Tóm tắt Luận án Một cách tiếp cận xấp xỉ và mô hình hóa phần tử hữu hạn hệ số dẫn và mô đun đàn hồi của vật liệu nhiều thành phần - Đỗ Quốc Hoàng

ệu có cấu trúc phức tạp, có sự chênh lệch lớn giữa tính chất của các vật liệu thành phần. Trong khuôn khổ của Luận án tiến sỹ, nghiên cứu sinh (NCS) đã nghiên cứu, tìm ra một xấp xỉ mới có thể tính toán một cách gần đúng hệ số dẫn và đàn hồi hiệu quả của vật liệu nhiều thành phần. NCS đưa ra phương pháp xấp xỉ tương tác gần có thêm vào các thông số hình học của vật liệu, tăng thêm độ chính xác với những vật liệu có cốt liệu hình dạng tựa tròn (cầu). Với những vật liệu có cốt liệu phức tạp, NCS đưa ra thêm phương pháp xấp xỉ tương đương, tính toán được hệ số tương đương, đưa về môt hình có cốt liệu tựa tròn (cầu) để sử dụng xác phép xấp xỉ đã có. NCS cũng đã đánh giá độ chính xác của phương pháp xấp xỉ dựa vào những kết quả thực nghiệm hoặc kết quả số. 2. Mục tiêu của luận án Xây dựng phương pháp xấp xỉ tương tác gần cho hệ số dẫn và đàn hồi hiệu quả của vật liệu nhiều thành phần. Xây dựng các mô hình gần với thực tế, sau đó thực hiện việc tính toán theo xấp xỉ tương tác gần, xấp xỉ tương đương. Sử dụng phương pháp số, cụ thể là phương pháp PTHH FEM (XFEM) để so sánh với phương pháp xấp xỉ cho vật liệu. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu đến hệ số dẫn hiệu quả như hệ số dẫn nhiệt, điện và các hệ số đàn hồi của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần có cấu trúc phức tạp. Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn FEM (XFEM) và cáp phép xấp xỉ. 4. Phương pháp nghiên cứu 4  Phương pháp xấp xỉ tương tác gần: xuất phát từ nguyên lý năng lượng cực tiểu và áp dụng trường biến phân Hashin- Shtrikman, tính toán chính xác thành phần tương tác gần cho các hệ số dẫn và đàn hồi vật liệu nhiều thành phần dạng pha nền + cốt liệu hạt cầu (tròn). Xấp xỉ tương đương thay hình học cốt liệu phức tạp bằng cốt liệu lý tưởng hình học cầu, tấm, sợi với các tính chất tương đương, sử dụng xấp xỉ phân cực, phân bố thưa và kết quả thực nghiệm.  Phương pháp số: sử dụng phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM) để đưa ra thuật toán lặp và sử dụng chương trình Matlab tính cho một số mô hình vật liệu có cấu trúc tuần hoàn trong khuôn khổ của phương pháp FEM (XFEM). Kết quả FEM được coi như một cách tính chính xác, dùng so sánh với các kết quả xấp xỉ. 5. Cấu trúc của luận án Nội dung luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và bốn chương. Các tài liệu tham khảo liệt kê ở cuối luận án Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí bao gồm: quốc tế (03 bài SCI), tạp chí quốc gia (01 bài trên Vietnam Journal of Mechanics) và tuyển tập các báo cáo hội nghị quốc tế (01 báo cáo hội nghị), hội nghị quốc gia (05 báo cáo hội nghị). CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN 1.1. Mở đầu Vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc phức tạp, khác nhau về tính chất cơ lý riêng lẻ. Đã có nhiều tác giả đưa ra các cách đánh giá, bao gồm cả đánh giá trên và đánh giá dưới, theo nguyên lý biến phân. Từ đó, tác giả đưa thêm vào các thông số vật liệu để thu hẹp đánh giá, đưa ra các đánh giá tốt hơn. Trong chương này, NCS trình bày về khái niệm đồng nhất hóa và tổng quan về xây dựng các phương pháp xấp xỉ cho vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc phức tạp. Trường ứng suất ( ) x quan hệ với trường biến dạng ( ) x thông qua định luật Hook: ( ) ( ) : ( ), x C x x (1.1) 5 Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng trên V được định nghĩa như sau: 1 1 , . V V d d V V      x x (1.2) Giả thiết điều kiện biên đồng nhất về chuyển vị: ( ) . 0u x x (1.3) hoặc điều kiện biên đồng nhất về lực:    0n n (1.4) Với lời giải σ, ε nhận được trên V, quan hệ giữa các giá trị trung bình ứng suất và biến dạng trên miền V được biểu diễn qua ten xơ đàn hồi vĩ mô (hiệu quả) Ceff: : , ( , ).eff effk   eff effC C T (1.5) effk và eff là các mô đun đàn hồi thể tích và trượt vĩ mô (hiệu quả). Ngoài ra một cách tiếp cận khác để xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô bằng cách tìm cực trị của phiếm hàm năng lượng trên miền V (trường khả dĩ  cần là trường tương thích): 0 0 0: : inf : : ,eff V d          C C x (1.6) hoặc thông qua nguyên lý biến phân đối ngẫu (trường khả dĩ  cần là trường cân bằng): 0 0 1 0 1: ( ) : inf : ( ) : .eff V d           C C x (1.7) Tương tự như vậy, tác giả xây dựng đánh giá cũng bắt đầu từ phương trình cần bằng. Trường vector dòng nhiệt J cần thỏa mãn điều kiện cân bằng: · ( ) 0 J x Với lời giải cho J,  E T nhận được trên V, hệ số dẫn vĩ mô (hiệu dụng) ceff được xác định trực tiếp: 6 .eff effJ c E c T     (1.8) Các nguyên lý năng lượng cực tiểu cũng là cách thức chính để tìm hệ số dẫn vĩ mô và các đánh giá: 0 0 0· inf · ,eff V c d    E EE E cE E x (1.9) và: 1( ) · inf · ,eff V c d     0 0 0 1 J J J J c J J x (1.10) 1.2. Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ của vật liệu nhiều thành phần 1.2.1. Xấp xỉ phân bố thưa Trong trường hợp biểu thức của hệ số dẫn hiệu quả ceff cho trường hợp phân bố thưa của pha cốt liệu hình ellipse có các trục theo tỉ lệ a:b:c, được thả ngẫu nhiên trong môi trường liên tục, hệ số dẫn nhiệt hiệu quả được biểu diễn dưới dạng: ( ) ( , ) , 1 ,eff M I I M c I M Ic c v c c D c c v    (1.11) 1 1 1 ( , ) , 3 (1 ) (1 ) (1 ) [ ]Mc I M I M I M I M c D c c c A c A c B c B c C c C          Công thức chung của ( , )c I MD c c cho cốt liệu hình cầu (d=3) và hình tròn (d=2) có thể cho ở dạng chung: ( , ) . ( 1) M c I M I M dc D c c c d c    1.2.2. Xấp xỉ Maxwell Xấp xỉ Maxwell được xây dựng cho vật liệu 2 pha dạng nền + các cốt liệu hình cầu có tỷ lệ thể tích các thành phần bất kỳ, không bị giới hạn bởi phân bố thưa (M - ký hiệu pha nền, I - ký hiệu pha cốt liệu). 7       1 1 * * * * 2 1 * * * * 1 , 1 2( 1) ; , 1 2( 1)( 2) ( ) ; . 