Giáo trình Cơ học kết cấu - Chương 5, Phần 3: Vỏ mỏng

ể viết công thức tính u, v như sau: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ 1 0 R u x wzu = u – (5.26) 0 Trong công thức, thành phần đầu tiên trong ngoặc đơn biểu thị góc xoay pháp tuyến gắn liền với w đến mặt trung hòa, còn thành phần thứ hai là góc xoay pháp tuyến ấy quanh tâm của cung vỏ. Chuyển vị v được hình thành bằng cách tương tự. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ 2 0 R v y wzv = v – (5.27) 0 Sau khi bỏ bớt các thành phần vô cùng bé, công thức xác định chuyển vị u, v có dạng: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ∂ ∂−= ∂ ∂−= y wzvv x wzuu 0 0 (5.28) Để xác định chuyển vị điểm bất kỳ của vỏ có thể sử dụng công thức sau đây, suy từ công thức chuyển vị vừa nêu. ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂∂ ∂−= ∂ ∂−= ∂ ∂−= yx wz y wz x wz xyxy yy xx 2 0 2 2 0 2 2 0 2γγ εε εε (5.29) 3. Quan hệ giữa ứng suất, các lực và biến dạng Các quan hệ được lập trên cơ sở định luật Hooke, bạn đọc đã làm quen trong phần lý thuyết đàn hồi. Vì rằng mỗi lớp bất kỳ của vỏ song song với mặt trung hòa, ở trạng thái ứng suất phẳng, như đã nêu trong giả thuyết về vỏ, định luật Hooke áp dụng tại đây mang 100 đầy đủ ý nghĩa như với bài toán phẳng bất kỳ. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng được thể hiện bằng công thức: )( 1 212112 yx xE ενενν +− = σx )( 1 122112 xy yE ενενν +− = σx τxy = Gxyγxy (5.30) Trong đó E = E ; E = E ; ν = ν ; ν1 x 2 y yz 2 xy = ν . 1 và E = E . ν ν2 1 1 2 Dưới dạng ma trận, {σ} = [D]{ε}, [D] dùng trong trạng thái ứng suất phẳng chứa các thành phần, khác nhau, tùy thuộc tính chất vật liệu: [D] cho vật liệu trực hướng: E E E E G x yx x xy y y xy xy yx ν ν ν ν 0 0 0 0 1( )− ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ 1 1−ν νxy yx [D] = (5.31) với vật liệu đẳng hướng: 1 0 1 0 0 0 1 2 ν ν ν− ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥ E 1 2−ν[D] = (5.32) Thay thế các biểu thức tính ứng suất trên đây vào công thức xác định lực tác động lên phần tử vỏ, có thể viết công thức liên quan đến lực và momen: ( )020 21 1 1 yx tE ενενν +− = Nx ( )010 21 2 1 xy tE ενενν +−N = y Nxy = Nyx = Gtγxy0 (5.33) Momen: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 2 2 22 2 y w x w ∂ ∂ν∂ ∂M = - D x 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 2 2 12 2 y w x w ∂ ∂ν∂ ∂M = - D y 2 yx w ∂∂ ∂ 2Mxy = Myx = -2D (5.34) T )1(12 21 3 1 νν− tE )1(12 21 3 2 νν− tE trong đó độ cứng chịu uốn : D = ; D = 1 2 101 12 3Gtvà độ cứng chịu xoắn D = T Các đại lượng Q , Q được tính theo chuyển vị w nhận được các biểu thức : x y )( 2 2 32 2 1 y wD x wD x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +Q = - x )( 2 2 32 2 2 x wD y wD y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +Q = - (5.35) y trong đó : D = D + 2D = D + 2D (5.36) ν ν3 1 2 T 2 1 T Từ (5.33) có thể tìm biểu thức quan hệ giữa biến dạng các điểm trên mặt trung hòa với ứng lực: ν 2 2E 1 1E 0t.ε = .N - .Nx x y ν 1 1E 1 2E 0t.ε = .N - .Ny y x 1 G t.γxy0 = Nxy. (5.37) Các biểu thức từ (5.33) đến (5.37) đủ để thành lập phương trình vi phân miêu tả uốn vỏ. Phương trình này có thể viết dưới dạng hàm của chuyển vị nếu coi u , v0 0, w là ẩn số, hoặc dưới dạng hỗn hợp khi coi w và hàm ứng suất F(x,y) là ẩn phải tìm. Phương trình vi phân miêu tả vỏ bị uốn thực hiện theo chuyển vị w và hàm ứng suất F(x,y) thuộc kiểu hàm Airy chứa ứng lực và biến dạng mặt trung hòa. Hàm F (x, y) liên hệ với các đại lượng khác như sau: ∂ ∂ 2 2 F x ∂ ∂ ∂ 2F x y ∂ ∂ 2 2 F y 0 0Nx = σx .t = t. ; Ny = σy .t = t. ; Nxy = Nyx = τxy0.t = - t. ; 0 0trong đó σx , σy , τxy0 là ứng suất tại mặt trung hòa. Sau khi thay giá trị trên vào hàm liên tục sẽ nhận được biểu thức : 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2222 4 4 22 4 4 4 11)(.)( )(2 x w Ry w Ry w x w y ww x ww yx w yx ww y FA yx FC x FB IIII II ∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂+∂ +∂ ∂ +∂− −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂∂ ∂−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂∂ +∂=++ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (5.38) 1 121 EG ν− 1 1 E 2 1 E trong đó : A = ; B = ; 2C = Sau biến đổi phương trình uốn vỏ thoải bằng vật liệu trực hướng có dạng: 4 4 x w ∂ ∂ 22 4 yx w ∂∂ ∂ 4 4 y w ∂ ∂D + 2D + D = q(x,y) + 1 3 2 102 yx ww xy F y ww Rx F x ww Ry F III ∂ + ∂−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ )(2)(1)(1 22 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 t{ (5.39) Phương trình (5.38) và (5.39) có thể viết gọn hơn nếu sử dụng toán tử: 2 2 2 222 2 2 2 2 ..2. yxyxyxxy ∂ ∂ ∂ ∂+∂∂ ∂ ∂∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂ ψϕψϕψϕL(ϕ, ψ) = (5.40) Từ đó (5.38) (5.39) sẽ có dạng: ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂+++ +=∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂−∂ ∂−+−=++ 2 2 1 2 2 2 4 4 222 4 34 4 1 2 2 2 2 2 1 4 4 22 4 4 4 11),( ),(2 11),2( 2 12 x F Ry F R FwwLt yxq y wD yx wD x wD x w Ry w R wwwL y FA yx FC x FB I I∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (5.41) Tại đây chúng ta lưu ý đến đặc tính nữa của hệ phương trình vi phân giành cho vỏ. Nếu thay R = R1 2 = ∞ công thức trên chuyển thành công thức dùng cho tấm có độ võng ban đầu w . I ( ) ( )⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ++=∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ +−=++ FwwtLyxq y wD yx wD x wD wwwL y FA yx FC x FB I I ),(),(2 ),2( 2 12 4 4 222 4 34 4 1 4 4 22 4 4 4 ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (5.42) Với vật liệu đẳng hướng, D = D = D, phương trình (5.42) có dạng: 1 2 ( ( )⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ++=∇∇ +−=∇∇ FwwLtyxqyxwD wwwLyxF E I I ),2(.),(),( ),2( 2 1),(1 22 22 ) (5.43) 2 2 2 2 yx ∂ ∂ ∂ ∂ +2với ∇ = Với các vỏ trụ, bán kính mặt cắt ngang R, sau khi bỏ các thành phần vô cùng bé chúng ta có thể viết phương trình uốn vỏ như sau: Cho vỏ trực hướng : ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂++∂ ∂+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂+ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂∂ ∂−∂ ∂=++ 2 2 22 222 2 2 2 2 2 2 322 2 22 2 12 2 2 2 4 4 222 4 34 4 1 2 2 22 2 2 2 22 2 3 22 4 24 4 3 4 4 22 4 4 4 12),( 12 1 2 y w R w Rx F yx w yx F x w y Ftyxq x wD R w y wD Rx w y w R D y wD yx wD x wD x w RR w y w yxRtE D yx w x w RtE D y FA yx FC x FB y y ν ν ν∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (5.44) 103 Cho vỏ đẳng hướng: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂++∂ ∂+∂∂ ∂ ∂∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂+∂ ∂+∇+∇∇ ∂ ∂−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∇⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂=∇∇ 2 2 22 222 2 2 2 2 22 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1.2. ),( y w R w Rx F yx w yx F x w y Ft yxq R w x w y wwwD x w R E R ww yxRt DF ν ν (5.45) Trong thực tế sử dụng, đôi lúc cần tiếp tục giản ước phương trình để có thể tiếp tục tính toán. Ví dụ, với tấm thoải không kín, mặt trụ, thành phần w/R2 có thể bỏ qua khi nó quá nhỏ nếu so với ∂2 2w/∂y . Trường hợp vỏ chịu tải phân bố điều hòa, ảnh hưởng của các lực cắt Q1, Q có thể bỏ qua, và như vậy các thành phần chứa N2 2/R cũng sẽ không cần có mặt trong phương trình. Sau giản ước như vừa trình bày, phương trình vi phân uốn vỏ đẳng hướng chỉ còn lại ít thành phần: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂∂ ∂ ∂∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂+=∇∇ ∂ ∂−=∇∇ 2 2 2 222 2 2 2 2 22 2 2 22 1.2.),( y w Rx F yx w yx F x w y FtyxqwD x w R EF (5.46) Và các công thức tính lực cũng giản đơn hơn: ;;; 2 2 2 2 2 yx FtN x FtN y FtN xyyx ∂∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂= (5.47) ;; 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂−= x w y wDM y w x wDM yx νν (5.48) ( ) ;; ;1 2 2 2 1 2 w y DQw x DQ yx wDM xy ∇∂ ∂−=∇∂ ∂−= ∂∂ ∂−−= ν (5.49) Các công thức cuối này được dùng trong tài liệu khi khảo sát uốn vỏ trụ và tính ổn định vỏ trụ có mặt trong ngành đóng tàu, đặc biệt tàu ngầm. 4. Trạng thái ứng suất không momen Như tên gọi của trạng thái này, các thành phần chứa momen vì có giá trị quá bé, được bỏ qua khi tính. Khi M = M = Mx y xy = 0, có thể thấy Q = Q1 2 = 0. Từ đó có thể thấy tiếp: 0 2 22 2 2 2 =∂∂ ∂=+∂ ∂=∂ ∂ yx w R w y w x w (5.50) và RyxqN y N x N y N x N y yxyxyx ),(;0;0 −==∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂ (5.51) 104 Hàm ứng suất xác định trên cơ sở: 02 4 4 22 4 4 4 =++ y FA yx FC x FB ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (5.52) Hàm ứng suất liên hệ với các lực theo công thức: ∂ ∂ 2 2 F y 0N = σ .t = t. ; x x ∂ ∂ 2 2 F x 0N = σ .t = t. ; (5.53) y y ∂ ∂ ∂ 2F x y 0Nxy = Nyx = τ .t = - t. ; (5.54) y Quan hệ giữa chuyển vị và lực tác động thể hiện qua công thức: ( ) ( ) Gt N x v y u NN tER w y uNN tEx u xy xy y yx x =∂ ∂+∂ ∂ −=−∂ ∂−=∂ ∂ 00 1 0 1 0 ;1;1 νν (5.55) Các công thức (5.53) đến (5.55) giúp xác định trạng thái ứng suất không momen. 5. Uốn vỏ trụ kín dưới tác động áp lực nước Một trong những trường hợp thường gặp trong ngành tàu là kết cấu vỏ kín, dạng ống trụ, ngập trong nước, chịu áp lực đều p tác động từ bên ngoài. Kích thước chính của vỏ gồm R – bán kính lớp trung hòa, t – chiều dầy vỏ, L – chiều dài trụ. Tại hai đầu ống trụ, x = 0 và x = L đặt hai vách ngang. Áp lực nước gây nén theo chiều Ox và hướng tâm, đồng thời gây uốn. Hình 4.5 Phương trình vi phân uốn vỏ trong trường hợp này có dạng: '',1'' 4 4 2 2 2 2 w R E x F x F R w y FtpDwIV −=∂ ∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+= (5.56) và 0;; 2 2 2 2 2 =∂∂ ∂−=∂ ∂=∂ ∂= yx FtN x FtN y FtN xyyx , (5.57) M = -Dw’’; M = -νDw’’; Q = -Dw’’’; Q = Nx y 1 2 xy = 0. 105 Từ phương trình () loại trừ hàm ứng suất, có thể nhận: R N wNpDw yx IV ++= '' (5.58) Ứng lực Nx tại mặt cắt bất kỳ đều tuân theo qui luật, phân bố đều trên chu vi 2πR, tạo lực pπR2, tác động lên hai đầu ống. 2 pR−N = (5.59) x Để xác định N có thể sử dụng các công thức nêu trên, được viết lại dưới dạng: y ( );1 ; 2 1 12 0 2 00 NN Et R w y w y v x νε ε −= −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= (5.60) Hình 4.6 Nhờ tính đối xứng qua trục trong trạng thái ứng suất phẳng ∂w/∂y = 0 và v0 = 0, sau khi loại thành phần ε 0 từ hai phương trình cuối, có thể thấy: y ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= pRw R EtN y 2 ν (5.61) Nếu loại N , N từ (5.60) (5.61), có thể viết: x y ( pw R EtwpRDwIV 2/1'' 2 ν−=++ ) (5.62) Phương trình vi phân này, cùng các điều kiện biên tại x = 0 và x = L xác định độ võng vỏ theo trục hướng tâm. Nhìn cơ cấu phương trình vi phân (5.58) có thể thấy ngay đây chính là phương trình vi phân miêu tả dầm độ cứng D trên nền đàn hồi với độ cứng nền k = Et/R2, dưới tác động của lực pháp tuyến phân bố đều q = (1 – 0,5ν)p và lực nén N1 x = -0,5pR, như thể hiện tại hình. Nếu sử dụng những ký hiệu đã dùng khi nghiên cứu uốn dầm trên nền đàn hồi chúng ta có: 2 ; 2 1;2 pRNpq R Etk −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −== ν Phương trình vi phân (5.58) uốn vỏ trụ trở thành phương trình vi phân uốn dầm tương đương vỏ trụ trên nền đàn hồi: IV - Nw’’ + kw = q (5.63) EIw Trong đó EI = D. 106 Phương trình vi phân cuối được giải theo các cách thông dụng đã trình bày trong phần dầm trên nền đàn hồi 1. Nghiệm chung phương trình vi phân vừa nêu được tìm theo các cách đã quen. Nghiệm phương trình đặc trưng, và tiếp đó nghiệm bài toán nói chung phụ thuộc vào các thông số D, pR/2, Et/R2. Với kếât cấu tàu thủy, nên tìm nghiệm chung dạng: ( 2/12 ν−= Et pRw ) + C coshδx cosβx + C sinhδx sinβx + C1 2 3coshδx sinβx + C sinhδx cosβx (5.64) 4 trong đó C – hằng tích phân, xác định theo điều kiện biên. i γαβ γαδ += −= 1 1 ( ) 4 22 213 tR να −= ( ) E p t R 2 13 22 νγ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=; (5.65) 5Với vỏ làm từ thép mô đun đàn hồi E = 2.10 MPa, hệ số Poisson ν = 0,3, có thể nhận được: 2 100 203,0 10 ;285,1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛== t Rp Rt γα (5.66) trong công thức, thứ nguyên dùng cho p là kG/cm2. Trường hợp γ < 1 bài toán có nghiệm. Khi γ = 1 vỏ bị mất ổn định. Từ kết quả tính cho thấy, đại lượng pRw’’/2 trong (5.62) đề cập lực nén N tác động đến độ võng dầm tương đương có giá trị nhỏ, có thể bỏ qua khi tính. Trong trường hợp ấy phương trình vi phân uốn dầm tương đương chỉ còn lại: IV + kw = q (5.64) EIw Giải phương trình (), cũng là dạng phương trình uốn dầm trên nền đàn hồi, sẽ dễ dàng hơn khi γ = 0; β = δ = α. Xét trường hợp cụ thể của vỏ trụ được gia cường bằng sườn tiết diện không đổi, đặt cách đều nhau, sau đây. Dưới tác động lực thủy tĩnh, vỏ bị bóp vào, độ võng đo tại vị trí đặt sườn tính bằng w . Độ võng trong khu vực giữa hai sườn ký hiệu bằng w(x). 0 Vỏ trụ nằm giữa hai vách ngang như đã nêu không thể mang tải quá lớn nếu khoảng cách giữa các vách ngang lớn. Vỏ dạng này có thể mất ổn định khi bị tác động áp lực chưa lớn. Các sườn vừa đề cập làm tăng khả năng ổn định vỏ. Có thể nhận thấy, tại các khoảng sườn nằm xa các vách ngang, độ co bóp vỏ bố trí đối xứng qua mặt đối xứng của khoảng sườn. Nhờ điều đó chúng ta có thể xem xét riêng một khoảng sườn khi tính. Nếu bố trí hệ tọa độ cục bộ tại ví trí giữa khoảng sườn như tại hình 4.7, để ý đến tính đối xứng vừa nêu, có thể thấy rằng, các hằng số sau đây trong công thức (5.64) bị trượt tiêu: C = C = 0. 2 3 1 Xem “Cơ học kết cấu tàu thủy và công trình nổi”, 2001, Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh 107 Như vậy hàm (5.64) chỉ còn lại: ( 2/12 ν−= Et pRw ) + C coshδx cosβx + C sinhδx cosβx . (5.65) 1 4 Từ tính đối xứng của kết cấu và lực tác động, có thể viết: 2 l0= dx dw tại x = ± (5.66) Hình 4.7 Điều kiện biên tiếp theo xác định từ tác động qua lại giữa vỏ và sườn làm chỗ tựa cho nó. Dưới tác động áp lực p lên vỏ, sườn chịu phản lực phân bố p1. Tải này cân bằng với giá trị lực cắt: 2/3 3 1 2 lxdx wdDp == (5.67) Ứng suất σfr tác động trong mặt cắt ngang sườn có thể tính theo công thức: A Rp fr 1−=σ (5.68) với A – diện tích mặt cắt ngang sườn. Mặt khác ứng suất này có thể tính theo công thức khác: E R lxw fr ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = −= 2σ (5.69) Từ hai công thức cuối rút ra: EA R lxw p 21 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = −= (5.70) Thay giá trị p vào công thức (5.68) có thể viết: 1 3 322 dx wd EA DRw = (5.71) Sau khi thay w(x) từ (5.71) vào các các công thức trình bày các điều kiện biên vừa lập có thể xác định hai hằng số còn lại: 108 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ + −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= + +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= 1 2112 211212 2 2 1 2112 212211 2 1 2sin2sinh cossinhsincosh 2 12 2sin2sinh cossinhsincosh 2 12 K uuuu uuuuuu Et pRC K uuuu uuuuuu Et pRC ν ν (5.72) trong đó : ),(.1 1 21 1 uuf A tl K + = (5.73) ; 2sin2sinh 2cos2cosh1),( 2112 212 21 uuuu uuuuf + −−= γ (5.74) Rt lu uluulu 6425,0 1 2 .;1 2 . 21 = −==+== γγγδ (5.75) Kết quả tính trên có thể trình bày dưới dạng tổng quát, dùng lập sổ tay tra cứu khi tính vỏ. Một số công thức được lập theo dạng sổ tay như sau: Độ võng tại giữa khoảng sườn: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= ϑ ϕν 1 )(1 2 1)0( 1 2 u Et pRw (5.76) Momen uốn tại giữa khoảng sườn: ϑ χν +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 1 )( 2 1 24 )0( 1 2 1 uplM (5.77) Momen uốn tại gối: ϑ χν +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 1 )( 2 1 24 ) 2 ( 2 2 1 upllM (5.78) Võng tại x = l/2 có dạng: ϑ ϑν +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 12 1) 2 ( 2 Et pRlw (5.79) trong đó : )(. 1 uE tl μϑ = (5.80) Các hàm bỗ trợ, như đã trình bày trong tài liệu chuyên ngành, dùng tính dầm trên nền đàn hồi. Ví dụ minh họa cách giải phương trình vi phân bậc bốn cho dầm trên nền đàn hồi được thể hiện khi tính momen uốn và độ võng ống dẫn dầu sau đây. Ví dụ áp dụng cho trường hợp ống không có gia cường ngang suốt chiều dài. Ống dẫn được bắt chặt bằng bích tại một phía, chịu áp lực p từ bên trong ống, hình 5.8. 109 Hình 5.8 Có thể coi rằng lực dọc trục Nx bằng 0. Vì rằng áp lực p không phụ thuộc vào x, nghiệm riêng của phương trình vi phân sau khi hoán đổi D pwk dx wd =+ 44 4 4 , trong đó 22 2 2 4 )1(124 tRDR Etk ν−== , sẽ mang dạng: Dk pw 40 4 = Nghiệm phương trình w, để đơn giản, có thể tìm dưới dạng: ( ) ( ) 04321 cossin)exp(cossin)exp( wkxDkxDkxkxDkxDkxw ++×+++×−= Ở khoảng cách rất xa bích nối, w gần như không đổi. Điều này dẫn đến biểu thức thứ hai vế phải trượt tiêu, hay D = D = 0. Nghiệm w chỉ còn lại: 3 4 ( ) 021 cossin)exp( wkxDkxDkxw ++×−= Điều kiện biên tại bích nối, x = 0, sẽ là : 00 === xdx dww Từ đó: Dk pDD 421 4 −== ( )[ ]kxkxkx Dk pw cossin)exp(1 4 4 +×−−=và 4Thay giá trị 4k vào phương trình cuối sẽ nhận được: ( )[ ]kxkxkx Et pRw cossin)exp(1 2 +×−−= Ở khoảng cách rất xa bích nối cứng, giá trị w sẽ là: Et pRw 2 = Ứng suất trong thành ống, tính bằng công thức: t pR t =σ Rt pR t =εĐộ giãn dài tương ứng : 110 22 dx wd 2 2 dx wdMomen uốn ống tính theo công thức : M = D ; M = νD ; x y ( )kxkxkxk Et pRDM x sincos)exp(2 2 2 −×−= ( ) ( )kxkxkx pRtM x sincos)exp( 132 2 −×− − = ν Giá trị lớn nhất của momen uốn M tại đầu bích: x ( )2132 ν−= pRtM x Như đã nêu rõ, N = 0 do vậy: x ( ) t pR t pR x 82,1 13 3)( 2max ≅ − = νσ Đồ thị momen uốn M và độ võng w được giới thiệu tại hình 5.9 x Hình 5.9 5. Ổn định vỏ mỏng Vỏ mỏng tham gia trong nhiều kết cấu quan trọng thuộc ngành tàu. Vỏ tàu ngầm là ví dụ dễ hình dung nhất của ứng dụng vỏ mỏng. Vỏ các thiết bị làm việc dưới lòng nước đều thuộc kết cấu này. Thân máy bay, thân tàu vũ trụ không gì khác hơn là kết cấu vỏ mỏng. Với kết cấu vỏ, đặc tính cần được quan tâm hàng đầu khi thiết kế là tính ổn định. Nghiên cứu ổn định vỏ mang những đặc điểm khác với vỏ. Trong các bài toán liên quan vỏ, dù là bài toán ổn định tuyến tính, ngoài ứng suất uốn, không được phép bỏ qua thay đổi ứng suất tại kết cấu làm cứng, gọi là ứng suất chuỗi, gắn liền với hiện tượng uốn vỏ. Ứng suất bổ sung này có khi có độ lớn hàng ứng suất uốn. Giải bài toán ổn định tuyến tính cho vỏ đòi phải xác định tải trọng lớn nhất gây ra mầm mống của hiện tượng này. Nói rõ hơn, chúng ta cần khảo sát tính ổn định của vỏ ngay trong giai đọan mất cân bằng chưa đáng kể, hay còn gọi là trạng thái ổn định “nhỏ”. Từ nhỏ tại đây dùng bổ nghĩa cho độ lệch so với trạng thái cân bằng. Trong phần ổn định dầm và ổn định tấm mỏng chúng ta đã sử dụng khái niệm “ứng suất giới hạn” để chỉ trạng thái tại đó dầm hoặc tấm bắt đầu mất ổn định. Trên đồ thị σ-ε, tải trọng này ứng với gia đoạn mở đầu của phần phi tuyến trên đường cong. Trong phần tìm hiểu về vỏ, tải trọng giới hạn trong phạm vi “ổn định nhỏ “ mang tên gọi giới hạn trên. 111 Nghiên cứu vỏ với độ võng lớn cho phép xác định giới hạn dưới của tải trọng này. Trường hợp sau chúng ta gọi là “ổn định lớn”. Trong nhiều trường hợp giới hạn dưới nhỏ hơn nhiều nếu so với giới hạn trên của tải trọng tính toán. Những trường hợp như vậy phải sử dụng lý thuyết phi tuyến của vỏ khi tính toán. Như kết quả tính củamọi phương pháp gần đúng, kết quả tính giá trị của tải trọng giới hạn phụ thuộc nhiều vào cách tính, vào cách chọn hàm gần đúng, hàm hình dáng của vỏ. Chỉ một thay đổi nhỏ của các hàm trên cũng làm cho xê dịch kết quả một cách đáng kể, và thậm chí làmxấu tính hội tụ các phép tính. Chúng ta quay trở lại với phương trình vi phân miêu tả uốn vỏ cùng các giả thiết về vỏ, liên quan trực tiếp tính ổn định. Chiều dài cạnh phần tử mặt của vỏ, mặc dầu có độ cong, trong tính toán vẫn được coi như chiều dài cạnh trong mặt phẳng. Trong phương trình cân bằng lực chiếu về trục Ox và Oy cho phần tử vỏ, không tính đến lực cắt Q , Q . 1 2 , vChuyển vị u0 0 các điểm mặt trung hòa rất nhỏ nếu so với chuyển vị w. Theo cách đặt vấn đề này các đại lượng dẫn xuất từ chuyển vị như u /R , v /R0 1 0 2 nhỏ hơn nhiều nếu so với ∂w/∂x, ∂ w/∂y. Hệ phương trình vi phân của vỏ luôn mang tính phi tuyến. Hệ phương trình này có thể giản đơn hóa nếu chỉ hạn chế khảo sát xê dịch nhỏ từ trạng thái chưa biến dạng, hay còn gọi là khảo sát phần tuyến tính bài toán. Có thể phân biệt bốn trường hợp riêng sau đây mà bài toán phi tuyến sẽ chuyển về tuyến tính. Trong các trường hợp đang tính đến khi độ võng ban đầu, và bản thân độ võng vỏ nhỏ nếu so với chiều dầy của nó, còn trong mặt trung hòa đang chịu ứng suất suất lớn, vế phải phương trình Karman cần được bỏ bớt thành phần thứ nhất. Hệ thống phương trình còn lại: ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂+++ +=∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂−∂ ∂−=++ 2 2 2 2 2 1 4 4 222 4 34 4 1 2 2 2 2 2 1 4 4 22 4 4 4 11),( ),(2 112 x F Ry F R FwwLt yxq y wD yx wD x wD x w Ry w Ry FA yx FC x FB I ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (5.81) Có thể viết lại hệ phương trình trên đây theo cách thông dụng: F(x,y) = Φ (x,y) + Φ(x,y) 0 Trong đó hàm Φ (x,y) thỏa mãn phương trình vi phân: 0 02 4 0 4 22 0 4 4 0 4 =Φ+Φ+Φ y A yx C x B ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (5.82) Vì rằng hàm Φ0(x,y) được viết dưới dạng hàm ứng suất như (5.82), đạo hàm bậc hai của nó theo tọa độ sẽ là ứng suất chuỗi trong vỏ, không dính dáng đến uốn. Ứng suất chuỗi được hiểu như sau: ;;; 012 0 2 0 22 0 2 0 12 0 2 τσσ −=∂∂ Φ∂−=∂ Φ∂−=∂ Φ∂ xyxy (5.83) 112 0 0Trong đó σ1 , σ2 , τ120 - ứng suất ban đầu, tác động tại mặt cắt vuông góc với trục Ox, Oy. Tại đây sẽ sử dụng qui ước, ứng suất nén mang dấu dương. Đạo hàmbậc hai của Φ(x,y) theo tọa độ, xác định ứng suất chuỗi gắn liền với uốn vỏ. Với độ võng nhỏ các ứng suất này sẽ nhỏ, ngang cấp với đạo hàm của độ võng. Thay thế hàm F(x,y) vừa lập vào phương trình trước đó, bỏ qua các giá trị vô cùng bé, có thể viết: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ Φ∂+∂ Φ∂+ +=∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂−∂ ∂−=Φ+Φ+Φ 2 2 0 2 2 0 122 2 0 12 2 2 2 2 1 0 4 4 222 4 34 4 1 2 2 2 2 2 1 4 4 22 4 4 4 211 ),(2 112 y w yx w x wt xRyR t yxq y wD yx wD x wD x w Ry w Ry A yx C x B στσ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (5.84) Trong đó: ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂+∂∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂− 2 2 2 0 2 2 0 12 1 2 2 0 1 121),( Ry w yx w Rx wtyxq III στσ0 q (x,y) = (5.85) Phương trình (5.84) còn có thể giản đơn hóa nếu khảo sát kỹ thêm các ứng suất giá trị nhỏ tác động tại mặt trung hòa. Trường hợp này có thể bỏ qua thành phần L(wi +w, F), và hệ phương trình trở thành: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ∂ Φ∂+∂ Φ∂+=∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂−∂ ∂−=Φ+Φ+Φ 2 2 2 2 2 1 4 4 222 4 34 4 1 2 2 2 2 2 1 4 4 22 4 4 4 11),(2 112 xRyR yxq y wD yx wD x wD x w Ry w Ry A yx C x B ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (5.86) Hệ phương trình trên được sử dụng trong phần tiếp theo để khảo sát tính ổn định vỏ, theo cách làm của “ổn định nhỏ”. Với vỏ có độ võng w = 0 các điều kiện vừa nêu ra được thỏa mãn nếu: I 011),( 2 0 2 1 0 1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− RR tyxq σσ0q (x,y) = (5.87) Từ đó có thể thấy: t yxq RR ),(11 2 0 2 1 0 1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ σσ (5.88) Phương trình cuối này chính là phương trình cân bằng phần tử vỏ mà tr