Giáo trình Cơ học kết cấu - Chương 4, Phần 1: Ổn định dầm

cột thuộc kết cấu thực trên tàu thủy, máy bay, xe có thể liên kết không chỉ bằng gối pin-ended mà có thể bị ngàm cứng, bản lề vv Tùy thuộc điều kiện biên, công thức tính lực Euler thay đổi cho từng trường hợp có điều kiện liên kết đầu cột khác nhau. 3. Ổn định dầm1 Vỏ tàu bay, tàu thủy, ô tô được xây dựng từ kết cấu vỏ mỏng có gia cường. Từ kết cấu chung này có thể phân biệt hai dạng kết cấu thường gặp, những kết cấu gia cường vỏ gồm vật liệu định hình cùng giải tôn hàn với nó tạo thành dầm cứng và dạng thứ hai là các tấm trong thành phần vỏ, tựa lên các nẹp gia cường, chịu tải trọng tác động theo phương pháp tuyến đồng thời chịu kéo và nén khi thân tàu uốn. Các dầm trong kết cấu đang đề cập, các cột đỡ, cột chống vv... chịu tác động của tải trọng ngang đồng thời cũng tham gia trong quá trình uốn chung, luôn bị kéo hoặc nén. Lực tác động theo hướng dọc trục gây nên momen uốn bổ sung và lực cắt tăng cường. Nội lực phát sinh trong những trường hợp như thế, thậm chí kể cả khi biến dạng trong lòng vật thể không lớn, có thể đạt gía trị đáng kể. Lực phát sinh này phải được đưa vào phương trình cân bằng. Phương trình cân bằng lực cho phân đoạn hết sức ngắn dx của dầm trong đó đề cập cả các lực bổ sung vừa kể được viết như sau. Sau khi biến dạng vẫn còn tác động lực q, τx, và nội lực N, M, T như chỉ rõ trên hình, và phương trình cân bằng giờ đây có dạng: 1 Từ kỹ thuật chuyên ngành dùng cho trường hợp này, trong tiếng Anh là column buckling. Trong các sách viết bằng tiếng Pháp chương này được hiểu như flambement des poutres. 106 xz dxT M dx x VV ∂ ∂+ Hình 4 q dx dNx dx dT =−= );(τ 'Tw dx dMN −= (4.10) Trong đó T - lực dọc trục, N - lực cắt, M- momen uốn tại mặt cắt ngang đang xét, w’ là góc xoay của phần tử dx. Mặt khác từ phương trình momen uốn chúng ta có thể viết M(x) = EIw’’, do vậy phương trình cuốùi trên đây sẽ có dạng: N = (EIw’’)’ - Tw’. (4.11) Lấy đạo hàm hai vế phương trình của N sẽ nhận được: (EIw’’)’’ -(Tw’)’ = q. (4.12) Từ đó: T0 - (4.13) ∫−= x x dxxqTxT 0 0 )()( trong đó T0 - lực dọc trục tính tại vị trí x =0. Ứng suất giờ đây phải tính đến cả lực dọc trục: z I M A T −=σ và tI SN . *.=τ (4.14) Để ý đến lực T trong phương trình cân bằng, thế năng của hệ giờ đây cũng mang màu sắc mới. U = ∫∫ = ll dxwxEIdxxEI xM 0 2 0 2 )'')(( 2 1 )( )( 2 1 (4.15) Công ngoại lực có thể viết dưới dạng: dx x TT ∂+ ∂ dx x MM ∂ ∂+ 107 ∫∫ −= ll dxwTdxxwxqW 0 2 0 )'( 2 1)()( (4.16) Tổng thế năng của hệ được viết dưới dạng sau: ∫ ∫∫ −+−=−=Π l ll dxwxEIdxwTdxxwxqWU 0 0 22 0 )'')(( 2 1)'( 2 1)()( (4.17) Nghiệm phương trình (4.12) có thể tìm theo một trong các cách sau. Nghiệm chung của phương trình vi phân bậc 4: w(x) = C0 + C1.kx + C2coshkx + C3sinhkx (4.18) trong đó: Cm, m =0, 1, 2,3 - hằng số cần xác định, k = EI T trong biểu thức này T là gía trị tuyệt đối của lực dọc trục. Căn cứ vào điều kiện biên để xác định điều kiện tồn tại nghiệm không 0 của (4.18). Giả sử với dầm gối tự do trên gối cứng, k1 = k2 = ∞; hoặc hiểu theo cách khác A1 =A2 = 0, điều kiện biên tại hai đầu mút của dầm sẽ là: w(0) = w’’(0) = w(l) = w’’(l) = 0. (4.19) Thay điều kiện biên tại x = 0 trên đây vào (4.18) sẽ nhận được: C0 + C2 = 0; C2 = 0 hay là C0 = C2 = 0. Còn với x = l sẽ nhận được: ⎭⎬ ⎫ = =+ 0sin 0.sin. 2 3 31 klkC lkClkC (4.20) Có thể thấy ngay rằng nghiệm C1 ≠ 0 và C3 ≠ 0 chỉ đạt được khi định thức sau bằng không: klk lklk sin0 .sin. 2 = 0 (4.21) hoặc sau khai triển: k3.l.sink l = 0. Vì rằng k3l ≠ 0 nên định thức chỉ bằng 0 nếu sink l = 0, có nghĩa là kl = n.π, trong đó n - số chẵn bất kỳ. Trường hợp này C1 =0 còn C3 ≠ 0. l xnCw .sin3 π= (4.22) Điều kiện kl = nπ sẽ thỏa mãn nếu lực T mang giá trị sau: 2 22 ; l EInTn EI Tlkl ππ === = nπ (4.23) 108 T đạt giá trị chúng ta quan tâm là giá trị nhỏ nhất khi n =1, và như vậy: 2 2 1 l EITT π== (4.24) Giá trị giới hạn của lực T sẽ là: 2 2 l EITE π= Biểu thức 2 2 l EITE π= xác định cho dầm tựa gối cứng trùng với biểu thức tính lực giới hạn ghi tại (4.9) mà chúng ta đã tìm hiểu. 4. Phương pháp tính 4.1 Xác định tải giới hạn bằng phương trình vi phân Độ võng dầm tính theo quan hệ EJy” = M = -Py. Từ phương trình này có thể viết: trong đó 0" 2 =+ yky EJ Pk =2 λ y x P L Nghiệm của phương trình vi phân tìm ở dạng: kxCkxCy cossin 21 += Thay điều kiện biên cho bài toán trình bày tại hình 3.34, tại x = 0, y =0 và tại x = L, y = 0 có thể viết Hình 5 C2 = 0, còn C1sinkL = 0 với C1 ≠ 0. KL = nπ, n – số nguyên chẵn. Với EJ P L nk == 2 22 2 π có thể viết: 2 22 L EJnP π= Giá trị trên đây gọi là tải giới hạn hay là tải Euler. Trường hợp n = 1 tải giới hạn sẽ có giá trị 2 2 L EJPcr π= 4.2 Xác định tải giới hạn bằng phương pháp năng lượng Năng lượng uốn dầm tính bằng biểu thức: λcr l l PdxEJydx EJ MU === ∫ ∫ 0 0 2 2 '' 2 1 2 (*) Mặt khác λ, ký hiệu như tại hình 5, tính theo công thức: 109 ( )∫ ∫≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛= Lx L dxwdx dx dw 0 0 2 2 ' 2 1 2 1λ (**) Từ đó: ∫ ∫ = l l cr dxy dxEJy P 0 2 0 2 ' " (***) Hàm y(x) chọn phù hợp với điều kiện từng bài toán. Ví dụ 1: Xác định tải giới hạn dầm độ cứng EJ, dài L, chịu tác động tải trọng nén P như tại hình 5. Hàm y thích hợp trong trường hợp cụ thể nên là l xCy πsin= . Thay y vào công thức (***) sẽ nhận được: 2 2 l EJPcr π= Sử dụng nguyên lý công ảo Trong phương pháp quen thuộc này, chuyển vị đầu dầm, theo hướng dọc trục, dưới tác động lực dọc trục Tcr được ký hiệu λ, tính bằng công thức (**). Công ảo ngoại tính cho trường hợp này sẽ là: dxwwTTW L crcrext ∫== 0 ''δδλδ Công nội lực tính theo biểu thức: ∫ ∫ ∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=== L L A xx V xx dxwwdAyEdVEdVW 0 0 2 int ""δδεεδεσδ hay là dxwEJwW L∫= 0 int ""δδ Tải giới hạn tìm từ quan hệ: dxwEJwdxwwT LL cr ∫∫ = 00 ""'' δδ Ví dụ: Xác định tải giới hạn dầm độ cứng EJ, dài L, tựa gối bản lề hai đầu. Hàm chuyển vị xây dựng dạng hàm parabol bậc hai w = Cx(x- L), thỏa mãn điều kiện biên w = 0 tại x = 0 và x = L. w’ = C(2x – L ) và δw’ = δC(2x – L) w’’ = 2C ; δw’’ = 2δC Từ điều kiện: 110 CCLPdxwwPW cr L crext δδδ 3 0 3 1'' == ∫ CEJCdxwwEJW L δδδ 4"" 0 int == ∫ có thể viết, khi δWext = δWint xác định được: 212 L EJPcr = Giá trị này tương đương 2 2 216,1 L EJPcr π= , cao hơn tải giới hạn tính theo công thức Euler 22%. Sai số trên đây có thể giảm nếu thay w bằng hàm hợp hoàn cảnh. Thay hàm bậc hai vừa nêu bằng hàm bậc 4 dạng w = C(x4 - 2Lx2 +L3x), mang lại kết quả δWext = CCLPcr δ735 17 và δWint = CCEJL δ55 24 và 2 2 0013,1 L EJPcr π= . Trường hợp sau sai số chỉ còn 0,13%. 4.3 Phương pháp Ritz Nếu viết hàm w(x) dưới dạng w(x) = a n= ∞∑ 1 nfn(x) và áp dụng nguyên lý năng lượng tối thiểu cho bài toán, kết quả tính sẽ như sau. Thay w(x) vào phương trình thế năng, sẽ nhận được: dx l xn l naP l xn l naEI l n ncr n n∫ ∑∑ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=Π ∞ = ∞ =0 2 1 2 1 2 .cos)(.sin)( 2 1 ππππ (4.25) Đạo hàm phương trình cuối theo ak, kết quả sẽ như sau: ⎭⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− − ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=Π ∫ ∑∞ = l xk l k l xn l naP l xn l n l xn l naEI a ncr l n n k .cos)(.cos)( .sin)(.sin)(. 2 0 1 2 ππππ ππππ ∂ ∂ (4.26) Các hàm l xk l xk .sin,.cos ππ mang tính trực giao trong đoạn ( 0, l): ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠ =∫ nkl nk dx l xk l xnl 2 0.cos..cos 0 ππ (4.28) Đưa phương trình cuối vào phương tình thế năng, sẽ nhận được phương trình sau đây: 111 0 2 = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=Π crk k P l kEIa a π ∂ ∂ (4.29) Trong trường hợp ak ≠ 0, biểu thức trong dấu ngoặc của phương trình cuối phải bằng 0, và từ đó: 2 22 l EIkPcr π= (4.30) Giá trị được quan tâm là giá trị nhỏ nhất của Pcr và giá trị này chỉ xuất hiện khi k không lớn hơn đơn vị và cũng không phải bằng 0, từ đó tải giới hạn sẽ là: 2 2 l EIPcr π= (4.31) Lực Pcr giới hạn được gọi là lực Euler, ký hiệu TE. 2 2 l EITE π= (4.32) Công thức wn = C3.sin n x l π . áp dụng cho C3 ≠ 0 cũng đúng cho những trường hợp n ≠ 1 đã nêu, và như vậy ứng với n = 2,3,... những giá trị của lực tương ứng T2 = 4π2EI/l2, T3 = 9π2EI/l2,...sẽ có các đường miêu tả độ võng w2 = C3sin2πx/l, w3 = C3sin3πx/l, ... 5. Xây dụng phương trình vi phân cho các bài toán thường gặp Ổn định dầm bị ngàm hai đầu Trong trường hợp thường gặp khi nghiên cứu ổn định này, hệ số cứng của hai ngàm K1 = K2 → ∞, còn A1 = A2 = 0. Điều kiện biên được hiểu như sau: w(0) = w’(0) = w(l) = w’(l) = 0. (4.33) Thay thế các giá trị trên vào phương trình tính độ võng sẽ xác định được giá trị hằng số C2 = -C0 ; C3 = 0 cho trường hợp x = 0. Từ phương trình cho x = l có thể viết: C0( 1-coskl) + C1(kl - sinkl) = 0; (4.34) C0sinkl + C1(1-coskl) = 0. Các hằng số Ci khác không trong trường hợp định thức bằng không: 0 2 sin) 22 ( =− klklkltg (4.35) hoặc dưới dạng hai biểu thức đồng thời bằng 0. 112 0 2 sin =kl ; 0) 22 ( =− klkltg (4.36) Lời giải phương trình đầu là kl = 2nπ với n - số nguyên bất kỳ. Lời giải phương trình hai không thể xác định chính xác, song có thể nói rằng giá trị của k lớn hơn giá trị tương ứng tính từ phương trình đầu. Điều quan tâm hàng đầu tại đây, như đã nhiều lần lặp lại là cần tìm giá trị lực nhỏ nhất ứng với nghiệm k1 = 2π/l, khi n =1: 2 2 1 4 l EIT π= (4.37) Lực giới hạn theo nghĩa lực Euler sẽ coi T1 là nghiệm cần tìm: 2 24 l EITE π= . Đường cong của độ võng dầm khi chuyển sang trạng thái mất ổn định có dạng: w1 = C0( 1 - cos l x.2π ) (4.38) So sánh công thức TE áp dụng cho dầm bị ngàm và dầm tựa tự do có thể thấy, giá trị lực giới hạn cho trường hợp dầm bị ngàm lớn hơn trường hợp kia 4 lần. Trường hợp các ngàm đàn hồi, lực giới hạn nằm giữa hai giá trị vừa nêu: 2 2 2 2 4 l EIT l EI E ππ ≤≤ (4.39) Trường hợp tổng quát công thức tính lực Euler thỏa mãn điều kiện trong bất đẳng thức cuối được đưa về dạng: 2 2 ).( l EITE μ π= (4.40) trong đó μ gọi là hệ số chiều dài, phụ thuộc vào mối liên kết tại các gối đỡ. So với công thức (4.30) có thể thấy rằng μ là số nghịch đảo của k2 mà chúng ta đã quen ở trên. Từ các ví dụ trên có thể thấy hệ số này dùng cho gối tựa tự do bằng 1, cho ngàm cứng bằng 0,5. Hệ số này dùng cho hàm công xon bằng 2, còn khi bắt đầu tự do của công son tựa lên gối hệ số này còn 0,7. Dầm một nhịp, tựa trên hai gối. Kết cấu dầm đối xứng qua trục 0z với gốc tọa độ đặt tại giữa nhịp, độ võng dầm cũng đối xứng qua 0z do vậy hàm chuyển vị chỉ cần tìm dưới dạng: w = - T qx 2 2 + C0 + C2 coshkx (4.41) 113 Từ điều kiện biên bài toán: tại x = ±0,5l: w = 0 và w’’ = 0. Thay T = EIk2 vào (4.31), sau khi giải xác định các hằng số: BA L z x TT C0 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −1 8 22 4 lk EIk q ; C2 = 2 .cosh 1 4 lkEIk q × Hình 6 Nếu ký hiệu u = EI Tllk 22 . = , nghiệm phương trình (a) được viết như sau: w = ( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −+− 2224 4 2 11 cosh cosh )2( xku u kx uEI ql ) (4.43) Góc quay tại mặt cắt bất kỳ tính theo đạo hàm x của hàm w(x): w’ = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − kx u kx uEI ql cosh sinh )2( 3 3 (4.44) Momen uốn tại mắt cắt bất kỳ: M = EIw’’ = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −1 cosh cosh )2( 2 32 u kx uEI ql (4.45) Các đại lượng trên đây tính tại vị trí giữa dầm, x = 0 mang giá trị sau: w(0) = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+×× 1 cosh 1 25 24 384 5 2 4 4 u u uEI ql (4.46) M(0) = - ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −× uu ql cosh 112 8 2 2 (4.47) w’(±0,5l) = ± ( uu uEI ql tanh3 24 3 3 −× ) (4.48) So với phương trình uốn dầm trường hợp T = 0, các biểu thức cuối có khác vế mang tham số u. Do vậy một trong những cách giải thuận tiện là tìm nghiệm dạng tích của hai nghiệm riêng, gồm nghiệm của bài toán uốn dầm khi không có lực dọc tâm T và nghiệm có chứa u cho trường hợp EI Tllku 22 . == . Như vậy 3 phương trình cuối có thể viết lại dưới dạng tích số: 114 )(.. 384 5)0( 1 4 uf EI qlw = (4.49) )(. 8 )0( 2 2 ufqlM −= (4.50) w’(±0,5l) = ± )(. 24 3 3 uf EI ql (4.51) Các hàm f1(u), f2(u), f3(u) được lập thành bảng dùng chung. Dầm một nhịp,ngàm hai đầu, chịu tải trọng phân bố q(x) và lực dọc trục T L T A x z T B q Hình 7 Điều kiện biên bài toán, tính tại các đầu bị ngàm: Tại x = l/2 : w = 0; w’ = 0. (4.52) Tiến hành đủ các bước giải bài toán như đã làm tại phần trước, lời giải cho dầm tìm dưới dạng sau. Độ võng: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+−= u u u kxuxku uEI qlw tanhsinh cosh 2 . )2( 222 4 4 (4.53) Tại giữa nhịp độ võng đạt giá trị tính theo công thức quen thuộc: )(. 3842 tanh 2 24. 384 )0( 1 4 3 4 uf EI qluu uEI qlw =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= (4.54) Momen uốn tại mặt cắt bất kỳ: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −== 1 sinh cosh )2( '' 2 2 u kxu u lqEIwM (4.55) và tại x = ± l momen này có dạng: 115 )( 122 2 uqllM χ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ (4.56) )(. 24 )0( 1 2 uqlM ϕ−= (4.57) Các hàm bỗ trợ χ(u) , ϕ(u) được lập thành bảng, giúp cho việc tính toán thuận tiện hơn. Bài toán thứ ba trong phần ổn định giống bài toán dầm trên nền đàn hồi tại chương trước, dầm chịu tác động của momen uốn đặt tại đầu cuối dầm, trong khi tải trọng q = 0. Cách giải tương tự hai ví dụ trên, công thức chuẩn bị sẵn có dạng: Độ võng: w(x) = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−− u xlk u xlk uEI Ml 2 )( 2sinh )(sinh. )2( 2 2 (4.58) Momen uốn dầm: M(x) = M. u xlk 2sinh )(sinh − (4.59) Góc xoay dầm: w(x)’ = - ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − uu xlk uEI lM 2 1 2sinh )(cosh 2. . (4.60) 4.4 Phương pháp sai phân hữu hạn Ví dụ xác định hệ số k2 (hay 1/μ) bằng phương pháp số. Phương trình (EIw’’)’’ -(Tw’)’ = q(x) có thể chuyển về dạng: w(IV) +κ2w’’ = q(x) = 0, cho trường hợp q = 0. (4.61) Trong công thức κ2 = T/(EJ) hay là = k2π2. (4.62) Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn cho bài toán cụ thể có thể viết: (wIV)i = (1/h4).(wi-2 – 4wi-1 + 6wi -4wi+1 + wi+2 ) w’’i = (1/h2).(wi-1 – 2wi + wi+1 ) (4.63) Trong đó i - tên của nút, h – khoảng chia của lưới. Với dầm chỉ một nhịp gối đầu tiên được đánh số 0 cho nút1 tại đó, còn nút cuối cùng tại gối phải mang số (n+1). Với dầm bị ngàm hai đầu, điều kiện biên có dạng w0 = wn+1 = 0; và góc xoay tại ngàm bằng 0, do vậy w-1 = w1 và wn = wn+2. Nếu chia dầm thành bốn phần tử chiều dài bằng nhau, từ phương trình cơ bản có thể viết hệ phương trình đại số tuyến tính sau: 116 7w1 – 4w2 + w3 + k2 h2 ( -2w1 + w2) = 0 -4w1 +6w2 + 4w3 + w4 + k2 h2 ( w1 - 2w2 +w3 ) = 0 w1 -4w2 + 6w3 +-4w4 + w5 + k2 h2 (w2 -2w3 +w4 ) = 0 (4.64) Hệ phương trình tương tự được lập cho các nút (n-2), (n-1) và (n), với n khá lớn. Dưới dạng ma trận có thể viết hệ phương trình trên như sau: [A]{w} + k2h2[B]{w} (4.65) trong đó: [A] = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− −− −− −− − 541 4641 14641 14641 1464 145 LLLLL và [B]= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − − 21 121 121 12 LLL Từ phương trình trên có thể xác định hệ số k2 = Tl2/(EJ) với bước h = l/(n+1) bằng cách tìm trị riêng nhỏ nhất của ma trận B-1 A. Một trong những lời giải có độ tin cậy là: 40 2 2 1 == EJ Tlk . (4.66) 6. Phương pháp phần tử hữu hạn Từ phương trình (4.17) có thể xác định biến phân δW như sau: δW = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ∫∫ ll dxwxEIdxwT 0 2 0 2 )'')(( 2 1)'( 2 1δ (4.67) Trong đó, trong khuôn khổ phương pháp phần tử hữu hạn trình bày tại chương 10, hàm w biểu thị bằng quan hệ {w} = [N]{u}. Hàm hình dáng [N] xác lập cho phần tử, trong trường hợp này có thể nhận họ hàm Hermite, vector {u} – chuyển vị nút phần tử dầm. Công thức cuối được viết lại dạng sau: 117 [ ] [ ] udxNNTdxNEJNuW l Tl TT ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −= ∫∫ 0 0 0 ]'[']"["δδ Biểu thức đầu nằm trong ngoặc thuộc vế phải có tên gọi ma trận cứng, ký hiệu [k]e, ma trận thứ hai được gọi trong nhiều sách giáo khoa là ma trận cứng hình học (geometric stiffness matrix), ngoài ra còn mang nhiều tên gọi khác nhau, ví dụ ma trận cứng ứng suất ban đầu, ma trận hệ số ổn định, ma trận cứng ứng suất. Với các dầm thẳng, chịu uốn, hàm w được định nghĩa nhờ họ hàm Hermite: { } [ ]{ } [ ] { }uuNw ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− − −== 1212 1323 0010 0001 1 32 ξξξ với l x=ξ Từ đây: [ ] l N dx d 13210][ 2ξξ= : [ ] 22 2 16200][ l N dx d ξ= Ma trận cứng [ ] [ ] [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− == ∫ 4 612 264 612612 "" 3 0 DX l EJdxNEJNk l T e Matrận cứng hình học: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = − −−− 15 2 10 1 5 6 30 1 10 1 5 2 10 1 5 6 10 1 5 6 0 DX l Tk eg Matrận cứng và ma trận cứng hình học toàn hệ thống viết dưới dạng: [ ] [ ] [ ] [ ] en gG n e kKkK ∑∑ == ; Bài toán xét ổn định có thể đưa về dạng: [ ] [ ] 0=− GKK λ (4.68) Xử lý định thức trên đây có thể xây dựng đa thức đặc trưng bậc n, bậc của ma trận và từ đó xác định lực giới hạn. Ví dụ : Xác định tải giới hạn Pcr = T0 cho dầm tiết diện ngang thay đổi, nêu tại hình dưới đây. 118 Mô hình tính dùng cho dầm đối xứng như nêu tại hình dưới. Nửa dầm trong mô hình chia làm hai phần tử, đánh số 1 và 2. Các nút mang số 1, 2, 3 trình bày tại hình. Bậc tự do mang ký hiệu 1, 2 cho nút thứ nhất, 3, 4 cho nút thứ 2 và 5, 6 cho nút thứ ba. Pcr BA C D 1 2 3 1 2Pcr Hình 8 Matrận cứng phần tử 1: [ ] 4 3 2 1 3 8 3 40 9 800 3 4 3 40 3 8 3 40 9 800 3 40 9 800 3)1( 2 22 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = − − − l l lll Ll DX l EIk ; Matrận cứng phần tử 2: [ ] 6 5 4 3 20 1501500 1015020 15015001501500 2 22 3)2( ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − = l l lll ll l EIk ; Matrận cứng hình học phần tử 1: [ ] 4 3 2 1 25 10 14 10010 1 25 10 14 10 14 )1( ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = − −− − l l ll ll crg DX Pk ; Matrận cứng hình học phần tử 2: [ ] 6 5 4 3 25 2 10 16 15010 1 75 2 10 16 10 16 )2( ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = − −− − l l ll ll crg DX Pk ; Nếu ký hiệu EI lPcr 2 =λ , ma trận [K]-λ[KG] có dạng: 119 [ ] [ ]∑∑ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −+− −+−+− ++−−− −+−−− =− λλλ λλλ λλλλ λλλλ λ 15 1 3 68 3 410 10 1 3 4 10 1 3 40 3 410 9 14300 10 1 3 40 9 800 10 1 3 4 10 1 3 40 25 1 3 8 10 1 3 40 10 1 3 40 9 800 10 1 3 40 9 800 104 44 ege kk 9 4000000 27 3268000 9 485,35 15 503 400 21 104 44 )det( 234 15 1 3 68 3 410 10 1 3 4 10 1 3 40 3 410 9 14300 10 1 3 40 9 800 10 1 3 4 10 1 3 40 25 1 3 8 10 1 3 40 10 1 3 40 9 800 10 1 3 40 9 800 +−+− = −+− −+−+− ++−−− −+−−− = λλλλ λλλ λλλ λλλλ λλλλ λ Giải phương trình bậc 4 trên đây sẽ nhận được gía trị thấp nhất λ = 4,23 còn giá trị lớn nhất λ = 497. Từ đó có thể xác định tải giới hạn: 223,4 l EIPcr = Điều kiện biên hai đầu dầm ảnh hưởng đến giá trị các thành phần của hai ma trận trên đây. Những trường hợp thường gặp được trình bày tiếp theo, hình 9. TH ngàm-ngàm TH ngàm-bảnlề TH bảnlề-ngàm Hình 9 Trường hợp ngàm-ngàm: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− = 2 22 3 4 612 264 612612 lDX l lll ll l EJk e ; [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = − −−− 2 15 2 10 1 5 6 2 30 1 10 12 5 2 10 1 5 6 10 1 5 6 0 lDX l lll ll l Tk eg 120 Trường hợp ngàm-bản lề: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− = 3 33 3312 2 3 M LL M M DX ll l l EJk e ; [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = −− 5 6 5 12 5 1 5 6 5 1 5 6 0 M LL M M DX ll l l Tk eg Trường hợp bản lề -ngàm: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− = 2 3 3 33 333 lDX l l l EJk e M LLM M ; [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = −− 5 6 5 1 5 6 5 1 5 6 5 6 0 DX l l l Tk eg LLL M 7. Lý thuyết ổn định dầm ngoài phạm vi tuyến tính của đường σ - ε Công thức tính tải trọng giới hạn cho các trường hợp riêng lẻ có thể tổng kết dưới dạng chung: CL EI L EICPcr / . 2 2 2 2 ππ == (4.69) Hằng số C phụ thuộc vào điều kiện biên tại điểm cuối cột. Nếu viết công thức tính momen quán tính I dưới dạng R2A, trong đó A – diện tích mặt cắt, còn đại lượng L2/C được thay bằng đại lượng tương đương Le2 với Le mang tên gọi chiều dài hữu hiệu (effective length), công thức (4.69) trở thành: ( )2 2 / RL EAP e cr π= (4.70) Tỷ lệ giữa Le và R, trong tài liệu này còn mang ký hiệu λ = Le/R có tên gọi là lạ tỷ lệ mảnh (tiếng Anh: slenderness ratio, tiếng Pháp: degré d’élancement). Từ công thức cuối, tỷ lệ giữa tải giới hạn với diện tích mặt cắt sẽ được gọi là ứng suất giới hạn (critical stress), viết dưới dạng sau: ( ) 2 2 2 2 / λ ππσ E RL E e cr == (4.71) Hình 10 tiếp trình bày đồ thị miêu tả quan hệ giữa ứng suất giơí hạn và tỷ lệ λ. Đường cong mang tên gọi đường Euler, đúng trong phạm vi pcr E σλ πσ ≤= 2 2 . Trên đồ thị, phần đường cong nằm trên giới hạn đánh dấu bằng D đang bị vẽ thành đường rời. Tạm thời chúng ta gọi D là giới hạn của phạm vi tỷ lệ thuận. Đoạn đường không liền sẽ không mang ý nghĩa thực tế, ứng suất mang giá trị lớn hơn D sẽ 121 không được dùng làm tiêu chuẩn ổn định cho vật liệu trong giai đoạn mà quan hệ giữa ứng suất biến dạng còn trong phạm vi tỷ lệ thuận. Điểm D có thể tìm thấy vị trí tương ứng σp tại đồ thị khác họ hình 11. Ngược lại tại vùng tỷ lệ này nhỏ hơn H, tức vùng trên σp chúng ta tiếp xúc với vùng không đàn hồi của vật liệu. σ λ=Le/R D H Hình 10 Hình 11 A = cr E E tσ σp D Hình tiếp theo giới thiệu đường Euler của thép với mô đun đàn hồi E = 2x106 kG/cm2 (2x105 MPa). Với thép xây dựng giới hạn chảy khoảng 300 MPa đường ứng suất giới hạn tổng kết theo kết quả thử có dạng như tại hình 12. Giới hạn ký hiệu bằng ký tự H hình trên trong trường hợp này mang giá trị khoảng 80. Từ (Le/R) ≥ 80 đường Euler được áp dụng vào tính toán ổn định dầm, ngoài khu vực đó ứng suất giới hạn không tính theo đường Euler mà nhận gần giơí hạn chảy. λ=Le/R σ 100 12011090807060504030 50 100 150 200 250 300 cr Giới hạn chảy Đường Euler Hình 12 Thép xây dựng thường gặp thuộc nhóm thép cac bon thấp, giới hạn chảy 235 – 240 MPa, giới hạn của (Le/R) khoảng 100. Đường Euler có ý nghĩa trong phạm vi (Le/R) ≥ 100. Ứng suất giới hạn khi tính ổn định dầm cũng chỉ có nghĩa trong phạm vi hạn chế, ví dụ nhỏ hơn giới hạn đàn hồi D như đã dẫn. Như vậy khi đề cập đến ổn định dầm chúng ta không chỉ quan tâm đến khả năng làm việc của vật liệu trong phạm vi vật liệu còn tuân thủ định luật Hooke mà còn phải xem xét khả năng làm việc của vật liệu ngoài phạm vi đàn hồi, trong phạm vi đàn hồi – dẻo. Để xây dựng đường giới hạn của kết cấu có tỷ lệ