Tóm tắt Luận văn Đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn và các bài toán liên quan

ng vào ngày 27 tháng 6 năm 2015. Có thể tìm hiểu luận văn tại:  Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng  Thư viện trường Đại học .........., Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU 1. Lþ do chọn đề t i C¡c hệ thức trong tam gi¡c, tứ gi¡c nội, ngoại tiếp đường trán khæng phải l  vấn đề xạ lạ với học sinh nhưng dạng to¡n n y bao giờ cũng khiến c¡c học sinh phải lóng tóng. Đặc biệt l  c¡c dạng to¡n chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức h¼nh học. Trong chương tr¼nh to¡n THCS cũng như THPT câ n¶u c¡c b i to¡n chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức. Song thời lượng giảng dạy cán khi¶m tốn n¶n ta chưa thể thấy hết được sự đa dạng, phong phó cũng như lột tả hết sự k¼ diệu giữa c¡c yếu tố h¼nh học được thể hiện trong c¡c b i to¡n đâ. Ở đ¥y, mục ti¶u của luận văn l  giới thiệu về c¡c đẳng thức, bất đẳng thức li¶n quan đến c¡c yếu tố trong tam gi¡c, tứ gi¡c v  đa gi¡c nội, ngoại tiếp trong h¼nh trán. C¡c b i to¡n được đưa ra từ cơ bản đến n¥ng cao, mở rộng. B¶n cạnh việc thể hiện c¡c mối li¶n hệ giữa c¡c yếu tố của đa gi¡c nội, ngoại tiếp trong đường trán ta câ thể ph¥n loại c¡c phương ph¡p v  kĩ thuật để chứng minh một b i to¡n đẳng thức, bất đẳng thức. V  hơn hết, ta thấy được sự phong phó trong phạm vi ứng dụng của bất đẳng thức. 2. Mục đ½ch v  nhiệm vụ nghi¶n cứu 2.1. Mục đ½ch nghi¶n cứu - Hệ thống c¡c b i to¡n chứng minh đẳng thức giữa c¡c yếu tố h¼nh học của tam gi¡c, tứ gi¡c v  đa gi¡c nội, ngoại tiếp trong h¼nh trán. - Hệ thống c¡c b i to¡n chứng minh bất đẳng thức giữa c¡c yếu tố h¼nh học của tam gi¡c, tứ gi¡c v  đa gi¡c nội, ngoại tiếp trong h¼nh trán. 22.2. Nhiệm vụ nghi¶n cứu - Nghi¶n cứu tổng quan về đa gi¡c nội, ngoại tiếp đường trán. - Nghi¶n cứu c¡c phương ph¡p, kĩ thuật chứng minh c¡c b i to¡n li¶n quan. 3. Đối tượng v  phạm vi nghi¶n cứu 3.1 Đối tượng nghi¶n cứu - C¡c b i to¡n chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức giữa c¡c yếu tố h¼nh học. 3.2. Phạm vi nghi¶n cứu - Trong chương tr¼nh s¡ch to¡n gi¡o khoa, s¡ch to¡n n¥ng cao ở THCS, THPT, c¡c s¡ch chuy¶n đề li¶n quan. C¡c đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế. 4. Phương ph¡p nghi¶n cứu 4.1. Phương ph¡p t i liệu - Thu thập c¡c t i liệu về đẳng thức, bất đẳng thức từ s¡ch gi¡o khoa, s¡ch gi¡o vi¶n, c¡c t i liệu chuy¶n đề về h¼nh học, đại số li¶n quan. . . - Khảo s¡t, ph¥n t½ch, tổng hợp t i liệu để hệ thống v  ph¥n loại c¡c dạng to¡n về đẳng thức, bất đẳng thức. 4.2. Phương ph¡p thực nghiệm - Trao đổi, thảo luận, tham khảo þ kiến của gi¡o vi¶n hướng dẫn để thực hiện đề t i. - Quan s¡t, đ¡nh gi¡ thực tế qu¡ tr¼nh tiếp thu của học sinh. 35. Þ nghĩa khoa học v  thực tiễn của đề t i - Đề t i câ thể sử dụng như một t i liệu tham khảo cho học sinh THCS, THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi. 6. Cấu tróc luận văn Luận văn gồm Mở đầu, Kết luận v  ba chương. Chương 1. C¡c kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Đẳng thức v  bất đẳng thức trong tam gi¡c với đường trán nội, ngoại tiếp của nâ. Chương 3. Đẳng thức v  bất đẳng thức trong đa gi¡c nội, ngoại tiếp đường trán. Còng với sự hướng dẫn của Thầy gi¡o GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu, tæi đ¢ chọn đề t i "Đa gi¡c nội, ngoại tiếp đường trán v  c¡c b i to¡n li¶n quan" cho luận văn thạc sĩ của m¼nh. 4CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số kh¡i niệm cơ bản li¶n quan Đường trán đi qua tất cả c¡c đỉnh của một đa gi¡c được gọi l  đường trán ngoại tiếp đa gi¡c, khi đâ đa gi¡c được gọi l  đa gi¡c nội tiếp đường trán. Đường trán tiếp xóc với tất cả c¡c cạnh của một đa gi¡c được gọi l  đường trán nội tiếp đa gi¡c, khi đâ đa gi¡c được gọi l  đa gi¡c ngoại tiếp đường trán. Điều kiện cần v  đủ đề một tứ gi¡c ngoại tiếp đường trán l  tổng c¡c cạnh đối bằng nhau. Đa gi¡c đều n o cũng câ một đường trán ngoại tiếp, đường trán nội tiếp. T¥m của hai đường trán n y tròng nhau v  được gọi l  t¥m của đa gi¡c đều. 1.2. Một số kiến thức đại số li¶n quan Định lþ 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy). Với n  2 v  c¡c số dương tòy þ x1; x2; : : : ; xn ta câ trung b¼nh cộng của chóng khæng nhỏ hơn trung b¼nh nh¥n của những số n y x1 + x2 +


+ xn n  npx1x2 : : : xn Định lþ 1.2 (Bất đẳng thức Bunhiacovsky). Cho c¡c số thực a1; a2; : : : ; an v  b1; b2; : : : ; bn. Khi đâ (a21+a 2 2+


+a2n)(b21+b22+


+b2n)  (a1b1+a2b2+


+anbn)2: Dấu đẳng thức xảy ra khi v  chỉ khi bi = kai; i = 1; : : : ; n. 5Định lþ 1.3 (Bất đẳng thức Nesbit). Chứng minh rằng với mọi số a; b; c lớn hơn 0 ta câ a b+ c + b c+ a + c a+ b  3 2 : 1.3. Một số kiến thức h¼nh học li¶n quan 1.3.1. Tam gi¡c đồng dạng Định lþ 1.4 (Định lþ Ta - l²t trong tam gi¡c). Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam gi¡c v  cắt hai cạnh cán lại th¼ nâ định ra tr¶n hai cạnh đâ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Định lþ 1.5 (Định lþ đảo của định lþ Ta - l²t trong tam gi¡c). Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam gi¡c v  định ra tr¶n hai cạnh n y những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ th¼ cạnh đâ song song với cạnh cán lại của tam gi¡c. Định lþ 1.6 (Hệ quả của định lþ Ta - l²t). Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam gi¡c v  song song với cạnh cán lại th¼ nâ tạo th nh một tam gi¡c mới câ ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam gi¡c đ¢ cho. Định lþ 1.7 (T½nh chất đường ph¥n gi¡c của tam gi¡c (hay định lþ Stewart 1)). Trong tam gi¡c, đường ph¥n gi¡c của một gâc chia cạnh đối diện th nh hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. 61.3.2. C¡c hệ thức lượng trong tam gi¡c v  trong đường trán Định lþ 1.8 (Định lþ h m số cosin). a2 = b2 + c2 2bc: cosA b2 = a2 + c2 2bc: cosB c2 = a2 + b2 2bc: cosC Định lþ 1.9 (Định lþ h m số sin). a sinA = b sinB = c sinC = 2R: Định lþ 1.10 (Cæng thức t½nh độ d i đường trung tuyến). m2a = b2 + c2 2 a 2 4 m2b = a2 + c2 2 b 2 4 m2c = a2 + b2 2 c 2 4 Định lþ 1.11 (Cæng thức t½nh diện t½ch tam gi¡c). S∆ABC = 1 2 aha = 1 2 ab: sinC = abc 4R = pr = √ p(p a)(p b)(p c): 7Định lþ 1.12. Cho một đường trán (O;R) v  một điểm M cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua M v  cắt đường trán tại hai điểm A v  B th¼ t½ch væ hướng ! MA: ! MB l  một số khæng đổi. Định nghĩa 1.1 (Phương t½ch của một điểm đối với một đường trán). Gi¡ trị khæng đổi ! MA: ! MB được gọi l  phương t½ch của điểm M đối với đường trán (O). K½ hiệu l  PM=(O) v  được t½nh bằng cæng thức PM=(O) = d 2R2. Trong đâ d l  khoảng c¡ch từ điểm M đến t¥m O 1.3.3. C¡c hệ thức vectơ cơ bản a⃗:⃗b = j⃗aj : ⃗b : cos(⃗a; b⃗)  j⃗aj : ⃗b Dấu "=" xảy ra khi hai vectơ a⃗; b⃗ còng hướng. Suy ra cos(⃗a; b⃗) = a⃗:⃗b j⃗aj : ⃗b : AB2 = A⃗B 2 = (O⃗A+ O⃗B)2: Với O l  trung điểm của AB th¼ O⃗A+ O⃗B = 0⃗ Với O l  trọng t¥m của tam gi¡c ABC th¼ O⃗A+O⃗B+O⃗C = 0⃗ 1.3.4. C¡c ph²p biến h¼nh cơ bản a. C¡c ph²p dời h¼nh trong mặt phẳng - Ph²p tịnh tiến - Ph²p đối xứng trục - Ph²p đối xứng t¥m - Ph²p quay b. Ph²p vị tự v  ph²p đồng dạng - Ph²p vị tự - Ph²p đồng dạng 1.3.5. Một số định l½ li¶n quan 8Định lþ 1.13 (Định lþ Ptæ - l¶ - m¶). Với một tứ gi¡c nội tiếp, t½ch c¡c đường ch²o bằng tổng của hai t½ch c¡c cạnh b¶n. Định lþ 1.14 (Định lþ Stewart). Gọi D l  điểm nằm tr¶n cạnh AC của tam gi¡c ABC. Khi đâ ta câ AB2:DC +BC2:AD BD2:AC = AC:DC:AD: Định lþ 1.15 (Định lþ Euler). Cho R; r lần lượt l  b¡n k½nh đường trán ngoại tiếp v  nội tiếp của một tam gi¡c. Khi đâ khoảng c¡ch d giữa hai t¥m của hai đường trán n y l  √ R(R 2r) hay nâi c¡ch kh¡c d2 = R2 2Rr: Định lþ 1.16 (Định lþ Carnot). Tổng c¡c khoảng c¡ch từ t¥m váng trán ngoại tiếp tam gi¡c đến c¡c cạnh bằng tổng b¡n k½nh đường trán nội tiếp v  ngoại tiếp. Định lþ 1.17 (Hệ quả của định lþ Carnot). Cho tam gi¡c ABC gọi R; r lần lượt l  b¡n k½nh đường trán ngoại tiếp v  nội tiếp. Chứng minh rằng R+ r = R(cosA+ cosB + cosC): Định lþ 1.18 (Định lþ Euler cho tam gi¡c thòy tóc). Cho (O;R) l  đường trán ngoại tiếp tam gi¡cABC. X²t một điểm M tòy þ nằm trong tam gi¡c. K½ hiệu A1B1C1 l  h¼nh chiếu của M l¶n c¡c cạnh của tam gi¡c th¼ SA1B1C1 SABC = R2 OM2 4R2 . Ta câ định nghĩa tam gi¡c thòy tóc như sau: Cho tam gi¡c ABC v  điểmM bất k¼ tr¶n mặt phẳng tam gi¡c. HạMA1;MA2;MA3 lần lượt vuæng gâc với BC;CA;AB. Khi đâ, A1B1C1 được gọi l  tam gi¡c thòy tóc (hoặc tam gi¡c b n đạp hoặc tam gi¡c pedal) của tam gi¡c ABC ứng với điểm M . 9CHƯƠNG 2 ĐẲNG THỨC V€ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIC VỚI ĐƯỜNG TRÁN NỘI, NGOẠI TIẾP CỦA N Trong chương n y chóng tæi sẽ đề cập đến c¡c b i to¡n chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức li¶n hệ giữa c¡c yếu tố đặc biệt trong tam gi¡c v  đường trán nội, ngoại tiếp của nâ. 2.1. Đẳng thức v  bất đẳng thức trong tam gi¡c với đường trán ngoại tiếp của nâ 2.1.1. Dạng to¡n vận dụng tam gi¡c đồng dạng B i to¡n 2.1. Cho tam gi¡c ABC nội tiếp đường trán (O;R),AH l  đường cao (H kh¡cB;C). Chứng minh rằngAB:AC = 2R:AH: B i to¡n 2.2 (Đường thẳng Euler). Cho O;H;G lần lượt l  t¥m đường trán ngoại tiếp, trực t¥m, trọng t¥m của tam gi¡c ABC. Chứng minh rằng O;H;G còng thuộc một đường thẳng. Đường thẳng n y l  đường thẳng Euler của tam gi¡c ABC v  GH = 2GO. B i to¡n 2.3. Cho tam gi¡c ABC câ ph¥n gi¡c AD. Chứng minh rằng AD2 = AB:AC DB:DC: B i to¡n 2.4. Cho tam gi¡cABC nhọn nội tiếp trong đường trán (O;R), tiếp tuyến với đường trán tại B v  C cắt nhau tạiM . Gọi N l  trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng\BAM =\CAN: B i to¡n 2.5. Cho tam gi¡c ABC nội tiếp trong đường trán (O;R). Tiếp tuyến tại B, C của đường trán cắt nhau tại M . Gọi D l  giao điểm của AM v  BC. Chứng minh rằng AB2 AC2 = DB DC 10 B i to¡n 2.6. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường trán (O) câ AH l  đường cao. Gọi D l  giao điểm của AO với BC. Chứng minh rằng HB HC + DB DC  2AB AC : B i to¡n 2.7. Cho tam gi¡c ABC nội tiếp trong đường trán t¥m O. Ph¥n gi¡c trong của gâc A cắt BC tại A1 v  cắt đường trán (O) tại A2. Định nghĩa tương tự cho c¡c điểm B1; B2 v  C1; C2 tương ứng. Chứng minh rằng A1A2 BA2 +A2C + B1B2 CB2 +B2A + C1C2 AC2 + C2B  3 4 : 2.1.2. Dạng to¡n vận dụng t½ch væ hướng của hai vectơ Dưới đ¥y l  một số b i to¡n m  việc vận dụng t½ch væ hướng của hai vectơ v o giải to¡n được xem như l  phương ¡n tối ưu nhất. B i to¡n 2.8. Cho tam gi¡c ABC nội tiếp trong đường trán t¥m O. Gọi H l  trực t¥m của tam gi¡c, G l  trọng t¥m của tam gi¡c đ¢ cho. Chứng minh rằng a) H⃗A+ H⃗B + H⃗C = 2H⃗O; b) O⃗A+ O⃗B + O⃗C = O⃗H; c) O⃗H = 3O⃗G: B i to¡n 2.9. Chứng minh rằng trong tam gi¡c ABC ta luæn câ a2 + b2 + c2  9R2: B i to¡n 2.10 (Phương t½ch của trọng t¥m). Chứng minh rằng khoảng c¡ch từ trọng t¥m G đến t¥m váng trán ngoại tiếp O của tam gi¡c ABC được t½nh theo cæng thức OG = 1 3 √ 9R2 (a2 + b2 + c2) 11 B i to¡n 2.11. Chứng minh rằng trong mọi tam gi¡c ABC ta đều câ R  2 9 (ma +mb +mc) B i to¡n 2.12. Cho tam gi¡c nhọn ABC nội tiếp trong đường trán (O). Chứng minh rằng với mọi số thực x; y; z ta luæn câ yz: cos 2A+ zx: cos 2B + xy: cos 2C  1 2 (x2 + y2 + z2): B i to¡n 2.13. Cho tam gi¡c ABC nội tiếp trong đường trán t¥m O, b¡n k½nh R. Gọi G l  trọng t¥m của tam gi¡c. C¡c đường thẳng AG;BG;CG lần lượt cắt đường trán O tại A1; B1; C1. Chứng minh rằng GA1 +GB1 +GC1  GA+GB +GC: 2.1.3. Dạng to¡n vận dụng hệ thức lượng trong tam gi¡c v  trong đường trán B i to¡n 2.14. Cho tam gi¡c ABC câ gâc A^ nhọn nội tiếp trong đường trán (O;R). Chứng minh rằng BC = 2R sin\BAC B i to¡n 2.15 (Phương t½ch của trực t¥m). Chứng minh rằng khoảng c¡ch từ trực t¥m H đến t¥m váng trán ngoại tiếp O của tam gi¡c ABC được t½nh theo cæng thức OH = √ R2(1 8 cosA cosB cosC): B i to¡n 2.16. Cho tam gi¡c ABC. Chứng minh rằng cotA+ cotB + cotC = R(a2 + b2 + c2) abc : B i to¡n 2.17. Cho tam gi¡c ABC nội tiếp đường trán (O), xy l  đường thẳng tiếp xóc với (O) tại điểm thuộc cung BC 12 khæng chứa A. Gọi hA; hB; hC lần lượt l  độ d i c¡c đoạn thẳng vuæng gâc với xy vẽ từ A;B;C. Chứng minh rằngp hA: sinA = p hB: sinB + p hC : sinC: B i to¡n 2.18. Cho tam gi¡c ABC. M l  một điểm tòy þ trong tam gi¡c. Gọi khoảng c¡ch từ M đến BC;CA;AB lần lượt l  h1; h2; h3. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2  2R(ph1 + p h2 + p h3) 2: B i to¡n 2.19. Cho tam gi¡c ABC nội tiếp trong một đường trán v  đặt da = l1 La ; db = lb Lb ; dc = lc Lc , trong đâ la; lb; lc lần lượt l  độ d i c¡c đoạn ph¥n gi¡c trong kẻ từ c¡c đỉnh A;B;C đến c¡c cạnh đối diện của tam gi¡c, cán La; Lb; Lc l  độ d i c¡c đoạn ph¥n gi¡c trong kẻ từ đỉnh đến giao điểm của đường ph¥n gi¡c đâ với đường trán nâi tr¶n. Chứng tỏ rằng da sin2A + db sin2B + dc sin2C  3: B i to¡n 2.20. Cho tam gi¡c ABC nội tiếp đường trán (O). Ba đường trung tuyến AA1; BB1; CC1 lần lượt cắt đường trán t¥m (O) tại A2; B2; C2. Chứng minh rằng AA1 AA2 + BB1 BB2 + CC1 CC2  9 4 B i to¡n 2.21. Cho tam gi¡c ABC nội tiếp trong đường trán (O) câ AM l  trung tuyến đỉnh A: Đường thẳng qua A v  đối xứng với M qua ph¥n gi¡c trong gâc A cắt (O) tại điểm N: Chứng minh rằng AB:NC = AC:NB 2.1.4. Dạng to¡n vận dụng ph²p biến h¼nh B i to¡n 2.22. Tam gi¡c ABC nội tiếp trong đường trán (O). Đường ph¥n gi¡c trong của gâc BAC cắt đường trán (O) tại D. Chứng minh rằng 2AD > AB +AC: 13 B i to¡n 2.23. Tam gi¡c ABC nội tiếp trong đường trán t¥m (O) v  BC l  cạnh lớn nhất. Gọi H l  ch¥n đường cao của tam gi¡c tr¶n BC. Gọi P;Q lần lượt l  ch¥n đường vuæng gâc hạ từ H xuống AB;AC. Gọi K l  giao điểm của AO v  PQ. D l  điểm thứ hai của AO với đường trán (O). Chứng minh rằng AH2 = AK:AD: B i to¡n 2.24. Cho tam gi¡c đềuABC nội tiếp trong đường trán (O;R). Đường trán (O′;R′) tiếp xóc ngo i với đường trán (O) tại điểm M tr¶n cung nhỏ BC. Kẻ c¡c tiếp tuyến AA′; BB′; CC ′ với đường trán (O′). Chứng minh rằng AA′ = BB′ + CC ′: 2.2. Đẳng thức v  bất đẳng thức trong tam gi¡c với đường trán nội tiếp của nâ B i to¡n H¼nh trán nội tiếp l  h¼nh trán lớn nhất câ thể chứa trong một tam gi¡c. 2.2.1 Dạng to¡n vận dụng tam gi¡c đồng dạng B i to¡n 2.25. Cho tam gi¡c ABC ngoại tiếp đường trán (I). Gọi D;E; F theo thứ tự l  tiếp điểm tr¶n cạnh BC;AB;AC. Gọi H l  ch¥n đường cao vẽ từ D đến EF . Chứng minh rằng \BHE =\CHF: B i to¡n 2.26. Cho đường trán (O; r) nội tiếp tam gi¡c ABC tiếp xóc với BC tại D. Vẽ đường k½nh DE;AE cắt BC tại M . Chứng minh rằng BD = CM . B i to¡n 2.27. Từ một điểm M tr¶n đường trán nội tiếp tam gi¡c đều ABC cạnh bằng a kẻ c¡c đường thẳng song song với AB v  AC, chóng cắt BC lần lượt tại P;Q tương ứng. Chứng minh rằng BP 2 + PQ2 +QC2 = a2 2 . 14 2.2.2. Dạng to¡n vận dụng t½ch væ hướng của hai vectơ B i to¡n 2.28. Cho tam gi¡c ABC câ I l  t¥m của đường trán nội tiếp. Chứng minh rằng a ! IA+ b ! IB + c ! IC = ! 0 : B i to¡n 2.29. Cho tam gi¡c ABC câ I l  t¥m đường trán nội tiếp. Gọi Ao; Bo; Co lần lượt l  h¼nh chiếu của I tr¶n BC;CA;AB. Chứng minh rằng a ! IAo + b ! IBo + c ! ICo = ! 0 : B i to¡n 2.30. Cho tam gi¡c ABC câ I l  t¥m đường trán nội tiếp. Chứng minh rằng IA2 bc + IB2 ca + IC2 ab = 1: 2.2.3. Dạng to¡n vận dụng hệ thức lượng trong tam gi¡c v  đường trán B i to¡n 2.31. C¡c gâc của một tam gi¡c thỏa m¢n bất đẳng thức A^ > B^ > C^. Hỏi đỉnh n o của tam gi¡c nằm gần t¥m đường trán nội tiếp hơn cả? B i to¡n 2.32. Cho tam gi¡c ABC câ ba gâc nhọn. Chứng minh rằng ha + hb + hc  9r Dấu "=" xảy ra khi n o? B i to¡n 2.33. Cho tam gi¡c ABC, chứng minh rằng r = (p a) tan A 2 = (p b) tan B 2 = (p a) tan C 2 : B i to¡n 2.34. Cho I l  t¥m đường trán nội tiếp tam gi¡c ABC câ diện t½ch S v  nửa chu vi p. Chứng minh rằng IA+IB+ IC  6S p . Dấu bằng xảy ra khi n o? B i to¡n 2.35. Chứng minh rằng khoảng c¡ch từ trọng t¥m G đến t¥m I của đường trán nội tiếp tam gi¡c ABC được t½nh theo cæng thức IG = 1 3 √ 9r2 3p2 + 2(a2 + b2 + c2) 15 B i to¡n 2.36. Cho tam gi¡c ABC, đường trán nội tiếp tam gi¡c tiếp xóc với ba cạnh BC;AC;AB tại M;N;P . Đặt NP = a1;MP = b1;MN = c1: Chứng minh rằng( a a1 )2 + ( b b1 )2 + ( c c1 )2  12: B i to¡n 2.37. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng 1 a2 + 1 b2 + 1 c2  1 4r2 : 2.2.4. Dạng to¡n vận dụng c¡c ph²p biến h¼nh B i to¡n 2.38. Đường trán nội tiếp tam gi¡c tiếp xóc với c¡c cạnh AB v  AC tương ứng tại c¡c điểm C ′ v  B′. Chứng minh rằng nếu AC > AB th¼ CC ′ > BB′. B i to¡n 2.39. Cho đường trán t¥m (O) nội tiếp trong tam gi¡c ABC, c¡c tiếp điểm thuộc AB;BC;CA lần lượt l  I; J;K. Chứng minh rằng ! OA: sinA+ ! OB: sinB + ! OC: sinC = 0 2.3. Đẳng thức v  bất đẳng thức li¶n hệ giữa đường trán ngoại tiếp v  đường trán nội tiếp của tam gi¡c 2.3.1 Dạng to¡n vận dụng tam gi¡c đồng dạng B i to¡n 2.40. Cho tam gi¡c ABC:R; r lần lượt l  b¡n k½nh đường trán ngoại tiếp v  nội tiếp của tam gi¡c ABC. Chứng minh rằng R  2r. Dấu "=" xảy ra khi n o? B i to¡n 2.41. Cho (I; r) l  đường trán nội tiếp trong tam gi¡c ABC. M l  trung điểm BC, MI cắt đường cao AH của tam gi¡c ABC tại K. Chứng minh rằng AK = r. 2.3.2. Dạng to¡n vận dụng t½ch væ hướng của hai vectơ 16 B i to¡n 2.42. Cho tam gi¡c ABC, I l  t¥m đường trán nội tiếp. Chứng minh rằng (a+ b+ c) ! OI = a ! OA+ b ! OB + c ! OC B i to¡n 2.43. Với mọi tam gi¡c ABC, chứng minh rằng OI2 = R2 abc a+ b+ c 2.3.3. Dạng to¡n vận dụng hệ thức lượng trong tam gi¡c v  đường trán B i to¡n 2.44. Cho tam gi¡c ABC. Gọi G; I;O lần lượt l  trọng t¥m, t¥m đường trán nội tiếp v  t¥m đường trán ngoại tiếp tam gi¡c. Chứng minh rằng IO  OG B i to¡n 2.45. Gọi H l  trực t¥m tam gi¡c ABC. Chứng minh rằng 2(AH:BH + AH:CH + BH:CH) = a2 + b2 + c2 + 8Rr + 4r2 8R2 B i to¡n 2.46. Với c¡c k½ hiệu thæng thường, chứng minh rằng 3r R  cosA+ cosB + cosC  3 2 B i to¡n 2.47. Chứng minh rằng trong mọi tam gi¡c ta đều câ h2a bc + h2b ac + h2c ab  9r 2 R2 B i to¡n 2.48. Cho tam gi¡c ABC. C¡c đường ph¥n gi¡c xuất ph¡t từ A;B;C cắt đường trán ngoại tiếp tam gi¡c ABC tại A′; B′C ′ tương ứng. Chứng minh rằng AA′:BB′:CC ′  16R2r. B i to¡n 2.49. Cho tam gi¡c ABC nội tiếp trong đường trán t¥m O b¡n k½nh R. Gọi I l  t¥m đường trán nội tiếp của tam 17 gi¡c. C¡c đường ph¥n gi¡c trong của c¡c gâc A;B v  C lần lượt cắt đường trán ngoại tiếp tại A1; B1 v  C1. Chứng minh rằng 1 IA1 + 1 IB1 + 1 IC1  3 R : B i to¡n 2.50. Chứng minh rằng trong tam gi¡c nhọn luæn câ ma ha + mb hb + mc hc  1 + R r 18 CHƯƠNG 3 ĐẲNG THỨC V€ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐA GIC NỘI, NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÁN Trong chương n y, chóng tæi tr¼nh b y về c¡c b i to¡n đẳng thức, bất đẳng thức trong đa gi¡c (số cạnh lớn hơn 3) nội tiếp v  ngoại tiếp đường trán 3.1. Đẳng thức v  bất đẳng thức trong đa gi¡c nội tiếp đường trán B i to¡n 3.1. Cho h¼nh tứ gi¡c lồi ABCD câ đường ch²o AC = x, đường ch²o BD = y v  gâc tạo bởi AC;BD l  . Gọi S l  diện t½ch của tứ gi¡c ABCD. Chứng minh rằng S = 1 2 xy sin B i to¡n 3.2. Tứ gi¡c nội tiếp với độ d i bốn cạnh l  a; b; c; d câ diện t½ch S = √ (p a)(p b)(p c)(p d) B i to¡n 3.3. (Hệ thức Feuerbach.) Cho tứ gi¡c ABCD nội tiếp trong một đường trán, khi đâ chứng minh rằng BD2:SACD = CD 2:SABC +AD 2:SBCD: B i to¡n 3.4. Tứ gi¡c ABCD chứa t¥m O đường trán ngoại tiếp b¡n k½nh R. Tr¶n mỗi cạnh của tứ gi¡c chọn một điểm, bốn điểm đ¢ chọn tạo th nh một tứ gi¡c mới. Chứng minh chu vi của tứ gi¡c vừa được tạo th nh lớn hơn hoặc bằng 2SABCD R B i to¡n 3.5. Cho tứ gi¡c lồi ABCD nội tiếp trong đường trán t¥m O (với (O nằm b¶n trong tứ gi¡c). Gọi MNPQ l  tứ gi¡c m  c¡c đỉnh lần lượt l  h¼nh chiếu của giao điểm hai đường 19 ch²o của tứ gi¡c ABCD đến c¡c cạnh AB;BC;CD;DA: Chứng minh rằng SMNPQ  SABCD 2 B i to¡n 3.6. Cho tứ gi¡c ABCD nội tiếp trong đường trán (O;R) câ AC?BD. Chứng minh rằng AB2 + CD2 = 4R2. B i to¡n 3.7. Cho tứ gi¡c ABCD nội tiếp đường trán t¥m (O). GọiH; I theo thứ tự lần lượt l  h¼nh chiếu của B l¶n AC;CD. Gọi M;N theo thứ tự l  trung điểm của AD;HI. Chứng minh rằng\MNB = 90o B i to¡n 3.8. Cho tứ gi¡c ABCD nội tiếp đường trán (O). Lấy điểm E tr¶n đường ch²o AC sao cho\ABE =\DAC. Chứng minh c¡c hệ thức: a. AB:DC = DB:AE b. AB:DC +AD:BC = BD:AC B i to¡n 3.9. Cho tứ gi¡c ABCD nội tiếp trong một đường trán. Hai đường ch²o AC v  BD cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AB CD + CD AB + BC AD + AD BC  IA IC + IC IA + IB ID + ID IB B i to¡n 3.10. Cho tứ gi¡c ABCD nội tiếp trong đường trán O, hai đường ch²o AC v  BD cắt nhau tại I. GọiM l  trung điểm của BC. MI k²o d i cắt AB tại N . Chứng minh rằng DN NA = DI2 AI2 B i to¡n 3.11 (B i to¡n con bướm). Cho tứ gi¡c ABCD nội tiếp trong đường trán (O). Gọi I l  giao điểm của AC v  BD. Đường thẳng vuæng gâc với IO tại I cắt AB;DC lần lượt tại M;N . Chứng minh rằng IM = IN . 20 B i to¡n 3.12. Cho tứ gi¡c ABCD nội tiếp trong đường trán (O;R) câ AC?BD tại I. Chứng minh rằng AB2 +BC2 + CD2 +DA2 = 8R2 B i to¡n 3.13. Cho tứ gi¡c ABCD nội tiếp trong đường trán. Chứng minh rằng jAC BDj  jAB CDj B i to¡n 3.14. Cho tứ gi¡c ABCD nội tiếp trong đường trán t¥m O b¡n k½nh R. Chứng minh rằng AB2 +AC2 +AD2 + 4R2  BC2 + CD2 +DB2 B i to¡n 3.15 (H ng điểm điều háa.). Cho tứ gi¡c ABCD khæng phải l  h¼nh thang nội tiếp trong đường trán t¥m (O). Giả sử gâc tại đỉnh D của tứ gi¡c l  nhỏ nhất. AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F , AC cắt BD tại H: Tia EH cắt (O) tai M v  N (M nằm giữa E v  H) cắt AD v  BC lần lượt tại G v  L. Tia FH cắt (O) tại P v  Q (P nằm giữa F v  H) cắt AB v  CD lần lượt tại R v  S. Chứng minh GA GD = FA FD : Lóc đâ bốn điểm D;G;A; F theo thứ tự ấy được gọi l  h ng điểm điều háa. B i to¡n 3.16. Cho tứ gi¡c ABCD nội tiếp trong đường trán (O). Quay tứ gi¡c quanh O một gâc  (0o <  < 90o). Ta được tứ gi¡c A′B′C ′D′. Gọi M;N;P;Q lần lượt l  giao điểm của AB v  A′B′, BC v  B′C ′, CD v  C ′D′, DA v  D′A′. Chứng minh rằng MN = PQ B i to¡n 3.17. Cho ngũ gi¡c đều ABCDE. Gọi I l  giao điểm của AD v  BE. Chứng minh rằng DI2 = AI:AD 21 B i to¡n 3.18. Cho ABCDE l  ngũ gi¡c lồi nội tiếp trong đường trán b¡n k½nh 1. Nếu biết rằng AB = a;BC = b; CD = c;DE = d;AE = 2 th¼ a2 + b2 + c2 + d2 + abc+ bcd < 4 B i to¡n 3.19. Cho đa gi¡c đều 9 cạnh A1A2 : : : A9. Chứng minh rằng A1A2 +A1A3 = A1A5: B i to¡n 3.20. Cho lục gi¡c nội tiếp đường trán ABCDEF câ AB = AF ;DC = DE. Chứng minh rằng AD > 1 2 (BC + EF ) B i to¡n 3.21. Cho đường trán t¥m O b¡n k½nh R ngoại tiếp ngũ gi¡c lồi ABCDE câ AB = BC = DE = R. Gọi M;N lần lượt l  trung điểm của CD v  EA. Chứng minh rằng MN  R √ 1 + p 3 2 B i to¡n 3.22. Tr¶n mỗi cạnh của ngũ gi¡c câ diện t½ch S nội tiếp trong đường trán t¥m O b¡n k½nh R chọn một điểm sao cho c¡c điểm đâ tạo th nh một ngũ gi¡c nội tiếp với ngũ gi¡c đ¢ cho . Chứng minh rằng nếu ngũ gi¡c đ¢ cho chứa t¥m th¼ chu vi của ngũ gi¡c nội tiếp được tạo th nh lớn hơn hoặc bằng 2S R B i to¡n 3.23. Giả sửO l  t¥m của đa gi¡c đềuA1A2 : : : An, X l  một điểm bất k¼ tr¶n mặt phẳng. Chứng minh rằng a. ! OA1 + ! OA2 +


+!OAn = !0 b. ! XA1 + ! XA2 +


+!XAn = n!XO c.A1X 2+A2X 2+


+AnX2 = n(R2+d2) trong đâ d = OX 22 3.2. Đẳng thức v  bất đẳng thức trong đa gi¡c ngoại tiếp đường trán B i to¡n 3.24. a. Cho tứ gi¡c ABCD ngoại tiếp đường trán (O). Chứng minh rằng AB + CD = BC +AD b. Cho tứ gi¡c ABCD câ AB + CD = BC + AD. Chứng minh rằng tứ gi¡c ABCD ngoại tiếp B i to¡n 3.25. Cho tứ gi¡c ABCD ngoại tiếp đường trán (O). Chứng minh rằng SOAB + SOCD = 1 2 SABCD: B i to¡n 3.26. Cho h¼nh thang c¥n ABCD(AB ∥ CD) ngoại tiếp đường trán (O;R). Chứng minh rằng AB:CD = 4R2 B i to¡n 3.27. Cho đường trán t¥m O nội tiếp h¼nh thang ABCD, AB ∥ CD tiếp xóc với c¡c cạnh AB tại E, với cạnh CD tại F . Chứng minh rằng BE AE = DF CF 3.3. Đẳng thức v  bất đẳng thức trong đa gi¡c vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp đường trán B i to¡n 3.28. Cho tứ gi¡c ABCD ngoại tiếp đường trán (O; r), đồng thời cũng nội tiếp một đường trán kh¡c. Gọi I;K;M;H theo thứ tự l  h¼nh chiếu củaO l¶nAB;BC;CD;DA. Chứng minh rằng r2 = AK:CM = BI:DH B i to¡n 3.29. Cho tứ gi¡c nội tiếp v  ngoại tiếp ABCD câAB = a;BC = b; CD = c;DA = d. Khi đâ diện t½ch S của tứ gi¡c được t½nh bằng cæng thức S = p abcd B i to¡n 3.30. Cho tứ gi¡c ABCD vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường trán câ diện t½ch S v  chu vi p. Chứng minh rằng p2 S = tan A 2 + tan B 2 + tan C 2 + tan D 2 23 B i to¡n 3.31. Chứng minh nếu một đa gi¡c câ diện t½ch S nội tiếp trong h¼nh trán diện t½ch A v  ngoại tiếp một h¼nh trán diện t½ch B th¼ ta câ S  A+B 2 24 KẾT LUẬN Nội dung ch½nh của luận văn l  tr¼nh b y câ hệ thống c¡c b i to¡n đẳng thức v  bất đẳng thức li¶n quan đến đa gi¡c nội, ngoại tiếp đường trán. Cụ thể t¡c giả đ¢ ho n th nh những cæng việc sau đ¥y: Tr¼nh b y câ hệ thống v  chứng minh một số t½nh chất h¼nh học cũng như đại số li¶n quan đến đa gi¡c với đường trán ngoại tiếp, nội tiếp của nâ. Tr¼nh b y c¡c b i to¡n cụ thể, logic, mạch lạc. C¡c b i to¡n được tr¼nh b y từ cơ bản đến n¥ng cao. Tr¼nh b y lời giải chi tiết c¡c đề thi học sinh giỏi, đề thi Olympic. Trong khuæn khổ của luận văn, t¡c giả tr¼nh b y chuy¶n s¥u một số dạng to¡n cơ bản li¶n qua