Bài giảng Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc

om z z zdz dzkku Z Ÿ 221 1 )1()1( )(   om   z Tz z TzkkTu Z Vậy 221 1 )1()1( )()(   om   z Tz z TzkkTukr Z (ROC: 1!z ) 7.2.3.4. Hàm mũ: Hàm mũ liên tục trong miền thời gian: ¯ ® ­  t  00 0 )( t tetx at nếu nếu Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được: ¯ ® ­  t  00 0 )( k kekx ka nếu nếuT Ÿ )()( kuekx kaT Theo định nghĩa: ^ `   f  f f  ¦¦ 221 0 1)()()( zezezkxzkxkx aTaT k k k kZ   21 )()(1 zeze aTaT Nếu 1)( 1 zeaT thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Áp dung công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta suy ra: ^ ` aTaT ez z ze kx    1)(1 1 )(Z Vậy: aTaT kaT ez z ze kue     om 1)(1 1 )()( Z (ROC: 1!zeaT œ aTez ! ) 0 t x(t) 1 0 k x(k) 1 } Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 10 Kết quả trên ta dễ dàng suy ra: az z az kuak   om 11 1 )( Z 7.2.4. Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cho hàm X(z), bài toán đặt ra là tìm x(k). Theo công thức biến đổi Z ngược, ta có: ³  C k dzzzX j kx 1).( 2 1 )( S với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X(z) và bao gốc tọa độ. Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường áp dụng các cách sau: x Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bảng biến đổi Z. Thí dụ 7.1: Cho )3)(2( )(  zz zzX . Tìm x(k). Lời giải: Phân tích X(z), ta được: )3()2( )(     z z z zzX Tra bảng biến đổi Z: az zkuak  omZ)( Suy ra: )()32()( kukx kk   x Cách 2: Phân tích X(z) thành chuổi lũy thừa: Theo định nghĩa biến đổi Z: ...).3().2().1().0()()( 3210 0   f ¦ zxzxzxzxzkxzX k k Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuổi lũy thừa ta sẽ được giá trị x(k) chính là hệ số của thành phần kz . Thí dụ 7.2: Cho )3)(2( )(  zz zzX . Tìm x(k). Lời giải: 65)3)(2( )( 2   zz z zz zzX Chia đa thức, ta được: Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 11   3321 65195)( zzzzzX Suy ra: 0)0( x ; 11 )(x ; 5)2( x ; 193 )(x ; 65)4( x ,…  x Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ qui Thí dụ 7.3: Cho )3)(2( )(  zz zzX . Tìm x(k). Lời giải: Ta có 21 1 2 65165)3)(2( )(      zz z zz z zz zzX Ÿ 121 )()651(   zzXzz Ÿ 122 )(6)(5)(   zzXzzXzzX Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời trong miền thời gian), ta được: )1()2(6)1(5)(   kkxkxkx G Ÿ )1()2(6)1(5)(  kkxkxkx G Với điều kiện đầu: 0)1( kx 0)2( kx Thay vào công thức trên ta tìm được: 0)0( x ; 1)1( x ; 5)2( x ; 19)3( x ; 65)4( x ,…  x Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư > @ củacựccáctạiRes )(1 1)()( zXzk kzXzkx ¦ Nếu z0 là cực bậc 1 thì: > @ 00 )()()(Res 10zz 1 zz kk zXzzzzXz    Nếu z0 là cực bậc p thì: > @ > @ 00 )()( )!1( 1 )(Res 101 1 zz 1 zz kp p p k zXzzz dz d p zXz       Thí dụ 7.4: Cho )3)(2( )(  zz zzX . Tìm x(k). Lời giải: Áp dụng công thức thặng dư, ta được: > @ > @z2z ResRes 311 )()()(    zXzzXzkx kk Mà: Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 12 x > @ 212z1 )()2()(Res    zkk zXzzzXz 2 1 )3)(2( )2(    z k zz zzz k z k z z 2 )3( 2   x > @ 313z1 )()3()(Res    zkk zXzzzXz 3 1 )3)(2( )3(    z k zz zzz k z k z z 3 )2( 3  Do đó: kkkx 32)(   7.3. MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân:   )()1(...)1()( 110 kcakcankcankca nn )()1(...)1()( 110 krbkrbmkrbmkrb mm   (7.17) trong đó mn t , n gọi là bậc của hệ thống rời rạc Biến đổi Z hai vế phương trình (7.17) ta được:    )()(...)()( 1 1 10 zCazzCazCzazCza nn nn )()(...)()( 1 1 10 zRbzzRbzRzbzRzb mm mm    œ )(]...[)(]...[ 1 1 101 1 10 zRbzbzbzbzCazazaza mm mm nn nn       œ nn nn mm mm azazaza bzbzbzb zR zC       1 1 10 1 1 10 ... ... )( )( Đặt: nn nn mm mm azazaza bzbzbzb zR zCzG       1 1 10 1 1 10 ... ... )( )( )( (7.18) G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc. Hệ thống rời rạc r(k) c(k) Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 13 Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương về dạng: n n n n m m m m mn zazazaa zbzbzbbz zR zCzG         1 1 1 10 1 1 1 10 )( ... ]...[ )( )( )( (7.19) Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong thực tế hàm truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn. Thí dụ 7.5: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân: )()2(2)(3)1(5)2(2)3( krkrkckckckc   Tìm hàm truyền của hệ thống. Lời giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống, ta được: )()(2)(3)(5)(2)( 223 zRzRzzCzzCzCzzCz   Ÿ 352 12 )( )( )( 23 2   zzz z zR zCzG œ 321 21 3521 )2( )( )( )(     zzz zz zR zCzG  7.3.2. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ liệu (và bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc. Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu. Xét một số sơ đồ thường gặp sau đây: 7.3.2.1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu Hình 7.6: Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu )()( )( )( )( 21 zGzGzR zCzG (7.20) Trong đó: ^ `)()( 11 sGzG Z ^ `)()( 22 sGzG Z R(s) C*(s) G1(s) G2(s) R*(s) Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 14 Thí dụ 7.6: Cho as sG  1)(1 và bs sG  1)(2 . Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.6. Lời giải Tra bảng biến đổi Z, ta có: ^ ` aTez z as sGzG  ¿ ¾ ½ ¯ ® ­  1)()( 11 ZZ ^ ` bTez z bs sGzG  ¿ ¾ ½ ¯ ® ­  1)()( 22 ZZ Do đó dễ dàng suy ra: ))(( )()( 2 21 bTaT ezez zzGzG    7.3.2.2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu Hình 7.7: Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu )( )( )( )( 21 zGGzR zCzG (7.21) Trong đó: ^ `)()()( 2121 sGsGzGG Z Cần chú ý là: ^ ` ^ ` ^ ` )()()()()()()( 21212121 zGGsGsGsGsGzGzG z ZZZ Thí dụ dưới đây sẽ minh họa điều này. Thí dụ 7.7: Cho as sG  1)(1 và bs sG  1)(2 . Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7. Lời giải Tra bảng biến đổi Z, ta có: ^ ` ¿ ¾ ½ ¯ ® ­  ))(( 1 )()()( 1121 bsas sGsGzGG ZZ R(s) G1(s) C*(s)=C(z) G2(s) R*(s) T T Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 15 ¿ ¾ ½ ¯ ® ­    )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 bsbaasab Z ¿ ¾ ½ ¯ ® ­ ¿ ¾ ½ ¯ ® ­   )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 bsbaasab ZZ )()( 1 )()( 1 bTaT ez z baez z ab     Ÿ ))()(( )( )(21 bTaT aTbT ezezab eezzGG     Rõ ràng kết quả tính hàm truyền tương đương của hai hệ thống ở thí dụ 7.6 và 7.7 hoàn toàn khác nhau.  7.3.2.3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số Hình 7.8: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số )(1 )( )( )( )( zGH zG zR zCzGk  (7.22) Trong đó: ^ `)()( sGzG Z ^ `)().()( sHsGzGH Z Trường hợp H(s) = 1 (hệ thống hồi tiếp âm đơn vị) ta có: )(1 )( )( )( )( zG zG zR zCzGk  (7.23) Thí dụ 7.8: Cho as sG  1)( và bs sH  1)( . Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7. Lời giải Thực hiện phép biến đổi Z tương tự như đã làm ở thí dụ 7.6 và 7.7, ta dễ dàng tính được: R(s) G(s) C(s)+ H(s) T Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 16 ^ ` aTez z as sGzG  ¿ ¾ ½ ¯ ® ­  1)()( ZZ ^ ` ))()(( )(1 . 1 )()()( bTaT aTbT ezezab eez bsas sHsGzGH     ¿ ¾ ½ ¯ ® ­  ZZ Thay vào công thức (7.22) ta được: ))()(( )( 1 )( )(1 )( )( )( )( bTaT aTbT aT k ezezab eez ez z zGH zG zR zCzG        Ÿ )())()(( ))(( )( aTbTbTaT bT k eezezezab zezabzG      7.3.2.4. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp Hình 7.9: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp Trường hợp này không tìm được biểu thức hàm truyền, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra như sau: )()(1 )( )( zHzG zRGzC  (7.24) Trong đó: ^ `)()()( sGsRzRG Z ^ ` ^ `)()()()( sHsGzHzG ZZ 7.3.2.5. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận Hình 7.10: Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận R(s) C(s) G(s)+ H(s) T R(s) G(s) C(s) + H(s) T T Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 17 )()(1 )( )( )( )( zHzG zG zR zCzGk  (7.25) Trong đó: ^ `)()( sGzG Z ^ `)()( sHzH Z 7.3.2.6. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận Hình 7.11: Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận )()(1 )()( )( )( )( 21 21 zHGzG zGzG zR zCzGk  Trong đó: ^ `)()( 11 sGzG Z ^ `)()( 22 sGzG Z ^ `)()()( 22 sHsGzHG Z 7.3.2.7. Sơ đồ dòng tín hiệu – Công thức Mason cho hệ rời rạc Có thể mở rộng khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày trong chương 2 cho hệ liên tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ. Để sử dụng công thức Mason cho hệ rời rạc cần để ý các nguyên tắc dưới sau đây: x Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu tiên trong vòng thuận (ví dụ như G(s)) thì không thể tách biệt biến đổi Z của đầu vào và khâu đầu tiên và ta luôn có số hạng RG(z). Do đó trong trường hợp này không thể tính được hàm truyền bằng tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống. x Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồi tiếp phân biệt với đầu vào, đầu ra của hệ thống và với các khâu khác bởi các bộ lấy mẫu ở đầu vào và đầu ra của nó thì nó hoàn toàn độc lập về biến đổi Z. R(s) G1(s) C(s)+ H(s) T T G2(s) Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 18 x Nếu một khâu trong vòng thuận hay vòng hồi tiếp không phân biệt với các khâu kế cận hay với đầu vào của hệ thống bởi bộ lấy mẫu thì phải thực hiện phép biến đổi Z của hàm truyền kết hợp của hai khâu hay giữa khâu đó với đầu vào. Dùng lý thuyết Mason và ba nguyên tắc trên cho hệ rời rạc, đọc giả có thể kiểm chứng được các công thức tính hàm truyền đã dẫn ra trong mục 7.3.2 này. 7.4. MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 7.4.1.1. Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín hiệu vào Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân: )()()1(...)1()( 011 krbkcakcankcankc nn   (7.26) Chú ý: ở phương trình trên hệ số 10 a . Nếu 10 za ta chia hai vế cho 0a để được phương trình sai phân có dạng (7.26). Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến trạng thái để biến đổi tương đương phương trình sai phân bậc n ở trên thành hệ n phương trình sai phân bậc 1. Đặt các biến trạng thái như sau: )()(1 kckx )1()( 12  kxkx Ÿ )1()(2  kckx )1()( 23  kxkx Ÿ )2()(3  kckx … )1()( 1   kxkx nn Ÿ )1()(  nkckxn Ÿ )()1( nkckxn   Thay vào phương trình (7.26) ta được: Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 19 )()()(...)()1( 01211 krbkxakxakxakx nnnn   Ÿ )()()(...)()1( 01211 krbkxakxakxakx nnnn    Kết hợp phương trình trên với các biểu thức đặt biến trạng thái ta được hệ phương trình sau: ° ° ° ¯ °° ° ® ­        )()()(...)()1( )()1( )()1( )()1( 01211 1 32 21 krbkxakxakxakx kxkx kxkx kxkx nnnn nn  Viết lại dưới dạng ma trận: )( 0 0 0 )( )( )( )( 10000 00100 00010 )1( )1( )1( )1( 0 1 2 1 1221 1 2 1 kr bkx kx kx kx aaaaakx kx kx kx n n nnnn n » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª               Đáp ứng của hệ thống: > @ » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  )( )( )( )( 0001)()( 1 2 1 1 kx kx kx kx kxkc n n  Đặt: » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  )( )( )( )( )( 1 2 1 kx kx kx kx k n n x » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª   1221 10000 00100 00010 aaaaa nnn d      A Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 20 » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª 0 0 0 0 b d B > @0001  dD Ta được hệ phương trình biến thái: ¯ ® ­   )()( )()()1( kkc krkk d dd xD BxAx Thí dụ 7.9: Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân )(3)(4)1(5)2()3(2 krkckckckc  Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống. Lời giải: Ta có: )(3)(4)1(5)2()3(2 krkckckckc  œ )(5.1)(2)1(5.2)2(5.0)3( krkckckckc  Đặt biến trạng thái như sau: )()(1 kckx )1()( 12  kxkx )1()( 23  kxkx Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống đã cho là: ¯ ® ­   )()( )()()1( kkc krkk d dd xD BxAx Trong đó: x » » » ¼ º « « « ¬ ª )( )( )( )( 3 2 1 kx kx kx kx x » » » ¼ º « « « ¬ ª  » » » ¼ º « « « ¬ ª  5.05.22 100 010 100 010 123 aaa dA Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 21 x » » » ¼ º « « « ¬ ª » » » ¼ º « « « ¬ ª 5.1 0 0 0 0 0b dB x > @001 dD  7.4.1.2 Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân:   )()1(...)1()( 11 kcakcankcankc nn )()1(...)1()( 110 krbkrbnkrbnkrb nn   (7.27) Chú ý: ở phương trình trên hệ số 10 a . Nếu 10 za ta chia hai vế cho 0a để được phương trình sai phân có dạng (7.27). Đặt các biến trạng thái như sau: )()()( 01 krkckx E )()1()( 112 krkxkx E )()1()( 223 krkxkx E … )()1()( 11 krkxkx nnn   E Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau: Ÿ )()()()()1( 1211 krkxakxakxakx nnnnn E    Trong đó: 00 b E 0111 EE ab  021122 EEE aab  03122133 EEEE aaab  0413223144 EEEEE aaaab  … 01144332211 EEEEEEE nnnnnnnn aaaaaab    Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 22 Do đó hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng: ¯ ® ­    )()()( )()()1( krkkc krkk dd dd ExD BxAx Trong đó: » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  )( )( )( )( )( 1 2 1 kx kx kx kx k n n x » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª   1221 10000 00100 00010 aaaaa nnn d      A » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  n n d E E E E 1 2 1 B > @0001  dD 0E dE Thí dụ 7.10: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân: )(3)2()(4)1(5)2()3(2 krkrkckckckc   Hãy viết hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên. Lời giải: Ta có: )(3)2()(4)1(5)2()3(2 krkrkckckckc   œ )(5.1)2(5.0)(2)1(5.2)2(5.0)3( krkrkckckckc   Đặt các biến trạng thái: )()()( 01 krkckx E )()1()( 112 krkxkx E )()1()( 223 krkxkx E Ÿ )()()()()1( 33122133 krkxakxakxakx E  Trong đó: 000 bE 5.005.05.00111 u  EE ab 25.005.25.05.00021122  uu  EEE aab 375.05.05.2)25.0(5.05.103122133 uu  EEEE aaab Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 23 Hệ phương trình biến trạng thái có dạng: ¯ ® ­    )()()( )()()1( krkkc krkk dd dd ExD BxAx Trong đó: » » » ¼ º « « « ¬ ª )( )( )( )( 3 2 1 kx kx kx kx » » » ¼ º « « « ¬ ª  5.05.22 100 010 dA » » » ¼ º « « « ¬ ª  375.0 25.0 5.0 dB > @001 dD 0 dE  7.4.2. Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền: nn nn mm mm azazaz bzbzbzb zR zCzG       1 1 1 1 1 10 )( )( )(   (7.28) Chú ý: ở hàm truyền trên hệ số 10 a . Nếu 10 za ta chia tử số và mẫu số cho 0a để được hàm truyền có dạng (7.28). Cách 1: Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng phương trình sai phân: (7.28) œ )()( 1 1 1 zCazazaz nn nn     )()( 1 1 10 zRbzbzbzb mm mm     œ   )()1()1()( 11 kcakcankcankc nn )()1()1()( 110 krbkrbmkrbmkrb nn   Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.2 ta rút ra được hệ phương trình biến trạng thái. Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 24 Thí dụ 7.11: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là: 452 3 )( )( )( 23 2   zzz z zR zCzG Lời giải: Cách 1: Hàm truyền đã cho tương đương với: 25.25.0 5.15.0 )( )( )( 23 2   zzz z zR zCzG œ )()5.15.0()()25.25.0( 223 zRzzCzzz   œ )(5.1)2(5.0)(2)1(5.2)2(5.0)3( krkrkckckckc   Xem tiếp lời giải đã trình bày ở thí dụ 7.10. Cách 2: Do nn nn mm mm azazaz bzbzbzb zR zCzG       1 1 1 1 1 10 )( )( )(   nên ta có thể đặt biến phụ )(zE sao cho: )()()( 1 1 10 zEbzbzbzbzC mm mm     (7.29) )()()( 1 1 1 zEazazazzR nn nn     (7.30) (7.30) Ÿ )()()1()1()( 11 krkeakeankeanke nn   Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.1, đặt các biến trạng thái: )()(1 kekx )1()( 12  kxkx Ÿ )1()(2  kekx )1()( 23  kxkx Ÿ )2()(3  kekx … )1()( 1   kxkx nn Ÿ )1()(  nkekxn Ÿ )()1( nkekxn   Ta được phương trình: )( 1 0 0 0 ( )( )( )( 10000 00100 00010 )1( )1( )1( )1( 1 2 1 1221 1 2 1 kr kx kx kx kx aaaaakx kx kx kx n n nnnn n » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª               (7.29) Ÿ )()1()1()()( 110 kebkebmkebmkebkc mm   Ÿ )()()()()( 121110 kxbkxbkxbkxbkc mmmm    Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 25 Ÿ > @ » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª   )( )( )( )( 00)( 1 2 1 011 kx kx kx kx bbbbkc n n mm  Tóm lại ta được hệ phương trình trạng thái: ¯ ® ­   )()( )()()1( kkc krkk d dd xD BxAx Trong đó: » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  )( )( )( )( )( 1 2 1 kx kx kx kx k n n x » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª   1221 10000 00100 00010 aaaaa nnn d      A » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª 1 0 0 0 dB > @00011  bbbb mmd  D  Thí dụ 7.12: Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền: 452 3 )( )( )( 23 2   zzz z zR zCzG Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái. Lời giải: Hàm truyền đã cho tương đương với: 25.25.0 5.15.0 )( )( )( 23 2   zzz z zR zCzG Đặt biến phụ )(zE sao cho: ¯ ® ­   )()25.25.0()( )()5.15.0()( 23 2 zEzzzzR zEzzC Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 26 œ ¯ ® ­   )(2)1(5.2)2(5.0)3()( )(5.1)2(5.0)( kekekekezr kckckc Đặt biến trạng thái: )()(1 kekx )1()( 12  kxkx )1()( 23  kxkx Ta được hệ phương trình: ¯ ® ­   )()( )()()1( kkc krkk d dd xD BxAx trong đó: » » » ¼ º « « « ¬ ª )( )( )( )( 3 2 1 kx kx kx kx » » » ¼ º « « « ¬ ª  » » » ¼ º « « « ¬ ª  5.05.22 100 010 100 010 123 aaa dA » » » ¼ º « « « ¬ ª 1 0 0 dB > @ > @5.005.1012 bbbdD  Thí dụ 7.13: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là: 352 12 )( )( )( 234   zzzz z zR zCzG Lời giải: Đặt biến phụ )(zE sao cho: ¯ ® ­   )()352()( )()12()( 234 zEzzzzzR zEzzC œ ¯ ® ­   )(3)1(5)2()3(2)4()( )()1(2)( kekekekekezr kekekc Đặt biến trạng thái: )()(1 kekx )1()( 12  kxkx )1()( 23  kxkx )1()( 34  kxkx Ta được hệ phương trình: Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 27 ¯ ® ­   )()( )()()1( kkc krkk d dd xD BxAx Trong đó: » » » » ¼ º « « « « ¬ ª )( )( )( )( )( 4 3 2 1 kx kx kx kx kx » » » » ¼ º « « « « ¬ ª  » » » » ¼ º « « « « ¬ ª  2153 1000 0100 0010 1000 0100 0010 1234 aaaa dA » » » » ¼ º « « « « ¬ ª 1 0 0 0 dB > @ > @00210001 bbdD  7.4.3. Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục: Phương pháp này chỉ áp dụng được cho hệ thống có sơ đồ khối như sau: TRÌNH TỰ THÀNH LẬP PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái hệ liên tục: ¯ ® ­  )()( )()()( ttc tett R Dx BAxx Bước 2: Tính ma trận quá độ của hệ liên tục: )]([)( 1 st ) ) L r(t) G(s) c(t)+ ZOHT e(t) e(kT) eR(t) G(s) c(t)eR(t) Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 28 với:   1)( -ss AI  ) Bước 3: Rời rạc hóa phương trình biến trạng thái ở bước 1, ta được: ¯ ® ­   )()( )()(])1[( kTkTc kTekTTk d Rdd xD BxAx Trong đó: ° ° ¯ °° ® ­ ) ) ³ DD B A d T d d Bd T 0 )( )( WW Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái của hệ rời rạc cần tìm với tín hiệu vào )(kTr là: > @ ¯ ® ­   )()( )()(])1[( kTkTc kTrkTTk d dddd xD BxDBAx Chứng minh: Bước 1 và bước 2 thành lập phương trình trạng thái và tính ma trận quá độ của hệ liên tục không có gì phải chứng minh. Ta chứng minh từ bước 3, ở bước này ta suy ra phương trình trạng thái của hệ rời rạc từ phương trình trạng thái của hệ liên tục. Bước 3: Ở chương 2, ta đã biết nghiệm của phương trình trạng thái hệ liên tục cho bởi công thức: WWW dett t R³)) 0 )()()0()()( Bxx Tổng quát: WWW dettttt t t R³ )) 0 )()()()()( 000 Bxx Áp dụng công thức trên với: ¯ ® ­  Tkt kTt )1( 0 Ta được: WWW dekTkTTTk Tk kT R³  ))  )1( )()()()(])1[( Bxx Ta lại có: )()( kTeeR W , TkkT )1(: d WW (do )(WRe là tín hiệu ở ngõ ra của khâu giữ ZOH) Thay vào công thức trên, ta được: Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 29 WW dkTekTkTTTk Tk kT ³  ))  )1( )()()()(])1[( Bxx Do )(kTe không phụ thuộc vào biến lấy tích phân W nên: )()()()(])1[( )1( kTedkTkTTTk Tk kT ¸¸¹ · ¨¨© § ))  ³  WW Bxx Đổi biến phép tính lấy tích phân, ta được: )()()()(])1[( 0 kTedkTTTk R d T d  B Bx A x ¸¸¹ · ¨¨© § ))  ³ WW (7.31) Rời rạc hóa phương trình ngõ ra của hệ liên tục, ta được: )()( kTkTc d xD Bước 4: Theo sơ đồ khối của hệ thống, ta thấy: )()()()()( kTkTrkTckTrkTe d xD  Thay vào phương trình (7.31) ta được kết quả cần chứng minh.  Thí dụ 7.14: Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ như hình vẽ. Hãy thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống với các biến trạn