Tóm tắt Luận văn Phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số

yến tính hóa tương đương. Trên cơ sở đó, Luận án đã lựa chọn được đề tài nghiên cứu và đề ra những nội dung nghiên cứu cụ thể. CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN TIỀN ĐỊNH VÀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CÓ TRỌNG SỐ Trong chương này, Luận án trình bày những ý tưởng cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định và giá trị trung bình có trọng số cùng một số tính chất của trung bình có trọng số. 1.1. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định Xét dao động phi tuyến tiền định của hệ một bậc tự do được mô tả bởi phương trình vi phân phi tuyến sau đây: ( , ) ( )X g X X F t  (2.1) với ,X X và X lần lượt là dịch chuyển, vận tốc và gia tốc; ( , )g X X là một hàm phi tuyến phụ thuộc vào dịch chuyển và vận tốc; còn ( )F t là lực kích động ngoài. Dạng tuyến tính của phương trình (2.1) được giới thiệu như sau: 4 ( )X X X F t    (2.2) Các hệ số  và  được xác định từ tiêu chuẩn độ lệch trung bình bình phương:   2 2 , ( , ) ( , )e X X g X X X X Min        (2.3) Theo đó: 2 2 2 2 ( , ) ( , )g X X X X g X X X XX X X XX     (2.6) 2 2 2 2 ( , ) ( , )g X X X X g X X X XX X X XX     (2.7) Trong các biểu thức (2.3)-(2.7), ký hiệu là toán tử trung bình theo thời gian. 2.2. Trung bình có trọng số Định nghĩa : Trung bình có trọng số của một hàm phụ thuộc thời gian x(t) được xác định bởi [2]: 0 ( ) ( ) ( ) w x t h t x t dt    (2.12) với h(t) là hàm phụ thuộc vào thời gian, được gọi là hàm hệ số trọng số, hàm này thỏa mãn điều kiện: 0 ( ) 1h t dt   (2.13) Đối với các bài toán dao động, ta chỉ xem xét các hàm tuần hoàn ( )x t , một dạng của hàm hệ số trọng số được xét như sau [2]: 5 2 2( ) , 0s th t s te s   (2.15) trong đó, tham số s được gọi là tham số điều chỉnh. Giá trị trung bình có trọng số có một số tính chất; cụ thể, khi 0s  , giá trị trung bình có trọng số sẽ trở thành giá trị trung bình cổ điển; giá trị trung bình có trọng số của hàm tuần hoàn được tính thông qua phép biến đổi Laplace; trung bình có trọng số bảo toàn đặc tính tuyến tính của trung bình cổ điển; và giá trị trung bình có trọng số chứa nhiều thông tin về hàm tuần hoàn hơn giá trị trung bình cổ điển. Kết luận Chương 2 Chương 2 trình bày những ý tưởng cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định và khái niệm về giá trị trung bình có trọng số. Các phân tích cho thấy giá trị trung bình có trọng số có những ưu điểm so với giá trị trung bình cổ điển, điều này sẽ tạo nên những tín hiệu tích cực khi sử dụng giá trị trung bình có trọng số để phân tích các bài toán dao động phi tuyến. Một số kết quả của Chương 2 đã được công bố trong bài báo [T1] trong mục “Danh mục công trình liên quan tới Luận án” trong việc làm rõ một số tính chất của trung bình có trọng số và ưu điểm của nó so với trung bình cổ điển. CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Trong Chương 3, phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình có trọng số sẽ được áp dụng để phân tích một số hệ dao động 6 phi tuyến một bậc tự do không cản. Kết quả thu được đối với các hệ dao động đều được kiểm chứng với các kết quả đã công bố hoặc kết quả số. 3.1. Dao động phi tuyến Duffing Xét dao động phi tuyến Duffing dạng tổng quát được mô tả bởi: 3 5 7 2 1 1 3 5 7 2 1 0 n nX X X X X X            (3.4) trong đó, 1 3 5 7 2 1, , , , , n      là các hằng số, n là số tự nhiên, phương trình (3.4) thỏa mãn điều kiện đầu: (0) , (0) 0X A X  (3.5) Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương, bình phương tần số xấp xỉ của dao động có thể tìm được: 4 6 8 2 2 2 1 3 5 7 2 12 2 2 2 n n X X X X X X X X              (3.9) Dựa trên nghiệm điều hòa của phương trình tuyến tính cos( )X A t , các giá trị trung bình trong biểu thức (3.9) có thể được tính toán theo định nghĩa giá trị trung bình có trọng số trong Chương 2 và phép biến đổi Laplace. 3.1.1. Dao động Duffing bậc 3 Khi n = 1, ta có dao động Duffing bậc 3: 3 1 3 0X X X    (3.15) Tần số xấp xỉ của dao động được cho bởi: 8 6 4 2 2 1 34 2 2 2 28 248 416 1536 ( 2 8)( 16) s s s s A s s s             Luân án (3.16) 7 Hình 3.1. Sự thay đổi của sai số tương đối của các tần số xấp xỉ theo biên độ ban đầu của dao động Duffing bậc 3 với α1=10 và α3=10 Hình 3.3. Sự thay đổi của tần số dao động theo tham số điều chỉnh s của dao động Duffing bậc 3 với α1=10, α3=10 và A=1 Hình 3.1 và 3.2 khảo sát sự thay đổi của sai số tương đối của tần số xấp xỉ thu được trong Luận án (Luânán ) và tần số xấp xỉ thu được nhờ phương pháp cân bằng năng lượng ( EBM ) [35] theo biên độ ban đầu của dao động A. Một số giá trị của tham số điều chỉnh s đã được lựa chọn (s = 1, 2 và 3). Từ các hình vẽ này, ta thấy rằng với các giá trị 0 1 2 3 4 5 0 5 1 0 1 5 2 0 S ai s ố t ư ơ n g đ ố i (% ) Biên độ ban đầu, A EBM Luận án, s=2 Luận án, s=1 Luận án, s=3 4.1 4.15 4.2 4.25 4.3 4.35 4.4 4.45 0 2 4 6 8 1 0 T ần s ố , ω Tham số điều chỉnh, s Luận Án EBM Chính Xác 8 s = 1 và s = 2, tần số xấp xỉ thu được trong Luận án tốt hơn nhiều so với tần số xấp xỉ thu được nhờ phương pháp cân bằng năng lượng. Cụ thể, khi biên độ ban đầu tăng lên, sai số của phương pháp cân bằng năng lượng lên tới 2.2%, trong khi sai số của phương pháp sử dụng trong Luận án chỉ là 1.18% với s = 1 và 0.15% với s = 2. Tuy nhiên, khi s tăng lên chẳng hạn s = 3, sai số xấp xỉ của phương pháp sử dụng trong Luận án lại lên tới 4.4%. Với α1 = 10, α3 = 10 và A = 1, Hình 3.3 thể hiện sự thay đổi của tần số xấp xỉ của dao động theo tham số điều chỉnh s. Từ hình vẽ này ta thấy rằng tần số xấp xỉ thu được từ Luận án sẽ bằng với tần số chính xác ( Chính xác 4.1672  ) [43] ứng với các giá trị của tham số điều chỉnh s = 0.5 và s = 2.5. Qua khảo sát thấy rằng giá trị tối ưu của tham số điều chỉnh s thay đổi theo từng hệ, với mong muốn lựa chọn s là một số tự nhiên, trong Luận án này đã sử dụng giá trị s = 2 với mục đích so sánh. Hơn nữa, cũng từ hình vẽ này ta thấy rằng khi tham số s tăng, tần số xấp xỉ của dao động sẽ tăng và dẫn tới sự chính xác của nghiệm thu được sẽ giảm. 3.1.2. Dao động Duffing bậc 5 Khi n = 2, ta có dao động Duffing bậc 5: 3 5 1 3 5 0X X X X      (3.19) Với s = 2, tần số xấp xỉ của dao động phi tuyến Duffing bậc 5 được cho bởi: 2 4 Luân án 1 3 50.72 0.575A A      (3.20) So sánh tần số xấp xỉ thu được trong Luận án và tần số xấp xỉ thu được nhờ phương pháp cân bằng năng lượng với tần số chính xác 9 của dao động phi tuyến Duffing bậc 5 được thể hiện trong Hình 3.5. Ta thấy rằng khi biên độ ban đầu A tăng, sai số của phương pháp cân bằng năng lượng [35] lên tới 2.26%, trong khi sai số của phương pháp sử dụng trong Luận án chỉ là 1.52% với bộ thông số của hệ được lựa chọn như trong Hình 3.5. Hình 3.5. Sự thay đổi của sai số tương đối của các tần số xấp xỉ theo biên độ ban đầu của dao động Duffing bậc 5 với α1=1, α3=10 và α5=100 Hình 3.6. Sự thay đổi của tần số dao động theo tham số điều chỉnh s của dao động Duffing bậc 5 với α1=10, α3=100, α5=100 và A=10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 5 1 0 1 5 2 0 S ai s ố t ư ơ n g đ ố i (% ) Biên độ ban đầu, A EBM Luận án, s=2 700 750 800 850 900 950 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 T ần s ố , ω Tham số điều chỉnh, s Luận án EBM Chính xác 10 Với α1 = 1, α3 = 100, α5 = 100 và A = 10, sự thay đổi của tần số xấp xỉ của dao động theo tham số điều chỉnh s được thể hiện trong Hình 3.6. Từ hình vẽ này, ta thấy rằng tần số xấp xỉ thu được từ Luận án bằng với tần số chính xác ( Chính xác 751.6951  ) ứng với các giá trị của tham số điều chỉnh 1s  và 2s  . Sai số của nghiệm xấp xỉ thu được sẽ tăng với những giá trị lớn hơn của tham số điều chỉnh s. 3.2. Dao động phi tuyến mở rộng Trong phần này, Luận án tập trung phân tích dao động phi tuyến mở rộng được mô tả bởi phương trình sau đây: 0. n m p u u u u u           (3.27) với điều kiện ban đầu: (0) , (0) 0.u A u  (3.28) trong đó,  ,  ,  ,  và  là các hằng số; m, n và p là các số mũ dương. Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, tần số xấp xỉ của dao động được cho bởi: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) . cos ( ) cos ( ) p p w w m m m p m p w w n n w p p w w A t A t A t A t A t A t A t                                            (3.35) với 2 2 2 0 0 cos ( ) cos ( ) cos ( ) .k s t k s k w t s te t dt s e d             (3.36) 11 3.2.1. Dao động Duffing – điều hòa Khi 1  , 1  , 1  , 1  và 1  ; và các số mũ 3m  , 1n  và 2p  ; theo đó, phương trình dao động (3.27) có dạng: 3 2 0. 1 u u u u u      (3.37) Từ phương trình (3.33), tần số xấp xỉ của dao động được cho bởi: 2 2 1 1 0.72 . 1 0.72 Luân án A A      (3.38) So sánh nghiệm xấp xỉ (3.39) với nghiệm số sử dụng phương pháp Runge – Kutta bậc 4 được thể hiện trong Hình 3.12. Sự chính xác của nghiệm xấp xỉ thu được so với nghiệm số của dao động phi tuyến Duffing – điều hòa có thể được quan sát từ hình vẽ này. Hình 3.12. So sánh nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing – điều hòa 3.2.2. Dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi Với 1   , 1  , 0  và 3m  , ta có dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi: 12 3 0.u u u   (3.40) Nghiệm của phương trình (3.40) phụ thuộc vào điều kiện đầu. Với mục đích so sánh, chu kỳ Luân ánT thu được bởi Luận án, chu kỳ xấp xỉ thu được bởi Momeni và cộng sự [36] sử dụng phương pháp cân bằng năng lượng EBMT và chu kỳ chính xác của dao động Chính xácT [26] được liệt kê trong Bảng 3.3 và 3.4 với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu A. Bảng 3.3. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi ( 2A  ) A Chính xácT [26] EBMT [36] Sai số (%) Luân ánT Sai số (%) 1.42 15.0844 8.7784 41.8047 9.3477 38.0306 1.45 11.2132 8.2725 26.2253 8.7656 21.8278 1.5 9.2237 7.5778 17.8442 7.9797 13.4869 1.7 6.3528 5.8150 8.4655 6.0438 4.8639 2 4.6857 4.4429 5.1817 4.5825 2.2024 5 1.5286 1.4914 2.4335 1.5239 0.3074 10 0.7471 0.7304 2.2353 0.7457 0.1873 50 0.1484 0.1451 2.2237 0.1481 0.2021 100 0.0742 0.0726 2.1563 0.0741 0.1347 100 0.0074 0.0073 1.3513 0.0074 0.0000 Bảng 3.4. So sánh các chu kỳ xấp xỉ với chu kỳ chính xác của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi (1 2A  ) A Chính xácT [26] EBMT [36] Sai số (%) Luân ánT Sai số (%) 1.05 4.3061 4.3045 0.0373 4.3349 0.0067 1.1 4.1781 4.1748 0.0781 4.2309 0.0126 1.15 4.0582 4.0530 0.1267 4.1309 0.0179 1.2 3.9460 3.9384 0.1923 4.0347 0.0225 1.25 3.8417 3.8303 0.2961 3.9420 0.0261 1.3 3.7468 3.7282 0.4964 3.8529 0.0283 1.35 3.6688 3.6316 1.0139 3.7671 0.0268 13 1.4 3.6897 3.5399 4.0576 3.6845 0.0014 1.41 3.8506 3.5222 8.5261 3.6684 0.0473 1.41 2 3.9755 3.5164 11.548 3.6652 0.0781 3.3. Dao động phi tuyến với sự không liên tục Trong phần này, một số hệ dao động phi tuyến với sự không liên tục (nonlinear oscillator with discontinuity) được xem xét: + Trường hợp 1: 0,u u u u    (3.63) + Trường hợp 2: 3 0,u u u u    (3.70) Nghiệm xấp xỉ thu được bởi Luận án và nghiệm xấp xỉ thu được bởi phương pháp nhiễu đồng luân [11] được so sánh với nghiệm số sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4 và thể hiện trong các Hình 3.20 (Trường hợp 1) và Hình 3.23 (Trường hợp 2). Hình 3.20. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với sự không liên tục với 10  , 100  và A = 1 14 Hình 3.23. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với sự không liên tục với 10  , 10  và 10A  Kết luận Chương 3 Trong Chương 3, Luận án đã áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để phân tích đáp ứng của một số hệ dao động phi tuyến không cản một bậc tự do. Sự chính xác của nghiệm giải tích xấp xỉ thu được bởi Luận án đã được kiểm chứng bởi so sánh kết quả thu được với kết quả chính xác, các kết quả đã công bố sử dụng các phương pháp gần đúng khác và các kết quả số sử dụng giải thuật Runge-Kutta bậc 4. Kết quả thu được khẳng định rằng trung bình có trọng số đã khắc phục được những nhược điểm của phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình cổ điển. Phương pháp sử dụng trong Luận án không chỉ có hiệu lực đối với các hệ phi tuyến yếu, mà còn có hiệu lực đối với các hệ phi tuyến trung bình và mạnh. Các kết quả của Chương 3 đã được công bố trong bài báo [T1], [T2], [T3], [T4], [T5] trong mục “Danh mục công trình liên quan tới Luận án” 15 CHƯƠNG 4 DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA DẦM MICRO VÀ NANO Trong Chương này, Dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi theo lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi và dao động phi tuyến của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện (dao động phát sinh trong các hệ vi cơ điện tử) sử dụng lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ sẽ được khảo sát. 4.1. Dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi Xét một dầm micro đẳng hướng với chiều dài L và kích thước mặt cắt ngang b h như trong Hình 4.1. Dầm micro tựa trên nền đàn hồi phi tuyến với các tham số nền kL, kP và kNL tương ứng với lớp tuyến tính Winkler, lớp cắt Pasternak và lớp phi tuyến. Hình 4.1. Mô hình dầm micro tựa trên nền đàn hồi Dựa trên lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi và lý thuyết dầm Euler- Bernoulli, phương trình chuyển động của dầm micro theo dịch chuyển ngang w được cho bởi: 16   24 2 2 4 2 0 2 2 3 2 2 2 . L L P NL w EA w w EI Al dx L xx x w w k w k k w A q x t                           (4.29) Để thuận tiện cho việc tính toán, các biến không thứ nguyên sau đây được giới thiệu: 4 2 2 44 2 4 6 , , , , , 1 , 1 , , , .NLL PL P NL x w I AL l x w r t t L r A EI h k r Lk L k L qL K K K q EI EI EI EIr                  (4.33) Sử dụng phương trình (4.33), phương trình chuyển động (4.29) được đưa về dạng không thứ nguyên như sau: 214 2 2 2 3 4 2 2 2 0 1 . 2 L P NL w w w w w dx K w K K w q xx x x t                         (4.34) Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số, tần số phi tuyến xấp xỉ của dầm micro được cho bởi: - Với dầm micro hai đầu tựa bản lề: 4 4 2 23( ) 0.72 . 4 4 NL P L NLK K K                (4.55) - Với dầm micro hai đầu ngàm: 4 4 2 216 4 350.72 . 3 3 3 48 NL P L NLK K K                    (4.56) 17 So sánh tỉ số tần số /NL L  (tỉ số giữa tần số phi tuyến NL và tần số tuyến tính L ) của dầm vĩ mô (macrobeams) sử dụng các phương pháp khác nhau được thể hiện trong Bảng 4.1. Có thể thấy kết quả thu được bởi Luận án tốt hơn kết quả của Şimşek (đặc biệt là đối với dầm hai đầu ngàm). Bảng 4.1. So sánh các tỉ số tần số của dầm vĩ mô Biên độ ban đầu α Dầm hai đầu tựa bản lề Dầm hai đầu ngàm Azrar vcs [49] Simsek [65] (sai số %) Luận án (sai số %) Azrar vcs [49] Simsek [65] (sai số %) Luận án (sai số %) 1 1.0891 1.0897 (0.06) 1.0863 (0.26) 1.0221 1.0231 (0.09) 1.0222 (0.01) 2 1.3177 1.3228 (0.39) 1.3114 (0.48) 1.0856 1.0897 (0.37) 1.0862 (0.06) 3 1.6256 1.6393 (0.84) 1.6186 (0.43) 1.1831 1.1924 (0.79) 1.1853 (0.19) 4 - 2.0000 (-) 1.9697 (-) 1.3064 1.3228 (1.26) 1.3115 (0.39) Hình 4.5. Sự thay đổi của tỉ số tần số và tần số phi tuyến của dầm micro hai đầu tựa bản lề theo tham số chiều dài vật liệu với KL = 50, KP = 30 và KNL=50 Ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu đến đáp ứng dao động phi tuyến của dầm micro được thể hiện trong các Hình 4.5 và 4.6. 18 Ta có thể thấy rằng tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu làm giảm tỉ số tần số của dầm micro mặc dù cả tần số tuyến tính và tần số phi tuyến của dầm micro đều tăng khi tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu tăng. Hình 4.6. Sự thay đổi của tỉ số tần số và tần số phi tuyến của dầm micro hai đầu ngàm theo tham số chiều dài vật liệu với KL = 50, KP = 30 và KNL=50 Ảnh hưởng của tỉ số độ cứng chống uốn ( 2Al EI  ) đến tỉ số tần số của dầm micro được thể hiện trong Hình 4.10. Có thể thấy rằng tỉ số độ cứng chống uốn làm giảm tỉ số tần số của dầm micro, ảnh hưởng này tương tự như ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu. Hình 4.10. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tỉ số độ cứng chống uốn với KL = 10, KP = 10, KNL = 10 và S=20; (a) - hai đầu bản lề, (b) - hai đầu ngàm 19 Hình 4.14. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tỉ số độ mảnh với KL=30, KP =50, KNL =30 và θ =6; (a) - hai đầu bản lề, (b) - hai đầu ngàm Hình 4.14 thể hiện sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tỉ số độ mảnh ( 2 /S AL I ) với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu. Có thể kết luận rằng tỉ số tần số của dầm micro tăng đơn điệu theo tỉ số độ mảnh. Có thể ước lượng được rằng khi tỉ số độ mảnh tăng 33%, tỉ số tần số tăng khoảng 31% đối với dầm micro hai đầu tựa bản lề và 33% đối với dầm micro hai đầu ngàm. 4.2. Dao động của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện Hình 4.18. Mô hình dầm nano đặt giữa hai bản tích điện 20 Một dầm nano với hai đầu ngàm (một đầu ngàm và một đầu ngàm trượt) được đặt giữa hai bản tích điện như trong Hình 4.18. Dầm nano có chiều dài L, kích thước mặt cắt ngang b h , mật độ khối lượng  , mô đun đàn hồi Young E và mô men quán tính của mặt cắt ngang I. Dầm chịu tác dụng của lực nén dọc trục P0. Khoảng cách ban đầu từ hai bản tích điện đến dầm nano là g0, một dòng điện với điện thế V0 tác dụng lên hai bản tích điện. Dựa trên lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ và lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, phương trình mô tả chuyển động ngang của dầm được cho bởi: 22 4 2 4 2 2 02 4 2 4 0 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) . L w EA w w w EI l P dx ea L xx x x x w w f A ea f ea t x t x                                              (4.89) trong đó, f là lực tĩnh điện, được cho bởi:     2 0 2 2 0 0 1 1 ( , ) . 2 vbVf x t g w g w           (4.76) với 8.85 /v pF m  là hằng số điện môi của chân không. Sử dụng phương pháp Galerkin, phương trình chuyển động của dầm nano được đưa về phương trình vi phân thường sau đây:  2 4 6 81 2 3 4 5 3 5 7 9 11 6 7 8 9 10 11 0, q c c q c q c q c q c q c q c q c q c q c q            (4.96) Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số, tần số xấp xỉ của dầm nano được biểu diễn bởi: 21 2 4 6 6 7 8 9 8 10 10 11 8 6 5 4 4 2 3 2 1 0.72 0.575 0.4836 0.4198 0.3722 . 0.4198 0.4836 0.575 0.72 Luân án c c c c c c c c c c c                               (4.124) Khi / 0l L   và / 0ea L   , mô hình nghiên cứu trong Luận án trở thành mô hình đã được nghiên cứu bởi Fu và cộng sự [78], Qian và cộng sự [79] dựa trên lý thuyết đàn hồi cổ điển. Các tần số xấp xỉ thu được bởi các phương pháp giải tích khác nhau và tần số chính xác được liệt kê trong Bảng 4.8 với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu  , lực nén dọc trục P và điện thế tác dụng V. Ta có thể quan sát được sự chính xác của nghiệm xấp xỉ thu được bởi Luận án Luân án so với nghiệm xấp xỉ thu được bởi phương pháp cân bằng năng lượng EBM và phương pháp biến phân VA . Bảng 4.8. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của MEMS α P V Chính xác [79] EBM [78] Luân án VA 0.3 10 0 26.8372 26.3867 26.7577 26.3644 0.3 10 20 16.6486 16.3829 16.5865 16.3556 0.6 10 10 28.5382 26.5324 28.2199 26.1671 0.6 10 20 18.5902 17.5017 18.5507 17.0940 22 Hình 4.21. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo tham số phi cục bộ với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu Ảnh hưởng của tham số phi cục bộ ( /ea L  ) đến tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano được thể hiện trong các Hình 4.21 với các giá trị của các tham số được chọn là 0.3  , 5P  , 0.2  , 10V  , 40  . Có thể thấy rằng khi tăng giá trị của tham số phi cục bộ  , tần số phi tuyến giảm, trong khi tỉ số tần số lại tăng. Điều này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết đàn hồi phi cục bộ [59, 60], vì tham số phi cục bộ làm giảm độ cứng của dầm nano, chính vì vậy tần số phi tuyến giảm khi tăng giá trị của tham số phi cục bộ. Hình 4.24. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu Ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu ( /l L  ) đến tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano được thể hiện trong các Hình 4.24 tương ứng với hai trường hợp được chọn của các tham số 0.2,  5P  , 0.2  , 10V  và 60  . Tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu có ảnh hưởng làm tăng độ cứng của dầm nano, chính vì vậy, tần số phi tuyến của dầm nano sẽ tăng khi tăng giá trị của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu; điều này phù hợp với lý thuyết độ dốc biến dạng [61-63]. Tốc độ tăng của tần số tuyến tính nhanh hơn so với tốc độ tăng của tần số 23 phi tuyến khi tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu tăng, vì vậy, tỉ số tần số của dầm nano giảm. .. Với các giá trị của các tham số được chọn 0.2  , 0.2  , 10P  , 0.1  và 10V  , Hình 4.26 thể hiện sự thay đổi của tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano theo tỉ số độ mảnh với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu. Có thể thấy rằng cả tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano đều tăng khi tăng giá trị của tỉ số độ mảnh. Hình 4.26. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo tỉ số độ mảnh với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu Hình 4.28. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo lực nén dọc trục với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu 24 Các Hình 4.28 và 4.30 thể hiện ảnh hưởng của lực nén dọc trục P và điện thế tác dụng V đến đáp ứng dao động của dầm nano, tương ứng. Trong đó, Hình 4.28 được vẽ với các giá trị 0.2  , 0.2  , 0.2  , 30  và 15V  ; còn Hình 4.30 được vẽ với các giá trị 0.2  , 0.2  , 0.2  , 30  , 20P  . Có thể kết luận rằng lực nén dọc trục và điện thế tác dụng đều làm giảm tần số phi tuyến và làm tăng tỉ số tần số của dầm nano. Hình 4.30. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo điện thế tác dụng với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu Kết luận Chương 4 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số được áp dụng để phân tích bài toán dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi theo lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi và dao động phi tuyến của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện theo lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ. So sánh nghiệm giải tích thu được với nghiệm giải tích sử dụng các phương pháp khác, nghiệm số và nghiệm chính xác đã cho thấy sự chính xác của kết quả thu được. Nội dung của Chương 4 đã được công bố trong các tài liệu [T6], [T7], [T8] và [T9] trong “Danh mục công trình liên quan đến Luận án”. 25 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Với mục tiêu áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương kết hợp với trung bình có trọng số trong phân tích đáp ứng của các hệ dao động phi tuyến không cản. Các kết quả mới thu được bởi Luận án bao gồm: - Phát triển được một phương pháp hoàn chỉnh kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để phân tích dao động phi tuyến tiền định không cản của hệ một bậc tự do. - Áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích dao động phi tuyến của một số hệ dao động phi tuyến tự do không cản một bậc tự do và các hệ liên tục (dầm micro và nano). Theo đó, các kết quả chính thu được từ Luận án bao gồm: - Đã làm rõ được những tính chất của trung bình có trọng số, liên hệ của trung bình có trọng số với trung bình cổ điển, liên hệ giữa giá trị trung bình có trọng số với phép biến đổi Laplace và những ưu điểm của trung bình có trọng số so với trung bình cổ điển. - Đã áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích đáp ứng của hệ dao động phi tuyến tự do không cản một bậc tự do như dao động phi tuyến Duffing, dao động Duffing-điều hòa, dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi, dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ và dao động phi tuyến với sự không liên tục. Độ chính xác củ