Giáo trình Cơ học kết cấu - Chương 4, Phần 2: Ổn định tấm

CHƯƠNG 4 ỔN ĐỊNH TẤM 1. Ổn định tấm Trong những trường hợp chịu nén khi ứng suất nén vượt quá giá trị giới hạn các tấm có khả năng bị mất ổn định. Trong phần này chúng ta xem xét những vấn đề liên quan mất ổn định tấm mỏng, tương đương khái niệm thin plate buckling vẫn dùng rộng rãi trong tiếng Anh. Giới hạn ổn định cho tấm được xét theo cách sau. Giả sử tấm chữ nhật cạnh axb, chịu tác động ứng suất nén σ1 dọc trục 0x. Phương trình uốn tấm tựa trên các cạnh x = 0 và x = a được viết dưới dạng: D1 4 4 4 4 222 4 34 4 2 x wN y wD yx wD x w x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ =++ (4.105) trong đó độ cứng chịu uốn: D1 = )1(12 21 3 1 νν− tE ; D2 = )1(12 21 3 2 νν− tE D3 = ν1ν2 +2DT và độ cứng chịu xoắn DT = 12 3Gt . Lực nén Nx = -σ1.t Phương trình uốn tấm (4.105) viết trong hệ tọa độ tương đối sẽ là: ξ = x/a ; η = y/b; w* = w. 41qa D (4.106) Nếu ký hiệu : γ = a/b; α = γ2 1 2 D D ; β = 21 3 .DD D (4.107) 4 4 * ∂ξ ∂ w + 2αβ. 22 4 * ∂η∂ξ ∂ w + α2 4 4 * ∂η ∂ w = - 2 2 2 1 2 1 .. ∂ξ ∂γσ w D bt (4.108) Lời giải cho (4.108) tìm dưới dạng: w = f m= ∞∑ 1 m(η)sinmπξ (4.109) Thay giá trị tại biểu thứ cuối vào (4.108) sẽ nhận được phương trình vi phân bậc 4 sau: fm(IV)(η) - 2 βα (mπ) 2fm’’(η) - ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 1)( 2 1 2 1 2 4 π γσ α π mD tbm fm(η) = 0. (4.110) Bốn nghiệm của phương trình vi phân (4.110) được tìm dưới dạng: 78 s = ± mπ 1111. 2 2 1 2 1 + ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛± βπ γσ α β mD tb (4.111) Hàm fm(η) phụ thuộc vào giá trị χ = 2 1 2 1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π γσ mD tb . Nếu χ < 1 tất cả nghiệm sẽ là nghiệm phức, còn χ > 1 sẽ có 2 nghiệm thực và 2 nghiệm ảo. s1, 2 = ± am ; s3, 4 = ± ibm. trong đó am = mπ 1111. 2 2 1 2 1 + ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛± βπ γσ α β mD tb bm = mπ 1111. 2 2 1 2 1 − ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛± βπ γσ α β mD tb (4.112) Từ đó có thể viết biểu thức của fm: fm(η) = Amcoshamη + Bmsinhamη + Cmcosbmη + Dmsinbmη (4.113) Các hằng số Am, Bm, Cm, Dm xác định từ điều kiện biên trên y = const. Tại y =0 sẽ tìm hai phương trình mô tả điều kiện biên, còn tại y = a cũng xác lập 2 phương trình. Từ hệ 4 phương trình sẽ tìm được giá trị 4 hằng số liên quan, rồi từ đó xác lập phương trình tìm nghiệm σ1. Trong tập họp các giá trị của σ1 sẽ tìm giá trị nhỏ nhất làm nghiệm của bài toán. Trường hợp cả 4 mép tấm tựa trên gối cứng, biểu thức cho w tìm theo cách đã làm trong bài toán Navier. w*(ξ, η) = a nm = ∞ = ∞ ∑∑ 11 mnsinmπξ.sinnπη, (4.114) Biểu thức cho amn xác định từ phương trình: amn { π4(m4 + 2βαm2n2 + α2n4) - σ γπ 1 2 1 2tb D m ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ } = 0. (4.115) Vì rằng hằng số Fourier amn ≠ 0 biểu thức trong ngoặc phải bằng 0. Do vậy: π4(m4 + 2βαm2n2 + α2n4) - σ γπ 1 2 1 2tb D m ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 0. (4.116) và σ1 = D b t m n n m 1 2 2 2 2 2 2 2 22 π γ βα α+ +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ (4.117) 79 Trong họ giá trị σ1 phụ thuộc vào m, n cần chọn giá trị nhỏ nhất. Từ (4.117) có thể thấy, giá trị cần tìm này sẽ tìm thấy trong họ nghiệm cho trường hợp n =1. Và như vậy: σ1 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ 2 2 2 22 2 1 2 m m tb D αβαγ π (4.118) Giá trị m trong biểu thức cuối phụ thuộc vào α . Để xác định m có nhiệm vụ đưa biểu thức nằm trong dấu ngoặc đơn của (4.118) về minimum, có thể gián tiếp xử lý thông qua bất đẳng thức: (m+1)2 + 2βα + 2 2 )1( +m α ≥ m2 + 2βα + 2 2 m α (m-1)2 + 2βα + ≥ m2 + 2βα + 2 2 m α Từ các bất đẳng thức có thể thấy rằng: )1()1( +≤≤− mmmm α (4.119) Rồi rừ đó rút ra kết luận để m làm đúng phận sự đã nêu: m =1 nếu 0 ≤ √α ≤ √2 m =2 nếu √2 ≤ √α ≤ √6 m = 3 nếu √6 ≤ √α ≤ √12 Từ biểu thức (4.118) có thể nhận thấy rằng N = 2 2 2 2 m m αβα ++ → ∞ khi α→ 0 và α→ ∞, do vậy có thể ngừa rằng có giá trị của α∈(0÷∞) sẽ làm cho N đạt giá trị nhỏ nhất. 22 2 1 m mN +−= α∂α ∂ = 0. (4.120) Có thể rút ra m4 = α2 hay là m = √α. Thay giá trị của m vào (4.118) để xác định giá trị ứng suất giới hạn hay là ứng suất Euler σE: )1(2 2 2 1 βγ απσ += tb D E (4.121) 80 m =1 m =2 m =3 m=3 m=2 2 1 2 3 42 6 N Hình 4.1 Có thể nhận xét rằng, N giảm dần trong phạm vi γ = 0 đến γ = 1 và đạt giá trị minimum lần thứ nhất tại γ = 1. Trường hợp γ > 1 N tăng với tốc độ chậm đến γ = √2, sau đó giảm chậm và đạt minimum tại γ = 2. Chu trình tiếp tục theo hướng đang trình bà, xem hình 4.1 Trường hợp tấm bằng vật liệu đẳng hướng với D1 = D2 = D3 = D; β =1 và γ2 = α công thức tính ứng suất nén giới hạn là: σ1 = 2 2 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + m m tb D γ γ π Trong phạm vi γ ≤ a/b ≤ 1 và m =1 biểu thức trên đây biến thành: ( 222 2 1 γπσ += taDE ) (4.122) Nếu tỉ lệ giữa các cạnh là số nguyên, m = γ, công thức tính σE sẽ là: tb D E 2 24πσ = (4.123) Ví dụ 1: Tìm hiểu tính ổn định tấm trực hướng, tựa trên mép x = 0 và x = a, ngàm tại mép y = ± b/2, chịu nén dọc trục 0x. Hàm chuyển vị tìm dưới dạng: w = f m= ∞∑ 1 m(η)sinmπξ Tận dụng tính đối xứng qua trục 0x của bài toán, hàm fm(η) chỉ cần giữ lại thành phần với chỉ số chẵn. fm(η) = Amcosh amη + Cmcosbmη (4.126) Điều kiện biên tại y = ±b/2 tức là η = ± 1/2 áp dụng cho hàm fm(η). fm(±1/2) = 0; fm’(±1/2) = 0. (4.127) Áp dụng điều kiện biên vào phương trình (a) sẽ nhận được hệ phương trình: 81 Amcosh (am/2 ) + Cm cos ( bm/2) = 0; Am.am.sinh(am/2) + Cm.bm.cos(bm/2) = 0. (4.128) Từ đó tìm được phương trình để xác định ứng suất giới hạn: bm cosh am 2 sin bm 2 + amsinh am 2 cos bm 2 = 0 (4.129) hoặc là: bm 2 tg bm 2 = - am 2 tanh am 2 (4.130) Nghiệm nhỏ nhất của phương trình cuối sẽ là giới hạn cần tìm. Nghiệm được tìm bằng phương pháp gần đúng, có thể đưa về dạng: σ1* = k. πD b t 1 2 với k = σ π 1 2 1 2 tb D (4.131) Một số giá trị k dùng cho vật liệu đẳng hướng, phụ thuộc tỉ lệ a/b như sau: Bảng 1 Tỉ lệ a: b k Tỉ lệ a:b k 0,4 9,44 1,6 7,20 0,8 7,29 2,0 7,0 1,0 7,69 3,0 7,0 Có thể dựa vào lý thuyết ổn định tìm cách xác định công thức thực tế cho biểu thức tính tải giới hạn. Chúng ta cùng quay lại trường hợp tấm chữ nhật chiều dài a, chiều rộng b, chịu lực nén dọc theo hướng Ox, song song cạnh chiều dài a, tựa trên bốn mép tấm. Trường hợp này hệ thống lực tác động trong mặt xOy của tấm như sau: Nx = -N = const; Ny = Nxy = 0. Phương trình chuyển vị tấm có dạng: 02 2 4 =∂ ∂+∇ x wNwD (a) Chuyển vị w được trình bày dạng chuỗi ∑∑∞ ∞= m n mn b yn a xmaw ππ sinsin . Sau thay thế w vào phương trình đang nêu có thể viết: b yn a xma a mN b n a mD m n mn ππππ sinsin2 2 2 2 2 2 2 2 4∑∑∞ ∞ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = 0 (b) Nghiệm phương trình sẽ là: 82 02 2 2 2 2 2 2 2 4 =−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + a mN b n a mD ππ Từ đây có thể viết: 22 2 42 2 2 2 2 2 42 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += mb an a mb b D b n a m m DaN ππ (c) Tải giới hạn tìm thấy trong trường hợp n = 1, chiều ngang tấm chỉ xuất hiện 1 nửa sóng hình sin, sin(πy/b), còn theo chiều dọc đang bị nén có thể xuất hiện nhiều nửa sóng sin, xem hình bên dưới. Trường hợp chúng ta quan tâm Ncr mang dạng sau: 2 22 2 2 b Dk m m b DNcr πγ γ π =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += , với b a=γ (d) Trong công thức hệ số k được hiểu là 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += m mk γγ . x N y a b Hình 4.2 Trường hợp γ = 1 công thức tính tải giới hạn sẽ là: 2 24 b DNcr π= (e) Ứng suất nén giới hạn hay còn gọi ứng suất Euler, tính bằng Ncr/t, sau khi thay độ cứng D = )1(12 2 3 ν− Et sẽ có dạng sau đây: 2 2 2 )1(12 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= b tE cr ν πσ (f) 83 Hình 4.3 Công thức gần đúng xác định ứng suất giới hạn tấm chịu nén, có gốc với (f) với ít nhất một mép tấm bị ngàm tính theo công thức kinh nghiệm sau: 2 2 2 )1(12 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −×= b tEkcr υ πσ (*) Trong đó hệ số k phụ thuộc vào các điều kiện biên, tỷ lệ các cạnh tấm (a/b) và hệ số Poisson. Trong công thức này, theo qui ước chung b chỉ chiều rộng cạnh chịu tải nén hướng pháp tuyến. Những cách giải kinh điển đưa lại những kết quả có giá trị sử dụng, vẽ lại tại hình 4.3 bên dưới đây. Ký hiệu dùng trên hình mang nghĩa sau: F – tự do (Free) , SS – tựa đơn (Single Support) , C – ngàm (Clamped). Công thức đang nêu tại (*) được dùng làm tiêu chuẩn phân tích ổn định tấm của hầu hết các cơ quan quản lý kỹ thuật. Trong ngành đóng tàu hầu hết các Đăng kiểm dùng công thức xuất xứ từ lý thuyết đàn hồi những nhà cơ học trước đây đã rút ra (ví dụ Bleich 1952, Timoshenko và Gere 1982) khi đề ra yêu cầu tránh mất ổn định tấm cho kết cấu thân tàu. Trường hợp dùng cho tấm chữ nhật với a/b ≥ 1 công thức tính ứng suất Euler mang dạng: 2 2 2 )1(12 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=≡ b tEkcrE ν πσσ (**) Hệ số k dùng cho các trường hợp riêng lẻ mang giá trị sau. Kết cấu hệ thống dọc: 2 0 0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += a bm bm ak 84 trong đó m0 là số nửa sóng hình sine của tấm, theo chiều dọc, số nguyên tối thiểu thỏa mãn ( )100 +≤ mmb a . Khi đánh giá độ ổn định tấm làm vỏ tàu các giá trị thực tế sau đây được dùng. ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤≤= ≤≤= ≤≤= 3/63 6/22 2/11 0 0 0 bakhim bakhim bakhim k = 4 khi a/b > 3. Kết cấu hệ thống ngang: 22 1 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= a bk 2. Ổn định tấm có nẹp gia cường Nẹp gia cường được đặt theo hướng dọc và đặt ngang. Hai trường hợp thường gặp cho bài toán ổn định tấm có gia cường là:(1) lực nén tác động dọc chiều của các nẹp và (2) lực nén tác động ngang với chiều trải của nẹp. Nẹp gia cường trong kết cấu phương tiện giao thông có dạng đặc trưng như giới thiệu tại hình 4.4. a) b) Hình 4.4 85 Ổn định tấm trong hệ thống dọc. Phương trình vi phân của ổn định tấm trực hướng: D2 ∂ ∂ 3 3 w y + (D3 + 2DT) ∂ ∂ ∂ 3 2 w y x = EI ∂∂ 4 4 w x + σ1A ∂∂ 2 2 w x (4.132) Trong đó E - mođun đàn hồi của nẹp gia cường, σ1A - lực nén lên nẹp. Vế phải của phương trình được tính đúng bằng -ry của tấm theo công thức: EI ∂∂ 4 4 w x + σ1A ∂∂ 2 2 w x = ∂∂y [D2 ∂ ∂ 2 2 w y + (D3+2DT) ∂ ∂ 2 2 w x ] (4.133) Hàm w tìm dưới dạng w = f m= ∞∑ 1 m(η)sinmπξ Sau khi thực hiện các bước thay thế phương trình (4.132) có dạng: EI m A m b D b π γ σ π γ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 4 1 2 2 2 fm(η) = fm’’’(η) - D DD mT3 2 22+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ π γ fm’(η) (4.134) hoặc dưới dạng: ( )m D b π γ 4 2 1 [ EI - σ1A amπ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 ] fm(η) = fm’’’(η) - ( )βα γ π+ ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟2 2 2 2D D mT fm’(η) (4.135) Biểu thức (d) đươc coi là một hàm nhiều tham số, có thể viết dưới dạng chung: ( )m D b π γ 4 2 1 [ EI - σ1A amπ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 ] = F σ γπ α β γ 1 2 1 2 2 2 tb D m D D T( ) , , , ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ (4.136) Với tấm đẳng hướng D1 = D2 = D3 = D, β = 1, α = γ2 công thức cuối được viết thành: (mπ)4 EI Db * = F σ γπ γ 1 2 2tb D m ( ) , ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ (4.137) trong đó EI* = EI - σ1Ab2 γπm ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 (4.138) Phương trình trên đây được giải bằng đồ thị hoặc tra theo bảng lập sẵn. Xét trường hợp tấm có nẹp gia cường trong phạm vi chiều rộng b. Giả sử trong phạm vi b đặt N nẹp gia cường, khoảng cách giữa chúng c đều nhau. Lời giải (4.136) được mở rộng cho trường hợp này, khi thay γ = a/c, sẽ là: m EI a 2 2 2 π = σ1A+ Dc m 2 2γ π ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ F σ γ π α β γ 1 2 1 2 2 2 tb D m D D NT( ) , , , , ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ 86 từ đó: π 2 2 EI a = σ1( A/m2 + coshFN) (4.139) với FN = γ π σm D c t m ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 2 2 1 2 F σ γ π α β γ 1 2 1 2 2 2 tb D m D D NT( ) , , , , ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ Tiếp tục thực hiện các phép biến đổi xử lý bài toán tìm nghiệm cho hàm fm(η) sẽ xác định hàm FN như sau. FN = γ π σm D c t m ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 2 2 1 2 2 . ( )(cos cos )(cos cosh ) sin (cos cosh ) sinh (cos cos ) B d d B B B d d d B 2 2− − − − − − χ χ χ χ (4.140) trong đó cosχ = cos k N π +1 , với 1 ≤ k ≤ N, B và d tính theo công thức: d = π σ γ π βα σ γ π βα α 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 t b D t b D − + − −( ) B = π σ γ π βα σ γ π βα α 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 t b D t b D − − − −( ) (4.141) Trường hợp tấm đẳng hướng sẽ tính B, d theo công thức sau. d = γπ σ γπ σ π σ π 1 2 2 2 1 2 2 1 2 22 1 4 1 t b D tb D tb D − + −( ( ) B = γπ σ π σ π σ π 1 2 2 1 2 2 1 2 22 1 4 1 tb D tb D tb D − − −( ( ) (4.142) Một số giá trị của FN tính theo công thức (i), áp dụng cho trường hợp a/c = 5, ghi tại bảng. Bảng 2 Tỉ lệ a:c N=1 N=2 N=3 1 0,825 0,835 0,840 2 0,860 0,957 0,985 3 0,925 0,965 0,988 4 0,935 0,967 0,990 Ổn định tấm trong hệ thống ngang. Phương trình vi phân của ổn định tấm trực hướng: σ1t ∂∂ w x + D2 ∂ ∂ 3 3 w y + (D3 + 2DT) ∂ ∂ ∂ 3 2 w y x = - EI ∂∂ 4 4 w y (4.143) 87 Thực hiện các phép thay thế như đã làm trên đây bài toán được đưa về dạng: -γ3 EI D π π 4 1 = f’’’(ξ) + σ βα α γ π 1 2 1 2 2 2 22 ta D D D T+ +⎛⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ f’(ξ) (4.144) Sau khi thỏa mãn tất cả điều kiện biên, phương trình (4.144) được đưa về dạng hàm số của nhiều tham số sau: EI D b1 = 13γ . F σ γ π β α γ 1 2 2 1 2 2 22 tb D D D T, , , ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ (4.145) Với tấm đẳng hướng công thức (c) trở thành: EI D b1 = 13γ . F σ γ π γ 1 2 2 1 22 tb D , ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ (4.146) Với trường hợp tấm có nhiều nẹp gia cường trong phạm vi chiều rộng a, công thức tính được cải biên như sau: EI D b1 = 13γ . FN σ γ π β α 1 2 2 1 22 tb D N, , , ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ (4.147) trong đó N - số nẹp gia cường trong phạm vi chiều rộng a. Với tấm được gia cường N nẹp cách đều nhau, các mép tựa tự do, hàm FN có thể mang dạng: FN = 2 4π . ( )(cos cos )(cos cos ) sin (cos cos ) sin (cos cos ) B d d B B B d d d B 2 2− − − − − − χ χ χ χ trong đó cosχ = cos k N π +1 , với 1 ≤ k ≤ N, B và d tính theo công thức (4.142) phần trên. Ví dụ: Xác định tải giới hạn tấm chữ nhật cạnh dài a, chiều rộng b, dày t có một nẹp dọc giữa sải b, chịu tác động lực nén -N dọc Ox. Diện tích mặt cắt ngang nẹp AS, momen quán tính mặt cắt ngang nẹp so với trục qua tâm tấm IS. Theo cách làm kinh điển, chuyển vị tấm w tính bằng biểu thức chuỗi Fourier, trong điều kiện m = n = 1: b y a xaw ππ sinsin11= . (a) 88 ay b x N b Hình 4.5 Sử dụng phương pháp năng lượng xử lý bài toán chúng ta giả thiết rằng, thế năng tấm gồm hai thành phần, thế năng tấm không có nẹp cứng, ký hiệu bằng Πp (plate), và thế năng nẹp đi liền với tấm ΠS (stiffener). ∫ ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂ ∂−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=Π a b p dxdyx wN ba Daab 0 0 22 22 2 11 4 2 11 8 π (b) Nếu coi rằng tải tác động đến tấm là N/t, còn đến nẹp cứng là (N/t).AS, biểu thức tính thế năng nẹp tương tự biểu thức vừa nêu với đổi thay tại tải: ∫∫ == ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂=Π a by S a by S S dxx w t NAdx x wEI 0 2 2/0 2/ 2 2 2 (c) Từ đó : ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ − ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=Π+Π=Π 2 11 2 11 4 2 11 2 22 2 113 4 2 sin 2 8 2 sin 211 8 πλπ ππ a bt Aa ab D a bD EI ba a a bD S S SP (d) Trong đó D Nb 2 2 πλ = (e) Điều kiện minimum của hàm thế năng đòi hỏi rằng ∂Π/∂a11 = 0, theo đó có thể xác định: ( ) ( ) 2 22 21 21 γβ αγλ + ++= (f) Với bt A bD EI b a SS === βαγ ;; 89 Cân bằng (e) và (f) tải giới hạn sẽ là: ( ) ( ) 2 22 2 2 21 21 γβ αγπ + ++= b DNcr (g) 3. Ổn định các tấm chịu lực cắt Phương pháp năng lượng dùng thích hợp cho trường hợp tấm chịu cắt. Nếu ký hiệu độ cứng tấm theo hai hướng 0x và 0y làD1 và D2 :D1 = )1(12 2112 3 νν− tEx , D2 = )1(12 2112 3 νν− tEy và DT = G t12 3 12 . Phương trình thế năng biến dạng tấm, tính từ vế sau của phương trình trên đây có dạng: U = 1 2 t∫∫ D wx D wx wy D wy D wx y dxdyT1 2 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4∂∂ ν ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + ⎛ ⎝⎜⎜ ⎞ ⎠⎟⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ (a) Trường hợp tấm đẳng hướng, Ex = Ey = E; ν12 = ν21 = ν; G = E2 1( )−ν Hàm thế năng có dạng: U = ( )D w wx y wx wy dxdy2 2 12 2 2 2 2 2 2 2∇ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ∫∫ ( )ν ∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂ (b) trong đó )1(12 2 3 ν−= EtD (c) Công các lực dọc trục Ox, Oy gồm Nx, Ny và lực cắt Nxy trong trường hợp này có dạng: dxdy yx wN y wN x wNV A xyyx∫∫ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ∂∂ ∂−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= 222 2 2 1 (d) Tấm bị chuyển sang trạng thái mất ổn định trong trường hợp công biến dạng đạt giá trị của công do các lực trực tiếp Nx, Ny và Nxy gây ra: Π = U – V = 0 (e) Áp dụng cách làm đang nêu xác định tải giới hạn Scr tấm chữ nhật cạnh a x b, tựa tự do cả bốn mép, chịu tác động lực tiếp tuyến Nxy = S. Các lực Nx= Ny = 0. 90 Sx S y a b Hình 4.6 Hàm chuyển vị w của tấm trình bày dưới dạng chuỗi Navier như đã nêu trên: ∑∑∞ ∞= m n mn b yn a xmaw ππ sinsin Công ngoại lực tính theo biểu thức sau: dxdy y w x wSV a b∫ ∫ ∂∂∂∂= 0 0 (f) Để ý đến tính trực giao hàm sau đây: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ±− ± =∫ lẻ pm nếu chẵn pm nếu 220 2 0 cossin pm madx a xp a xma π ππ (g) Hàm V sẽ mang dạng: ( )( )22224 nqpm mnpqaaSV m n p q pqmn −−= ∑∑∑∑ ∞ ∞ ∞ ∞ (h) trong đó m ± p và n ± q là số lẻ. Công biến dạng trong trường hợp này: 2 2 2 2 2 2 4 8 ∑∑ ∞ ∞ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += m n mn b n a maDabU π (i) Hàm năng lượng Π được viết đầy đủ: ( )( )2222 2 2 2 2 2 2 4 4 8 nqpm mnpqaaS b n a maDab m n p q pqmn m n mn −−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=Π ∑∑∑∑∑∑ ∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞π Điều kiện để hàm Π trở thành minimum có thể xác định từ biểu thức: ( )( ) 084 2222 2 2 2 2 24 =−−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ∑∑∞ ∞ p q pqmn nqpm mnpqaS b n a mDaabπ (j) 91 Sử dụng các ký hiệu quen thuộc: Sb D b a 2 4 32 ; γ πλγ == điều kiện (j) sẽ được viết lại: ( ) ( )( ) 022222 2222 =−−− + ∑∑∞ ∞ p q pqmn nqpm mnpqanma γ γλ (k) Trường hợp nhận m = n = 1, 2 các hệ số a11, a22 được tìm từ hệ hai phương trình đại số: ( ) 0 9 41 22112 22 =++ aaγ γλ ( ) 0 9 4116 11222 22 =++ aaγ γλ hay : ( ) ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + 0 0 116 9 4 9 41 22 11 2 22 2 22 a a γ γλ γ γλ Vector {a} khác không trong trường hợp này, định thức của phương trình ma trận phải bằng 0, nghiệm phương trình bậc hai của γ được xác định như sau: ( )22 2 19 1 γ γλ +±= Từ đó có thể xác định lực giới hạn: ( ) 3 22 2 4 1 32 9 γ γπ +±= b DScr Tấm mỏng chịu lực cắt tại các mép sẽ chuyển sang trạng thái mất ổn định nếu giá trị lực cắt vượt quá giới hạn. Công thức tính ứng suất cắt giới hạn các tấm mỏng: 2 2 2 )1(12 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −×= b tECcr υ πτ (**) Hệ số C cho trường hợp này trình bày tại hình 2.5 92 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 a/b 2.5 5 7.5 10 C Các mép ngàm Các mép tựa Hình 2.5. Công thức cần thiết tính hệ số C dùng trong các qui phạm có dạng: C ≈ 4(b/a)2 + 5,34 với a/b ≥ 1. C ≈ 5,34(b/a)2 + 4,0 với a/b < 1. Dạng mất ổn định tấm chịu lực cắt mép của tấm a = 2b có dạng như trình bày dưới đây. Hình 2.6 93