Chứnh minh ba điểm thẳng hàng nhờ sử dụng định lý Thales

3. Một vài bài toán làm thêm

Bài 3: Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác đó thẳng hàng. ( Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi

là đường thẳng Euler).

Bài 4: Tứgiác ABCD vừa nội tiếp đường tròn (O) vừa ngoại tiếp đường tròn (I)

và có các đường chéo cắt nhau tại P. Chứng minh rằng các điểm P, O, I thẳng

hàng.

Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm thuộc nửa

đường tròn. Tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại P. Gọi H là hình chiếu của

M trên AB. Chứng minh rằng P, B và trung điểm N của MH thẳng hàng.

Bài 6: Cho hình vuông ABCD . Vẽtia Cx là tia đối của tia CD. Vẽtia Cy là phân

giác của góc BCx. Trên tia Cy lấy điểm O bất kì ( O khác C), vẽ đường tròn bán

kính OC (OC > OB) cắt các tia Cx, Cy, CB tại H, M K. Gọi Q là giao điểm của

CB và DM. Chứng minh rằng A, Q, H thẳng hàng.

pdf4 trang | Chia sẻ: maiphuongdc | Ngày: 30/05/2013 | Lượt xem: 3963 | Lượt tải: 4download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chứnh minh ba điểm thẳng hàng nhờ sử dụng định lý Thales, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHỨNH MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG NHỜ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ THALES ĐÀO TAM ( GV khoa Toán, ĐH Vinh) 1. Các cách vận dụng định lí Thales để chứng minh ba điểm thẳng hàng. Cách 1: Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta làm theo các bước sau: - Vẽ đường thẳng a đi qua A, sao cho B và C thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng a. - Vẽ các đường thẳng BM và CN song song với nhau sao cho M, N thuộc a. - Chứng minh: ( )1BM AM CN AN = Có thể kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh bằng cách sau: C1 N A C B M Vẽ đường thẳng AB cắt tia CN tại C1. Khi đó vì BM //C1NB nên theo định lí Thales trong tam giác AC1N ta có ( ) 1 2BM AM C N AN = . Từ các hệ thức (1) và (2) suy ra: 1 BM BM CN C N = . Từ đó CN = C1N suy ra hai điểm C và C1 trùng nhau. Tức là A, B, C thẳng hàng. Cách 2: Chứng minh A, B, C thẳng hàng theo các bước sau: - Vẽ đường thẳng a đi qua điểm B sao cho A và C thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là a. - Vẽ AM , AN song song với nhau sao cho các điểm M, N thuộc a. - Chứng minh AM BM CN BN = . N A C B M Bạn đọc có thể kiểm tra tính đúng đắn của cách 2 bằng cách sử dụng định lí Thales. 2. Một vài ví dụ áp dụng Bài 1: Cho tam giác ABC . Đường thẳng MN song song với cạnh BC; M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC. Gọi I và J tương ứng là trung điểm của đoạn MN và BC. Chứng minh rằng A, I, J thẳng hàng. Lời giải: J I N A B C M Do I, J nằmg về một phía của đường thẳng AB và MI // BJ nên hai bước đầu của của cách 1 đã thỏa mãn. Vậy để chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng chỉ cần chứng minh MI AM MJ AB = . Thật vậy, do MN // BC nên theo định lí Thales áp dụng cho tam giác ABC ta có: 1 2 1 2 MNAM MN MI AB BC BJBC = = = (đccm). Chú ý: Có thể diễn đạt bài toán 1 như bổ đề hình thang: Với hình thang MBCN, các cạnh bên cắt nhau tại A; Các điểm I, J là các trung điểm cùa hai cạnh đáy thì A, I, J thẳng hàng. Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác đó; O1 là giao điểm của AO với phân giác ngoài của góc B. Giả sử các điểm H và K là hình chiếu của O1 và O lên BC. Điểm I là điểm đối xứng của K Qua tâm O. Chứng minh rằng A, I, H thẳng hàng. Lời giải: S I HK O O1 A B C Do các điểm I, H nằm cùng vể một phía đường AO và OI // O1H nên theo cách 1 để lập luận A, I, H thẳng hàng thì cần chứng tỏ 1 1 OI AO O H AO = . Thật vậy, gọi các điểm M và N là các hình chiếu của O và O1 lên đường thẳng AB. Khi đó: 1 1 1 1 AO AM OM OK OI AO AN O N O H O H = = = = ( Áp dụng định lí Thales cho tam giác AO1N và tính chất đường phân giác. 3. Một vài bài toán làm thêm Bài 3 : Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó thẳng hàng. ( Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi là đường thẳng Euler). Bài 4: Tứ giác ABCD vừa nội tiếp đường tròn (O) vừa ngoại tiếp đường tròn (I) và có các đường chéo cắt nhau tại P. Chứng minh rằng các điểm P, O, I thẳng hàng. Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại P. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Chứng minh rằng P, B và trung điểm N của MH thẳng hàng. Bài 6: Cho hình vuông ABCD . Vẽ tia Cx là tia đối của tia CD. Vẽ tia Cy là phân giác của góc BCx. Trên tia Cy lấy điểm O bất kì ( O khác C), vẽ đường tròn bán kính OC (OC > OB) cắt các tia Cx, Cy, CB tại H, M K. Gọi Q là giao điểm của CB và DM. Chứng minh rằng A, Q, H thẳng hàng.

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfChứnh minh ba điểm thẳng hàng nhờ sử dụng định lý thales.pdf
Tài liệu liên quan