Xử lý ảnh số - Các sóng nhỏ và sự xử lý đa độ phân giải

dụng như mức J nhập vào ảnh. Cái này đưa ra xấp xỉ mức J - 1 và những kết quả mức J dự đoán dư. Cho những sự chuyển qua j = J - 1, J 2,... , J - P + 1 (theo thứ tự đó), sự lặp đi lặp lại trước đây là mức j - 1 đầu ra xấp xỉ được sử dụng như đầu vào. Mỗi sự chuyển qua được bao gồm ba bước tuần tự: 1. Tính toán xấp xỉ độ phân giải được giảm của ảnh đầu vào. Điều này làm bằng việc lọc đầu vào và lấy mẫu xuống ( thí dụ, sự lấy mẫu) kết quả đã được lọc bởi một hệ số của 2 .Các thao tác lọc đa dạng có thể được sử dụng, bao gồm sự lấy trung bình khu lân cận, mà đưa ra một hình chóp trung gian , lọc tần thấp Gauxơ (xem mục 4.2.4), mà đưa ra một hình chóp Gauxơ, hay không lọc nào dẫn đến một hình chóp lấy mẫu. Chất lượng xấp xỉ được tạo ra, gán cho mức xấp xỉ j - 1 trong hình 7.2(b),là một chức năng của bộ lọc được chọn.Không có bộ lọc, sai số lấy mẫu có thể trở nên rất rõ thấy ở các mức trên của hình chóp, như những điểm được lấy mẫu có thể không thể hiện tốt những vùng từ đó chúng được lấy. 2. Lấy mẫu lên đầu ra lại của bước trước bởi một hệ số của 2- Và lọc kết quả. Cái này tạo ra một ảnh dự đoán với cùng độ phân giải như đầu vào. Bằng việc chèn thêm những cường độ giữa những điểm của đầu ra bước 1,cái lọc phép nội suy xác định như thế nào đúng đắn sự dự đoán xấp xỉ đầu vào tới bước 1. Nếu cái lọc phép nội suy bị bỏ sót, sự dự đoán là một phiên bản lấy mẫu lên của đầu ra bước 1 và những hiệu ứng trở ngại sự tái tạo của bản sao điểm có thể trở nên rõ ràng. 3. Tính toán sự khác nhau giữa sự dự đoán của bước 2 và đầu vào tới bước 1. Sự khác nhau này, gán cho mức j Số dư dự đoán, có thể được sử dụng sau để xây dựng lại dần dần từng nấc ảnh nguyên bản(xem Ví dụ 7.1). Theo sự thiếu của sai số lượng tử hóa, một hình chóp dư dự đoán thường phát sinh tương ứng hình chóp xấp xỉ, bao gồm ảnh nguyên bản, không có lỗi. Thực hiện thủ tục này P lần đưa ra hai mật thiết Liên quan Mức xấp xỉ P + 1và những hình chóp dư dự đoán. Mức j - 1 xấp xỉ những đầu ra được sử dụng để ở hình chóp xấp xỉ; mức j dự đoán dư đầu ra đầu ra đặt trong những hình chóp dư dự đoán. Nếu một hình chóp dư dự đoán không được cần ,các bước 2 và 3 ,cùng với lấy mẫu lên , phép lọc nội suy ,và bộ cộng ở hình . 7.2 ( b)có thể bị bỏ sót. Hình 7.3 cho thấy một sự xấp xỉ và số dư dự đoán khả dĩ hình chóp cho trường hợp của hình 7.1. Hình chóp xấp xỉ trong hình 7.3 (a) Một hình chóp Gauxơ. Sự lọc được thực hiện trong miền không gian sử dụng một tần thấp 5 x5 Khúc cuộn chủ yếu Gauxơ của kiểu được miêu tả trong hình 4.9(c) của Mục4.2.4. Như có thể nhìn thấy, Hình chóp kết quả chứa đựng độ phân giải ảnh gốc 512 x 512 (tại đáy của nó) và ba xấp xỉ độ phân giải thấp ( Của độ phân giải 256 X 256,128 X 128, và 64 x 64). Điều đó, P = 3 và hình chóp đã được chặt cụt tới bốn mức-mức 9,8, 7, và 6 ở ngoài mức có thể 1092 (512)+ 1 hay 10 mức. Ghi nhớ sự giảm chi tiết mà có độ phân giải thấp hơn của hình chóp . Mức 6 (thí dụ, 64 x 64) xấp xỉ thích hợp để định vị những bậc trèo cửa sổ, chẳng hạn, nhưng không phải cho những thân cây của kết quả tìm kiếm cây ráy thơm. Tổng quan, một hình chóp thấp hơn- những mức độ phân giải có thể được sử dụng để phân tích các cấu trúc lớn hay văn cảnh toàn bộ ảnh ; những ảnh có độ phân giải cao thích hợp cho phân tích những đặc trưng đối tượng riêng biệt .Như thế đối với chiến lược phân tích chính xác đặc biệt hữu ích trong sự nhận dạng. Hình 7.3 Hai ảnh hình chóp và các thống kê chúng : Một hình chóp (xấp xỉ ) Gauxơ Một Laplacian (số dư dự đoán )hình chóp Hình chóp Laplacian trong hình 7.3 ( b) chứa những số dư dự đoán cần để tính toán bản sao Gauxơ của nó ở 7.3 (a). Để xây dựng hình chóp Gauxơ ,chúng ta bắt đầu với mức 6 của hình chóp Laplacian 64 X 64 ảnh xấp xỉ,dự đoán mức 7 của hình chóp Gauxơ 128 X 128 xấp xỉ độ phân giải ( bởi lấy mẫu lên và lọc), và thêm mức 7 của Laplacian số dư dự đoán. Quá trình này được sử dụng lặp lại liên tiếp tính toán những ảnh xấp xỉ cho đến ảnh gốc 512 X 512 được tạo ra. Ghi nhớ đầu tiên- thống kê thứ tự của sự dự đoán số dư mô tả trong hình chóp Laplacian là cao có đỉnh gần điểm thấp nhất. Không giống những bản sao Gauxơ của chúng, những ảnh nàyđược nén bằng việc gán những bit ít hơn tới những giá trị có thể cao hơn ( xem những mã độ dài biến đổi của mục 8.1.1). Cuối cùng, chúng ta ghi nhớ những số dư dự đoán trong hình. 7.3 ( b) Được chia tỉ lệ để làm cho sự dự đoán những độ sai lệch nhỏ hơn có thể xác định được ; biểu đồ dư dự đoán, tuy nhiên, được dựa trên cơ sở những số dư được chia tỉ lệ trước, với mức 128 tương ứng với sai số điểm thấp nhất. Mã hóa dải con Kỹ thuật tạo ảnh quan trọng khác với những liên kết tới sự phân tích đa độ phân giải là mã hóa dải con . Trong sự mã hóa dải con, một ảnh được phân hủy vào trong tập hợp của những thành phần hạn chế , được gọi là những dải, mà có thể được ráp lại để xây dựng lại ảnh nguyên bản không có lỗi. Trước đấy được phát triển cho tiếng nói và ảnh nén , mỗi dải con được tạo ra bởi sự lọc thông dải đầu vào. Từ dải thông của kết quả những dải con nhỏ hơn ảnh gốc, những dải có thể là lấy mẫu xuống mà không có mất mát thông tin. Xây dựng lại ảnh gốc được hoàn thành bằng lấy mẫu lên , lọc, và tổng những dải con riêng lẻ. Hình 7.4 (a) Cho thấy những thành phần thiết yếu của mã hóa dải con có hai dải và hệ thống giải mã. Đầu vào của hệ thống là một chiều,dải bị giới hạn riêng rẽ -tín hiệu thời gian x (n) cho n = 0, 1, 2,...; chuỗi đầu ra, được thành lập qua sự phân tích của x (n) vào trong y0(n) và y1(n) qua sự phân tích lọc h0(n) và h1(n), và sự kết hợp kế tiếp qua sự tổng hợp lọc g0(n) và g1(n).Ghi nhớ cái lọc đó h0 (n) và h1 (n) là những bộ lọc nửa dải số lý tưởng chuyển những đặc trưng, Ho và H1, được hiển thị trong hình 7.4 ( b). Lọc H0 là một cái lọc tần thấp mà đầu ra của nó xấp xỉ x(n); lọc H1 là một cái lọc tần cao mà có đầu ra là một phần tần số cao hay chi tiết của x (n). Tất cả sự lọc thực hiện trong miền thời gian bằng cách chập mỗi cái lọc được nhập vào với sự đáp lại xung lực của nó-sự đáp lại của nó tới một biên độ đơn vị hàm ẩn, . Chúng ta muốn chọn h1 (n), h0 (n), g0(n) và g1(n). (hay, xen kẽ, Ho , H1 G0 Và G1)Vì vậy điều đó đầu vào có thể được xây dựng lại hoàn hảo. Điều đó, Vì thế Hình 7.4 Một dãy lọc hai dải cho mã hóa dải con một chiều và sự giải mã Phạm vi của nó chia ra từng phần các thuộc tính. Z - Sự biến đổi, một sự khái quát của sự biến đổi Fourier riêng biệt là công cụ lý tưởng để nghiên cứu thời gian riêng biệt , lấy mẫu- những hệ thống dữ liệu giống cái trong hình 7.4 (a). Z - Sự biến đổi của chuỗi x(n)cho n=0, 1, 2... . là Ở đây z là một biến phức. [Nếu e thay thế cho z, ví dụ (7.1-1) thành biến đổi Fourier riêng biệt của x (n)]. Sự quan tâm của chúng ta trong Z - Những thân cây biến đổi từ sự dễ dàng mà nó xử lý lấy mẫu đánh giá những sự thay đổi. Lấy mẫu xuống bằng hệ số của 2 trong miền thời gian tương ứng tới thao tác miền Z đơn giản Nơi mũi tên đôi chỉ ra mà những biểu thức trên bên trái và phải hình thành một cặp biến đổi Z . Trong cách tương tự, lấy mẫu lên lần nữa bởi hệ số của 2được xác định bởi cặp biến đổi: Nếu chuỗi x(n) được lấy mẫu xuống và lấy mẫu lên sau này để sinh ra i(n), các ví dụ (7.1-2) Và (7.1-3) kết hợp để sinh ra : Ở đây là chuỗi kết quả được lấy mẫu lên và lấy mẫu xuống . Thuật ngữ X (- z) trong phương trình này là Z - sự biến đổi của một biệt hiệu hay phiên bản được vận dụng của chuỗi x (n). Sự biến đổi Z đảo ngược của nó là: Với lời giới thiệu ngắn gọn này tới biến đổi Z cho rằng lần nữa mã hóa dải con và hệ thống giải mã của hình 7.4 ( a). Theo ví dụ . (7.1-4), chúdujcta có thể biểu thị đầu ra của hệ thống như Ở đây,cho thấy đầu ra của lọc h0 (n) trong hình 7.4(a)được xác định bằng cặp biến đổi : Như với những sự biến đổi Fourier, khúc cuộn thời gian (hay không gian) Miền tương đương tới sự nhân miền z. Những thuật ngữ được sắp xếp lại ở ví dụ (7.1-6),khi đó chúng ta có: ở đây thành phần thứ 2- tác dụng thực tế mà nó chứa sự phụ thuộc - z đại diện cho đặt biệt danh mà được giới thiệu bởi quá trình xử lý lấy mẫu lên ,lấy mẫu xuống Cho sự xây dựng lại không thoát được lỗi của đầu vào, và Do đó, chúng ta áp đặt những điều kiện sau đây : Phương trình (7.1-9) loại trừ đặt biệt danh bằng việc bắt buộc thuật ngữ thứ hai của ví dụ. (7.1-8) tới 0; ví dụ (7.1-10) Loại trừ sự biến dạng biên độ bằng việc giảm bớt thuật ngữ đầu tiên tới X (z). Cả hai có thể được sáp nhập vào biểu thức ma trận đơn: ở đây ma trận điều biến phân tích là : Giả định không đơn lẻ (thí dụ ,nó có một bên trái chung và nghịch đảo bên phải ) chúng ta có thể đổi chỗ ví dụ (7.1-11) và bên trái nhân lên bằng nghịch đảo để có: Ở đây biểu thị xác định về . Phương trình (7.1-9) đến (7.1-13) bộc lộ vài đặc tính quan trọng riêng biệt của những dãy lọc được xây dựng lại hoàn hảo .Ma trân ví dụ (7.1-13) ,ví dụ nói là một hàm của ,trong khi là một hàm của Các lọc phân tích và tổng hợp được vận dụng qua . Lờ đi sự trì hoãn, giả sử cho a= 2,và lấy biến đổi nghịch đảo Z của ví dụ (7.1-13), Ví dụ, Chúng ta có: Nếu a=2 các biểu thức kết quả bị đảo ngược : Thay thế từ ví dụ (7.1-13) chúng ta được: Từ sinh ra có thể được xác định như: Do đó , và ví dụ (7.1-10) thành : Lấy biến đổi nghịch đảo Z ,chúng ta thấy rằng : Như thường lệ ,hàm xung lực là 1 nếu n=0 và khác 0 .Từ những thuật ngữ chỉ số lẻ hủy bỏ ,bổ sung đơn giản sinh ra: Bằng việc bắt đầu qua