Giáo trình Cơ học kết cấu - Chương 3, Phần 2: Xoắn dầm

81 zy O Pdw dvθdx P ' Q Hình 4 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ = −= = ydxdw zdxd zyuu . .v ),( θ θ (a) còn đạo hàm của chúng có dạng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ =∂ ∂ −=∂ ∂ y x w z x θ θv (b) Từ quan hệ biến dạng-chuyển vị có thể thấy rằng: 0;0v;0 =∂ ∂==∂ ∂==∂ ∂= z w yx u zyx εεε (c) Từ giả thuyết các mặt cắt xoay song không thay đổi hình dạng cho phép viết: 0v 2 1 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= zy w yzγ (d) Trong khi đó biến dạng góc γxy, γxz được hiểu theo cách sau đây: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −∂ ∂=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= z y u xy u xy θγ 2 1v 2 1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∂ ∂=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= y z u xz u xz θγ 2 1w 2 1 (e) Trong mặt cắt bất kỳ các thành phần ứng suất suy từ quan hệ ứng suất-biến dạng sẽ là: σx = σy = σz = τyz = 0. Chỉ có hai ứng suất khác 0 sau đây: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∂ ∂== ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −∂ ∂== y z uGG z y uGG xzxz xyxy θγτ θγτ 2 2 (f) 82 Từ phương trình cân bằng nêu tại “Lý thuyết đàn hồi” , với trường hợp σx = 0 có thể viết được phương trình: 0=∂ ∂+∂ ∂ zy xzxy ττ (g) Bài toán xoắn nhằm xác định hai ứng suất khác 0, liên tục trong y và z, hiểu theo cách của St Venant được xem xét theo hai đường khác nhau. Bài toán đầu tiên sử dụng hàm ứng suất trong phân tích ứng suất, biến dạng. Bài toán thứ hai nêu mối quan hệ hàm vênh, miêu tả chuyển vị dọc trục Ox các điểm vật chất tại mặt cắt ngang dầm với các đại lượng liên quan ứng suất, biến dạng dầm. 2.1 Sử dụng hàm ứng suất ψ(y,z). Hàm ứng suất ψ(y,z) được hiểu theo nghĩa sau:τxy ≡ (∂ψ/∂z); τzx ≡ (-∂ψ/∂y). Hàm Prandtl ψ(y,z) phải thỏa mãn các điều kiện ghi tại (f), hay là: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∂ ∂=∂ ∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −∂ ∂=∂ ∂ y z uG z z y uG z θψ θψ (h) và ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂∂ ∂=∂ ∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −∂∂ ∂=∂ ∂ θψ θψ zy uG z zy uG z 2 2 2 2 2 2 (h’) Cọng hai phương trình cuối này có thể nhận được: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂∂ ∂−∂∂ ∂+−=∂ ∂+∂ ∂ yz u yz uGG zy 22 2 2 2 2 2 θψψ Từ đó θψψ G zy 22 2 2 2 −=∂ ∂+∂ ∂ hay là , trong đó θψ G22 −=∇ 2 2 2 2 2 zy ∂ ∂+∂ ∂=∇ . Phương trình này có tên gọi phương trình Poisson. Trong biểu thức (-2Gθ), θ là góc xoắn đơn vị (unit angle of twist), G- mođun đàn hồi xoắn. Để xác định hàm ứng suất Prandtl ψ(y,z) cần thiết thỏa mãn các điều kiện biên bài toán. Thỏa mãn ψ(s) = 0 trên biên, cần thiết thực hiện các phép tính liên quan. Từ hai phương trình này có thể