưa biết phương pháp giải trước đó. Vì vậy, GV cần hướng dẫn cho HS cách suy đoán, tiến hành dự đoán, suy luận nhanh cách biến đổi bài toán, thấy trước con đường đi và các bước biến đổi của các biểu thức, trước khi bắt tay vào thực hiện chi tiết. 1.2.6.4. Năng lực rút gọn quá trình lập luận: Theo Krutexki, “trong một số trường hợp đơn giản cấu trúc lập luận ở HS có năng khiếu về toán được rút gọn tới mức hầu như hình thành mối liên hệ trực tiếp giữa việc tri giác bài toán và kết quả”. Bên ngoài hiện tượng này có vẻ như là “thiếu lập luận”, “thiếu tư duy” song ngược lại đó chính là mức độ cao của quá trình tư duy, trong lập luận rút gọn các khâu cần thiết là không thiếu chỉ là được rút gọn mà thôi. NL rút gọn quá trình lập luận giúp HS hình dung ra được đường lối GQVĐ mới hay thấy được kết quả bài toán bằng suy diễn rút ngắn sau khi nhận thức nhanh chóng các khâu liên tiếp của quá trình lập luận. 1.3. Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học Toán 1.3.1. Hoạt động nhận thức toán học: Theo Đào Tam và Trần Trung, “HĐNT toán học là quá trình tư duy dẫn tới lĩnh hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó: Xác định được mối liên hệ nhân quả và các mối liên hệ khác của các đối tượng toán học được nghiên cứu (khái niệm; quan hệ; quy luật toán học;...); từ đó vận dụng được tri thức toán học giải quyết các vấn đề thực tiễn”. 1.3.2. Đặc trưng của hoạt động nhận thức toán học - Tư duy điều khiển HĐNT toán học của HS. - Các loại hình logic điều chỉnh HĐNT. - Sử dụng các dạng suy luận trong HĐNT toán học. - Quan tâm tới đặc thù của HĐNT toán học trong dạy học Toán. - Đề cao vai trò tự giác, tích cực và độc lập nhận thức của người học dưới vai trò tổ chức, định hướng của người dạy. 1.3.3. Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học Toán: Tổ chức HĐNT trong dạy học Toán là quá trình GV tìm tòi, chọn lọc cách thức, phương pháp sư phạm hướng dẫn cho HS tư duy dẫn tới lĩnh hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó, từ đó vận dụng được tri thức toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn. 1.4. Cơ hội phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông 1.4.1. Những lí thuyết chỉ đạo việc dạy học Toán theo hướng phát triển năng lực trực giác toán học của học sinh ở trường trung học phổ thông: như Thuyết Trực giác của H. Bergson, Thuyết trực giác trong Toán học của Brouwer, Thuyết đa trí tuệ của H. Gardner và Theo quan điểm vùng phát triển của L. Vygotsky. 1.4.2. Một số ý tưởng dạy học Toán theo hướng phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh ở trường trung học phổ thông 10 Để tổ chức HĐ nhằm phát huy những đặc trưng của TGTH cho HS qua dạy học Toán, chúng tôi nhấn mạnh vai trò của GV trong việc tạo sự hứng thú, khơi gợi động cơ học tập và khai thác các tình huống học tập. Ngoài việc lựa chọn, khai thác, thiết kế những nội dung dạy học phù hợp với những tình huống dạy học có vấn đề, tình huống không quen thuộc để tổ chức các HĐNT cho HS, GV cần chú trọng một số ý tưởng dạy học Toán theo hướng phát triển NL TGTH cho HS ở THPT như sau: (1) Tạo những tình huống học tập thích hợp cho HS thực hiện nhiệm vụ nhận thức: Thông qua gợi động cơ HĐ, GV cần tạo ra những tình huống học tập chứa đựng khó khăn, chướng ngại mà đối với những kiến thức, kinh nghiệm đã có của HS không còn tương thích, để giải quyết trong hoàn cảnh mới nhằm tạo nhu cầu nhận thức cho HS. Trong quá trình dạy học, GV thiết kế, tổ chức HĐ trong môi trường học tập hứng thú, tự do, quan hệ cởi mở giữa GV và HS, HS có cơ hội được HĐ, thể hiện tố chất, thái độ và NL của bản thân. (2) Tạo cơ hội cho HS hình dung, suy nghĩ nhanh, đưa ra nhiều phán đoán về vấn đề trước khi bắt tay vào việc thực hiện: Trong quá trình dạy học, HS được tìm tòi, phát hiện vấn đề, phán đoán về cách GQVĐ thông qua các nhiệm vụ yêu cầu HS phát biểu, mô tả về cảm nhận ngay vấn đề, phát hiện giải pháp có thể để GQVĐ trước khi tiến hành thực hiện những bước làm cụ thể trên giấy. GV cần khơi gợi HS đưa ra nhiều giải pháp, những khía cạnh khác nhau của vấn đề, tìm kiếm những ý tưởng mới, đột phá và sáng tạo từ người học. Đôi khi GV phải động viên, chấp nhận những ý tưởng ngây thơ, những giải pháp sai lầm của HS. (3) Chú trọng phát triển cho HS các NL tư duy tiền logic trong dạy học Toán: Thông qua các tình huống học tập, GV chú trọng sử dụng các HĐ trí tuệ, các NL tư duy như tưởng tượng, liên tưởng, KQH, suy luận quy nạp. Các NL này tạo tiền đề cho HS biết hình dung và đưa ra phán đoán, phát hiện vấn đề góp phần phát triển TD TGTH cho HS. (4) Hình thành cho HS thói quen nắm bắt bản chất của vấn đề, đường lối của giải pháp, bỏ qua những bước lập luận dài dòng, chi tiết: Trong quá trình giải toán, GV cần luyện tập cho HS hình dung vấn đề hay giải pháp trong đầu óc, suy nghĩ, biến đổi nhanh chóng vấn đề thông qua rút gọn quá trình lập luận, lược bỏ những khâu trung gian. Tạo thói quen cho HS trình bày sơ đồ tư duy, biết mô tả cấu trúc để giúp HS thấy được toàn cảnh của giải pháp GQVĐ, khắc sâu mặt ý nghĩa nắm được bản chất của vấn đề, đồng thời bỏ qua bớt những khâu tính toán chi tiết, lập luận dài dòng hướng tới rèn luyện cho HS tư duy rút gọn. (5) Nhấn mạnh HĐ suy đoán của trực giác cần thực hiện trước các HĐ của suy diễn trong học tập môn Toán: GV cần nhấn mạnh các HĐ đặc trưng của TGTH được tiến hành trước trong tiến trình GQVĐ của HS. Trong đó TGTH được xem là mục đích được tiến hành trước để định hướng chiến lược GQVĐ, còn lập luận logic và suy diễn như là phương tiện được tiến hành sau đó để kiểm nghiệm lại kết quả suy ra từ TG mà thôi. 1.4.3. Cơ hội phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường THPT: Trong học tập môn Toán, những nội dung và HĐ học tập cơ bản của HS được liên kết với nhau cùng hướng vào hình thành các NL. NL TGTH của HS trong dạy học Toán được thể hiện ở khả năng liên kết nội dung kiến thức môn Toán thông qua HĐ học tập để hình dung được vấn đề, nắm bắt được vấn đề, phán đoán được cách GQVĐ, tình huống vận dụng kiến thức toán học. Từ yêu cầu trên, chúng tôi nhận thấy các đặc điểm sau cần xem xét để tìm kiếm những cơ hội phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán: 11 - Cơ hội phát triển NL thành tố của NL TGTH như NL KQH nhanh chóng, NL phán đoán và đưa ra quyết định được thể hiện thông qua việc tổ chức cho HS xem xét những sự kiện riêng lẻ, cụ thể trong những tình huống nhận thức có vấn đề, biết cách khái quát vấn đề từ các trường hợp riêng lẻ, biết cách khái quát từ cái tổng quát đã biết đến cái tổng quát chưa biết; có khả năng phán đoán, phát hiện các quy luật chung của các sự kiện trong học tập nội dung toán, có khả năng đưa ra những định hướng GQVĐ, đưa ra các giả thuyết, dự đoán cho vấn đề toán học, từ đó lựa chọn quyết định phù hợp về chiến lược GQVĐ. - Cơ hội phát triển NL liên tưởng và hình dung được vấn đề thể hiện thông qua việc HS có khả năng hình dung, liên hệ vấn đề toán học với những kiến thức và kinh nghiệm đã có, biết kết nối và hình dung được hình ảnh trực quan hay phát hiện được mô hình tương thích của vấn đề toán học trừu tượng, những tình huống mà yêu cầu người học phải phát hiện ra kiến thức, giải pháp liên hệ với vấn đề mới, khả năng tưởng tượng thấy được các hình và các tính chất của chúng, hình dung ra được đường lối