2 4 eff I M M I M M eff I M M M M I M M M eff I M M M MA M M M I M M M M M v v c d c c d c dc v v d K K K K d K K K d v v d K d d dK d                                                 (1.12) 1.2.3. Xấp xỉ vi phân (Differential Approximation - DA) Chúng ta thu được phương trình vi phân cho hệ số dẫn hiệu quả của vật liệu mới 1 1 1 ( ) ( , ), 1 (0) , 0 1 , , n I I c I I n M I I dc v c c D c c dt v t c c t v v                   (1.16a) Đối với trường hợp hệ số đàn hồi 1 1 1 1 ( ) ( , , , ), 1 1 ( ) ( , , , ), 1 (0) , (0) 0 1 , , n I I K I I I n I I K I I I n M M I I dK v K K D K K dt v t d v D K K dt v t K K t v v                                         (1.16b) 1.2.3. Xấp xỉ tự tương hợp (Self-consistent approximations - SA) Phương pháp xấp xỉ tự tương hợp (SA) cho vật liệu hỗn hợp n thành phần, là lời giải cSA=c của phương trình sau: 1 ( ) ( , ) 0 . n I I c Iv c c D c c        (1.17) SA ở trong trường hợp mô đun đàn hồi là lời giải cho KSA=K SA  trong hệ 2 phương trình 8 1 1 ( ) ( , , , ) 0, ( ) ( , , , ) 0 . n I I K I I n I I M I I v K K D K K v D K K                           (1.18) 1.2.3. Xấp xỉ Mori-Tanaka (MTA) Xấp xỉ MTA tính hệ số dẫn hiệu quả cho hỗn hợp hai thành phần pha nền và cốt liệu có dạng 1 1( )·{ [ · ·( )] } .MTA M I I M M M I M Iv v v       c c c c I p c c c I (1.19) và cho vật liệu nhiều thành phần (pha cốt liệu + n pha nền) 1 1 1 1 1 1 1 { ·[ · ·( )] } ·{ [ · ·( )] } . n MTA M M I I M I M n M I M I M v v v v                          c c c I p c c c I I p c c c (1.20) Xấp xỉ MTA cho kết quả hệ số dẫn hiệu quả cho bài toán d chiều, vật liệu đẳng hướng vĩ mô nhiều thành phần với các cốt liệu cầu (tròn) có dạng như sau 1 1 ( ) / [ ( 1) ] . / [ ( 1) ] n I I M M I M MTA M n M I M I M v c c dc c d c c c v v dc c d c                    (1.21) 1.3. Đánh giá bậc 3 của Phạm ĐC Phương pháp đánh giá bậc 3 của Phạm ĐC nhằm xây dựng đánh giá cho hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần. Phương pháp được xây dựng xuất phát từ nguyên lý năng lượng, mục tiêu là tìm ra trường khả dĩ tốt nhất thỏa mãn các điều kiện ràng buộc. Kết quả cuối cùng là ta nhận được biểu thức tổng quát đánh giá cho ceff: 1 1 0 ** 0 **(2 ) [ (2 ) ] . eff c cP c c c P c c      (1.22) trong đó c0 là một số dương, 9 1 ** ** * ( ) ,c v P c c c c             (1.23) 2 ** 0 1 , , 10 3( ) ( ) . 2 n nv c c c A X X c c                  (1.24) Một cách tương tự, khi chọn giá trị tại vị trí phiếm hàm cực đại, biểu thức tính toàn phần nghịch bù được viết dưới dạng: 2 2 1 1 ** 0 0 0 1 , , 10 3 (1 2 ) ( ) . 2 n nv c c c c c A X X c c                     (1.25) Trong đó : 1 0 0 1 0 0 1 2 2 1 2 2 n n v X c c c c v X c c c c                       (1.26) Ta lựa chọn giá trị c0 có thể loại bỏ được thành phần ** **,c c để làm cho bất đẳng thức mạnh thêm. 1.3. Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán đồng nhất hóa Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt nguồn từ yêu cầu giải các bài toán phức tạp, phân tích kết cấu trong ngành xây dựng và hàng không. Điểm chung của các hướng đi đến phương pháp đều là chia những miền liên tục thành rời rạc. Do tính chất của vật liệu nhiều thành phần là không đồng nhất, chưa tỉ lệ thể tích pha cốt liệu khá lớn. Đây là giới hạn của phương pháp, kỹ thuật đồng nhất hóa sẽ cho phép khắc phục được giới hạn này. Vấn đề chia lưới trong việc giải các bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn là một vấn đề phức tạp. Hiện này, chúng ta đã có nhiều phát triển cho phương pháp nhằm khắc phục vấn đề này. Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) là một trong những phương pháp như vậy. Phương pháp XFEM áp dụng được để giải các bài toán trong trường hợp mô hình có các bề mặt thay đổi trong một hệ lưới cố định. 10 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 2.1. Giới thiệu Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1.1. Xây dựng phương pháp tính cho bài toán nhiệt Các phương trình cơ bản của bài toàn nhiệt được viết dưới dạng như sau:                 0 , , , periodicin , . antiperiodicin , in c in T in T          q x q x x E x E x x x q x n (2.1) Trong đó q là luồng nhiệt đối tuần hoàn trong miền  , c là hệ số dẫn nhiệt, T là nhiệt độ tuần hoàn trong miền  NCS sử dụng các hàm dạng tuyến tính cho phần tử tam giác có 3 nút như sau:  N x, y ax by c,   (2.2) Phương trình trở thành: ( ) .e e eE x B T           (2.3) Trong phương pháp FEM, ma trận độ cứng tổng thể được ghép từ các ma trận độ cứng phần tử. Ma trận độ cứng phần tử được xác định như sau: . e Te e eK B k B d              (2.4) Ta giải được nhiệt độ tại từng vị trí phần tử nút, và tìm được hệ số dẫn hiệu quả theo phương trình truyền nhiệt: . 1 avg eff Tq k X    (2.5) 11 2.1.2. Xây dựng mô hình tính toán FEM cho bài toán nhiệt Mô hình phần tử được xây dựng trong phần mềm Ansys và thực hiện chia lưới tam giác Hình 2.1: Chia lưới bài toán lập phương tâm khối Kết quả tính toán nhiệt độ được giải theo trình tự lý thuyết: Hình 2.2: Phân bố nhiệt trong phần tử và trong pha nền Hình 2.4: Phân bố nhiệt trong cốt liệu góc và giữa pha nền 2.1.2. Xây dựng mô hình tính toán FEM cho bài toán đàn hồi Trường chuyển vị theo các bậc tự do ở nút phần tử qe được xác định dưới dạng:      . . e e u N q (2.6) Trạng thái biến dạng của các điểm trong phần tử sẽ là: 12             . e e e e u N q B q      (2.7) Phương trình tính ứng suất từng phần tử sẽ có dạng:      . e e D  (2.8) Thế năng toàn phần của phần tử sẽ là:    .e eeu U A  (2.9)             1 . 2 T T e e e ee e e q q K q q P  (2.10) Kết quả tổng hợp, ta có được phương trình để giải theo phương pháp phần tử hữu hạn:                 1 1 0 . e eN N T T e e ee e e e L K L q L P q              (2.11) Hay    .K q P    (2.12) 2.2. Giới thiệu Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) 2.2.1. Hàm LevelSet Chuyển vị trong miền  được xấp xỉ dưới dạng như sau: *( ) ( ) ( ) ( ) . e h i i j j i i u x N x u N x x a      (2.13) Xây dựng hàm Level-Set xác định khoảng cách vị trí tương đối của các điểm cần tính toán. ( ) ( ) ,x s x x x   (2.14) 13 Hình 2.3: Xây dựng hàm LevelSet Ta nhận được kết quả hàm LevelSet được mô phỏng như hình: Hình 2.4: Xây dựng hàm LevelSet cho nhiều cốt liệu 2.2.2. Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) cho bài toán nhiệt Trong phương pháp này, vector T sẽ được làm giàu, bổ sung thêm các thành phần phụ: ( ) ( ) ( ) .i x i xx i N x N x N x x x x        (2.15) Hầu hết các công thức tính toán cho bài toán nhiệt đều được vận dụng tương tự, tuy nhiên các ma trận của từng phần tử nằm trên biên đều được bổ sung. Dẫn đến, muốn giải được bài toán, tác giả cần ghép nối chính xác để có được ma trận tổng thể. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 . x x x a a a a a a x x x Be x x x b b b b b b y y y                      (2.16)     Ima Ima . 0 T Global ge ge K K K K         (2.17) 14 2.2.2. Kết quả tính toán nhiệt độ theo phương pháp XFEM Các kết quả tính cho chúng ta nhìn được một cách trực quan nhiệt độ thay đổi trong phần tử cần tính toán như trong hình Hình 2.5: Phân bố nhiệt trong các dạng mô hình tính CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ PHÂN CỰC - PA 3.1. Xấp xỉ phân cực bậc 3 áp dụng cho hệ số dẫn và đàn hồi - Xấp xỉ tương tác gần Trường hợp bài toán nhiệt Như đã có trình bày ở Chương I mục 1.3. Nhận thấy trong biểu thức tính toán xuất hiện thành phần A , đây là hệ số của hàm tương quan ba điểm liên quan đến vi hình học của ba pha V , V , V . , , , 3 ij ij V v A d             x (3.1) Ngoài ra ( )x là hàm thế điều hòa xuất hiện trong biểu thức của trường phân cực Hashin-Shtrikman. 11 ( ) ( , ) , ( , ) 4 V x G x y dy G x y x y         (3.2) Trong đó ,i j  là đạo hàm theo các tọa độ xi, xj. Đầu tiên, “số hạng tương tác gần” sẽ có thể tích phân dễ dàng, còn “số hạng tương tác xa” ta sẽ lấy xấp xỉ: 15 IM IMV S V S Gdy v Gdy    (3.3) Như vậy, với x V : ( là pha cốt liệu) ,ij ij ,ij ,ij 1 , 0; 3 M       (3.4) Kết quả cận trên và cận dưới chính là giới hạn Hashin-Shtrikman. (2 ) (2 ) .effc max c minP c c P c  (3.5) Thay thế c0=cM loại bỏ thành phần nhiễu **c và **c , giới hạn sẽ hội tụ về một kết quả duy nhất: (2 ) .eff c Mc P c (3.6) Trường hợp tổng quát trong không gian d chiều có thể như sau: (( 1) ).eff PA c Mc c P d c   (3.7) Trường hợp bài đàn hồi Đối với trường hợp đàn hồi cũng được tính toán tương tự, xây dựng dựa trên lý thuyết thế năng điều hòa và song điều hòa, các thành phần tương tác xa có thể tính chính xấp xỉ được trên xấp xỉ tương tác xa (12) cho hàm thế điều hòa, và xấp xỉ tương tự cho hàm thế song điều hòa. \ \ 1 , ( , ) 8IM IM V S V Sdy v dy x y x y           2( 1) ( ) 2 eff M k d K K P   2 * * 2( 1)( 2) ( ), 2. . 4 eff M M M M M M M d K d d P d K d              Tất nhiên, xấp xỉ tính toán được cho bài toàn đàn hồi cũng tuân thủ đánh giá Hashin-Shtrikman: 16     max min 2 1 2 1 .effK K d d P K P d d                 (3.8) *max *min( ) ( ) effP P        max 1 min 1max ,..., , min ,...,n nK K K K K K     max 1 min 1max ,..., , min ,..., .n nK      3.2. Các kết quả so sánh Các ví dụ tính toán được thực hiện chia lưới trong phần mềm Ansys. NCS đã viết chương trình tính toán bằng Matlab, đưa dữ liệu lưới vào tính toán, và cho kết quả hiển thị dưới dạng đồ thị. 3.2.1. Bài toán 2 chiều vật liệu cốt sợi 3 thành phần Xây dựng mô hình tính toán như hình vẽ: Hình 3.1: Mô hình cốt liệu dọc trục dạng Square và Hexagonal Giá trị tính toán cho mô hình như sau: cM c1 c2 1 10 3 17 Hình 3.2: Kết quả tính toán cho 2 trường hợp cốt liệu Square-Hexa. (a) thể tích pha cốt liệu bằng nhau, (b) thể tích pha cốt liệu gấp đôi 3.2.1. Bài toán 3 chiều vật liệu cốt sợi 3 thành phần Xây dựng mô hình tính cho bài toán: Hình 3.3: Mô hình BBC vật liệu 3 pha Hình 3.4: Mô hình FCC vật liệu 3 pha Xây dựng phần mềm tính toán cho bài với bộ số liệu tính toán như trong bảng (a) cM = 1 c1 = 3 c2 = 10 (b) cM = 3 c1 = 1 c2 = 10 (c) cM = 3 c1 = 10 c2 = 1 (d) cM = 10 c1 = 1 c2 = 3 Kết quả được đưa ra dưới dạng đồ thị trong hình 18 Hình 3.5: Đồ thị kết quả tính toán bài toán 3D 3.2.1. Bài toán đàn hồi 2 chiều vật liệu 3 thành phần Xây dựng mô hình tính cho bài toán đàn hồi theo BBC như hình 3.3. Các giá trị tính toán (a) KM = 4  M=2 KI2 = 1  I2=0.4 KI3 = 20  I3=12 (b) KM = 4  M=2 KI2 = 20  I2=12 KI3 = 1  I3=0.4 (c) KM = 1  M=0.4 KI2 = 4  I2=2 KI3 = 20  I3=12 (d) KM = 20  M=12 KI2 = 4  I2=2 KI3 = 10  I3=0.4 19 Hình 3.6: Kết quả tính mô đun đàn hồi hiệu quả CHƯƠNG 4. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TƯƠNG ĐƯƠNG 4.1 Giới thiệu phương pháp xấp xỉ tương đương 4.1.1 Phương pháp xấp xỉ tương đương cho vật liệu cốt liệu hạt gần tròn (cầu) sử dụng đối chiếu phân bố thưa Trong trường hợp cốt liệu rời rạc, hệ số dẫn hiệu quả sẽ được xác đinh: ( ) ( , ), 1.eff M M Mc c v c c D c c v       (4.1) Mặt khác, trong trường hợp pha loãng của các hạt cốt liệu hình cầu (d-chiều) có hệ số dẫn tương đương c và tỉ lệ thể tích v trong một 20 pha nền có hệ số dẫn giữ nguyên là cM, thì ta có công thức tính toán như sau: ( ) 1. ( ) , 1 eff M M M M dc c c v c c v c d c           (4.2) Cân bằng phương trình ta có: 2 ( 1) ( ) ( , ) . ( ) ( , ) M M M M M M M dc d c c c D c c c dc c c D c c            (4.3) Với trường hợp cốt liệu là hình ellipse (2D) 2( )(1 ) ( , ) . 2( )( ) M M M M M c c c r D c c c r c r c c             (4.4) Với trường hợp cốt liệu là hình ellipsoid (3D) 1 1 1 ( , ) . 3 (1 ) (1 ) (1 ) M M M M M c D c c c A c A c B c B c C c C                        (4.5) 2 2 0 0 2 2 2 2 0 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ , , ˆˆ2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ˆˆ ˆ ˆ, ( ) ( )( )( ). ˆ2 ( ) ( ) a b c a b cdt dt A B a t t b t t a b c dt C t a t b t c t c t t                                       4.1.2 Vật liệu có cốt liệu dị hướng Xây dựng mô hình vật liệu vĩ mô đẳng hướng có chứa cốt liệu dị hướng, NCS xác định hệ số dẫn tương đương cho vật liệu, dựa vào công thức tính toán trong pha rời rạc     1 1 ,..., , ( 1) 2 . 2 ,..., , I Id M I M I Id M D c c c d c c D c c c     (4.6) Trong đó  1 2, ...,I I Idc c c là hệ số dẫn theo từng hướng khác nhau của hạt cốt liệu. 4.1.3 Phương pháp xấp xỉ tương đương cho vật liệu cốt liệu hạt cầu, sợi, tấm, sử dụng đối chiếu thực nghiệm 21 Xấp xỉ phân cực cho kết quả hệ số dãn hiệu quả của vật liệu có cốt liệu tựa cầu: 1 2 . 2 3 ( )eff I MSEIPA M I M M v v c c c c c     (4.7) Sau đó xấp xỉ phân cực cho cốt liệu dạng tấm (PEIPA) sẽ cho hệ số dẫn hiệu quả của vật liệu như sau: 1 2 . 3 2 ( )eff I MPEIPA I I M I v v c c c c c     (4.8) Áp dụng xấp xỉ phân cực cho cốt liệu sợi tương đương, hệ số dẫn hiệu quả của vật liệu biểu diễn dưới dạng biểu thức như sau: 12 / 3 2 3 . 5 2 ( )eff I M I MFEIPA I M M I v v c c c c c c c       (4.9) 4.2 Kết quả so sánh 4.2.1 Trong trường hợp 2 chiều (2D) NCS đã xây dựng mô hình 2 chiều, với cốt liệu tròn và cốt liệu ellipse để tính toán tương đương, như hình vẽ: Hình 4.1: Pha nền hình vuông với cốt liệu ellipse 22 Hình 4.1: Kết quả đồ thị cho mô hình ellipse. (a) cM = 1, cI = 10; (b) cM = 10, cI = 1 Kết quả tính toán xấp xỉ phân cực nét tròn (PA) gần với tính toán của hình cầu tương đương. Các tính toán đều thỏa mãn nằm trong giới hạn Hashin-Strikman. 4.2.2 Cốt liệu ellipse có bán kính và góc xoay ngẫu nhiên NCS đã xây dựng mô hình tính toán và kết quả trong trường hợp vật liệu cốt liệu dị hướng, và tính hệ số dẫn tương đương. Hình 4.2: Kết quả đồ thị Mô hình cốt liệu ellipse ngẫu nhiên, tương đương hình tròn 23 Các tính toán đều nằm trong đánh giá Hashin-Shtrikman (HSU- HSL), với số liệu tính toán này, các kết quả bám khá sát với đường cận dưới (HSL). 4.2.3 Trường hợp 3 chiều (3D) NCS xây dựng bài toán 3D theo mô hình FCC, tương đương hình cầu với hình ellipsoid và có được kết quả tính hệ số dẫn tương đương Hình 4.3: Mô hình tính toán 3 chiều (FCC) Hình 4.4: Kết quả tính toán 4.2.4 Trường hợp cốt liệu dị hướng 24 Hình 4.5: Phần tử tuần hoàn có cốt liệu tròn dị hướng: (a) Hình vuông; (b) Hình lục giác; (c) Cốt liệu vị trí bất kỳ Hình 4.6: Kết quả hệ số dẫn hiệu quả cho phần tử hình vuông. Hình 4.7; Kết quả hệ số dẫn hiệu quả cho phần tử hình lục giác. Hình 4.8: Kết quả hệ số dẫn hiệu quả cho phần tử thả cốt liệu bất kỳ. 4.2.5 So sánh kết quả thực nghiệm 25 Hình 4.9: Kết quả tính toán so sánh thực nghiệm cốt liệu gần cầu Hình 4.10: Kết quả tính toán so sánh thực nghiệm cốt liệu tấm Hình 4.11: Kết quả tính toán so sánh thực nghiệm cốt liệu sợi KẾT LUẬN Một số kết luận chính của luận án có thể tóm lược dưới đây: 1) NCS đã nghiên cứu phương pháp PTHH mở rộng, để nhằm khắc phục các khó khăn chia lưới với hình học pha phức tạp (ví dụ như hình ellipse phân bố hỗn độn) giải quyết được các bài toán có hệ lưới dịch chuyển, có thể không cần quan tâm đến mặt giao giữa các pha có hệ số dẫn khác nhau. 2) Đã tìm hiểu sử dụng phần mềm Ansys, tự xây dựng chương trình tính toán PTHH bằng Matlab. Phát triển chương trình theo phương pháp PTHH mở rộng. 26 3) Xây dựng được xấp xỉ tương tác gần cho hệ số dẫn và các mô đun đàn hồi vật liệu đẳng hướng vĩ mô cốt liệu hạt cầu dựa trên đánh giá của Phạm (1995), trong đó các tương tác gần hạt cầu+pha nền được tinh chính xác trong khi tương tác xa giữa các hạt cốt liệu được xấp xỉ. Xấp xỉ là đơn giản, luôn thỏa mãn đánh giá HS, khá sát với thực nghiệm cũng như các kết quả số. 4) Luận án đã xây dựng xấp xỉ tương đương. Sử dụng nguồn từ các xấp xỉ đã có (như xấp xỉ tương tác gần, xấp xỉ phân cực, ), xây dựng công thức tính toán hệ số dẫn tương đương cho cốt liệu tựa cầu (hay đĩa, sợi) dựa trên so sánh phân bố thưa giữa lời giải cho vật liệu cốt liệu cầu lý tưởng và lời giải cho vật liệu thật. Việc sử dụng hệ số dẫn tương đương sẽ đưa được bài toán từ phức tạp về với dạng xáp xỉ giải tích đơn giản cho toàn bộ tỉ lệ thể tích cốt liệu cần tính toán. Phương pháp xấp xỉ tương đương còn được nghiên cứu sinh xây dựng thêm dựa trên xấp xỉ phân cực cho các vật liệu có cốt liệu lý tưởng hạt cầu, tấm, sợi, sử dụng đối chiếu thực nghiệm giữa xấp xỉ và kết quả thực ở một tỉ lệ thể tích nhất định các thành phần vật liệu. HƯỚNG PHÁT TRIỂN Sau luận án này, NCS rất mong sẽ có thời gian và điều kiện hơn nữa để có tiếp tục nghiên cứu đối với các vật liệu dị hướng, cũng như các vật liệu có dạng cốt liệu phức tạp hơn nữa, gần với thực tế. Phát triển thêm về cách tính toán phương pháp số, đảm bảo có được những dự đoán cũng như kết quả so sánh trong trường hợp không có được kết quả thực nghiệm. Vẫn phải khẳng định rằng, việc đo đạc được những kết quả thực nghiệm vẫn là đối chiếu cần thiết và cần được thực hiện trong các trường hợp có điều kiện. 27 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ - 03 Công bố báo quốc tế (ISI) 1. D.C. Pham, A.B. Tran, Q.H. Do, On the effective medium approximations for the properties of isotropic multicomponent matrix-based composites, International Journal of Engineering Science 68: 75–85, 2013 2. Q.H. Do, A.B. Tran, D.C. Pham, Equivalent inclusion approach and effective medium approximations for the effective conductivity of isotropic multicomponent materials, Acta Mechanica 227, 387-398 (2016). 3. Trung Kiên Nguyen, Duc Chinh Pham, Quoc Hoang Do, Equivalent inclusion approach and approximations for conductivity of isotropic matrix composites with sphere-like, platelet, and fibrous fillers. Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2018, Vol. 37(14) 968–980. - 01 công bố tạp chí quốc gia 4. Do Quoc Hoang, Pham Duc Chinh, Tran Anh Binh. Equivalent- inclusion approach for the conductivity of isotropic matrix composires with anisotropic inclusions. Vietnam Journal of Mecha