viết biểu thức cho đạo hàm riêng của ψ theo pháp tuyến n là ∂ψ/∂n, hoặc theo phương tiếp tuyến s ∂ψ/∂s. 83 n z zn y ynzn ∂ ∂ ∂ ∂ψ ∂ ∂ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψτ +−== và s z zs y yszs ∂ ∂ ∂ ∂ψ ∂ ∂ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψτ +−== ∂ψ ∂z cos(n,y) - ∂ψ ∂y cos(n,z) = 0. (i) trong đó cos(n,y) = cos( s,z) = n y ∂ ∂ = s z ∂ ∂ , cos(n,z) = - cos( y,z) = n z ∂ ∂ = - s y ∂ ∂ và: 0==− ss y ys z z ∂ ∂ψ ∂ ∂ ∂ ∂ψ ∂ ∂ ∂ ∂ψ (j) Từ điều kiện nhất quán chuyển vị u cho phép viết: 0=+∫ dzzudyyu ∂∂∂∂ (k) sau khi thay thế biểu thức cuối sẽ là: ∫ [ τxycos(y,s) + τzxcos(z,s)] ds = Gθ ∫ [ ycos(y,n) + zcos(z,n)] ds (l) Phương trình cuối được tính chuyển sang phương trình tương đương sau: ∫ τcos( τ,s ) ds = Gθ.(2A) (m) trong đó A- diện tích tiết diện đang xét. Như vậy điều kiện nhất quán cho chuyển vị u(y,z) được thể hiện: ∫ −= AGdsn θ∂∂ψ 2 (n) Momen xoắn và hàm Prandtl liên hệ qua công thức: Mt = - (τ A ∫∫ xy.z - τzx.y )dydz = - ( A ∫∫ yyzz ∂∂ψ∂∂ψ + )dydz = {A∫∫ y y z z ∂ ψ∂ ∂ ψ∂ )()( + }dydz + 2 ψdydz A ∫∫ Từ đó hàm miêu tả quan hệ momen xoắn và hàm Prandtl có dạng: Mt = 2ψ(y,z)dydz (o) A ∫∫ Trong lý thuyết đàn hồi cổ điển thường sử dụng hằng số St. Venant cho trường hợp xoắn tiết diện bất kỳ của dầm. Nếu ký hiệu J - hằng số xoắn theo nghĩa St. Venant, độ cứng chống xoắn (torsional rigidity) được hiểu là C = GJ, góc xoắn θ = M G J t . có thể hiểu ý nghĩa của θG MJ t≡ . Thứ nguyên của J là thứ nguyên dùng cho momen quán tính mặt cắt. Từ quan hệ này có thể viết: 84 ∫∫∇= A dydzJ ψψ2 4 (p) Nếu áp dụng cách viết quen thuộc Mt = C. θ, θ = MC t , độ cứng C sẽ là: C = (q) ∫∫ A dydzG ψ2 Ví dụ 3: Xoắn dầm với tiết diện ellip Tiết diện dầm được miêu tả dạng hàm ellip: 12 2 2 2 =+ b z a y (a) Phương trình vi phân 2 2 2 2 zy ∂ ψ∂ ∂ ψ∂ + = ∇2ψ = -2Gθ và điều kiện biên cho phép tìm hàm ψ dạng: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= 1),( 2 2 2 2 b z a yAzyψ (b) Thay hàm vừa xác lập vào phương trình Poisson có thể xác định hằng số A: 22 22 ba aGA +−= θ (c) Từ đó: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−+= 2 2 2 2 22 22 1 b z a y ba baGθψ (d) Theo cách làm này ứng suất cắt tính từ đạo hàm riêng của hàm Prandtl: ;2;2 22 2 22 2 y ba bGz ba aG zxxy +=+−= θτθτ (e) Momen xoắn dầm tính theo công thức: ;1.22 22 33 2 2 2 2 22 22 ba baGdydz b z a y ba baGdydzM t +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−+== ∫∫∫∫ πθθψ (f) Tương tự trường hợp trước, độ cứng tính cho xoắn dầm tiết diện ellip sẽ là: 22 33 ba baGC += π (g) Ứng suất cắt toàn phần xác định theo công thức: 85 22 4 2 22 22 22 2 b z a y ba baGzxxyx ++=+= θτττ (h) Nếu a > b τx đạt giá trị cực đại tại các góc trục bé ( z = ± b): 222 22 max 22 ab M ba baG tπθτ ±=+±= (i) Chuyển vị u trong trường hợp này, tính theo cách đã dẫn: ( ) ( )yab Gba M z uzab Gba M y u tt 22 33 22 33 2 ; 2 −=∂ ∂−=∂ ∂ ππ Sau tích phân hai hàm đang xem xét có dạng: ( ) ( ) )();( 22332233 yfyzabGbaMuzfzyabGbaMu tt +−=+−= ππ Thoả mãn điều kiện rằng hàm u mang gía trị độc nhất tại điểm, hàm f(y) phải bằng hàm f(z), bằng 0. Từ đó có thể viết hàm chuyển vị u, hay còn gọi hàm vênh: yz Gba baMu t 33 22 π −= . (j) 2.2 Hàm vênh (warping function) St. Venant Nếu ký hiệu ϕ - góc xoay tại mặt cắt tại tọa độ x, chuyển vị điểm trong mặt cắt tính theo công thức: ⎭⎬ ⎫ = −= yw z ϕ ϕv Trong khuôn khổ phương pháp nửa ngược, nên giả thiết rằng chuyển vị do vênh u tỷ lệ thuận dϕ/dx: ( zy dx du ,ω )ϕ= . Hàm ω(y, z) có tên gọi hàm vênh (warping function). Trong mặt cắt bất kỳ các thành phần biến dạng suy từ quan hệ biến dạng-ứng suất sẽ la: εx = εy = εz = γyz. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −∂ ∂= z ydx d xy ωϕγ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∂ ∂= y zdx d xz ωϕγ Các hàm ứng suất tính từ quan hệ: σx = σy = σz = τyz = 0 86 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −∂ ∂= z ydx dGxy ωϕτ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∂ ∂= y zdx dGxz ωϕγ Diễn tả cụ thể, hàm vênh thỏa mãn điều kiện: 022 2 2 2 =∇=+ ω∂ ω∂ ∂ ω∂ zy cùng điều kiện biên biên. Quan hệ giữa momen xoắn Mt và ứng suất như đã nêu trên, được biết là: Mt = - (τ A ∫∫ xy.z - τzx.y )dydz Từ đây có thể viết: dydzzz y yy zdx dGM A t ∫∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −∂ ∂−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∂ ∂= ωωϕ 3. Xoắn dầm thành mỏng Dầm thành mỏng khi bị xoắn có thể trải qua hai dạng thức xoắn không giống nhau: xoắn tự do và xoắn vênh (with warping). Trong phần lý thuyết đàn hồi đã đề cập cách tính ứng suất xoắn cho dầm thành mỏng, kết cấu hở, dạng xoắn tự do. t t Hình 5 Momen xoắn liên hệ với góc xoắn trong trường hợp này tính theo công thức: dx dGJM t θ= (3.3) Với mặt cắt hở do nhiều đoạn tiết diện hình chữ nhật dầy ti, rộng bi tạo thành, với i =1,2,.... Momen quán tính J tính bằng tổng của momen quán tính từng đoạn: 3 3 ii i tbC = (3.4) Góc quay đoạn thứ i tính theo công thức i it i GC M ,=θ . Nếu coi rằng góc quay này không đổi trên tất cả các thanh cấu thành mặt cắt chúng ta có thể viết: 87 θ==== n n GC M GC M GC M L 2 2 1 1 Bằng cách này moment xoắn thanh thứ i sẽ là θiit GCM =, . Công thức tính momen xoắn: θθ GCCGM n i it == ∑ =1 , với ∑ = = n i iCC 1 t i it MC CM ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=, Ứng suất lớn nhất đọc tại điểm giữa mỗi chiều dài bi, tính bằng công thức: dx dGtii θτ ±=max, hoặc C tM it i ±=max,τ (3.5) Ứng suất xoắn lớn nhất trong trường hợp này tương ứng với chiều dầy lớn nhất của thành, trong mặt cắt đang xét. Ví dụ 1: Xác định ứng suất cắt lớn nhất do momen xoắn Mt = 200 N.m xoắn đầu dầm thép hình L76x76x6,4 (mm) dài 1,2m bị ngàm đầu phía kia. Mô đun cắt vật liệu G = 76GPa. Độ cứng C tính bằng tổng của độ cứng hai nhánh thép hình: ∑ = == M i ii btGJC 1 3 3 1 = 443 1027,18,724,62 3 1 mm×=×× Ứng suất tính theo công thức (3.5): 2 4 3 3 /101 1027,1 4,610200.3 mmN bt tM i ii it =× ××== ∑ τ Hình 6 τ Góc xoắn dầm ot rad CG LM 3,14249,0 1027,11076 120010200 43 3 ==××× ××=× ×=θ Kết cấu thành mỏng, khép kín tồn tại song song với kết cấu thành hở trong kết cấu thân máy bay, tàu thủy. Trường hợp kết cấu khép kín đơn giản nhất và cũng thường gặp là kết cấu hai miền bị ngăn cách bằng một vòng thành mỏng. Không gian giới hạn trong vòng kín gọi là miền trong, còn khoảng không tính từ biên ra ngoài là miền ngoài. Vòng kín được đặt trong hệ tọa độ y0z. Chiều dầy thành của vòng t(s), đường tâm của thành mỏng ký hiệu s và là vòng khép kín. 88 AB τ D Cτ B D Mt x A C z 1 2 dx ds t1 t 2 Hình 7 Phân bố ứng suất kết cấu thành mỏng có đặc tính như sau, giá trị τ không thay đổi trên suốt chiều dày thành, hình 8. Chúng ta có thể viết công thức cân bằng lực dạng sau đây τ1t1dx - τ2t2dx = 0 hay là: τ1t1 = τ2t2 = τ .t = f (3.10) Đại lượng f gọi là dòng lực cắt (shear flow), đơn vị đo là lực/chiều dài đơn vị. Ứng suất cắt có thể xác định qua quan hệ (3.10): )(st f=τ (3.11) Từ công thức trên có thể thấy ứng suất đạt giá trị lớn nhất tại khu vực mà t(s) có giá trị nhỏ nhất: min 1 max t f=τ (3.12) O r s y φ ds rc os φ (1/2 )r.cosφds Hình 8 Có thể tính thành phần momen xoắn từ hình 8: dMt = τ.t.ds = q.ds. Từ đây có thể tính momen xoắn tại mặt cắt: ∫ ∫== dsrqqdsrM t φφ coscos 89 Trong công thức này, biểu thức r.cosφ.ds như thấy rõ tại hình 8, là 2 lần diện tích hình tam giác được gạch chéo. Theo cách trình bày này ∫ == s T AtdsrtM )2.(.cos. τφτ , trong đó A - diện tích trong vòng tâm vành thành mỏng. Công thức còn được hiểu theo nghĩa: Mt = 2 A f, với f = τ.t như đã giới thiệu tại (3.10). Từ đó: A M f t 2 = (3.13) Thay f vào biểu thức tính ứng suất (3.11) sẽ nhận được công thức tính τ: )(.2 stA M t=τ 3.14) Ứng suất lớn nhất suy từ biểu thức cuối: min max .2 tA M t=τ (3.15) Ví dụ 2: Xác định ứng suất cắt do xoắn trong ống thép dài 0,5m, đường kính ngoài D = 125mm, thành ống dày t = 5mm, chịu momen xoắn Mt = 1kN.m. Biết rằng mô đun đàn hồi vật liệu E = 200GPa, hệ số Poisson υ = 0,29. Đường kính trung bình của ống dm = 125 – 5, còn bán kính trung bình r = 120/2 = 60mm. Diện tích vòng tròn bán kính r tính bằng quan hệ: A = πr2 = π(0,06)2 = 1,131.10-2 m2. Ứng suất do xoắn τ = 26 /1084,8 005,001131,02 1000 )(.2 mN stA M t ×=××= Từ phương trình xác định ứng suất toàn bộ theo hướng tiếp tuyến ∫ s t st ds A M )(2 = 2GθA, suy ra ( ) ∫ = s T st ds AASGM )( 122 θ . Khi áp dụng công thức Mt = C. θ, hoặc Mt = GIt. θ cho trường hợp này, độ cứng C = G.It được tính bằng: ∫ = s st ds AGC )( 14 2 còn momen quán tính It : ∫ = s t st ds AI )( 4 2 . (3.16) Với ống tròn, chiều dầy ống t, công thức tính C hoặc It có dạng: S tAGC 24= , S tAI 24=τ , trong đó: S = 2πr; 4 2 2 SrA == π (3.17) 90 Nếu ký hiệu độ cứng vòng tròn 2 3 0 4π tGSC = hoặc 2 3 0 4π tSI = , chúng ta có thể so sánh chúng với độ cứng C1 hoặc momen quán tính I1 của tiết diện hình chữ nhật cạnh axb, có cùng diện tích S. Tỉ lệ giữa a:b = γ. Từ các phép tính )1(2 γ γ += Sa ; )1(2 γ+= Sb ; 2 2 )1(4 γ γ += SA có thể xác định: 4 22 4 22 1 )1(4)1(4 γ γ γ γ +=+= tSItGSC I Từ đó : 22 4 11 0 )1( γπ γ+== I I C C Với trường hợp tiết diện hình vuông a : b = γ = 1, tỉ lệ trên đây đạt 1,6 lần. Ví dụ 3: Tính ứng suất cắt khung làm bằng hợp kim nhôm, kích thước đo bằng mm như trình bày tại hình 9, chịu momen xoắn Mt = 9000Nm. Biết rằng G = 26GPa. Xác định góc xoắn khung. z y A B CD O Mt 100mm 50 m m t= 10t=9 t=6 Hình 9 Diện tích sector Aω = 50.100 = 5000mm3. Cường độ dòng ứng suất cắt: mmN A Mf t /900 10.10 10.9 2 3 6 === ω Áp dụng công thức tính i i i t i t f tA M == .2 ω τ có thể tính được các giá trị sau: Đoạn AB: MPa90 10 900 ==τ Đoạn BC: MPa150 6 900 ==τ Đoạn CD: MPa90 10 900 ==τ 91 Đoạn DA: MPa100 9 900 ==τ Và mmmrad t s GA M t ds GA M i i itt /73,6/10.173,1 44 4 4 1 22 o==== − = ∑∫ ωω θ Ví dụ 4: Dầm thành mỏng, kết cấu kín, mặt cắt ngang hình chữ nhật, rộng 300mm, cao 100mm, chiều dày thành 3mm, chịu momen xoắn MT. Xác định giá trị momen xoắn giới hạn nếu nhận rằng ứng suất tiếp cho phép [τ] = 60 MPa. Lời giải Diện tích sec tơ của mặt cắt ngang dầm thành mỏng: Aω = 2.30.10 = 600 cm2. Ứng suất tiếp lớn nhất: 27 3max /10.610.06,0 mNM tA M TT ≤== − ω τ Từ đó: MT = 6.107.1,8.10-4 = 1,08.104 N.m = 10,8 kNm 4. Xoắn dầm với tiết diện đa miền (multi-cell section) Mặt cắt nhiều miền cách nhau bằng các thành mỏng có thể thấy rõ trên các ví dụ đầu chương này. Tàu dầu có một vách dọc, boong kín, chia mặt cắt làm thành hai miền trong và cùng một miền ngoài. Kết cấu khoang hàng máy bay, cánh thông lệ thuộc dạng có mặt cắt đa miền. Phương pháp tính để xác định ứng suất xoắn không khác nhiều so với trường hợp tính cho mặt cắt hai miền như vừa trình bày. Điểm khác cơ bản chỉ nằm ở chỗ, thay vì các hàm f0, f1 dùng trong trường hợp chỉ có một vòng kín s, trong trường hợp nhiều vòng kín cùng tham gia vào thành phần kết cấu, các hàm dòng cắt cũng tăng theo, và công thức tính ứng suất xoắn trong một vị trí cụ thể tại cung si, sẽ có dạng: )( i ki i st ff −=τ (3.18) Trong đó fi - giá trị hàm dòng cắt mép trong của miền do si khép kín, fk - giá trị hàm cắt bên cạnh. Công thức trên được thể hiện vào việc tính ứng suất cho mặt cắt gồm ba miền, như ví dụ minh họa sau đây. Trong ví dụ này ký hiệu α thay chỗ θ. ατ 1 13 21 321 1 1 2 )()( GAds st ff st dsfds s =−+= ∫∫∫ −−− ατ 1 13 21 31 12 2 2 )()( GAds st ff st dsffds s =−+= ∫∫∫ −− ατ 2 15 2 5_4 32 43 2 31 12 2 )()()()(2 GAds st fds st ffds st f st dsffds S =+−++−= ∫∫∫∫∫ −−− Hình 10 A 1 1 f1 2 A2 f fA 3 3 s1 s2 s3 2 3 4 6 5 92 ατ 3 654 2 45 23 3 2 )()( GAds st f st dsffds S =+−= ∫∫∫ −−− Sau khi tích phân theo các cung được đánh số thứ tự, hệ phương trình trên trở thành hệ 3 phương trình chứa ba ẩn số fi, i=1,2,3 sau: f1 ds t sS ( )1∫ - f2 dst s( )3 1−∫ = 2GA1α -f1 ds t s( ) 1 3− ∫ + f2 dst sS ( )2∫ - f3 dst s( ) 4 5− ∫ = 2GA2α f3 ds t sS ( )3∫ - f2 dst s( ) 5 4− ∫ = 2GA3α Giá trị f1, f2, f3 được thay vào biểu thức tính sau: Mt = 2(f1A1 + f2A2 + f3A3), từ đó sẽ tính ứng suất τ theo công thức Bredt như đã trình bày: τ = )(.2 stA M t ω Ví dụ 1: Áp dụng các công thức trên đây tính ứng suất xoắn trong mặt cắt ngang kết cấu trong thực tế kích thước sau. 7 9 8 6 4 2 135f3 f2 f1 1 5 m 32m 3,5m 6,5m 6m 5m Hình 9 Chiều dài các đoạn thẳng đo từ thiết kế: l1,2 = 5000mm; l 1,3 = 6000mm; l 3,5 = 6500mm; l 7,8 = 15000mm; l 7,9 = 3500mm; l 2,8 = 16000mm; Chiều dầy tấm t1,2 = t3,4 = t6,9 = t7,8 =10mm; t1,5 = 12mm; t2,8 = 15mm; t7,9 = 20mm; 93 Lợi dụng tính đối xứng mặt cắt ngang, chỉ sử dụng một nửa mặt cắt khi tính. Theo sơ đồ tại hình vẽ trên, tiến hành các phép tích phân sau: α1 13 1 34 21 42 1 2 )()( )( )( GA st dsf st dsffds st f =+−+ ∫∫∫ −−− α2 43 12 35 2 56 32 64 2 2 )()()()( GAds st ff st dsfds st ff st dsf =−++−+ ∫∫∫∫ −−−− α3 65 23 59 3 97 3 78 3 86 3 2 )()()()()( GAds st ff st dsf st dsf st dsf st dsf =−++++ ∫∫∫∫∫ −−−−− Vì rằng tấm có chiều dầy không đổi trên mỗi đoạn tính, tích phân km km mk km t l t ds =∫ − được đưa về dạng các tích km km t l , kết quả hệ phương trình gồm 3 phương trình, 3 ẩn số sẽ như sau: [A]{f} = {b} với 31 31 43 43 24 24 11 t l t l t la ++= ; 43 43 12 t la = ; a13 = 0; 34 34 21 t la −= ; 34 34 53 53 65 65 46 46 22 t l t l t l t la +++= ; 65 65 23 t la −= ; a31 = 0 ; 56 56 32 t la = ; 56 56 95 95 79 79 87 87 68 68 33 t l t l t l t l t la ++++= b1 = 1β ; b2 = 1,08β; b3 = 1,75β với β = 2.G.A0.α; A0 = 30 m2. Diện tích các miền A1 = A0; A2 = 1,08A0; A3 = 1,75A0. Kết quả giải hệ phương trình: f1 = 0,657; f2 = 0,981; f3= 1,064. Thay thế các kết quả trên vào biểu thức tính Mt sẽ nhận được: Mt = 2. 7,16 A0. β. Từ đó β = Mt/ (2. 7,16 A0.) = 232 kG/cm2. Ứng suất xoắn tính theo công thức:τmk = mk km t ff − . Ví dụ trong đoạn 1-3 ứng suất tính theo công thức trên sẽ là: τ1-3 = 206 kG/cm2. 5. Xoắn vênh dầm thành mỏng Các bài toán vừa trình bày ở trên được thực hiện trên cơ sở giả thiết biến dạng xoắn xẩy ra chỉ trong mặt cắt ngang đang xét, theo “lý thuyết các phân đoạn” hay 94 “Lý thuyết các mặt cắt phẳng” (dịch từ tiếng Anh “strip theory”), theo đó dầm được chia ra làm nhiều phân đoạn độc lập song liên kết với nhau qua mặt tiếp xúc. Ứng suất, biến dạng và các đại lượng liên quan được tính tại mặt cắt ngang giữa phân đoạn. Chuyển vị các điểm vật chất trên mặt cắt xẩy ra trong phạm vi mặt phẳng cắt ngang vừa nêu. Trong thực tế làm việc các dầm vừa bị xoắn, vừa bị uốn, biến dạng dầm trong nhiều trường hợp không hoàn toàn trùng hợp với cách đã nêu. Xét trường hợp xoắn dầm ngoài khuôn khổ của lý thuyết các phân đoạn thuộc về phạm vi xoắn vênh (torsion with warping)2. Chúng ta cùng tìm hiểu bài toán xoắn vênh kinh điển. Khi cắt đơn vị chiều dài dx của dầm để xem xét trong trường hợp bị xoắn đồng thời chịu kéo nén, có thể thấy như sau. Dưới tác động của momen xoắn (Mt + dMt), các điểm của dầm tại mặt cắt bị chuyển vị theo góc đơn vị α như chúng ta vẫn tính ở trên, đồng thời bị tác động của lực dọc trục, các điểm trên mặt cắt này còn chuyển vị theo góc β = du/ds. Nếu ký hiệu r - bán kính tính từ tâm xoắn đến điểm đang tính, góc xoay do α tạo ra được tính là θ = rα. Tập họp hai góc θ và β sẽ là góc xoay của các điểm trên mặt cắt tính toán. Hình 10 γ = θ + β (3.19) Từ định luật Hooke có thể viết: du = ( τ α G r− )ds (3.20) Trên đường trung hoà cho trường hợp xoắn ứng suất τ = 0, và do vậy: du = -αr ds = - α dω, hoặc là: u = - α∫ dω = - α ω, (3.21) Cách tính f thực hiện như sau. 2 Cách gọi xoắn “vênh” không trùng với ý kiến số đông người viết. Đến nay nhiều người viết chuyên đề này dùng xoắn “kiềm chế”, song chưa thể tìm thấy cách gọi tương ứng “kiềm chế” trong các ngôn ngữ khác. Trong các sách tiếng Anh từ warping chỉ hiện tượng này, trong tiếng Pháp tính từ đi sau torsion là gênée (theo nghĩa gò bó, vướng víu, ngượng nghịu) tài liệu bằng tiếng Nga sử dụng cụm từ стеснённое кручение, trùng với cách dùng từ của Pháp, sách Trung quốc dùng cụm từ 約 凁 扭 转 để chỉ xoắn dạng này. 95 PB A O r S ds Hình 11 Hai lần diện tích tam giác PAB được ký hiệu là df, tính bằng: dω = rds. Diện tích cung quạt được tính theo tích phân: ω = rds. (3.22) 0 s ∫ Biến dạng dọc trục 0x có thể tính như sau: ε = du dx = -ω. d dx α (3.23) Nếu như coi ứng suất dọc trục 0x là σ = -E.ω d dx α , thì lực dọc trục trên đoạn dx của phần tử vỏ tàu sẽ cân bằng với lực cắt tính bằng τs.t. τs.t = - ddx dA A σ∫ Từ đó có thể viết: τs.t = - E. d dx 2 2 α ω A dA∫ (3.24) Hình 12 Trong trường hợp chung, trong quá trình xoắn ràng buộc momen xoắn có thể tách làm hai thành phần, gồm momen xoắn không gây ảnh hưởng dịch chuyển dọc trục và momen thứ hai gắn liền với các chuyển vị dọc trục Mt = Mt1 + Mt2. Momen thứ nhất như chúng ta đã làm quen từ trước tính theo công thức Mt1 = C. α = GIt.α. Momen này gây ra ứng lực τ1 ≡ τ như trình bày tại phần xoắn tự do. Giá trị của ứng suất và phân bố của nó được minh họa bên trái của hình dưới đây, hình 12. Momen thứ hai tạo ra ứng suất cắt τ2, phân bố như hình bên phải dưới. 96 Mt2 = τ s ∫ 2.t.r.ds = τ s ∫ 2.t. dω. hoặc: Mt2 = E d dx dA d AA 2 2 α ω. * ∫∫ ⎛⎝⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ω ω (3.25) H. 13 τ1 τ2 Tiến hành tích phân từng phần, kết quả phép tính sẽ là: ω. * dA d AA ∫∫ ⎛⎝⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ = ω.∫ωdA ss12 - ω A ∫ 2dA (3.26) Vì rằng tích phân ωdA = 0 trên đọan từ 1 đến 2, như minh họa trên hình 12, biểu thức trên đây có thể viết lại dưới dạng: A ∫ Mt2 = - EIω. d dx 2 2 α , trong đó Iω = ω A ∫ 2dA . Nếu ký hiệu Mt = GItα - EIω. d dx 2 2 α và GI EI t f = μ 2 , có thể viết phương trình sau đây miêu tả biến dạng dầm làm từ thành mỏng khi xoắn và chịu uốn: d dx 2 2 α - μ2.α = - μ2. M GI t t (3.27) Ví dụ 1: Tính ứng suất trong dầm thành hở chữ I, như trên hình 13, trong đó h = 200mm, b = 100mm, l =1000mm, t =10mm. Vật liệu làm dầm là thép với E = 2.106 kG/cm2; ν = 0,3. Dầm chịu tác động momen xoắn Mt. Phương trình uốn và xoắn của dầm: d dx 2 2 α - μ2.α = - μ2. M GI t t (a) Nghiệm riêng phương trình α* = Mt/ GIt. Nghiệm bài toán tìm ở dạng: α = C1sinhμx + C2coshμx + α* (b) Hình 14 Từ điều kiện biên có thể xác định C1, C2. Tại x = 0: u = 0, α = 0; C2 + Mt/ GIt = 0. (c) Tại x = l: σ = 0, hoặc dα / dx = 0 và C1. μcoshμ.l + C2μsinh μ.l = 0; (d) 97 Từ đó: C2 = - M GI t t ; C1 = lGI M t t .tanh μ và α = M GI t t [ 1 + tanhμ.lsinh μx - coshμx ] Góc chuyển vị lớn nhất: ϕ = αdx = 0 l ∫ MGItt .l.[ 1 - 1μ. l tanhμ.l] (e) Trong trường hợp xoắn đơn thuần, như đã trình bày trong các chương trước, ϕ = M l GI t t . . (f) Ứng suất lớn nhất trên thành của tiết diện dầm: tại x = 0: σ = - E.ω. d dx α = - l GI ME t t .tanh... . μμω (g) Tại mặt cắt bất kỳ Mt gồm hai thành phần, có dạng: Mt1 = GItα = Mt[ 1 + tanhμ.lsinh μx - coshμx ] Mt2 = -EIω. d dx 2 2 α = - Mt(tanhμ.lsinh μx - coshμx) (h) Thay các giá trị sau đây Iω = 124 b 3h2.t ; It = 1 3 t3.(2b+h) vào công thức tính μ: μ2 = 4 1 22 3 2+ + ν t b h b h ( ) = 3,08.10-6 1 2mm μ = 1,75.10-3 1 mm ; μ.l = 1,75; 1μ. l tanhμ.l = 0,573; Từ đó: ϕ = M l GI t t . .0,463 Ứng suất dọc dầm lớn nhất, tính tại mép dưới và trên của dầm tại đầu bị ngàm: σmax = - E.ω. ddx α = - l GI ME t t .tanh... . μμω = 161.10-4 Mt kG/cm2. Ứng suất cắt tính theo công thức τ2.t = - E. d dx 2 2 α dA A ∫ω và do vậy: 98 τ1,max = 3 2 1 2 M t b h t ( )+ ; τ2,max = ∫At dAtI M ω ω 2 ; (i) Tại vị trí ngàm cứng Mt1 = 0; Mt2 = M. Do vậy τ1 = 0 nhưng τ2 khác không. τ2,max = - MI t Aω * ∫ ωdA = - max* ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ A t dA tI M ω ω = ± 3 2 M bh t t . = ± 7,5.10-4 Mt. Ứng suất này nằm tại mối liên kết giữa tấm dưới, tấm trên với thành đứng. Tại đầu bên phải x = l: M1 = 0,6614Mt ; M2 = 0,3386 Mt; Ứng suất cắt do xoắn: τ1,max = 49,6.10-4 Mt; còn τ2,max = 2,5.10-4 Mt. Trường hợp chỉ xét xoắn thuần túy, không