ví dụ(7.1-9) và (7.1-10) biểu thị như một hàm của G0 và H1 chúng ta cũng có thể thấy : Và Kết hợp với ví dụ (7.1-19) , thiết lập nhiều ví dụ tổng quát hơn : Chúng chuyển bước ở xa song trực giao và đòi hỏi : Lấy biến đổi nghịch đảo Z của những mục thích hợp từ cột 3 trong bảng 7.1 , chúng ta có : Ở đây , h0, h1 ,g0 ,g1 là những đáp tuyến xung lực của các lọc trực chuẩn được xác định .Những ví dụ bao gồm lọc Smith và Barnwell Bảng 7.1 Những họ lọc được xây dựng lại hoản hảo : Hình 7.5 Hai chiều ,dãy 4 dải lọc cho mã hóa dải con ảnh Hình 7.6 cho thấy rằng những đáp tuyến xung lực của bốn 8- trực chuẩn các bộ lọc Sự biến đổi sương mù Sự tạo ảnh thứ ba và cuối cùng- thao tác liên quan với những liên kết tới sự phân tích đa độ phân giải mà chúng ta sẽ quan sát là sự biến đổi Sương mù ( Sương mù [ 1910]). Bên trong văn cảnh của chương này, những thân cây quan trọng của nó từ thực tế mà những chức năng cơ sở của nó già nhất và đơn giản nhất được biết là những lằn sóng lăn tăn trực chuẩn. Chúng sẽ được dùng trong số các ví dụ trong các mục sau. Hình 7.7 4 dải tách ra của trường hợp trong hình 7.1 dùng hệ thống mã dải con của hình 7.5 Biến đổi sương mù chính nó là cả sự phân ra và cùng với ma trận và có thể được nén trong lớp ma trận : Hàm biến đổi sương cơ bản là: Và 7.4 Sự biến đổi sóng nhanh Biến đổi sóng nhanh là sự thực hiện có hiệu quả phép biến đổi sóng rời rạc (DWT) mà khai thác mối liên hệ giữa các hệ số của DWT tại các phạm vi kề nhau .Phép biến đổi này cũng được gọi là thuật toán herringbone của Mallat (Mallat [1989a,b]) ,biến đổi sóng nhanh (FWT)giống 2 dải lược đồ mã hóa dải con của phần 7.1.2. Xem lại phương trình làm mịn nhiều độ phân giải: Chia tỷ lệ x /2 ,biến đổi theo hệ số k và cho m=2k+n .được: Lưu ý rằng vecto co giãn hφ,có thể được coi như các “quyền số ” được sử dụng để mở rộng như tổng của tỷ lệ j+1 các hàm co giãn .Trình tự các hoạt động tương tự -bắt đầu với công thức (7.2-28)— đưa ra một kết quả tương tự cho đó là: Nơi vecto co giãn hφ(n) trong công thức (7.4-2) được thay thế bởi sóng hΨ(n) trong công thức (7.4-3) . Bây giờ xem xét các ví dụ(7.3-5) và (7.3-6) của phần 7.2.2 .Chúng định nghĩa sự biến đổi sóng rời rạc .Thay thế ví dụ (7.2-19)-phương trình định nghĩa sóng vào ví dụ (7.3-6) .chúng ta có: Sau khi thay thế ở bên phải của công thức (7.4-3) trở thành : Sự hoán đổi tổng và thuật ngữ số nguyên và sắp xếp lại các số hạng sau đó được: ở đó các con số được đặt trong dấu ngoặc đơn là đồng nhất đối với công thứ (7.3-5) với Để xem kết quả này ,thay thế công thức (7.2-10) vào công thức (7.3-5) và cho jo là j+1.Cho nên chúng ta có thể viết : Và lưu ý rằng các hệ số chi tiết DWT với tỉ lệ j là một hàm các hệ số xấp xỉ DWT với tỉ lệ j+1 .Nhận ra rằng các công thức (7.4-2)và (7.3-5) khi điểm bắt đầu của một đạo hàm tương tự gồm các hệ số xấp xỉ DWT ,chúng ta tìm thấy sự tương tự là: Các phương trình (7.4-7)và (7.4-8) bộc lộ mối liên hệ đáng chú ý giữa các hệ số DWT của các tỉ lệ gần kề .So sánh những kết quả này với công thức (7.1-7),chúng ta thấy rằng cả và ,tỉ lệ xấp xỉ j và các hệ số chi tiết có thể được tính bằng cách chập ,các hệ số tỉ lệ j+1 với tỉ lệ thời gian được đảo ngược ,và các vecto sóng hφ(-n)và hΨ(-n) và mẫu con các kết quả .Hình 7.15 giảm các thao tác này tới mẫu biểu đồ khối .Lưu ý rằng nó giống với phần phân tích của 2 dải lược đồ mã hóa dải convà hệ thống giải mã của hình 7.4 với và.Cho nên chúng ta có thể viết : Và ở đó phép cuộn được ước tính với n=2k cho k≥0.Sự ước tính cuộn này là không âm ,ngay cả chỉ là tương đương để lọc và lấy mẫu xuống 2. Để kết luận sự khai triển của FWT ,chúng ta chỉ đơn giản nhận xét rằng dãy bộ lọc trong hình 7.15 có thể được lặp để tạo ra nhiều nấc cấu trúc để tính các hệ số DWT với 2 Hình 7.15 . một dãy phân tích FWT Hay nhiểu tỉ lệ kế tiếp .Cho ví dụ ,hình 7.16(a ) chỉ ra 2 tầng dãy bộ lọc để tạo ra các hệ số với 2 tỉ lệ cao nhất của sự biến đổi . Lưu ý rằng các hệ số tỉ lệ cao nhất được lấy để thành mẫu của hàm riêng của chính nó.Đó là, nơi mà j với tỉ lệ cao nhất .Để phù hợp với phần 7.2.2 f(x) Є Vj, nơi Vj là phạm vi không gian mà f(x)thường trú .Dãy bộ lọc đầu tiên trong hình 7.16(a) tách chức năng gốc vào một tần thấp,phần tử xấp xỉ ,mà tương ứng với các hệ số tỉ lệ và một tần cao ,thành phần chi tiết ,tương ứng với các hệ số .Đây là biểu đồ minh họa hình 7.16(b) ,nơi mà phạm vi không gian Vj được tách thành không gian con sóng nhỏ và không gian con phạm vi .Hình ảnh của chức năng ban đầu được tách ra làm 2 nửa dải thành phần . Dãy bộ lọc thứ 2 trong hình 7.16(a) tách hình ảnh và không gian con ,,nửa dải thấp hơn ,thành ¼ dải không gian con và với các hệ số DWT tương ứng và ,một cách tách biệt. Hai tầng dãy bộ lọc của hình 7.16 dễ dàng mở rộng tỉ lệ của bất kì số nào .Dãy bộ lọc thứ 3 ,cho ví dụ ,sẽ hoạt động trên hệ số ,tách không gian phạm vi thành 2/8 dải không gian con và .Thông thường ,chúng ta chọn mẫu của f(x) và tận dụng các ngân hàng lọc P (hình 7.15) để tạo ra P- tỉ lệ FWT tại các miền .Miền cao nhất (ví dụ J-1) các hệ số được tính đầu tiên ; miền thấp nhất (ví dụ J - P) được tính sau cùng .Nếu hàm f(x ) được thử trên các tỉ lệ Nyquist ,như trường hợp bình thường ,các mẫu của nó là các hệ số tỉ lệ xấp xỉ ít tại mẫu phân tích và có thể sử dụng như là khởi đầu hệ số tỉ lệ độ phân giải cao nhập vào .Trong các phát biểu khác ,không có sóng nhỏ hay các hệ số chi tiết cần thiết ở phạm vi lấy mẫu . Các hàm tỉ lệ độ phân giải cao nhất hoạt động như “hàm delta ” trong ví dụ (7.3-5) và (7.3-6) ,cho phép f(n )sử dụng như tỉ lệ xấp xỉ j hay các hệ số nhập vào đầu 2 dải bộ lọc . Để minh họa những khái niệm này ,hãy xem xét các hàm riêng biệt f(n)={ 1,4,-3,0} từ ví dụ 7.8.Như trong ví dụ đó ,chúng ta sẽ tính lại sự chuyển đổi căn bản trên tỉ lệ Haar và các hàm sóng nhỏ .Tại điểm này ,dù đến đâu ,chúng ta không sẽ không sử dụng trực tiếp các hàm cơ sở ,như đã thực hiện trong thuật DWT của ví dụ 7.8,nhưng với tỉ lệ tương ứng và các vecto sóng nhỏ từ ví dụ 7.5 và 7.6: Và Đây là các hàm được sử dụng để xây dựng các dãy bộ lọc FWT ;chúng cung cấp các hệ số bộ lọc .Kể từ khi thuật DWT được tính trong ví dụ 7.8 gồm các phần tử ,chúng ta sẽ tính tương ứng 2 miền FWT với miền J={0,1} .Đó là ,J=2 (có mẫu) và P=2 (chúng ta đang làm việc với các miền J-1 =2-1=1 và J-P=2-2=0 theo thứ tự đó ).Sự chuyển đổi sẽ được tính bằng cách dùng 2 tầng dãybộ lọc của hình 7.16(a).Hình 7.17 cho thấy rằng các dãy kết quả ấy bằng sự chập và lấy mẫu FWT quy định . Lưu ý rằng hàm f(n)chính nó là gần đúng hay tỉ lệ được nhập vào dãy bộ lọc cực tả .Để tính các hệ số xuất hiện ở cuối các nhánh của hình trên của hình 7.17,cho ví dụ ,Đầu tiên chúng ta chập f(n) với hΨ(-n) như giải thích trong phần 4.6.3 .Điều này đòi hỏi phải lật một hàm gốc ,trượt nó qua cái khác và tính tổng kết quả của 2 hàm .Cho dãy {1,4,-3,0} và ,kết quả này Ở đó, số hạng thứ 2 tương ứng với chỉ số k=2n=0.(trong hình 7.17 gạch dưới các giá trị đại diện ,các chỉ số âm ,ví dụ n<0).Khi lấy mẫu xuống bằng vị trí các chỉ số chẵn được lập ,chúng ta nhận được cho k={0,1} .Chúng ta có thể thay phiên dùng ví dụ (7.4-9) để tính : Ở đây, chúng ta thay thế 2k cho n bằng việc lặp và chia l như một biến hình thức của sự lặp (ví dụ đổi chỗ 2 dãy có liên quan đến 1 dãy khác ).Chỉ có 2 số hạng trong tổng được khai triển bởi vì chỉ có 2 giá trị không bằng 0 ở thời gian đảo ngược vecto sóng nhỏ hΨ(- n) .Thay thế k=0 ,chúng ta tìm ra ; với k=1 ,chúng ta nhận được Do đó ,lọc và lấy mẫu xuống tương ứng là mà thỏa mãn kết quả ban đầu . Với sự mong đợi có thể , sự chuyển đổi nghịch đảo có hiệu quả như nhau ,cho việc xây dựng lại f(x) từ tỉ lệ xấp xỉ DWT/FWT và các hệ số chi tiết và cũng có thể được tính .Được gọi là biến đổi nghịch đảo sóng nhanh (FWT -1) ,nó dùng tỉ lệ và các vecto sóng được dùng trong biến đổi trước ,cùng với các hệ số chi tiết và các mức xấp xỉ ,để tạo ra các hệ số xấp xỉ cấp j+1.Cần lưu ý là tương tự giữa các dãy phân tích FWT trong hình 7.15 và 2 dải phân tích dải con của hình 7.4(a), chúng ta có thể trực tiếp đưa ra định đề , dãy bộ lọc tổng hợp FWT cần thiết . Hình 7.18 chi tiết cấu trúc của nó mà giống phần tổng hợp của 2 dải mã hóa dải con và hệ thống giải mã trong hình 7.4(a).Phương trình (7.1-23)của phần 7.1.2 định nghĩa các bộ lọc tổng hợp có liên quan . Như đã lưu ý ở đó ,việc xây dựng lại hoàn chỉnh (cho 2 dải hay các bộ lọc dẫu bình thường ) đòi hỏi cho i={0,1}.Đó là ,các bộ lọc phân tích và tổng hợp phải nghịch đảo thời gian phiên bản của một bộ lọc khác .Kể từ bộ lọc phân tích FWT (xem hình 7.15) có và ,bộ lọc phân tích FWT -1 qui định là và .Nó nên được ghi nhớ ,tuy nhiên ,điều đó cũng có thể sử dụng phân tích song trực giao và các bộ lọc tổng hợp ,mà không có đủ thời gian đảo ngược phiên bản của một bộ lọc khác .Phân tích song trực giao và tổng hợp các bộ lọc giao với sự điều chỉnh qua ví dụ (7.1-14) và (7.1-15) . Dãy bộ lọc FWT -1 trong hình 7.18 thi hành tính toán Nơi mà W up biểu thị lấy mẫu lên 2 (ví dụ ,chèn 0 giữa các phần tử của W ) do đó nó là 2 lần chiều dài ban đầu của nó .Các hệ số lấy mẫu lên được lọc bằng cách chập với hφ(n) và hΨ(n) và cộng thêm vào để tạo ra một tỉ lệ xấp xỉ cao hơn .Trong thực chất ,tỉ lệ xấp xỉ hơn của f(x),với cách giải và chi tiết lớn hơn được tạo ra .Như với thuật FWT trước ,ngân hàng bộ lọc nghịch đảo có thể được lặp lại như hiển thị trong hình 7.19 nơi 2 phạm vi cấu trúc để tính 2 phạm vi cuối cùng của việc dựng lại thuật FWT -1 được mô tả .Quá trình kết hợp hệ số này có thể được mở rộng tới vài tỉ lệ và bảo đảm việc xây dựng lại hàm f(x ) chính xác . Sự tính toán biến đổi nghịch đảo sóng nhỏ nhanh phản chiếu bản đối chiếu trước của nó .Hình 7.20 mô tả quá trình với trình tự được xem xét trong ví dụ 7.10 .Để bắt đầu tính ,xấp xỉ mức 0 và các hệ số chi tiết được lấy mẫu lên để sinh ra {1,0}và {4,0} lần lượt .Chập các bộ lọc và được kết quả là và ,mà khi thêm vào cho ra .Như vậy ,xấp xỉ mức 1 của hình 7.20 mà phù hợp với xấp xỉ được tính trong hình 7.17 ,được xây dựng lại .Tiếp tục theo cách này ,f(n) được thiết lập ở bên phải dãy bộ lọc thứ 2 được tạo ra . Chúng ta kết thúc sự thảo luận về biến đổi sóng nhỏ nhanh bằng cách chú ý một số sự khác nhau giữa FWT và FFT – đầu tiên đang là số phức tạp của chúng .Số các phép toán học được phức tạp hóa trong việc tính FWT của chiều dài M=2j trình tự được đặt trên O(M) .Đó là ,số thay đổi ,bổ sung và nhân điểm (dùng các dãy bộ lọc ) tuyến tính với sự chú ý tới chiều dài của chuỗi .Điều này so sánh một cách thuận lợi với thuật giải FFT ,mà phụ thuộc O(M log M). Sự khác nhau thứ 2 liên quan tới các hàm biến đổi cơ bản .Trong khi các hàm furie cơ bản (ví dụ các hình sin ) bảo đảm sự tồn tại của FFT ,sự tồn tại của FWT phụ thuộc nhờ vào hàm tỉ lệ sẵn có cho các sóng nhỏ đang được dùng ,như trực giao (hay song trực giao ) của hàm tỉ lệ và các sóng nhỏ tương ứng .Do đó ,người Mê hi cô đội sóng ở ví dụ (7.3-12) mà không có hàm tỉ lệ cùng đôi ,không thể sử dụng theo ước tính ở FWT .Trong những lệnh khác ,chúng ta không thể đặt 1 dãy bộ lọc giống như là hình 7.15 thay thế cho người Mê hi cô đội sóng ,nó không thỏa mãn các giả định cơ bản của phương pháp FWT . Cuối cùng ,chúng ta chú ý rằng mặc dù thời gian và hiệu suất thường được xem như các vùng khác nhau mà các hàm miêu tả ,chúng được liên kết một cách chặt chẽ .Khi bạn thử phân tích một hàm đồng thời cùng thời gian và hiệu suất ,bạn thực hiện với bài toán sau :nếu bạn muốn thông tin chính xác về thời gian ,bạn phải đưa lên vài tính chất gần đúng về tần số ,và ngược lại .Đây là nguyên lý bất định Heisenberg được áp dụng để sử lý thông tin .Để minh họa nguyên lý đồ họa ,mỗi hàm cơ bản được sử dụng trong các đại diện của hàm được xem dưới dạng biểu đồ như là ô xếp cạnh nhau bằng một tần số thời gian .Xếp kề cũng được gọi là ô Heisenberg hay hộp Heisenberg ,nơi hiển thị hoạt động của hàm cơ bản được tăng cường .Các hàm cơ bản mà giao nhau tiêu biểu cho các ô không chồng chéo nhau . Hình 7.21 hiển thị tần số thời gian xếp kề với (a) một hàm delta(ví dụ phạm vi thời gian qui ước)cơ sở ,(b) hình sin FFT cơ sở ,và (c) một FWT cơ sở .Lưu ý rằng, vùng thời gian chuẩn cơ sở xác định thời điểm khi các trường hợp xảy ra nhưng không cung cấp tần số thông tin .Một hình sin cơ sở ,mặt khác xác định các tần số mà có mặt trong các sự kiện xảy ra qua thời kì dài nhưng không cung cấp thời gian quyết định .Tần số và thời gian quyết định sự biến thiên các ô FWT ,nhưng phạm vi của mỗi ô là giống nhau .Đó là mỗi ô thể hiện một phần bằng nhau của tần số thời gian phẳng .Ở tần số thấp ,các ô ngắn hơn (ví dụ ,có sự chuyển tần số tốt hơn hay sự nhập nhằng ít hơn về tần số ) nhưng là rộng hơn (mà tương ứng sự chuyển thời gian kém hơn hay sự nhập nhằng về thời gian nhiều hơn ).Ở tần số cao ,bề ngang của ô nhỏ hơn (cho nên sự chuyển thời gian được cải thiện ) và bề dọc lớn hơn (mà có nghĩa là sự chuyển tần số kém hơn .Điều khác nhau căn bản giữa FFT và FWT được ghi trong sự giới thiệu về chương và là rất quan trọng trong phân tích các hàm không đổi tần số của nó thay đổi theo thời gian . 7.5 Biến đổi sóng nhỏ theo thời gian . Các phép biến đổi một chiều của các phần trước được mở rộng một cách dễ dàng thành các hàm hai chiều giống như ảnh .Trong 2 chiều ,một hàm phạm vi 2 chiều ,φ(x,y) ,và ba sóng 2 chiều , và được qui định .Mỗi cái là tích số của một hoạt động phạm vi một chiều φ và sóng nhỏ tương ứng Ψ.Ngoài ra các tích số mà đưa ra kết quả một chiều như φ(x)Ψ(x),bốn tích số còn lại đưa ra hàm tỉ lệ có thể phân ra Và có thể phân ra ,các sóng có hướng Các sóng này đo sự biến thiên hoạt động –cường độ hay sự thay đổi mức xám cho ảnh –dọc theo các chiều khác nhau :cường độ giới hạn ΨH dọc theo các cột (ví dụ lề ngang ), ΨV phản ứng lại sự biến thiên dọc theo các hàng (như lề dọc ) ,và ΨD tương ứng với sự biến thiên dọc theo các đường chéo .Sự định hướng thường là kết qủa hiển nhiên của hệ quả tách ra được áp đặt bằng công thức (7.5-2) đến (7.5-4),nó không tăng sự phức tạp tính toán của biến đổi hai chiều được thảo luận trong phần này . Căn cứ vào phạm vi hai chiều có thể tách rời được và các hàm sóng ,sự mở rộng của một chiều DWT thành hai chiều là không phức tạp .Trước tiên chúng ta định nghĩa các hàm cơ sở đã được chuyển đổi và phân chia : Khi chỉ số I được xác định là các sóng có hướng trong công thức (7.5-2) đến (7.5-4).Hơn là số mũ ,i là chỉ số trên mà gán cho các giá trị H,V,D .Hàm biến đổi sóng rời rạc f(x,y) của cỡ M x N thì khi ấy Như trong trường hợp một chiều ,bắt đầu tỉ lệ jo tùy ý và các hệ số xác định phép xấp xỉ của f(x,y) với tỉ lệ jo .Các hệ số làm tăng đường nằm ngang ,đường dọc ,đường chéo với các tỉ lệ j≥jo .Chúng ta thường cho jo=0 và chọn N=M=2J để mà j=0,1,2,…, J-1 và m,n=0,1,2,…2J-1.Cho và thuộc các ví dụ (7.5-7) và (7.5-8),f(x,y) thu được qua biến đổi nghịch đảo sóng rời rạc Giống như phép biến đổi sóng rời rạc một chiều ,DWT hai chiều có thể được thi hiện bằng cách dùng các bộ lọc số và lấy mẫu xuống .Bằng việc phân ra chia tỉ lệ 2 chiều và các hàm sóng ,chúng ta chỉ lấy một chiều FWT các hàng của f(x,y) sinh ra một chiều FWT các cột kết quả .Hình 7.22 (a) hiển thị quá trình trong lớp biểu đồ khối .Lưu ý rằng , như bản sao một chiều của nó trong hình 7.15 ,hai chiều FWT cùng bộ lọc các hệ số xấp xỉ j+1 để xây dựng tỉ lệ xấp xỉ j và các hệ số chi tiết .Trong trường hợp hai chiều ,tuy nhiên chúng ta nhận được 3 tập hợp các hệ số chi tiết –các chi tiết ngang ,dọc ,chéo . Các dãy bộ lọc tỉ lệ đơn ở hình 7.22(a) có thể lặp đi lặp lại (bằng cách đánh các xấp xỉ đầu ra để nhập vào dãy bộ lọc khác ) để đưa ra một tỉ lệ biển đổi P mà miền j=J-1 ,J-2 ,…,J-P .Như trong trường hợp một chiều ,ảnh f(x,y)được dùng như là nhậ