GQVĐ khi đối mặt với các tình huống mới. - Cơ hội phát triển NL thành tố khác của NL TGTH như NL rút gọn quá trình lập luận thể hiện khi HS biết suy luận, ước lượng nhanh chóng, có khả năng lập luận ngắn gọn cách biến đổi bài toán, khả năng lược bỏ, rút bớt những bước lập luận trung gian trong quá trình GQVĐ, hình dung được sơ đồ suy luận thấy được đường lối GQVĐ. Chương 2 THỰC TRẠNG DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRỰC GIÁC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1. Mục đích và đối tượng khảo sát 2.1.1. Mục đích khảo sát - Tìm hiểu sự hiểu biết GV toán ở trường THPT về khái niệm và HĐ liên quan tới TGTH, các NL thành tố của NL TGTH; mức độ quan tâm và vận dụng các HĐ liên quan TG trong quá trình dạy học toán ở trường THPT. - Tìm hiểu khả năng sử dụng TGTH của HS trong học tập toán ở trường THPT. - Có thể phát hiện ra những loại HĐ hoặc NL nào khác thể hiện là NL thành tố của NL TGTH trong quá trình dạy học toán ở trường THPT. - Tìm hiểu và phân tích những thuận lợi và khó khăn, sai lầm của GV trong quá trình dạy học cho HS tiếp cận kiến thức theo hướng phát triển NL TGTH. 2.1.2. Đối tượng khảo sát: 98 GV toán và 142 HS lớp 10 tại một số trường THPT. 2.2. Nội dung khảo sát và tổ chức khảo sát 2.2.1. Nội dung khảo sát - Qua quan sát, phỏng vấn: Dự giờ GV một số tiết dạy toán ở trường THPT. - Qua phiếu điều tra GV: thiết kế phiếu điều tra dành cho GV. - Qua phiếu điều tra HS: thiết kế phiếu bài tập toán dành cho HS lớp 10. 2.2.2. Tổ chức khảo sát - Thiết kế phiếu khảo sát với đối tượng là GV toán THPT. - Thiết kế phiếu câu hỏi bài tập dành cho HS lớp 10. - Thời gian khảo sát và dự giờ từ 10/4/2017 đến 12/5/2017. - Tiến hành khảo sát 98 GV toán và 142 HS lớp 10 tại một số trường THPT. 12 - Thu thập các phiếu điều tra, tổng hợp và phân tích số liệu. - Tiến hành đánh giá về mặt định tính và định lượng. Rút ra những kết luận ban đầu về việc phát triển NL TGTH của GV và HS sau quá trình khảo sát. 2.3. Phân tích kết quả khảo sát 2.3.1. Kết quả khảo sát: Dự giờ GV, Phiếu điều tra GV và phiếu câu hỏi bài tập của HS. 2.3.2. Phân tích kết quả khảo sát  Ưu điểm: Đa số GV có kinh nghiệm giảng dạy trên 10 năm, có trình độ chuyên môn sau đại học nên việc tiếp cận các hướng nghiên cứu mới. GV có ý tưởng bài dạy khá hay, có kĩ năng diễn đạt vấn đề, đặt câu hỏi tốt, tổ chức lớp và tương tác với HS nhiều.  Hạn chế: GV vẫn còn nặng về lối truyền thống. GV thường trình bày kiến thức toán học mà chưa chú trọng giải thích ý nghĩa của các kiến thức để HS hiểu rõ bản chất của kiến thức toán học. GV chưa đòi hỏi, kích thích HS tự tìm tòi lời giải, cách thức GQVĐ mà thường cung cấp ngay phương pháp giải, chỉ rõ quy trình từng bước áp dụng đối với các dạng toán mới. Nhiều bài tập chỉ đòi hỏi áp dụng theo công thức, kĩ năng tính toán và vận dụng. Còn thiếu những câu hỏi và bài tập rèn luyện quan sát trực quan, dự đoán phát hiện, kĩ năng suy luận nhanh gọn, chưa khai thác triệt để những tình huống có thể phát triển NL TGTH cho HS.  Nguyên nhân: Đối với GV: GV còn ảnh hưởng lối dạy học truyền thống, thường có tâm lí dạy học trong thời gian ngắn cần truyền đạt nhiều kiến thức với khối lượng vượt hoặc như theo qui định. Đặc biệt trong dạy học giải bài tập, GV tập trung vào cho HS giải nhiều bài tập vận dụng quy trình Việc lựa chọn nội dung để phát triển các NL tư duy tiền logic, đặc biệt trực giác, tưởng tượng là vấn đề khó khăn và chưa được GV quan tâm đúng mức. - Đối với HS: Trình độ HS khảo sát ở mức trung bình khá, còn thụ động, ngại khác biệt khi không theo khuôn khổ đã có trước, sợ mắc phải sai lầm. Thói quen học tập khi cần GQVĐ luôn mong chờ, ỷ lại được GV cung cấp phương pháp giải khi đối mặt với bài toán mới, chưa quen thuộc. Đa số HS còn suy nghĩ rập khuôn mà ít khi hiểu ý nghĩa của kiến thức. - Về tài liệu dạy học: Tài liệu về TGTH và sự vận dụng vào quá trình dạy học chưa nhiều, chưa có những công trình nghiên cứu đưa ra cách thức thực hiện cụ thể, những kỹ thuật dạy học phát triển NL TGTH cho HS trong những tình huống dạy học ở trường THPT. Chương 3 TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRỰC GIÁC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 3.1. Định hướng tổ chức hoạt động nhận thức phát triển cho học sinh năng lực trực giác toán học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông: định hướng nội dung dạy học, phương pháp dạy học, định hướng đối với người dạy và người học. 3.2. Quy trình tổ chức hoạt động nhận thức phát triển NLTGTH cho HS trong dạy học toán ở trường THPT 3.2.1. Cơ sở khoa học đề xuất cách thức tổ chức hoạt động nhận thức cho HS Trên cơ sở triết học, mâu thuẫn là nguồn gốc của sự vận động và phát triển. Việc phát hiện các mâu thuẫn là nguồn gốc của HĐNT tìm tòi tri thức mới của HS. HĐNT nói chung, toán học nói riêng được bắt nguồn từ việc phát hiện các mâu thuẫn để từ đó tạo động lực cho HĐ giải quyết các mâu thuẫn. Các mâu thuẫn trong dạy học Toán này làm nảy sinh các nhiệm 13 Bước 1 Bước 2 Bước 3 Bước 4 Bước 5 vụ nhận thức, các đối tượng của HĐ và tư duy thúc đẩy HĐNT của người học. Trên cơ sở lý thuyết phát triển nhận thức của Piaget và Vygotxky, dạy học thông qua việc tổ chức cho HS HĐ tự chủ chiếm lĩnh kiến thức. Vận dụng vào quá trình dạy học, việc học tập của HS có bản chất HĐ: Bằng HĐ và thông qua HĐ của bản thân người học mà chiếm lĩnh kiến thức, hình thành và phát triển năng lực trí tuệ cũng như đạo đức, thái độ. Căn cứ vào những định hướng đổi mới theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán. 3.2.2. Quy trình tổ chức hoạt động nhận thức phát triển NLTGTH cho HS trong dạy học toán ở trường THPT: gồm năm bước: (1) Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị cho HS, (2) Tổ chức cho HS tiến hành HĐ trực giác hình dung được vấn đề, phán đoán về cách GQVĐ, (3) Sử dụng suy diễn để kiểm nghiệm kết quả có được từ TG, (4) Rút ra kết luận về tri thức mới, (5) Lựa chọn tình huống mới nhằm củng cố và vận dụng tri thức, thể hiện qua sơ đồ sau: 3.3. Một số cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển các năng lực thành tố của năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học Toán ở trường THPT 3.3.1. Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển năng lực liên tưởng và hình Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức cần trang bị Tổ chức việc hình dung vấn đề, phán đoán về cách GQVĐ Lựa chọn PPDH phù hợp Tổ chức các HĐ trí tuệ Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết quả trực giác Phát biểu vấn đề, mô tả đường lối giải quyết Chứng minh, giải thích vấn đề Thất bại Quy trình tổ chức HĐNT phát triển NL TGTH HĐ tổ chức của GV HĐ NT của HS Hướng dẫn sử dụng các thao tác chứng minh Xác định mục tiêu, lựa chọn tình huống, gợi động cơ học tập Xác định khó khăn của HS Tiến hành các HĐ trí tuệ, HĐ trực giác Rút ra kết luận về tri thức mới Xác định không gian vấn đề, liên tưởng và huy động kiến thức Thực hiện giải pháp GQVĐ Thể chế hóa kiến thức/ khẳng định về tri thức mới Hình thành tri thức mới, cách thức GQVĐ Lựa chọn tình huống mới củng cố và vận dụng tri thức Đánh giá việc vận dụng tri thức mới của HS Vận dụng tri thức, cách thức GQVĐ vào tình huống mới 14 dung được vấn đề cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông 3.3.1.1. Mục đích tổ chức: Việc tổ chức các HĐ bồi dưỡng NL liên tưởng và hình dung được vấn đề trong dạy học Toán nhằm xây dựng được nền tảng vững chắc, cách thức liên tưởng và hình dung về một vấn đề để tạo cơ hội phát hiện nhiều ý tưởng mới giúp TG xảy ra khi người học đối mặt với một vấn đề đang xem xét cụ thể. Việc luyện tập cho HS NL liên tưởng và hình dung được vấn đề một cách hiệu quả giúp cho HS có thể hình dung trước sơ bộ về kết quả của vấn đề hay cách GQVĐ nhờ tiến hành suy nghĩ nhanh chóng vấn đề đang xem xét. 3.3.1.2. Một số cách thức rèn luyện NL liên tưởng và hình dung được vấn đề cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT: GV cần chú trọng các HĐ chủ yếu như sau: - Khai thác các tính chất, đối tượng tương tự giữa tri thức toán học giúp cho HS nhận ra nhanh chóng các liên tưởng và hình dung được vấn đề. - Luyện tập cho HS thực hiện chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác giúp HS xuất hiện các ý tưởng, phát hiện tri thức mới. - Sử dụng các tình huống học tập tạo cho HS hình dung trong đầu các hình và các tính chất của chúng, nhìn thấy được những biến đổi, những quan hệ của giữa các đối tượng toán học, phát triển trí tưởng tượng không gian. - Khai thác mối liên hệ nhân quả của tri thức toán học, mối liên hệ giữa các tri thức toán học giúp HS hình dung ra được đường lối giải quyết, lược đồ giải, sơ đồ tư duy của vấn đề hình học trước khi tiến hành thực hiện. - Xây dựng các tình huống chứa các hình ảnh trực quan cho trước hỗ trợ HS trực giác phát hiện bản chất vấn đề hay hình dung được cách thức giải quyết một vấn đề toán học. - Xây dựng các tình huống giúp HS hình dung được hình ảnh trực quan, mô hình của vấn đề từ đó phát hiện đường lối giải quyết vấn đề toán học. 3.3.1.3. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 3.4. Giải bài toán sau: “Cho các điểm A(-1; 2; 3), B(3; 0; -1), C(1; 4; 7) và (P): – 2 2 6 0x y z   . Tìm tọa độ M thuộc (P) sao cho biểu thức 2 2 2T MA MB MC   đạt giá trị nhỏ nhất”. 1) Bước 1: Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị cho HS: Bài toán yêu cầu xác định tọa độ điểm trên một mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước, là bài toán khá quen thuộc nhưng khó khăn ở chổ biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khá phức tạp. 2) Bước 2: Tổ chức cho HS tiến hành các HĐ trực giác, hình dung được ý tưởng, phán đoán về cách giải quyết vấn đề + HS có thể hình dung được vị trí của M trên mặt phẳng (P) tương đối gần A, B, C sao cho biểu thức T nhỏ, vì khi điểm M trên (P) dần đi ra xa các điểm A, B, C thì khoảng cách từ M đến các điểm đó càng dài, do đó biểu thức T càng lớn. + Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC hoàn toàn xác định. Quan sát biểu thức đã cho HS có thể liên tưởng đến 3MA MB MC MG   , với mọi điểm M, do đó phải biến đổi biểu thức qua trọng tâm G quy về biểu thức đơn giản hơn xác định được điểm M. + HS liên tưởng cách giải bài toán “Cho A không thuộc mặt phẳng (P). Tìm điểm M trên (P) sao cho MA2 nhỏ nhất”: M trên (P) sao cho MA nhỏ nhất  M là hình chiếu của A lên (P). + HS trực giác phát hiện được kết quả bài toán là điểm M cần tìm là hình chiếu của trọng tâm G của tam giác ABC lên mặt phẳng (P). 15 3) Bước 3: Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết quả đề ra từ trực giác Ta có G(1;2;3) là trọng tâm ABC nên 2 2 2 23T MG GA GB GC    . Do đó T đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng (P). Xác định được tọa độ của điểm  0;4;1M suy ra ( ,( )) 3MG d G P  khi đó 2 min 3.3 48 75T    . 4) Bước 4: Rút ra kết luận về tri thức mới và vận dụng: HS hình thành tri thức phương pháp qua việc liên tưởng quy lạ về quen. GV tập luyện cho HS khả năng liên tưởng giúp HS có thể nhìn bài toán dưới nhiều góc độ về hướng giải bài toán, khả năng phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu bằng cách liên tưởng đối tượng này sang đối tượng khác. 3.3.2. Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển năng lực phán đoán và đưa ra quyết định cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông 3.3.2.1. Mục đích tổ chức: NL phán đoán và đưa ra quyết định là một thành tố liên quan trực tiếp đến việc phát triển NL TGTH, bởi khi đứng trước vấn đề, HS có nắm bắt được vấn đề, đối tượng, quan hệ toán học ngay lập tức hay không thể hiện ở HS nhanh chóng đưa ra những phán đoán về đối tượng, quan hệ toán học. Do đó, việc tổ chức HĐNT phát triển NL này nhằm giúp HS biết đưa ra được những dự đoán về vấn đề toán học, phán đoán được ngay được đường lối giải quyết, kết quả của bài toán, từ đó lựa chọn những quyết định phù hợp cho việc hiểu và nắm bắt được vấn đề, cách thức GQVĐ. Hiệu quả của việc rèn luyện NL này giúp HS biểu hiện được sự nhanh chóng nhận thức vấn đề, khả năng liên tưởng và sáng tạo trong GQVĐ. 3.3.2.2. Một số cách thức rèn luyện NL phán đoán và đưa ra quyết định cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT: GV có thể chú trọng tổ chức thông qua các HĐ sau: - Sử dụng các tình huống cho HS tiến hành các HĐ trí tuệ như so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa để HS phán đoán giả thuyết và đưa ra quyết định cho việc phát hiện vấn đề hay GQVĐ một cách nhanh chóng. - Tổ chức các tình huống giúp HS sử dụng các loại suy luận như suy luận quy nạp, suy luận có lí để phán đoán giả thuyết, cách thức GQVĐ và đưa ra quyết định phù hợp. - Sử dụng các tình huống trực quan cho HS đưa ra phán đoán về cách thức GQVĐ nhờ kết nối giữa hình ảnh trực quan và bản chất của vấn đề. - Tạo cơ hội cho HS sử dụng ngắn gọn những lập luận có căn cứ nhanh chóng đưa ra các phán đoán và lựa chọn quyết định hiệu quả. 3.3.2.3. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 3.7. GV tổ chức HĐNT phát triển NL phán đoán và đưa ra quyết định cho HS qua: Giải phương trình: 22 4 6 11x x x x      . 1) Bước 1: Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị: Rõ ràng không thể dùng các phép biến đổi tương đương để giải phương trình trên vì sẽ làm tăng bậc một cách đáng kể, khi đó vấn đề trở nên phức tạp hơn. 2) Bước 2: Tổ chức cho HS tiến hành các HĐ trực giác, hình dung được ý tưởng, phán đoán về cách giải quyết vấn đề - HS phán đoán và đưa ra quyết định cho việc lựa chọn cách thức GQVĐ. + Phán đoán 1: HS có nhận xét vế phải luôn lớn hơn hoặc bằng 2. Từ đó HS đưa ra phán đoán cần đánh giá được hai vế của phương trình. Khả năng tìm 2 4x x k    , với k  bằng sử dụng BĐT Bunhiacôpxki. 16 + Phán đoán 2: Quan sát các biểu thức trong căn thức trong vế trái ta nhận thấy tích của chúng có liên quan đến biểu thức của vế phải. Do đó, HS có thể đưa ra phán đoán sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Khả năng đặt ẩn phụ đưa việc giải phương trình ẩn cũ về giải hệ phương trình mới dạng đối xứng có thể giải quyết được. - HS trực giác phát hiện đường lối giải quyết vấn đề: + Đối với phán đoán 1: Nhận thấy 2 26 11 ( 3) 2 2VP x x x       . HS có thể trực giác phát hiện vế trái là tổng của hai căn thức có hai biểu thức chứa 2 4x x   làm HS có thể liên tưởng đến BĐT Bunhiacôpxki. Do đó vế trái của phương trình luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2. + Đối với phán đoán 2: Trực giác đặt ẩn phụ Đặt 2, 4 , , 0u x v x u v     . Khi đó giải hệ phương trình ẩn ,u v . 3) Bước 3: Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết