Tổng hợp kiến thức và các dạng bài tập Tích phân

Chuyên đề: TÍCH PHÂN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx sinx + C cos(ax+b) tanx + C -cotx + C tgx cotgx II. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : Tính chất 2: Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên thì: Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên và thì Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên và thì Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên và thì Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên thì Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên và k là một hằng số thì Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên và c là một hằng số thì Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I. Phương pháp phân tích. * Nội dung: Sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với các tính chất của tích phân đưa tích phân cần tìm về các tích phân có trong bảng nguyên hàm sau đó áp dụng định nghĩa. II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 1) DẠNG 1: Tính I = bằng cách đặt t = u(x) Công thức đổi biến số dạng 1: (1) Cách thực hiện: Bước 1: Đặt Bước 2: Đổi cận : Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được (tiếp tục tính tích phân mới) CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( thì đặt t = lnx. +, Khi f(x) có chứa thì thường đặt t = u(x). +, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu. Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức (1) và vận dụng hợp lý. 2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x = Công thức đổi biến số dạng 2: Cách thực hiện: Bước 1: Đặt Bước 2: Đổi cận : Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý: * Nếu f(x) có chứa: +, thì đặt với t, hoặc với . +, thì đặt với , hoặc với . +, thì đặt hoặc . III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: * Kiến thức: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu: dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx. * Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau: +, . +, . +, ; . +, . +, . VI. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: Hay: Cách thực hiện: Bước 1: Đặt Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : Bước 3: Tính và Chú ý: Giả sử cần tính tích phân ta thực hiện Đặt(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm và vi phân không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân phải tính được. Đặc biệt: i/ Nếu gặp với P(x) là đa thức thì đặt . ii/ Nếu gặp thì đặt . iii/ Nếu gặp , thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt . C. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : 2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : . Ví dụ: Tính tích phân I= Bài 2: 1) CMR nếu f(x) là một hàm số liên tục trên đọan [-a; a] với a > 0 thì: . Ví dụ: Tính tích phân Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) = . Tính tích phân Bài 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ 0; a] với a > 0, thì . Bài 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì Hệ quả: a) b) . Ví du: Tính tích phân a); . Bài 5: Nếu f (x) là hàm số liên tục, tuần hoàn có chu kỳ T thì : . Ví dụ: Tính các tích phân a) b) . Bài 6:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì ; Ví dụ : Tính các tích phân sau: a) b) c) D. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1. Dạng bậc lẻ với hàm sin. Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. Chú ý: Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân . Giải Đặt . Vậy . 2. Dạng bậc lẻ với hàm cos. Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. Chú ý: Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân . Giải Đặt . Vậy . 3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos. Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc Chú ý: Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân . Giải . Vậy . Nhận xét: Ví dụ 4. Tính tích phân . Giải Đặt . Vậy . 4. Dạng liên kết Ví dụ 5. Tính tích phân . Giải Đặt . Vậy . Tổng quát: . Ví dụ 6. Tính tích phân . Giải Đặt (1). Mặt khác (2). Từ (1) và (2) suy ra . Tổng quát: . Ví dụ 7. Tính tích phân và . Giải +, (1). +, Đặt (2). Từ (1) và (2) . Vậy . Ví dụ 8. Tính tích phân . Giải Đặt . Đặt . Vậy . Ví dụ 9. Tính tích phân . Giải Đặt . Tổng quát: Với , , hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thì . Ví dụ 10. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa . Tính tích phân . Giải Đặt , . Vậy . Vậy . Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. Ví dụ 4. Tính tích phân . Giải Đặt . Vậy . Ví dụ 5. Tính tích phân . Giải Đặt . Vậy . II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện các bước sau Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: Bước 2. Tính . Ví dụ 1. Tính tích phân . Giải Bảng xét dấu . Vậy . Ví dụ 2. Tính tích phân . Giải . Bảng xét dấu . Vậy . 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện Cách 1. Tách rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Ví dụ 1. Tính tích phân . Giải Cách 1. . Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 + + x – 1 – – 0 + . Vậy . 3. Dạng 3 Để tính các tích phân và , ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu thì và . + Nếu thì và . Ví dụ 1. Tính tích phân . Giải Đặt . Bảng xét dấu x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + . Vậy . Ví dụ 2. Tính tích phân . Giải Đặt . Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + . Vậy . III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VÔ TỈ. 1.Tích phân dạng: (với a 0) Cách làm: Biến đổi về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta sẽ đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ. a) Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u (hoặc u). b) Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u (hoặc u. c) Đặt t = (hoặc t = ) với u -(hoặc u-) Chú ý công thức: = +C (C là hằng số tuỳ ý) Chứng minh: Đặt t = x + = Từ đó ta có : Vậy : = (ĐPCM) Với hàm hợp: (*)Trong đó u = u(x). Ví dụ 1:Tính I = I = Đặt x-1 = Sint . Khi x =1 t = 0 x =t = và : vậy I = = Ví dụ 2:Tính J = Thông thường với tích phân dạng (a) và (c) ta sử dụng công thức (*) thì lời giải sẽ dễ dàng và ngắn gọn hơn. áp dụng công thức (*) ta có: J = = = = = . Ví dụ 3: Tính K = = Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có: K = = = . Cách 2: Đặt 2x - 1 = Chú ý: Nếu mẫu thức có thể khai căn được thì ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn như sau: Ví dụ 4:Tính M = M = = = = - 2.Tích phân dạng: Với a.A 0 Cách làm: Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là,một tích phân có tử là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số. Tức là tách: = Ví dụ 1:Tính I = Ta có: I = = = = Ví dụ 2:Tính J = Ta có: J = = =+ = = 3.Tích phân dạng: (Với ) Cách làm: Đặt chuyển tích phân cần tính về tích phân dạng (a). Ví dụ 1:Tính I = Đặt = Khi x = 0 t = 1 x = 1 t = Và dx = -.Ta có: I = = = Ví dụ 2:Tính J = Đặt x-1 = x = Khi x = 2 thì t=1 x = 3 thì t = và dx = - Tích phân cần tính là: I = = = = = Ví dụ 3:Tính K = Đặt t = ex dt = exdx.Khi : x = 0 t = 1 x = ln2 t = 2 Ta có: K = Đặt u = ta có: Vậy K = = = Ví dụ 4:Tính N = Ta có : N = = N = Đặt t = Sin x thì : N = Lại đặt u = thì N = = = = 4.Tích phân dạng: Với bậc f(x)2,f(x) là đa thức. Cách làm:Tách = g(x). + Với g(x) là đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x). Tìm các hệ số của g(x) và số bằng phương pháp hệ số bất định. Ví dụ 1:Tính M = Tách : = + Lấy đạo hàm hai vế ta có: + + Đồng nhất hệ số ta có : Vậy M = + = + Ví dụ 2:Tính N = Ta có : = + (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1) và quy đồng ta có: x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D Đồng nhất hệ số ta có: 3A = 1 A= 5A+2B =0 B= - 4A+3B+C =-1 C= 2B +C+D =1 D= Vậy có: M = + = + Ví dụ 3:Tính P = Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân: P = = = P = - = N - = = = = . 5.Tích phân dạng: với Cách làm:Đặt ta sẽ đưa về tính tích phân của hàm hữu tỉ. Ví dụ :Tính I = Ta thấy đặt t = Khi Vậy ta có: I = = = = = = = 6.Tích phân dạng: Với Cách làm: Cách 1: Đặt Cách 2: Đặt Với cách đặt trên ta sẽ đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản hơn. Ví dụ :Tính J = Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt Khi đó Vậy J = = Đặt Khi Vậy : J = = = = = 7.Tích phân dạng: Cách làm: Đặt Với k là BCNN của m và n. Ví dụ1 :Tính I = Đặt I = = = Tích phân này dễ dàng tính được. Ví dụ2 :Tính J = Đặt J = = = = Đồng nhất hệ số ta có: Vậy J = = = = Tính L bằng cách đặt Ta có đáp số là: I = . 8.Tích phân dạng: (p,q,r là các phân số) a)Nếu q nguyên đặt x= ts với s là BCNN của mẫu số r và p. b)Nếu nguyên đặt với s là mẫu của phân số q. c) Nếu +q nguyên đặt với s là mẫu số của phân số q. Ví dụ1 :Tính I = Viết tích phân cần tính ở dạng sau: I = = Vì q=-3 nguyên nên đặt x= t4 ta có dx=4t3dt I = == = = = . Ví dụ 2 :Tính J = Ta có: J = Vì nguyên nên đặt a-x2 = t2 Vậy J = = - = . Ví dụ 3 :Tính N = Ta có: N = = Do vì nguyên nên ta đặt hay Vậy N = = = = = = (Tích phân này dễ dàng tính được). 9.Các phép thế Euler: a) Đặt = ± Nếu >0 b) Đặt =± Nêú c>0 c) Đặt = Nếu x0 là nghiệm của TTB2 Ví dụ 1 :Tính M = a=1 >0 Sử dụng phép thế thứ nhất đặt Suy ra: Với (Chú ý rằng ) Ta có: I = = - Ví dụ 2 :Tính P = Tam thức bậc hai x2+3x+2 có nghiệm là -1.Theo phép thế thứ ba,đặt ; vậy Khi đó: P = = = +-+- = . Ví dụ 3 :Tính L = Vì c = 4 >0 có thể sử dụng phép thế thứ hai. Đặt Chuyển việc tính tích phân trên về việc tính tích phân 10.Một số bài toán khác: Ngoài các dạng trên thì có những bài có thể áp dụng trực tiếp công thức tích phân,hoặc sử dụng một số phép biến đổi đơn giản.Sau đây là một số ví dụ: Ví dụ 1: Tính I1 = Đặt Ví dụ 2: Tính I2 = Đặt Ví dụ 3: Tính I3 = Đặt Có thể trình bày như sau: I3 = = = Ví dụ 4: Tính I4 = Ta có : I4 = = = Ví dụ 5: Tính Cách1: Sử dụng phương pháp lấy tích phân từng phần Đặt Cách 2: Đặt x =2Sint (Vì đây là tích phân dạng 1-b) Đáp số: Ví dụ 6: Tính Dùng phương pháp lấy tích phân từng phần với . Ta có kết quả là : Ví dụ 7: Tính Đặt ta có: = Ví dụ 8: Tính Đặt Ta có: Vậy : = Ví dụ 9: Tính Đặt Ta có: = = = ./ E. 200 BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN Câu 1: Tính Câu 2: Tính Câu 3: Tính Câu 4: Tính Câu 5: Tính Câu 6: Tính Câu 7: Tính Câu 8: Tính Câu 9: Tính Câu 10: Tính Câu 11: Tính Câu 12: Tính Câu 13: Tính Câu 14: Tính Câu 15: Tính Câu 16: Tính Câu 17: Tính Câu 18: Tính Câu 19: Tính Câu 20: Tính Câu 21: Tính Câu 22: Tính Câu 23: Tính Câu 24: Tính Câu 25: Tính Câu 26: Tính Câu 27: Tính Câu 28: Tính Câu 29: Tính Câu 30: Tính Câu 31: Tính Câu 32: Tính Câu 33: Tính Câu 34: Tính Câu 35: Tính Câu 36: Tính Câu37: Tính Câu 38: Tính Câu 39: Tính Câu 40: Tính Câu 41: Tính Câu 42: Tính Câu 43: Tính Câu 44: Tính Câu 45: Tính Câu 46: Tính Câu 47: Tính Câu 48: Tính Câu 49: Tính Câu 50: Tính Câu 51: Tính Câu 52: Tính Câu 53: Tính Câu 54: Tính Câu 55: Tính Câu 56: Tính Câu 57: Tính Câu 58: Tính Câu 59: Tính Câu 60: Tính Câu 61: Tính Câu 62: Tính Câu 63: Tính Câu 64: Tính Câu 65: Tính Câu 66: Tính Câu 67: Tính Câu 68: Tính Câu 69: Tính Câu 70: Tính Câu 71: Tính Câu 73: Tính Câu 74: Tính Câu 75: Tính Câu 76: Tính Câu 77: Tính Câu 78: Tính Câu 79: Tính Câu 80: Tính Câu 81: Tính Câu 82: Tính Câu 83: Tính Câu 84: Tính Câu 85: Tính Câu 86: Tính Câu 87: Tính Câu 88: Tính Câu 89: Tính Câu 90: Tính Câu 91: a/ Tính b/ Tính Câu 92: Tính Câu 93: Tính Câu 94: Tính Câu 95: Tính Câu 96: Tính Câu 97: Tính Câu 98: Tính Câu 99: Tính Câu 100: Tính Câu 101: Tính Câu 102: Tính Câu 103: Tính Câu 104: Tính Câu 105: Tính Câu 106: Tính Câu 107: Tính Câu 108: Tính Câu 109: Tính Câu 110: Tính Câu 111: Tính Câu 112: Tính Câu 113: Tính Câu 114: Tính Câu 115: Tính Câu 116: Tính Câu 117: Tính Câu 118: Tính Câu 119: Tính Câu 120: Tính Câu 121: Tính Câu 122: Tính Câu 123: Tính Câu 124: Tính Câu 125: Tính Câu 126: Tính Câu 127: Tính Câu 128: Tính Câu 129: Tính Câu 130: Tính Câu 131: Tính Câu 132: Tính Câu 133: Tính Câu 134: Tính Câu 135: Tính Câu 136: Tính Câu 137: Câu 138: Tính Câu 139: Tính Câu 140: Tính Câu 141: Tính Câu 142: Tính Câu 143: Tính Câu 144: Tính Câu 145: Tính Câu 146: Tính Câu 147: Tính Câu 148: Tính Câu 149: Tính Câu 150: Tính Câu 151: Tính Câu 152: Tính Câu 153: Tính Câu 154: Tính Câu 155: Tính Câu 156: Tính Câu 157: Tính Câu 158: Tính Câu 159: Tính Câu 160: Tính Câu 161: Tính Câu 162: Tính Câu 163: Tính Câu 164: Tính Câu 165: Tính Câu 166: Tính Câu 167: Tính Câu 168: Tính Câu 169: Tính Câu 170: Tính Câu 171: Tính Câu 172: Tính Câu 173: Tính Câu 174: Tính Câu 175: Tính Câu 176: Tính Câu 177: Tính Câu 178: Tính Câu 179: Tính Câu 180: Tính Câu 181: Tính Câu 182: Tính Câu 183: Tính Câu 184: Tính Câu 185: Tính Câu 186: Tính Câu 187: Tính Câu 188: Tính Câu 189: Tính Câu 190: Tính Câu 191: Tính Câu 192: Tính Câu 193: Tính Câu 194: Tính Câu 195: Tính Câu 196: Tính Câu 197: Tính Câu 198: Tính Câu 199: Tính Câu 200: Tính F. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Câu 2: =+ 1. = = 2. I = Ta có : = . Þ I = = = ĐS: + Câu 3: Câu 4: = 1. . Đặt Þ Þ I = ÷ I1 = , Đặt Þ ° Þ I1 = = . Vậy I = 2. Ta có: Þ 5x – 13 = (A + B)x – 3A – 2B Þ A + B = 5 vaø –3A – 2B = –13 Þ A = 3 , B = 2 Vậy I = = = –(ln2 + 2ln3) = –(ln2 + ln32) = –ln(2 . 32) = –ln18 ĐS: –ln18 Câu 5: Câu 6: =+=I+J 1. I= . Đặt t = Þ t2 = x Þ 2tdt = dx ° x = 1 Þ t = 1 , x = 0 Þ t = 0 Þ I = . Đặt Þ Þ I1 = . với I2 = . Đặt Þ Þ I2 = . với I3 = . Đặt Þ Þ I3 = Vậy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e 2. J = = ° = Cân bằng hệ số 2 vế : Û Þ = Vậy J = 5 ĐS: 5+12 – 4e=5-4e Câu 7: Câu 8: =+ 1. = = = = = 2. = 2. Đặt t = sinx Þ dt = cosx dx ° x = Þ t = 1 , x = 0 Þ t = 0. Þ I = 2. Đặt Þ Þ I1 = . Vậy = 2 ĐS: Câu 9: Câu 10: =+ = 2. Đặt t = sinx Þ dt = cosx dx ° x = Þ t = 1 , x = 0 Þ t = 0. Þ I = 2. Đặt Þ Þ I1 = . Vậy= 2 = = ĐS:I=2 Câu 11: Câu 12: =+ =I+J I = = 2. Đặt t = sinx Þ dt = cosx dx ° x = Þ t = 1 , x = 0 Þ t = 0. Þ I = 2. Đặt Þ Þ I1 = . Vậy I = 2 J= = Đặt t = cosx Þ dt = –sinx dx . x = 0 Þ t = 1 , x = Þ t = 0 Þ J = xét K = . Đặt t = tgu Þ dt = ° t = 0 Þ u = 0 , t = 1 Þ u = Þ K = Þ J = – 1 + ĐS: = Câu 13: Câu 14: =+ =I+J I = = Đặt t = sinx Þ dt = cosx dx x =, t = 1 , x = 0, t = 0 Þ I = Đặt t = 2sinu Þ dt = 2cosu du , t = 2sinu = 0 Þ u = 0 t = 2sinu = 1 Þ sinu = Þ u = Þ I = = J= . Đặt t = ° Þ dt = = Þ dx = ° x = Þ t = 1 , x = 0 Þ t = 0 Þ J = = . ° Đặt t = Þ dt = Þ Vậy J = 2 = ĐS: = Câu 15: Câu 16: =+ =I+J I= . ° Đặt u = x2 Þ du = 2x dx . x = 0 Þ u = 0 , x = 1 Þ u = 1 Þ I = . ° Đặt u + tgt Þ du = ° u = 0 Þ tgt = Þ t = , u = 1 Þ tgt = Þ t = ° I = J= . Đặt t = 1 – x2 Þ dt = –2xdx ° x = 1, t = 0 , x = 0, t = 1 Þ J = ĐS: = Câu 17: Câu 18: =+=I+J I= = J=. Đặt t = tg Þ sinx = , cosx = dt = Þ dx = Þ J = = ĐS: =e- Câu 19: Câu 20: =+ =I+J I= = = J= = = * I1 = . Đặt x = tgt Þ dx = ° x = tgt = 1 Þ t = , x = tgt = 0 Þ t = 0. Þ I1 = * I2 = . Đặt x = Þ dx = ° x = Þ t = , x = Þ t = 0 Þ I2 = = = ĐS: =+ Câu 21 =I+J I= = J= ĐS: Câu 22: =I+J I= = J= ĐS: Caâu 23: =I+J J I= = = ĐS: Câu 24: ==I+J I= đặt t = Þ dt = –2x . dx , ° x = 1 Þ t = e–1 = x = 0 Þ t = 1 Þ I = = J= ĐS: Câu 25: =I+J I = , Đặt t = Þ dt = ° x = 4 Þ t = e2 , x = 1 Þ t = e Þ I = J= ĐS: Câu 26: I = Đặt t = 1 – x3 Þ dt = –3x2 dx ° x = 1, t = 0 , x = 0, t = 1 Þ I = Câu 27: . Đặt t = 2x – 1 = – 1 Þ dt = 2.dx = 3dx ° x = 1, t = 1 , x = 0, t = –1 Þ I = Câu 28: ==I+J I = Đặt t = 1 + sin2x Þ dt = 2sinxcosx dx ° x =, t = 2 , x = 0, t = 1 Þ I = ĐS: Câu 29: ==I+J I= chia tử và mẫu cho x2. I= . t = Þ dt = dx ° x = 1 Þ t = 2 , x = 2 Þ t = . Vậy: I = ĐS: Câu 30: Câu 31: Câu 32: Câu 33: Câu 34 Câu 35 Câu 36 Câu 37 Câu 38 Câu 39 Câu 40 Câu 41 Câu42 Câu 43 Câu 44: Câu 45 Câu 46 Câu 47 Câu 48 Câu 49 Câu 50 Câu 51: Câu 52: Câu 53 Câu 54 Câu 55 Câu 56 Câu 57: Câu 58: Câu 59: Câu 60: Câu 61 Câu 62 Câu 63: Câu 64: Câu 65 Câu 66 Câu 67 Câu 68: Câu 69: Câu 70: I= Câu 71: I= Câu 72: I= Câu 73: I= Câu 74: I= Câu 75: I= Câu 76: I= Câu 77: I= Câu 78: I= Câu 79: I= Câu 80: I= Câu 81: I= Câu 82: I= Câu 83: I= Câu 84: I= Câu 85: I= Câu 86: I= Câu 87: I = Đặt t = 1 + sin2x Þ dt = 2sinxcosx dx ° x =, t = 2 , x = 0, t = 1 Þ I = Câu 88: I = Đặt t = sin2x Þ dt = 2sinxcosx dx ° x =, t = 1 , x = 0, t = 0 Þ I = Đặt t = tgu Þ dt = = (1 + tg2u)du t = tgu = 0 Þ u = 0 , t = tgu = 1 Þ u = Þ I = Câu 89: I= = = Đặt t = 3 + cos2x Û cos2x = t – 3 Þ dt = –2sinxdx Þ sin2x dx = , x = 0 Þ t = 4 , x = Þ t = 3 I = Câu 90: I = = Đặt t = sinx – cosx Þ dt = (cosx + sinx)dx . x = Þ t = 1 , x = Þ t = 0 Þ I = , Đặt t = 2sinu Þ dt = cosu du ° t = 2sinu = 0 Þ u = 0 , t = 2sinu = 1 Þ u = Þ I = Câu 91 a/ I= b/ I= Câu 92:I= Câu 93:I= Câu 94:I= Câu 95:I= Câu 96:I= Câu 97:I= Câu 98:I= Câu 99:I= Câu 100:I= Câu 101:I= Câu 102: I= Câu 103 Câu 104: I= Câu 105: I= Câu 106: I= Câu 107: I= Câu 108: I= Câu 109: I= Câu 110: I= Câu 111: I= Câu 112: I= Câu 113: I= Câu 114: I= Câu 115: I= Câu 116: I= Câu 117: I= Câu 118: I= Câu 119: I= Câu 120: I= Câu 121: I= Câu 122: I= Câu 123: I= Câu 124: I= Câu 125: I= Câu 126: I= Câu 127: I= Câu 128: I= Câu 129: I= Câu 130: I= Câu 131: I= Câu 132: I= Câu 133: I= Câu 134: I= Câu 135: I= Câu 136: I= Câu 137: I= Câu 138: I= Câu 139: I= Câu 140: I= Câu 141: I= Câu 142: I= Câu 143: I= Câu 144: I= Câu 145: I= Câu 146: I= Câu 147: I= Câu 148: I= Câu 149: I= Câu 150: I= Câu 151: I= Câu 152: I= Câu 153: I =. Ñaët t = –x3 Þ dt = –3x2dx , ° x = 0 Þ t = 0 , x = –1 Þ t = 1 Þ I = . Vôùi I1 = . ° Ñaët Þ I1 = . Vaäy I = ĐS: = Câu 154: I=. ° Ñaët t = x + Þ = t – x Û x = Þ dx = ° x = 5 Þ t = –9 , x = 3 Þ t = 3 Þ I = = =8 ĐS: =14 Câu 155: I= ° Ñaët t = x + Û = t – x Û x2 + 16 = t2 – 2tx + x2 Û x = Þ dx = . ° x = 3 Þ t = 8 , x = 0 Þ t = 4 Þ I = ĐS: = Câu 156: I= , Ñaët x = tgt Þ dx = ° x = tgt = 1 Þ t = , x = tgt = Þ t = . ° ° Þ I = = ĐS: = Câu 157: I=. Ñaët x = sint Þ dx = cost dt ° x = sint = 1 Þ , x = sint = 0 Þ t = 0 . 0 £ x £ 1 Þ 0 £ t £ Þ cost ³ 0 ° Þ I = f(t) = = I = ĐS: = Câu 158: I=. Đặt x = sint Þ dx = cost dt ° x = sint = Þ , x = sint = 0 Þ t = 0 ° 0 £ x £ Þ 0 £ t £ Þ cost > 0 ° Þ I = = ĐS: = Câu 159: I=. Đặt x = cost Þ dx = –sint dt ° x = cost = Þ , x = cost = 0 Þ ° 0 £ x £ Þ £ t £ Þ £ £ ° ° Þ I = = ĐS: = Câu 160: I = Câu 161: I = Câu 162: I = Đặt t = Þ t2 = ex – 1 Þ 2t dt = ex dx ° x = ln5 Þ t = 2 , x = 0 Þ t = 0 Þ I = = Ta có : . Đặt t = 2tgu Þ dt = = 2(tg2u + 1) du ° t = 2tgu = 2 Þ u = , t = 2tgu = 0 Þ u = 0 Þ J = . Vậy I = 2t Câu 163: I = Câu 164: I = Câu 165: I =. Đặt t = Þ t2 = x2 + 1 Þ tdt = xdx ° x = 0 Þ t = 1 , x = Þ t = 2 Þ I = = = Câu 166: I = Câu 167: I = Câu 168: I =. ° Ñaët t = Þ t3 = 1 + x2 Þ xdx = ° x = Þ t = 2 , x = 0 Þ t = 1 Þ I = = Câu 169: I = Câu 170: I= Câu 171: I = = . ° Đặt t = Þ t2 = x2 + 9 Þ tdt = xdx ° x = 4 Þ t = 5 , x = Þ t = 4 Þ I = Câu 172: I= Câu 173: I= Câu 174: I= . Đặt t = Þ t2 = x3 + 1 Þ 2t dt = 3x2dx ° x = Þ t = 2 , x = 0 Þ t = 1 I = = = Câu 175: I= Câu 176: I= Câu 177: I= = . ° Đặt t = Þ t2 = 1 + x3 Þ 2tdt = 3x2dx ° x = 2 Þ t = 3 , x = Þ t = 2 Þ I = = Câu 178: I= Câu 179: I= Câu 180: I = = . ° Đặt t = Þ t2 = x2 – 1 Þ t dt = x dx ° x = 2 Þ t = , x = 1 Þ t = 0 Þ I = Ÿ J = . ° Đặt t = tgu Þ dt = Þ ° t = tgu = Þ u = , t = tgu = 0 Þ u = 0 Vậy J = Þ I = Câu 181: I= Câu 182: I= Câu 183: I= . ° Đặt t = x + 1 Þ dt = dx, x = Þ t = , x = 0 Þ t = 1 I = . ° Đặt u = Þ u3 = 3t – 2 Þ 3u2du = 3dt Þ u2du = dt ° t = Þ u = 2 , t = 1 Þ u = 1 Þ I = = Câu 184: I= Câu 185: I= Câu 186: I= Câu 187: I=. ° Đặt t = Þ t2 = 2x + 1 Þ 2tdt = 2dx Þ tdt = dx ° x = 4 Þ t = 3 , x = 0 Þ t = 1 I = Câu 188: I= Câu 189: I= Câu 190: I= Câu 191: I=. Ñaët t = Þ t2 = x Þ 2tdt = dx . ° x = 4 Þ t = 2 , x = 1 Þ t = 1 Þ I = = Câu 192: I= Câu 193: I= Câu 194: I= Câu 195: I= = . ° Đặt t = Þ t2 = ex + 1 Þ 2t dt = ex dx ° x = ln8 Þ t = 3 , x = ln3 Þ t = 2 Þ I = Câu 196: I= Câu 197: I= . ° Đặt t = Þ t2 = 2 + x Þ 2tdt = dx ° x = 7 Þ t = 3 , x = 2 Þ t = 2 Þ I = = = 2(3 – ln4 – 2 + ln3) = 2(1 + ln3 – ln4) = 2 Câu 198: I= Câu 199: