Giáo trình Cơ học kết cấu - Chương 2, Phần 2: Uốn tấm mỏng

ch sau: w(x,y) = a yn nD qa n π π sin 14 ,...3,1 55 4 ∑∞ = (b) Từ điều kiện đối xứng tải, đối xứng chuyển vị dưới tác động tải q, có nghĩa giá trị của chúng tính tại +y và –y phải như nhau, hàm w(x,y) còn phải thỏa mãn điều kiện đối xứng: a xn Dn qb a ynyC a ynCyxw n π π ππ sin4sinhcosh),( ,...3,1 5 4 20∑ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= (c) Phương trình w này thoả mãn ∇4w = p/D và các điều kiện ràng buộc tại hai biên x = 0 va 2 x = a. Điều kiện biên tại biên y = ± b/2 đòi hỏi: 29 0;0 2 2 y ww ∂ ∂= Thoả mãn các điều kiện này, từ (c) có thể thành lập hệ phương trình: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + =++ 0sinhcosh2 04sinh 2 cosh 22 0 5 4 20 mmm m mm CC a C Dn qbaCC αααα παα (d) Với b an m πα = Nghiệm hệ phương trình như sau: mm m Dn qbC Dn aqbnqbC απαπ απ cosh 2; cosh tanh4 44 3 255 34 0 =+−= Thay hai giá trị vừa tính vào (c) có thể xác định hàm chuyển vị w(x,y). a xn Dn qb a yny Dn qb a yn Dn aqbnqbyxw m n m m π π π απ π απ απ sin4sinh cosh 2 cosh cosh tanh4 ),( 5 4 44 3 ,...3,1 55 34 ⎥⎦ ⎤+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎢⎣ ⎡ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+−= ∑ = Chuyển vị lớn nhất tại vị trí giữa tấm: x = b/2 và y = 0. ( )∑∞ = − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−= ,...3,1 5 2/)1( 5 4 max cosh2 2tanh 114 n m mm n nD qbw α αα π Lời giải cho tấm hình vuông a = b và αm = nπ/2 sẽ như sau: ( ) D qb D qb D qbw 4 5 44 max 00406,0...00025,068562,0 5 384 5 =+−−= π 2.2 Lời giải Lévy cho tấm trực hướng Trường hợp chung, tấm trực hướng với độ cứng D1, D2, DT đã xác định, công thức cho phương trình vi phân đặc trưng sẽ có dạng: )(2 4 1 2 2 0 4 2 ypb nDr b nDrD nn =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ππ (2.27) với ∫= b dxyxpbyp 0 ),( 2)( (2.28) TxyTyx DDDDD +=+= νν 210 (2.29) 30 Nghiệm w* phương trình có thể tìm dưới dạng w*(x/a; y/b). ∑∑∞ ∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ m n mn b yn a xma b y a xw ππ sinsin,* (2.30) Sử dụng các ký hiệu trong bài: b y a x == ηξ ; . Độ võng trong trường hợp này ký hiệu bằng w, còn độ võng trong hệ tọa độ tương đối tính bằng 1 4 ;* D qaN N ww == . Trong trường hợp này hàm Airy liên quan đến hàm độ võng theo quan hệ: ( ) 44 *4 1 2 22 *4 4 1 3 4 *4 4 1,121 γηξηηξγξγ Φ=∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ w D Dw D Dw (2.31) với b a=γ Trường hợp cụ thể này có hể tìm hàm Φm dạng: ( ππξπξ mmdmm cos1 2sin2 1 0 −==Φ ∫ ) (2.32) và ;4)()(2)( 4 '' 2 )4( πηγ πηγ πη m fmfmf mmm =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− (2.33) Lời giải riêng tìm dưới dạng: ( ) 5 4 )( )( 4 π γη m f rm = giành cho m lẻ, 0)()( =ηrmf cho m chẵn. (2.34) Áp dụng cách giải trình bày tại chương 1, sau khi thay thế Bm = Cm = 0 hàm fm(η) được viết thành: ( )5 44sinhcosh)( π γηγ πηγ πηγ πη m mmDmAf mmm ++= (2.35) Hai hằng số Am , Bm được xác định theo điều kiện biên, trên biên η = ± ½. Tại biên y = ± ½ b độ võng w thỏa mãn điều kiện: 02 , ;0 2 , =∂ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ±∂ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ± y bxw bxw (2.36) hoặc dưới dạng: 31 02 , ;0 2 , =∂ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ±∂ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ± η ξ ξ bw bw (2.36a) Thay các điều kiện trên vào phương trình (2.35) có thể thấy: 0 2 1 2 1 ' =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛±=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛± mm ff Điều kiện thể hiện tại phương trình cuối cho phép lập hệ phương trình nhằm xác định hai hằng số vừa đề cập: ( ) 0 2 cosh 22 sinh 2 sinh ;4 2 sinh 22 cosh 5 4 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ =+ mmm m m m mm m m m uuuDuA m uu D u A π γ (2.37) trong đó γ πmum 2 1 2 = (2.38) Sau khi giải hệ phương trình, xác định Am, Dm chúng ta đủ điều kiện viết phương trình độ võng w của tấm: πξηη η γπηξηξ m u ux uu uu u uu uu mD qbNww m m mm m m m mm m m m sin 2 cosh cosh sinh 2 sinh 1 sinh sinh 2 sinh 21 14),(*),( 2 ,...3,1 5 4 5 4 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++−++× ×== ∑ (2.39) Tính cho điểm tại tọa độ xác định, ví dụ điểm (ξ1, η1), độ võng tấm tại đây sẽ là: 13 4 K Et qbw = (2.40) Hệ số K1 phụ thuộc vào tỷ lệ chiều dài hai cạnh γ, tính bằng công thức: 1 1 2 1 1 ,...3,1 5 4 5 2 1 sin 2 cosh cosh sinh 2 sinh 1 sinh sinh 2 sinh 21 1)1(48 πξηη η γπ ν m u u uu uu u uu uu m K m m mm m m m mm m m m ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ × ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++−++× ×−= ∑ (2.41) 32 Momen uốn tấm tính theo các công thức trình bày tại phần hướng dẫn, thể hiện dưới dạng: πξγπ muu uu m qbM mm mm m by sinsinh sinh14 ,...3,1 3 2 3 2 2/2 + −−= ∑±= (2.42) Tính giá trị momen tại điểm cố định theo cách làm quen thuộc: M2 = K3qb3, (2.43) Trong đó 1 ,...3,1 3 2 33 sinsinh sinh14 πξγπ muu uu m K mm mm m + −= ∑ (2.44) Như đã trình bày, các hệ số K1, K3 dễ dàng lập thành bảng tra cứu. Khi tính toán chúng ta có quyền sử dụng các bảng tính lập sẵn nhằm giảm công sức thực hiện các phép tính quá dài. Trong phần tính toán các đặc trưng tấm dùng trên tàu bạn đọc có thể tham khảo các công thức tương đương sau đây: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛±=±= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 2 4 2 46 1 100 106 6 100 10100 t bqK t M t t b E qKw i iσ (2.45) 2.3 Lời giải Navier cho trường hợp tấm hình chữ nhật cạnh axb, chịu tác động tải trọng phân bố q Với tấm đẳng hướng, chịu tác động tải q = const, phương trình uốn tấm mang dạng: D.∇2∇2 w = q(x,y) (2.46) y x x y a b Hình 2.2 Phân bố tải miêu tả dạng chuỗi Fourier: b yn a xmqyxq m n mn ππ∑∑∞ = ∞ = = 1 1 sinsin),( (2.47) 33 Độ võng tấm tìm trong không gian 0xyz: w (x,y) = a nm = ∞ = ∞ ∑∑ 11 mn sin m x a π sin n y b π (2.48) Điều kiện biên: tại x = 0 và x = a: w = ∂∂ 2 2 w x = 0. (2.49a) tại y = 0 và y = b: w = ∂∂ 2 2 w y = 0. (2.49b) Các hệ số amn tương ứng hệ số lực qmn, tính theo công thức: qmn = 4 00 ab ba ∫∫ q(x,y) sin m xaπ sin n ybπ dxdy (2.50) Thay (2.50) vào phương trình cơ bản (2.46) có thể viết: ∑∑∞ ∞ =⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ m n mn mn b yn a xm D q b n b n a m a ma 0sinsin2 4224 ππππππ Từ phương trình có thể rút ra: 0 2 2 2 2 2 4 =−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + D q b n a ma mnmnπ (2.51) Các hệ số amn tính từ biểu thức cuối: amn = 222 4 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ b n a mD qmn π (2.52) Thay biểu thức vừa tìm vào (2.48) có thể viết hàm chuyển vị w(x,y) của tấm: b yn a xm b n a m q D yxw mn m n ππ π sinsin 1),( 2221 14 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = ∑∑∞ = ∞ = (2.53) Biểu thức xác định qmn trình bày tại (2.50). Có thể để ý rằng 1sin;1sin ≤≤ b yn a xm ππ với mỗi giá trị x, y và m, n, chuỗi (2.53) sẽ hội tụ. Cách giải này của Navier sẽ được dùng cho các bài toán liên quan tấm chữ nhật, tựa trên cả bốn cạnh. 34 Trường hợp q = const như đang nêu các hệ số qmn tính theo biểu thức: ,...)3,1,(162 == nmmn qqmn π (2.54) Thay biểu thức cuối vào (2.53) có thể thấy: 2221 1 6 sinsin16),( ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = ∑∑∞ = ∞ = b n a mmn b yn a xm D qyxw m n ππ π (2.55) Với tấm chữ nhật chịu tác động tải theo pháp tuyến q = const, chuyển vị lớn nhất nằm tại vị trí giữa tấm x = a/2 và y = b/2. Giá trị wmax trong trường hợp này, tính theo (2.55) sẽ là: ( )[ ] 222 12/ 1 1 6max )1(16 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= −+∞ = ∞ = ∑∑ b n a mmn D qw nm m nπ (2.56) Biểu thức tính momen uốn tấm là hàm của w, trình bày tại chương 1 có dạng sau: ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ∂− ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ yx w x w y w y w x w D M M M xy y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 υ υ υ hay là: b yn a xm b n a mmn b n a m qM m n x ππν π sinsin 16 222 22 1 1 4 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = ∑∑∞ = ∞ = b yn a xm b n a mmn b n a m qM m n y ππν π sinsin 16 222 22 1 1 4 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = ∑∑∞ = ∞ = 35 ( ) b yn a xm b n a mmn ab qM m n xy ππ π ν coscos1116 2221 14 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= ∑∑∞ = ∞ = (2.57) Ứng suất trong tấm tính theo công thức: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = 12/ 12/ 12/ 3 3 3 t zM t zM t zM xy xy y y x x τ σ σ (2.58) Từ điều kiện cân bằng ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =−∂ ∂+∂ ∂ =−∂ ∂+∂ ∂ =+∂ ∂+∂ ∂ 0 0 0 y xyy x yxx yx q x M y M q y M x M p y q x q có thể xác định lực cắt: ( ) ( )⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ∇∂ ∂−= ∇∂ ∂−= w y Dq w x Dq y x 2 2 (2.59) Phản lực tại gối tính bằng biểu thức: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ∂ ∂+= ∂ ∂+= x M qV y M qV xy yy xy xx (2.60) Ví dụ 1: Xác định độ võng lớn nhất, momen lớn nhất của tấm vuông cạnh a, chịu tác động tải phân bố đều p0. Chọn m = 1 và n = 1 cho phép tính. Công thức (2.56) cho phép xác định wmax: D apw 4 0 max 00416,0= Trường hợp chọn m = 1 và n = 1, 3; m = 3, n = 1, 3 kết quả sẽ khả quan hơn, gần với kết quả “chính xác” wmax = 0,00406p0a4/D. Momen lớn nhất tính theo (2.57) đạt tại vị trí x = y = a/2: 2 0max,max, 0534,0 apMM yx == 36 Ứng suất lớn nhất tính theo (2.58), trong đó z = ± t/2. 2 2 0 max 281,0 t ap=σ Ví dụ 2: Tìm phản lực tấm chữ nhật cạnh a x b, tựa cả bốn mép, chịu tác động tải trọng phân bố hình sine: b y a xpyxp ππ sinsin),( 0= Chọn m = n = 1 cho các phép tính, chúng ta nhận được pmn = p0. Theo cách này hàm chuyển vị w(x,y) tại (2.49) được tính như sau: b y a x ba D pw ππ π sinsin 11 2 22 4 0 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = Momen uốn tấm xác định theo (2.49): b y a x ba ba pM x ππν π sinsin1 11 222 22 2 0 ×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +× ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = b y a x ba ba pM y ππν π sinsin1 11 222 22 2 0 ×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +× ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = ( ) b y a x ba pM x ππ π ν coscos 11 1 2 22 2 0 × ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + −= Trong khi đó lực cắt tính theo (2.59) sẽ là: b y a x ba a pqx ππ π sincos 11 22 0 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = b y a x ba b pqy ππ π cossin 11 22 0 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = Tải tác động lên toàn bộ tấm tính theo biểu thức sau: 2 0 0 0 0 4 sinsin π ππ abpdxdy b y a xp a b =∫ ∫ 37 Phản lực đến tấm tính theo (2.60): b y ba ba a pRx πν π sin21 11 22 22 0 ×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+× ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = a x ba ba b pRy πν π sin12 11 22 22 0 ×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−× ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = 2.4 Giải bài toán uốn tấm nhờ chuỗi lượng giác Cũng bài toán trên đây lời giải có thể tìm trong hệ tọa độ tương đối, dưới dạng chuỗi lượng giác hay còn gọi chuỗi Navier. w*(ξ, η) = a nm = ∞ = ∞ ∑∑ 11 mnsinmπξ.sinnπη, (2.61) trong đó: amn - hằng số Fourier được xác định theo cách trình bày trên. ξ = x/a ; η = y/b; w* = w. D qa 1 4 (2.62) Nếu ký hiệu: γ = a/b; α = γ2 D D 2 1 ; β = D D D 3 1 2. (2.63) Phương trình Karman có dạng: ∂ ∂ξ 4 4 w* + 2αβ. ∂∂ξ ∂η 4 2 2 w* + α2 ∂∂η 4 4 w* = q(ξ,η) (2.64) Để xác định amn cần thiết khai triển q(ξ,η) dưới dạng: q(ξ,η) = b nm = ∞ = ∞ ∑∑ 11 mnsinmπξ.sinnπη, (2.65) trong đó hằng số Fourier bmn phải được xác định giống như cách làm cho amn. bmn = 4 q(ξ,η) sinmπξ.sinnπη dξdη, (2.66) 0 1 0 1 ∫∫ Hệ số amn tính theo qui trình trên: amn = bmn / { π4(m4 + 2βαm2n2 + α2n4) } (2.67) Từ đó độ võng tấm trong hệ tọa độ tương đối tính theo công thức: 38 w(ξ, η) = γ π 4 4 1 4 qb D (b nm = ∞ = ∞ ∑∑ 11 mnsinmπξ.sinnπη)/ { π4(m4 + 2βαm2n2 + α2n4) } (2.68) Phương trình cuối khi áp dụng cho tấm bằng vật liệu đẳng hướng cần thay thế các đại lượng sau: β = 1; α = γ2. Hệ số bmn phụ thuộc vào tính chất tải trọng, với tải trọng phân bố đầu q(x,y) = const hệ số mang giá trị: bmn = 16 2π mn , m =1,3,5,... và n= 1,3,5,... bmn = 0 khi m và n số chẵn. (2.69) Nếu tải trọng đưa vào dưới dạng lực tập trung P, điểm đặt lực ( x1/a , y1/b), cần phân bố P trên diện tích dx1.dy1 = a.b.dξ1dη1. q(ξ,η) = P ab d d 1 1 1ξ η (2.70) Đưa giá trị trên vào tính, độ võng của tấm xác định theo công thức: w = 4 4 4 1 4 P b abD γ π (sinmπξ.sinnπη) * (sinmπξnm = ∞ = ∞ ∑∑ 11 1.sinnπη1) / { π4(m4 + 2βαm2n2 + α2n4) } (2.71) Công thức chung tính độ võng và các đại lượng dẫn xuất của bài toán có thể tìm dưới dạng sau chung: Độ võng: w* = w. D qa 1 4 hoặc là w = qb Et 4 3 .K1 (2.72) Hệ số K1 cho trường hợp tải trọng nhất định chỉ phụ thuộc vào quan hệ a/b. Momen uốn: Mx = -qb2γ4 ( 12 2 2 2 2 2γ ∂ ∂ξ ν ∂ ∂η w* + w* ) = K2. qb2 Mx = -qb2γ4 ( νγ ∂ ∂ξ ∂ ∂η 1 2 2 2 2 2 w* *+ w ) = K3.qb2 (2.73) Ứng suất phẳng tính theo công thức: 39 σx = σx0 ± 6 2Mt x σy = σy0 ± 6 2 M t y (2.74) Ví dụ 1: Áp dụng các công thức trên đây tính momen uốn và ứng suất trong tấm với a =100cm = 0,1m, b = 50cm = 0,05m, t =1 cm = 0,01m, chịu tác động tải trọng phân bố đều q = 0,1 MPa. Các hệ số k tìm từ bảng trong các sổ tay tính toán. Mx = K2.qb2 = 0,0165.1.502 My = K3. qb2 = 0,0407.1.502. Ưùng suất tính theo hai biểu thức cuối, áp dụng cho a/b = 0,5. σx = ± 6. 0,0165.104.0,52 = ± 247 kG/cm2 ≈ ±24,7 MPa σy = ± 6. 0,0407.104.0,52 = ± 610 kG/cm2 ≈ ±61MPa Ví dụ 2: Xác định phương trình độ võng w tấm tựa tại bốn cạnh, chịu tải tập trung P đặt tại vị trí x1, y1. y x y x x y 1 1 x1 y1 2s 2r b b aa Hình 2.2 Tải P đặt tại ví trí đã định, tác động lên hình chữ nhật cạnh 2r, 2s bao điểm, diện tích vô cùng nhỏ A = 2r.2s = 4rs, hình 2.2. Phân bố tải trên diện tích này, tính theo (2.70) có dạng: q(x,y) = P/(4rs). Từ đó có thể tính hệ số chuỗi Fourier. ηξπηπξ ddnm rs Pp sy sy rx rx mn ∫ ∫ + − + − = 1 1 1 1 sinsin . Khi r → 0 và s → 0 biểu thức tính pmn có dạng sau: 11 11 , sinsin 4sinsin4 πηπξππ nm ab P b yn a xm ab Pp nm == Đưa biểu thức trên vào phương trình xác định chuyển vị (2.71), chuyển sang hệ tọa độ xOy, có thể viết: 40 b ym a xm b n a m b ym a xm Dab Pw m n ππ ππ π sinsin sinsin4 222 11 4 ∑∑∞ ∞ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = Trường hợp điểm đặt P nằm tại vị trí tâm tấm a/2 và b/2, công thức vừa nêu trở thành: ( ) ( )[ ]∑∑∞ ∞ −+ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= m n nm ba b n a m b ym a xm Dab Pw 222 12/ 42/,2/ sinsin 14 ππ π Với tấm vuông cạnh a, công thức đang nêu mang dạng: ( ) ( ),...3,1, 14 22242/,2/ =+= ∑∑ ∞ ∞ nm nmDab Pw m n aa π 3. Uốn tấm chữ nhật, điều kiện biên khác tựa tự do Trong phần này chúng ta khảo sát các tấm hình chữ nhật, làm bằng vật liệu đẳng hướng hoặc trực hướng, bị ngàm trên một số cạnh, chịu tải trọng ngang. Những bài toán dạng này không được đề cập trong công trình của Navier và Lévy. Phương trình Karman áp dụng cho tấm trực hướng, như đã trình bày, có dạng: D1 4 4 x w ∂ ∂ + 2D3 22 4 yx w ∂∂ ∂ + D2 4 4 y w ∂ ∂ = q(x,y) trong đó độ cứng chịu uốn: D1 = )1(12 21 3 1 νν− tE ; D2 = )1(12 21 3 2 νν− tE và độ cứng chịu xoắn DT = 12 3Gt D3 = D1ν2 + 2DT = D2ν1 + 2DT Ứng suất trong tấm tính theo công thức: σx = ( yxE ενενν 22111 +− ) σy = ( xyE ενενν 12121 +− ) τxy = Gγxy Trong đó E1 = Ex ; E2 = Ey; νyz = ν2 ; νxy = ν1. 41 và E2ν1 = E1ν2. Thay các biểu thức tính momen uốn Mx = - D1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 2 2 22 2 y w x w ∂ ∂ν∂ ∂ My = - D2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 2 2 12 2 y w x w ∂ ∂ν∂ ∂ Mxy = Myx = -2DT yx w ∂∂ ∂ 2 vào biểu thức tính ứng suất có thể thấy: ; 12 ; 12 ; 12 333 t zN t zM t zM xy xy y y x x === τσσ Hàm w(x,y) trong phương trình Karman dùng tại đây gồm hai thành phần, w0 – nghiệm phương trình tính cho trường hợp vế phải trượt tiêu và w1 – nghiệm riêng của phương trình, w = w0 + w1. Vì rằng ∇2∇2w0 = 0, chúng ta có thể viết phương trình Karman dưới dạng sau: 4 0 4 22 0 4 1 4 1 4 22 1 4 4 1 4 )1()1(2),(2 x wB yx wA D yxp y wB yx wA x w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −+∂∂ ∂−+=+∂∂ ∂+ (2.75) trong đó: 1 2 1 3 ; D DB D DA == Thông lệ, w1 được tìm dưới dạng chuỗi: b ym a xnc D pbw m n mn ππ π sinsin1 14 4 1 ∑∑∞ = ∞ = = (2.76) Hằng số cmn xác định theo công thức: )( 222 γnm pc mnmn += (2.77) với (2.78) ∫ ∫= 1 0 1 0 sinsin),(4 ηξπηπξ ddmnyxppmn Sau thay thế biểu thức w1 vào phương trình Karman dạng cuối, lưu ý đến tính chất của w0 như đã nêu, từ hướng dẫn tại phần đầu chương có thể viết các biểu thức tính hệ số cmn như sau. 42 ( )[ ]{ ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )⎭⎬⎫−−+−−− −−−+−−+= n n nmnn n nmn m n mmnm n mmnmn mn mn mn BBdBBd m n AAdAAd D pc 431212 432211 11 11γ (2.79) trong đó: ( ) mnmn mn Dnm nm BmmnAnD 2222 4 4244 2 ;)(2 γ γγ γγ += ++= (2.80) và ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 1 12 ;121 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+−= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+−= m nBBAd m nABd mn mn γ γ (2.81) Áp dụng lời giải trên tính độ võng tấm trực hướng, hình chữ nhật, hai cạnh đối diện bị ngàm tại y = 0; y = b. Hai cạnh còn lại tự do. Điều kiện biên bài toán được thể hiện: Tại x = 0 và x = a: 02 2 =∂ ∂= x ww (2.82) Tại y = 0 và y = b: 0=∂ ∂= y ww (2.83) Nghiệm bài toán trở thành: [ ] ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ++−= ∑ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ,..3,1 ,..3,1 22 ,..3,1 2214 4 sinsinsin)()1( m n mn n nnn mncn nB D pbw πηπξγ πξηβηβπ (2.84) Các hệ số cmn sau khi thay các hằng số đạo hàm sẽ là: nmnm mn mn mn Bdm n D pc 11 2 γ−= (2.85) Sau khi xác định cmn, B1n, và β2n có thể tìm được giá trị độ võng tại điểm bất kỳ w(x,y). Ví dụ 1: Cửa sổ nhà cao tầng được mô hình hóa dạng tấm sau. Tấm chữ nhật các cạnh a x b, tựa trên ba cạnh x = 0, x= a và y = b. Cạnh thứ tư tại y =0 tấm bị ngàm. Tấm chịu tác động áp lực q do gió gây. Xác định độ võng tấm và momen uốn tấm. 43 Trường hợp này cần thiết chuyển bài toán về dạng tấm cấu hình đối xứng và tải đối xứng. Tâm đối xứng qua x = a/2, song song với trục Oy. Có thể hình dung từ đầu, w(x,y) sẽ là tổng của các thành phần số lẻ nêu tại phương pháp Lévy chúng ta đã thực hiện trên đây. ∑∞ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++++= ,...3,1 55 4 3210 sin 4coshsinhcoshsinh m a xm Dm qa a ymyC a ymyC a ymC a ymCw ππ ππππ Điều kiện bài toán như sau: w = 0 )0(0 ==∂ ∂ y y w w = 0 )(02 2 by y w ==∂ ∂ Thay điều kiện biên vào phương trình đang nêu có thể xác định các hằng xuất hiện trong đó: mmm mmmm Dm qaC m aC βββ ββββ ππ − −−=−= sinhcosh sinhcosh2cosh22 2 55 4 30 Dm qaC 55 4 1 4 π−= mmm mmmm m b a m a m a m C βββ βπβπββπ β − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−− −= sinhcosh coshsinhcoshsinh2 2 1 2 2 trong đó a bm m πβ = Với tấm vuông cạnh a = b biểu thức tính w được viết gọn như sau: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ === 2 ; 2 0028,0 4 byax D qaw ( )2/;2/084,0 2max byaxqaM === Phần tiếp theo chúng ta có dịp làm quen với vài đồ thị tính độ võng tấm, momen uốn tấm chữ nhật, chịu tải phân bố đều theo pháp tuyến. Các đồ thị tại hình 2.3 và 2.4 trình bày kết quả tính cho tấm không có nẹp cứng. Đồ thị được trích từ công trình của Schade lập từ 1941, dùng cho tấm với các điều kiện liên kết trên biên khác nhau. Trường hợp thứ nhất tấm tựa tự do như đã giới thiệu trong bài toán Navier, trường hợp sau dùng cho tấm bị ngàm bốn cạnh. 44 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.20 0.40 0.60 0.80 1.0 a/b k1 k2 k Hình 2.3 Công thức tính độ võng lớn nhất, tại giữa tấm, x=a/2, y = b/2: Tấm tựa D pbkw 384 5 4 1max = Tấm bị ngàm D pbkw 384 4 2max = Với ( )2 3 112 ν−= EtD Công thức tính ứng suất σx σy dùng trong đồ thị tiếp theo: 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= t bkpσ 45 1.0 0.1 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 a/b 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.2 Ứn g s ua át m ax , t ấm tư ïa Ứng suất max, tấm nga øm bo án ca ïnhσ σỨng suất max, tấm tựa Ứng suất max, tấm ngàm bốn cạnh k y x a b a b Hình 2.4 4. Sử dụng phương pháp Lévy vào tấm chịu áp lực thủy tĩnh Nguyên thủy, trong phương pháp Lévy áp dụng cho tấm chữ nhật tựa trên hai cạnh đối diện, hai cạnh còn lại tự do. Bài toán tấm hai chiều được hạ bậc nhờ cách phân chiều dài tấm thành những đoạn (giải) nhỏ, gọi là các strip, mỗi strip được xét riêng như bài toán một chiều. Tải p(x) được phân thành chuỗi Fourier còn hàm chuyển vị trình bày dạng chuỗi Lévy. Mỗi đoạn tấm thế này tựa tại biên của tại x = 0 và x = a. ∑∞ = = ,...2,1 sin)( m m a xmpxp π trong đó ( ) dx a xmxp a p a m ∫= 0 sin2 π ∑∞ = = ,...2,1 44 4 sin m m a xm m p D aw ππ Bây giờ chúng ta tìm cách xử lý điều kiện biên cho hai mép còn lại, tại y = ± b/2. Đơn giản nhất trong trường hợp này hãy coi hai mép tựa trên gối. Như vậy hàm chuyển vị của tấm w(x,y) sẽ mang dạng hàm Lévy đã đề cập. a xm Dm ap a ymyC a ymCyxw n m π π ππ sinsinhcosh),( ,...2,1 44 4 21∑ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= Hai hằng C1 và C2 tìm thấy sau xử lý điều kiện biên: 0;02/ 2 2 =∂ ∂=±= y wwby Hàm w(x,y) sau khi thỏa mãn điều kiện biên: 46 a xma ym a ym a ym m p D aw m m mm m m π α ππ π α αα π sin cosh2 sinh cosh cosh2 tanh2 1 ,...2,1 44 4 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ + +⎜⎜⎝ ⎛ +−= ∑∞ = trong đó a bm m 2 πα = Với áp lực tĩnh do nước gây nên mặt tấm đặt đứng trong nước với chiều chìm bằng chiều dài a, biểu thức diễn đạt áp lực được hiểu là: p y x b a Hình 2.5 a xpp 0= ( ) ( ,...2,112sin2 10 0 0 =−== +∫ mmpdxa xmaxpap m a m π π ) Thay biểu thức của pm vào công thức tính w sẽ xác định chuyển vị tấm dưới tác động áp lực thủy tĩnh. Trường hợp tấm hình vuông, chuyển vị w tính tại điểm giữa tấm x = a/2 mang giá trị: D apw 4 000203,0= 5. Phương pháp cọng tác dụng Phương pháp quen thuộc trong sức bền vật liệu dùng vào các bài toán giành cho tấm mang lại những kết quả khả quan. Nguyên tắc chung khi giải bài toán tấm điều kiện biên không thuộc diện “chuẩn” như hai bài toán Navier và Lévy cần thiết mô hình hóa thành những bài toán dạng “chuẩn”, tiến hành giải phương trình ∇4w = p/D cùng điều kiện biên, rồi sau đó tìm cách cọng tác dụng. Tải áp đặt cũng tiến hành phân tích theo kiểu vừa nêu. 47 Ví dụ sau đây minh họa cách làm theo hướng này. Tấm hình chữ nhật cạnh tại x = 0 và x = a tựa trên gối, còn hai cạnh tại y = ±b/2 ngàm chặt. Sử dụng phương pháp cọng tác dụng vào đây, chúng ta cần thiế chia bài toán làm hai bài nhỏ, bài toán Navier dùng cho tấm tựa bốn cạnh và bài toán tấm chữ nhật chịu tác động momen uốn mép bố trí đối xứng. Bài toán thứ nhất chúng ta coi thuộc diện “chuẩn” Navier. Bài thứ hai sẽ được chuẩn hóa theo cách trình bày phần trên. Đoạn tiếp đây sẽ xem xét kỹ hơn tấm cạnh a x b xhịu momen uốn giá trị My phân bố đều tại mép y = ±b/2. y x y y My a b b/2 Hình 2.6 Lời giải bài toán Navier (dùng cho tấm thứ nhất). ∑∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−= ,...3,1 55 4 sin 2 sinh cosh2 12cosh cosh2 2tanh 11 m m m m m mm a ym b y a ym b y mD qaw παπα α α αα π Lời giải bài toán thứ hai. Tải f(x) do phân bố đối xứng của My được viết dậng chuỗi Fourier như cách làm trong phương pháp Lévy: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ±== ∑∞ = 2 sin)( 1 by a xmMxf m m π Các hệ số Mm tính theo cách quen thuộc: ∫= am dxa xmxfaM 0 sin)( 2 π Điều kiện biên: Tại x = 0 và x = a: 0;0 2 2 =