Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Chéo hóa ma trận - Dạng toàn phương

Chương 4. Chộo húa ma trận – Dạng toàn phương Đ1. TRỊ RIấNG VÀ VẫCTƠ RIấNG CỦA MA TRẬN 1.1. Định nghĩa. Cho ma trận vuông A cấp n. Số được gọi là trị riêng của A nếu tồn tại véctơ sao cho Khi đú véctơ được gọi là véctơ riêng của A ứng với trị riêng Chú ý. Nếu x là véctơ riêng của A ứng với trị riêng thì với mọi số véctơ cũng là véctơ riêng của A ứng với trị riêng λ nx , x∈ ≠ θℝ Ax x= λ ≠ θx λ λ 0α ≠ xα λ ▪ Để tìm các trị riêng của ma trận vuông A cấp n, ta viết thành ; I là ma trận đơn vị cấp n : là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Để là trị riêng của A thì hệ trên phải có nghiệm : đây là phương trình để xác định các trị riêng của A và được gọi là phương trình đặc trưng của A. Đa thức : được gọi là đa thức đặc trưng của A. Ax x= λ Ax Ix= λ ( )A I x O⇒ −λ = λ x ≠ θ A I 0⇔ −λ = ( )AP A Iλ = − λ ▪ Cách tìm trị riêng và véctơ riêng của ma trận vuông A: B1. Giải phương trình đặc trưng (với ẩn là ) để tìm các trị riêng của A. B2. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . Nghiệm không tầm thường của hệ chính là véctơ riêng cần tìm. A I 0− λ = λ ( )A I x O− λ = Định nghĩa 1. Đặt : là không gian nghiệm của hệ và được gọi là không gian riêng của A ứng với trị riêng Định nghĩa 2. ▪ Bội đại số (BĐS) của trị riêng là bội của trị riêng trong phương trình đặc trưng. ▪ Bội hình học (BHH) của trị riêng là số chiều của không gian riêng ứng với trị riêng đó (tức ). Định lý 1. BHH của một trị riêng luôn bộ hơn hoặc bằng BĐS của nó. Chú ý. BHH của trị riêng luôn lớn hơn hoặc bằng 1. Định lý 2. Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì đltt. ( ) ( ){ }nE x A I x Oλ = ∈ − λ =ℝ ( )A I x O− λ = λ λ λ λ dim E( )λ VD. Hãy tìm các cơ sở của không gian riêng của ma trận 1.2. Ma trận đồng dạng Định nghĩa. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n. Ma trận B được gọi là đồng dạng với ma trận A, ký hiệu , nếu tồn tại ma trận vuông P cấp n không suy biến sao cho B = P-1AP. Chú ý. Nếu thì Định lý. Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng (tức có chung tập trị riêng). 3 2 0 A 2 3 0 0 0 5  −    = −     B A∼ B A∼ A B∼ Đ2. CHẫO HểA MA TRẬN 2.1. Định nghĩa. Ma trận vuông A cấp n gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận chéo, tức tồn tại ma trận khả nghịch P cấp n sao cho P-1AP = D là ma trận chéo. Khi đó ta nói ma trận P làm chéo hóa ma trận A. (Như vậy chéo hóa ma trận A là tìm ra ma trận khả nghịch P và ma trận chéo D). Định lý. (Điều kiện cần và đủ để ma trận chéo hóa được) Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A cấp n chéo hóa được là A có n véctơ riêng đltt. Chứng minh. Xem [1] Việc chứng minh Định lý trên đã chứng tỏ rằng:
Ma trận P có các cột là các véctơ riêng đltt của A.
Ma trận D có các phần tử nằm trên đường chéo chính lần lượt là các trị riêng tương ứng với các véctơ riêng tạo nên P. Hệ quả 1. Nếu ma trận vuông A cấp n có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được. Hệ quả 2. Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi BHH của mọi trị riêng bằng BĐS của chúng. 2.2. Các bước chéo hóa một ma trận vuông A cấp n B1. Giải phương trình đặc trưng để tìm các trị riêng của A. Xác định BĐS của từng trị riêng. B2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị riêng. Tìm cơ sở của các không gian riêng để từ đó xác định BHH của từng trị riêng. B3. ▪ Nếu BHH của một trị riêng nào đó bé hơn BĐS của nó thì A không chéo hóa được. ▪ Nếu Hệ quả 2 thỏa mãn thì A chéo hóa được. Ma trận P có các cột là các véctơ riêng cơ sở của các không gian riêng. Các phần tử trên đường chéo chính của D lần lượt là các trị riêng ứng với các véctơ riêng tạo nên P. (Có thể thay đổi thứ tự các cột của P miễn sao trị riêng của ma trận D ứng với các véctơ riêng tạo nên P) A I 0− λ = VD. Xét xem ma trận A có chéo hóa được không? Nếu được hãy tìm ma trận P làm chéo hóa A, viết dạng chéo của A và tính An. 3 2 0 3 3 2 1) A 2 3 0 ; 2) A 1 1 2 0 0 5 3 1 0 3 1 1 1 2 3 3) A 7 5 1 ; 4) A 0 2 3 6 6 2 0 0 3    −        = − = −        − −       − −        = − − =        − −    3.1. Định nghĩa. ▪ Ma trận vuông A cấp n được gọi là ma trận trực giao nếu: ATA = I ( hay A-1 = AT ) ▪ Ma trận vuông A cấp n được gọi là chéo hóa trực giao được nếu tồn tại ma trận trực giao P cấp n sao cho P-1AP = D là ma trận chéo. Khi đó ta nói ma trận P làm chéo hóa trực giao ma trận A. Định lý. (Điều kiện cần và đủ để ma trận chéo hóa trực giao được) Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A cấp n chéo hóa trực giao được là A có một hệ trực chuẩn gồm n véctơ riêng. 3.2. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Định lý 1. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A cấp n chéo hóa trực giao được là A đối xứng. Đ3. CHẫO HểA TRỰC GIAO Định lý 2. Cho ma trận vuông A đối xứng. Khi đó các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau sẽ trực giao. 3.3. Quy trình chéo hóa trực giao ma trận đối xứng A B1. Giải phương trình đặc trưng để tìm các trị riêng của A. B2. Tìm một cơ sở cho mỗi không gian riêng của A. B3. Sử dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt vào mỗi cơ sở đó để được một cơ sở trực chuẩn cho mỗi không gian riêng. B4. Lập ma trận P có các cột là các véctơ cơ sở trực chuẩn xây dựng ở B3. Ma trận P này sẽ làm chéo hóa trực giao ma trận A và D = P-1AP là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo chính lần lượt là các trị riêng ứng với các véctơ riêng tạo nên P. A I 0− λ = VD. Hãy chéo hóa trực giao ma trận A và tính An, với 2 1 1 A 1 2 1 1 1 2  − −    = − −   − −  Đ5. DẠNG TOÀN PHƯƠNG 5.1. Định nghĩa. Dạng toàn phương trong khụng gian vộctơ n chiều V được ký hiệu là đa thức đẳng cấp bậc hai theo cỏc biến xi. Nghĩa là VD. là dạng toàn phương trong ( )ω = + − + +2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3x , x , x x 2x x x x 3x x ( )1 nx , ..., xω ( ) ( ) n n 1 n ij i j ij ij ji i 1 j 1 x ,..., x a x x ; a , a a , i 1, n, j 1, n = = ω = ∈ = = =∑∑ ℝ ℝ 3 5.2. Ma trận của dạng toàn phương Ký hiệu: và là ma trận vuụng thực cấp n với cỏc phần tử aij ; Khi đú dạng toàn phương cú thể được viết dưới dạng ma trận: ( )= ijA a ω ( )ω = Tx x Ax ( )= T 1 2 nx x x ... x Nhận xột. A là ma trận đối xứng thực. VD 1. Dạng toàn phương cú ma trận là         =       −    1 1 0 2 1 3 A 2 2 2 3 0 1 2 ( )ω = + − + +2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3x , x , x x 2x x x x 3x x VD 2. Dạng toàn phương cú ma trận là ( )ω = − + + − +2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3x , x , x 2x 2x x 2x x x x 4x x   −      = −     −   1 2 1 2 A 1 2 2 1 2 1 2 5.3. Dạng chớnh tắc của dạng toàn phương 5.3.1. Định nghĩa. Giả sử ω là một dạng toàn phương trờn khụng gian vộctơ n chiều V. Nếu trong một cơ sở nào đú của V, dạng toàn phương ω cú dạng thỡ (*) được gọi là dạng chớnh tắc của ω. Ma trận của dạng chớnh tắc này trong cơ sở E là ma trận chộo { }iE e ; i 1, n= = 1 2 n 0 0 0 0 A 0 0  λ    λ  =      λ  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( ) ( )2 21 n 1 1 n nx ,..., x x ... x ω = λ + + λ ∗ VD. ( )ω = + −2 2 21 2 3 1 2 3x , x , x 2x x 5x 5.3.2. Đưa dạng toàn phương về dạng chớnh tắc bằng phương phỏp Lagrange. Giả sử là một cơ sở của V và dạng toàn phương ω trờn V cú dạng TH1. Tồn tại một hệ số a) Nếu ta nhúm cỏc số hạng chứa x1 Trong đú: khụng chứa x1 { }iE e ; i 1, n= = ( ) ( ) n n 1 n ij i j i 1 j 1 x x , ..., x a x x = = ω = ω = ∑ ∑ iia 0≠ 11a 0≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 n 11 1 12 1 2 1n 1 n 2 n 2 11 1 12 2 1n n 2 n 11 x ,..., x a x 2a x x ... 2a x x ... x ,..., x 1 a x a x ... a x x ,..., x a ′ω = + + + + +ω ′′= + + + +ω ′′ω Đặt Ta cú: trong đú: là dạng toàn phương của n – 1 biến y2, ..., yn. Lặp lại quỏ trỡnh trờn với dạng toàn phương . Sau một số hữu hạn bước ta thu được dạng chớnh tắc của VD. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chớnh tắc bằng phộp biến đổi Lagrange và tỡm cơ sở ứng với dạng chớnh tắc đú 1) 2) 3) 1 11 1 12 2 1n n k k y a x a x ... a x y x ; k 2, n = + + + = = ( ) ( ) ( )21 n 1 n 1 1 2 n 11 1 x ,..., x y ,..., y y y ,..., y a ω = ω = +ω ( )1 2 ny ,..., yω 1ω ω ( ) 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3x , x , x x 5x 4x 2x x 4x xω = + − + − ( ) 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 3x , x , x 5x 8x 7x 6x x 14x xω = + − + − ( ) 2 2 21 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3x , x , x 3x 12x x 6x x 9x 6x x 5xω = − − + + + b) Nếu với i > 1 và ta làm tương tự như trờn với chỳ ý xi đúng vai trũ x1. Tức là ta đặt iia 0∃ ≠ Khi đú: Trong đú: là dạng toàn phương của n – 1 biến Lặp lại quỏ trỡnh trờn với dạng toàn phương . Sau một số hữu hạn bước ta thu được dạng chớnh tắc của . i i1 1 i2 2 in n k k y a x a x ... a x y x ; k i = + + + = ≠ ( ) ( ) ( )21 n 1 n i 2 1 i 1 i 1 n i1 1 x ,..., x y ,..., y y y ,..., y , y ,..., y a − +ω = ω = +ω 11a 0= 2ω 1 i 1 i 1 ny ,..., y , y ,..., y− + 2ω ω VD. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chớnh tắc bằng phộp biến đổi Lagrange ( ) 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3x , x , x 2x x 4x x x 8xω = + − − TH2. Mọi hệ số và tồn tại một hệ số Ta đặt: Khi đú ta cú: . Nghĩa là trong biểu thức của dạng toàn phương đó xuất hiện cỏc số hạng bỡnh phương với hệ số khỏc 0. Ta tiếp tục thực hiện như trong trường hợp 1. iia 0= ( )ija 0; i j≠ ≠ i i j j i j k k x y y x y y x y ; k i, j = + = − = ≠ ( )2 2ij i j ij i j2a x x 2a y y= − VD. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chớnh tắc bằng phộp biến đổi Lagrange ( )1 2 3 1 2 1 3 2 3x , x , x x x x x x xω = + + 5.3.3. Đưa dạng toàn phương về dạng chớnh tắc bằng phộp biến đổi trực giao Trong khụng gian vộctơ n chiều V, cho dạng toàn phương Vỡ A là ma trận đối xứng thực nờn A chộo húa được bởi ma trận trực giao P và dạng chộo húa của A là: ( ) Tx x Axω = 1D P AP−= (do P trực giao nờn ). Khi đú Đặt Ta được dạng chớnh tắc: ; với là cỏc trị riờng của A Như vậy, dạng toàn phương luụn luụn cú thể đưa về dạng chớnh tắc bằng cỏch chộo húa trực giao ma trận A của dạng toàn phương. 1 TA PDP PDP−⇒ = = 1 TP P− = ( ) ( ) ( ) TT T T T x x PDP x P x D P xω = = ( )Ty P x x Py = ⇔ = ∗ ( ) ( ) 1 1 2 2T 1 2 n n n 2 2 2 1 1 2 2 n n 0 0 y 0 0 y y y Dy y y y 0 0 y y y ... y   λ        λ    ω = = =            λ   = λ +λ + +λ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ i ; i 1, nλ = ( ) Tx x Axω = ( ) Ty y Dyω = Phộp đổi biến (*) cú ma trận chuyển cơ sở là ma trận trực giao P nờn phương phỏp này gọi là phộp biến đổi trực giao. Phương phỏp này dựa vào quy trỡnh chộo húa trực giao ma trận đối xứng A nờn cũng được gọi là phương phỏp chộo húa trực giao ma trận. B1. Viết ma trận A của dạng toàn phương trong cơ sở chớnh tắc. B2. Chộo húa trực giao A bởi ma trận trực giao P và cú được dạng chộo của A là ma trận D. B3. Kết luận: Dạng chớnh tắc cần tỡm là ( ) ( ) 1 1 2 2T 1 2 n n n 2 2 2 1 1 2 2 n n 0 0 y 0 0 y y y Dy y y y 0 0 y y y ... y   λ        λ    ω = = =            λ   = λ +λ + +λ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 2 n; , , ...,λ λ λ ; với D là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở trực chuẩn tạo nờn từ cỏc cột của ma trận trực giao P lần lượt là cỏc phần tử trờn đường chộo chớnh của D. Phộp biến đổi cần tỡm là: x = Py VD. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chớnh tắc bằng phộp biến đổi trực giao. Nờu rừ phộp biến đổi. ω ( ) 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3x , x , x 2x 2x 2x 2x x 2x x 2x xω = + + − − − 5.4. Luật quỏn tớnh Tồn tại nhiều phương phỏp để đưa một dạng toàn phương về dạng chớnh tắc. Cỏc dạng chớnh tắc này thường khỏc nhau nhưng cỏc hệ số trong dạng chớnh tắc tuõn theo một luật mà được gọi là Định luật quỏn tớnh. Định lý. (Định luật quỏn tớnh) Số cỏc hệ số dương, hệ số õm và hệ số bằng 0 trong dạng chớnh tắc của một dạng toàn phương trờn một khụng gian vộctơ khụng phụ thuộc vào cơ sở của khụng gian vộctơ đú (tức là khụng phụ thuộc vào cỏch đưa dạng toàn phương về dạng chớnh tắc). