Tóm tắt Luận văn Mở rộng phương trình hàm Cauchy

n quốc gia và quốc tế, olympic khu vực, thường xuất hiện các dạng toán khác nhau liên quan đến phương trình hàm. Để giải nó ta không những cần nắm vững lý thuyết mà còn cần rất nhiều kỹ năng. Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các lớp chuyên, các lớp chọn còn biết rất ít các phương pháp đề giải các phương trình hàm. Đặc biệt, chúng ta còn rất ít cuốn sách về chuyên đề phương trình hàm và ứng dụng của chúng. Các bài toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng, bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phi tuyến tính, phương trình hàm một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình hàm một biến và phương trình hàm nhiều biến Phương trình hàm Cauchy có một vai trò quan trọng trong mảng toán về phương trình hàm. Rất nhiều phương trình hàm được giải quyết rất gọn gàng nhờ phép biến đổi đưa về phương trình hàm Cauchy. Và khi xây dựng các công thức tính diện tích hình chữ nhật, công thức Logarit, công thức lãi đơn, lãi képta sẽ bắt gặp phương trình hàm Cauchy. 2 Từ những vấn đề trên, tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Mở rộng phương trình hàm Cauchy”. 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các mở rộng của phương trình hàm Cauchy. Nội dung của đề tài được chia thành 2 chương: - Chương 1 giới thiệu về lịch sử phát triển và mở rộng phương trình hàm Cauchy. - Chương 2 giới thiệu về các ứng dụng của phương trình hàm Cauchy. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm Cauchy. Phạm vi nghiên cứu của luận văn là xây dựng cơ sở lý thuyết và hệ thống các mở rộng của phương trình hàm Cauchy và các ứng dụng của phương trình hàm cauchy. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu a. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm Cauchy và ứng dụng. b. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về các ứng dụng của phương trình hàm. 3 CHƢƠNG 1 MỞ RỘNG CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 1.1. VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƢƠNG TRÌNH HÀM Trong chương này, ta tóm lược đôi nét về lịch sử phát triển của phương trình hàm trong sự phát triển chung của Toán học và mở rộng các phương trình hàm Cauchy. 1.1.1. Nicole Oresme (1323 – 1382) Nicole Oresme là một nhà toán học người Pháp, ông là một trong những nhà khoa học lớn thời Trung cổ, ông có những nghiên cứu quan trọng cho khoa học thời Phục hưng. Năm 1348, Nicole Oresme giành được học bổng của đại học Paris, cũng chính năm đó ở Châu Âu đã xảy ra nạn dịch Cái chết đen làm chết hơn 1/3 dân số của Châu Âu. Năm 1355, ông đã có bằng thạc sĩ và được bổ nhiệm làm hiệu trưởng của trường Đại học Navarre của Pháp. Ông là nhà khoa học lớn nhất ở thế kỉ XIV. Ở giai đoạn khó khăn, dịch bệnh như vậy mà ông đã làm những điều quá sức phi thường, thật là một điều không tưởng. Phương trình hàm đã được các nhà khoa học nghiên cứu từ rất sớm. Ngay từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme đã xác định hàm số bậc nhất như một nghiệm của phương trình hàm. Cụ thể là, ông đã đặt bài toán tìm hàm số ( )f x thỏa mãn với mọi , , ,x y z đôi một phân biệt, phương trình hàm như sau:         f y f xy x z y f z f y     (1.1) 4 và Nicole Oresme đã tìm được nghiệm của phương trình (1.1) là:  f x ax b  với ,a b là hằng số. 1.1.2. Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667) Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm đã được biết đến nhiều hơn nhưng lại không có một lý thuyết chung nào cho các phương trình hàm lúc đó. Trong số nhà toán học lớn có nhà toán học Gregory of Saint – Vincent, người đi đầu về lý thuyết Logarithm và đã tìm ra được hàm hypebol trong phương trình hàm: ( ) ( ) ( ).f xy f x f y  Ông đã xét bài toán diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường 1 ; 1; ; ,y x x t x y x      ông đã kí hiệu diện tích đó là ( )f t và chứng tỏ ( )f t thỏa mãn phương trình hàm: ( ) ( ) ( ), , .f xy f x f y x y    Ngày nay thì ta đã biết đó là hàm   logaf x x với 0, 1.a a  Tuy nhiên, việc giải và tìm ra nghiệm của phương trình hàm ( ) ( ) ( ), ,f xy f x f y x y    thì phải đến 200 năm sau mới tìm được nhờ công của Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885). 1.1.3. Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885) Augustin – Louis Cauchy được sinh ra tại Paris năm 1789, năm xảy ra cuộc cách mạng Pháp kéo dài đến 10 năm. Khi Cauchy được 10 tuổi thì bố ông đã đem cả gia đình về quê sống ẩn dật cho đến năm 1800. Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm của Parthenon. Ở đó vua Napoleon đã đặt ra nhiều giải thưởng và một kỳ 5 thi học sinh giỏi cho tất cả các trường của nước Pháp thuộc cùng một lớp. Cauchy đứng đầu lớp và đạt nhiều giải nhất về các môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp và thơ La Tinh. Năm 1805, khi 16 tuổi Cauchy đã gặp được một thầy dạy Toán giỏi và đã thi đỗ thứ hai vào trường Đại học Bách Khoa. Năm 1807 ông vào học trường Đại học Cầu đường và tuy mới 18 tuổi nhưng ông đã vượt qua các bạn học 20 tuổi, mặc dù các bạn này đã học 2 năm ở trường này rồi. Năm 1813, ông dạy toán ở Trường Bách Khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp. Bước vào tuổi 27, ông là nhà toán học xuất sắc thời bấy giờ, ông nghiên cứu ở nhiều lĩnh vực. Tuy nhiên, ông chủ yếu được biết đến trên lĩnh vực toán học và được công nhận là một trong những người sáng lập nên toán học hiện đại. Mặc dù định nghĩa của Nicole Oresme về tuyến tính có thể được hiểu như là một ví dụ đầu tiên về một phương trình hàm, nó không đại diện cho một điểm khởi đầu cho lý thuyết về phương trình hàm. Các chủ đề của phương trình hàm được đánh dấu một cách chính xác hơn từ công việc của Augustin – Louis Cauchy. Một trong những phương trình hàm nổi tiếng mà ta hay gọi là phương trình Cauchy có dạng: ( ) ( ) ( ),f x y f x f y   , .x y  (1.2) Nghiệm của phương trình (1.2) có dạng:   .f x ax Phương trình (1.2) cũng đã được Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) và Legendre nghiên cứu khi tìm ra định lí cơ bản của hình học xạ ảnh và khi nghiên cứu phân phối Gauss về phân bố xác suất. G. Darbour cũng đã nghiên cứu phương trình (1.2) và chỉ ra rằng chỉ 6 cần  f x hoặc liên tục tại một điểm, hoặc bị chặn trên (hoặc dưới) trên một khoảng đủ nhỏ thì nghiệm của phương trình (1.2) vẫn là   .f x kx Sau đó các nhà toán học còn đưa ra nhiều hạn chế nữa, nhưng việc chỉ ra hàm số không liên tục và thỏa điều kiện (1.2) mãi đến năm 1905 mới được thực hiện bởi nhà toán học người Đức Georg Hamel (1877 – 1954) với việc đưa ra hệ cở sở Hamel của tập số thực . Thật bất ngờ là một trong những phương trình hàm cơ bản lại có liên quan chặt chẽ đến nhị thức Newton. Từ hàng thế kỷ trước Newton, các nhà toán học đã biết đến công thức 1 2 2 1 1(1 ) 1 ... n n nn n n nx C x C x C x x        (1.3) đúng với mọi n và với mọi ,x trong đó các tổ hợp x được xác định từ tam giác Pascal và được tính theo công thức: ( 1)( 2)...( 1) ! n n n n iiC n i      (với i là số tự nhiên) 1.1.4. Jean d’Alembert (1717 – 1783) Jean d'Alembert sinh năm 1717 ở Paris, ông là con ngoài giá thú của một sĩ quan quân đội và một nhà văn. Ông được sinh ra khi cha ông đang ở nước ngoài, vì sợ ảnh hưởng đến tiếng tăm của mình, mẹ ông đã để ông trên bậc thang lối vào nhà thờ Saint – Jean – leRond. Theo tục lệ, ông được đặt tên là Jean le Rond, sau đó nhà thờ gởi ông vào trại trẻ mồ côi trông nom nhưng cũng sớm được nhận nuôi bởi vợ của người thợ làm kính. Mặc dù, Destouches - cha ông hỗ trợ tài chính và lo cho con trai của mình ăn học, ông đã không công khai thừa nhận Jean d'Alembert là con trai mình. Năm 1738, 7 Jean le Rond vào trường luật, ông lấy tên Daremberg. Sau đó ông đã đổi thành d'Alembert. Năm 1741, nhờ nỗ lực của mình, d'Alembert vào Viện Hàn lâm Khoa học Pháp như trợ lý thiên văn học, hai năm tiếp theo, ông đã thực hiện rất nhiều nghiên cứu về cơ học và công bố nhiều bài báo và nhiều cuốn sách, năm 1746, d'Alembert được thăng chức Phó Uỷ viên của Hội đồng toán học. Trong lịch sử, Jean d'Alembert có thể được coi là tiền bối về nghiên cứu phương trình Cauchy. Tuy nhiên, trong vấn đề về phương trình hàm, nó có vẻ tự nhiên hơn khi xem xét đóng góp của ông sau Cauchy. Khi nghiên cứu định luật tổng hợp lực theo quy tắc hình bình hành, ông đã xét phương trình:        2g x y g x y g x g y    (1.4) với 0 . 2 y x     Phương trình (1.4) bây giờ được gọi là phương trình d'Alembert. Yêu cầu đặt ra là phải tìm ra tất cả các hàm :g  thỏa mãn phương trình (1.4), ở đây chúng ta đang gặp một khó khăn lớn trong việc tìm nghiệm so với phương trình Cauchy. Phương trình này làm ta liên tưởng đến các tính chất của các hàm số lượng giác. Xét các hàm số lượng giác đơn giản ta thấy hàm số ( ) cosg x x thỏa mãn nhưng hàm số ( ) sing x x thì lại không thỏa mãn. Câu hỏi đặt ra là liệu có còn các nghiệm khác không? Và người ta đã chỉ ra các nghiệm đó có dạng:   .cos ,g x b ax với việc chọn các hằng số ,a b phù hợp. 8 Tuy nhiên, khi thay 0x y  vào phương trình (1.4) ta được 2(0) (0),g g suy ra (0) 0g  hoặc (0) 1g  lần lượt tương ứng với trường hợp 0b  và 1.b  Với a là một hằng số tùy ý, nếu ( )g x là một nghiệm bất kì của phương trình (1.4) thì ( )g ax cũng là một nghiệm. Như vậy, nghiệm ban đầu có thể mở rộng thành ( ) 0g x  hoặc ( ) cos .g x x Người ta lại tự hỏi, ngoài các nghiệm trên thì có nghiệm nào khác không? Câu trả lời là có. Và một lần nữa, vào năm 1821, Cauchy đã giải được phương trình hàm trên với điều kiện ( )g x là hàm liên tục và được nghiệm là: ( ) 0,g x  ( ) cosg x ax hoặc ( ) ( 0). 2 x xb b g x b    Sau đó người ta nghiên cứu và đã viết lại nghiệm trên thành: ( ) 0,g x  ( ) cosg x ax hoặc ( ) . 2 ax axe e g x   1.2. ĐỊNH NGHĨA 1.2.1. Định nghĩa phƣơng trình hàm Phương trình hàm là phương trình mà ẩn của nó là các hàm số, giải phương trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phương trình hàm đã cho và một số điều kiện cho trước. Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần chính: - Miền xác định và miền giá trị. - Phương trình hàm. 9 - Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn, liên tục, khả vi,). 1.2.2. Định nghĩa phƣơng trình hàm Cauchy Phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm có dạng (x + y)= (x)+ (y) f f f (1.17) Nghiệm liên tục của bài toán phương trình hàm Cauchy là   , , f x ax x   với a  tùy ý. Hàm f thỏa mãn tính chất (1.17) được gọi là hàm cộng tính. Để có thể xác định hoàn toàn hàm cộng tính f trên , ta có thể thay giả thiết f liên tục trên , bằng một trong các giả thiết: f chỉ liên tục tại một điểm, hay f là hàm đơn điệu trên ; ( ) 0, 0f x x   , hay f bị chặn trên một đoạn nào đó. 1.3. MỞ RỘNG CỦA HÀM CỘNG TÍNH 1.3.1. Giới thiệu Tập hợp tất cả các giá trị của các biến mà phương trình hàm tồn tại được gọi là tập xác định của phương trình hàm. Ví dụ, tập xác định của phương trình hàm (x + y)= (x)+ (y) , (0; )f f f x y   (1.23) là 2 . Một hàm thỏa mãn một phương trình hàm trên một tập xác định cho trước thì được gọi là 1 nghiệm trên tập xác định đó. Trong mục này chúng ta chỉ xem xét bài toán mở rộng phương trình hàm Cauchy cộng tính từ một miền nhỏ hơn đến một miền lớn hơn. Ba phương trình hàm Cauchy còn lại có thể được mở rộng tương tự. 10 1.3.2. Mở rộng của hàm cộng tính Cho  ,a b là một đoạn trong ,và cho  : ,f a b  là hàm cộng tính trên đoạn  ,a b với , , [ ] ,x y x y a b  . Liệu có tồn tại hàm cộng tính :A  sao cho     [a,b] A xx x   ( nghĩa là [a,b]| A f ) ? Định lí sau đây đã được chứng minh bởi Aczél và Erdos (1965) Định lí 1.1. Cho 0  , và cho   : ,f    là một hàm cộng tính trên  ,  . Khi đó tồn tại 1 hàm cộng tính :A  sao cho      , , xA x f x    Lƣu ý 1.1. Chú ý rằng miền  ,  không bị chặn và nếu  , ,x y   thì [ , )x y    Tuy nhiên, nếu  , ,x y   và  ,a b là khoảng bị chặn thì x y không nhất thiết thuộc  ,a b . Do đó, cách chứng minh định lí ở trên không áp dụng được cho khoảng bị chặn. Định lí sau đây là của Daróczy và Losonczi (1967) Định lí 1.2. Cho  : 0,1f  thỏa mãn phương trình hàm Cauchy       f x y f x f y   với mọi , , [0,1]x y x y  . Thì tồn tại 1 hàm cộng tính :A  sao cho:      , 0,1A x f x x  11 CHƢƠNG 2 CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 2.1. GIỚI THIỆU CHUNG Nhiều phương trình hàm bắt nguồn từ các ứng dụng. Hiện tại, bài toán trong khoa học và kỹ thuật thông thường là mô hình hóa bằng phương trình vi phân thường (ODE) hay là phương trình đạo hàm riêng (PDE). Trước khi ODE và PDE phát triển, các quá trình vật lý đã được phân tích bằng cách sử dụng hàm. Khi quá trình vật lý được mô hình hóa bằng hàm, chẳng hạn như, f , nó dùng biến số vào x (hay là vài biến số vào) và biến số ra tương ứng    . f x f x biến số ra thoả mãn một số quan hệ tương ứng với một vài tính chất của quá trình vật lý thường đã được biết đến bằng cách quan sát. Điều này dẫn đến phương trình hàm cho hàm f . Khi phương trình hàm được dùng cho mô hình hóa, nó chẳng cần phải giả định tính khả vi của hàm và vì vậy, phương trình hàm thường đưa đến kết quả nhiều nghiệm hơn so với ODE và PDE. Các giải pháp khác có thể phù hợp với khoa học và công nghệ. Trong chương này, chúng ta trình bày một vài ứng dụng phương trình hàm Cauchy. Trong mục 2, chúng ta sẽ xây dựng công thức hình chữ nhật theo Legendre (1971). Trong khi xây dựng công thức này, chúng ta sẽ bắt gặp phương trình hàm Cauchy cộng tính 2 biến. Trong mục 3, dùng tính chất cộng tính của tích phân xác định, chúng ta thấy rằng 1 1 ln( ) x dt x t  12 với  0,x  . Khi suy ra công thức này, chúng ta dùng hàm Cauchy logarit. Trong nhiều cuốn sách tích phân còn được sử dụng để xác định các logarit tự nhiên. Mục 4 thoả thuận với phép lấy đạo hàm của công thức lãi đơn và lãi kép từ phương trình hàm. Vì chất phóng xạ phân rã theo thời gian, thật hữu ích để có công thức tính toán lượng chất phóng xạ có mặt vào thời gian t. Bằng cách sử dụng phương trình hàm mũ Cauchy, ta đã xây dựng nên công thức phân rã phóng xạ. Từ mục 6 đến mục 8 sẽ trình bày 3 ứng dụng của phương trình hàm trong lý thuyết xác suất. Trong mục 6, ta hình thành các đặc tính của xác suất phân phối bội theo thuật ngữ tính chất không nhớ. Trong mục 7, ta sẽ tìm hiểu các đặc tính của xác suất phân phối chuẩn rời rạc. Mục 8, một trong các đặc tính đầu tiên của xác suất phân phối chuẩn. Chúng ta kết thúc chương này với một số nhận xét về các ứng dụng khác của phương trình hàm. 2.2. DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT Năm 1791, Legendre đã đưa ra công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng cách sử dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính. Để đi đến được công thức tính diện tích hình chữ nhật, chúng ta cần các định lí sau: Định lí 2.1. Hàm :[0, ) [0, )f    thỏa mãn phương trình Cauchy cộng tính ( ) ( ) ( ) , [0, )f x y f x f y x y      Khi và chỉ khi ( )f x cx , trong đó c là một hằng số thực không âm. 2.3. XÁC ĐỊNH LOGARIT 13 Trong một giáo trình tính toán sơ cấp, logarit được xác định thông qua công thức tích phân Anton (H. Anton 1992, p.469) định nghĩa logarit tự nhiên như sau: 1 1 ln x x dt t   (2.7) với  0,x  . Ta thấy rằng 1 1 x dt t thực sự là lnx và ta không phải công nhận nó như một định nghĩa. Nó chỉ là một tính chất của tích phân. Ta chỉ ra rằng tích phân trên là một hàm của x thỏa mãn phương trình hàm logarit Cauchy. Cho 1 : 1 ( ) , 0 x x dt x t       Do đó, trường hợp , (1, )x y  , ta có 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) yx xyx x xy x y dt dt t t dt dz z tx t z d xy                   Các trường hợp khác được làm tương tự nên ta có ( ) ( ) ( )xy x y    (2.8) 14 , x y   . Trong Giải tích toán học ta đã biết  là hàm khả vi nên liên tục. Do đó phương trình (2.8) có ( ) lnx c x  (c là hằng số) Sử dụng tổng Riemann, ta có 1 1 ( ) 1 e e dt t    Vì 1c  nên ( ) lnx x  Do đó 1 1 ln x dt x t  2.4. CÔNG THỨC LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP Tiếp theo ta xây dựng công thức lãi đơn bằng cách sử dụng hàm Cauchy cộng tính. Cho  ,f x t là giá trị tương lai của vốn x đã được đầu tư với một khoảng chu kỳ lãi t . Thì theo công thức lãi đơn, hàm  ,f x t thỏa mãn ( , ) ( , ) ( , )f x y t f x t f y t   Và ( , ) ( , ) ( , )f x t s f x t f x s   , , ,x y t s   . Do đó ( , )f x t kxt với k là một hằng số dương tùy ý có đơn vị. Bây giờ ta hình thành công thức lãi kép. Cho  ,f x t là giá trị tương lai của vốn x đã được đầu tư với một khoảng chu kỳ thời gian. Thì theo công thức lãi kép, hàm  ,f x t thỏa mãn phương trình ( , ) ( , ) ( , )f x y t f x t f y t   (2.9) 15 Và ( , ) ( ( , ), )f x t s f f x t s  (2.10) , , ,x y t s   . Phương trình thứ nhất cho ta giá trị tương lai của vốn x y sau khi đã được đầu tư trong một khoảng chu kỳ t và y vốn sau khi đã được đầu tư với chu kỳ lãi t. Phương trình thứ hai cho ta giá trị tương lai của vốn x đầu tư với chu kỳ lãi t s tương đương với giá trị tương lai của vốn  ,f x t đầu tư với chu kỳ lãi s. Một cách tự nhiên ta có  ,f x t liên tục trên mỗi biến. Vì thế, hàm (2.9) được cho bởi: ( , ) ( )f x t c t x (2.11) trong đó :c  . Sử dụng f trong (2.10), ta có được ( ) ( ) ( )c t s x c t c s x  (2.12) Do đó ta có ( ) ( ) ( )c t s c t c s  (2.13) ,s t   . Tính liên tục của (2.13) được cho bởi ( ) tc t e , trong đó λ là một hằng số tùy ý. Từ ln(1 )r   ta có được ( , ) (1 ) (r 0)tf x t x r   Đó là công thức nổi tiếng về lãi kép. 2.5. SỰ PHÂN RÃ CỦA PHÓNG XẠ 16 Cho  0m g là khối lượng ban đầu của một nguyên tố phóng xạ. Cho  m t là khối lượng hiện tại ở thời điểm t. Ta giả định rằng tốc độ thay đổi của  m t tỉ lệ thuận với  m t . Từ giả định này, ta có '( ) ( )m t m t  Do đó ( ) tm t e   Hoặc 0( ) tm t m e  (2.14) Do đó (2.14) đưa ra được công thức cho việc tìm kiếm khối lượng hiện tại ở thời điểm t về khối lượng m0 ban đầu và khoảng thời gian t. Ở đây λ là hằng số phân rã. Bây giờ ta hình thành công thức (2.14) bằng cách sử dụng phương trình hàm. Cho  f t biểu thị mối quan hệ giữa khối lượng hiện tại ở thời điểm t và khối lượng ban đầu 0m ,vì vậy 0( ) ( )m t m f t Lượng chất phóng xạ tại thời điểm t + h có thể được thể hiện bằng hai cách khác nhau (xem hình dưới): 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m t h m f t h m t h m f t f h      Do đó 17 0 0 ( ) ( ) ( ) ,m f t h m f t f h t h      Do đó ( ) ( ) ( )f t h f t f h  Từ áp dụng tại một điểm ta có thể xem như f là liên tục. Thì tính liên tục của phương trình hàm trên được cho bởi: ( ) tf t e , trong đó α là hằng số thực. Do đó 0 0 ( ) ( ) t m t m f t m e   Vì  m t giảm theo thời gian t, hằng số α phải là âm và    Với λ > 0, ta có 0( ) tf t m e  Hằng số α được gọi là hằng số phân rã. 2.6. ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI BỘI Trong phần này bằng cách sử dụng phương trình hàm mũ Cauchy ta hình thành các đặc tính của phân phối bội theo thuật ngữ tính chất không nhớ. Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối bội (hay biến ngẫu nhiên bội) nếu hàm mật độ xác suất của nó được cho bởi 1( ) (1 ) , 1,2,3,...,xf x p p x   Trong đó [0,1]p là một tham số. Ở đây, p được hiểu là xác suất thành công. Nếu X là một biến ngẫu nhiên bội, thì nó biểu diễn cho số thử nghiệm thành công đầu tiên xảy ra. 18 Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có tính chất không nhớ nếu nó thỏa mãn ( | ) ( )P X m n X n P X m     ( ),m n  Bây giờ ta chứng minh rằng biến ngẫu nhiên X là phép ngẫu nhiên bội khi và chỉ khi nó thỏa mãn tính chất không nhớ ( | ) ( )P X m n X n P X m     Vì (( ) ( )) (( ) | ( )) ( ) P X m n X n P X m n X n P x n          Ta có (( ) ( )) ( ) ( )P X m n X n P X m P X n       Mà ( ) ( ) ( ) ,P X m n P X m P X n m n       Nếu X là biến ngẫu nhiên bội, thì 1(1 )xX p p Thì 1 1 ( ) (1 ) (1 ) x x m n n m P X m n p p p              (1 ) (1 ) ( ) ( ) n mp p P X n P x m       Do đó phân phối bội có tính chất không nhớ. Tiếp theo, cho X là biến ngẫu nhiên bất kỳ thỏa mãn tính chất không nhớ. ( ) ( ) ( ) ,P X m n P X m P X n m n       19 Ta sẽ chỉ ra rằng X là biến ngẫu nhiên bội. Xác định :g  thì ( ) ( )g n P X n  Do đó, ta có ( ) ( ) ( ) ,g m n g m g n m n    Nghiệm tổng quát (ngay cả trường hợp không liên tục) được cho bởi ( ) ng n a , với α là hằng số. Vì vậy ( ) nP X n a  Hoặc 1 ( ) nF n a  Trong đó  F n là hàm phân phối xác suất. Vì vậy: ( ) 1 nF n a  Do  F n là hàm phân phối xác suất, ta có 1 lim ( ) n F n   Hoặc 1 lim(1 )n n a    Từ trên, ta kết luận rằng 0 < a < 1. Ta thay a bằng  1– p , ta có    1 1 n F n p   Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X được cho bởi 20 2 3 2 2 (1) (1) (2) (2) (1) 1 (1 ) (1 ) (3) (3) (2) 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) f F p f F F p p p p f F F p p p p                     Vì vậy, bằng quy tắc quy nạp, ta có: 1( ) (1 ) (x=1, 2, 3,..., )xf x p p   Vì thế ( )X Geo p (đpcm) 2.7. ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN RỜI RẠC Trong phần này, ta xét một phương trình hàm liên quan đến các đặc trưng của phân phối chuẩn rời rạc. Phương trình hàm ta quan tâm như sau: 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( ) , ,...,n n nf x x x f x f x f x x x x         (là tập các số nguyên) Nếu 2n  , thì phương trình hàm trên trở thành 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) x ,xf x x f x f x     (2.15) Một nghiệm của phương trình là: ( ) f x kx x  (2.16) Tuy nhiên (2.16) không phải là nghiệm duy nhất. Ví dụ 21 0 ( ) 1 2 f x       Cũng là 1 nghiệm của (2.15). Tương tự như vậy, phương trình hàm 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )f x x x f x f x f x     (2.17) Cũng có nghiệm phi tuyến (xem Dasgupta (1993)) 0 1 ( ) 2 3 f x        Bên cạnh các nghiệm tuyến tính  f x kx Nếu n ≥ 4, thì ta chỉ ra rằng mỗi nghiệm của phương trình hàm 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ... ) ( ) ( ) ... ( ) n n f x x x f x f x f x       (2.18) 1 2 , ,..., n x x x  là tuyến tính. Chúng ta dùng các định lí Lagrange để tìm ra nghiệm tổng quát. Định lí 2.2. Mỗi số nguyên dương n là tổng của nhiều nhất là bốn bình phương số nguyên dương, tức là 2 2 2 2 , , , ,n a b c d a b c d     Định lí 2.3. Cho 4n  là một số nguyên. Hàm :f  thỏa mãn phương trình 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )n nf x x x f x f x f x       (2.20) khi x = 0 khi x=1 khi x=2 nếu khi x = 0 khi x = 1 khi x = 2 khi x = 3 nếu 22 với mọi 1 2, ,..., nx x x  khi và chỉ khi  f x kx ,trong đó k là hằng số tùy ý. 2.8. ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN Biết rõ rằng, nếu 1 2 3, , ,... nx x x x là một biến ngẫu nhiên từ một phân phối chuẩn với trung bình µ và phương sai σ2 , thì ước lượng hợp lý cực đại (MLE) của tham số vị trí µ được cho bởi giá trị trung bình mẫu 1 / n i i x x n   . Nếu ước lượng hợp lý cực đại của một tham số vị trí cho một tổng thể được tính bằng cách lấy giá trị trung bình mẫu, có thật là phân phối cho tổng thể đó là chuẩn? Câu trả lời cho điều này đã được kiểm chứng và việc chứng minh đã được thực hiện bởi Gaus (1809). Trong phần này, với việc sử dụng hàm Cauchy cộng tính, chúng tôi trình bày những đặc tính đầu tiên của phân phối chuẩn. Teicher (1961) đã đặc trưng hóa phân phối chuẩn dựa vào MLE bằng cách làm giảm đi điều kiện được yêu cầu bởi Gauss (1809). Marshall và Olkin (1993) mở rộng kết quả của Teicher đến phân phối chuẩn đa chiều. Stadje (1993) cũng đã nghiên cứu vấn đề đặc tính, nhưng ngoài những điều kiện khác ví dụ cỡ mẫu n = 2,3,4 cùng một lúc. Chúng tôi đã phỏng theo một chứng minh gần đây bởi Azzalini và Gento (2007) chỉ sử dụng một giá trị của kích thước mẫu n, với 3n  . Định lý 2.4. Xét một tập hợp vị trí hàm cho một biến ngẫu nhiên liên tục trên không gian một chiều, sao cho với bất kỳ lựa chon  , hàm mật độ xác suất tuông ứng tại điểm x là  f x µ . Giả sử 23 rằng một mẫu ngẫu nhiên với kích thước 3n  được lấy từ một đơn vị của tập hợp hàm này, và với những điều kiện sau: 1. F(x) là hàm vi phân của x và đạo hàm cuả nó  'f x là liên tục ở ít nhất một điểm x 2. Với mỗi tập hợp giá trị của biến, 1 2 3, , ,... nx x x x , giá trị trung bình của biến 1 / n ii x x n  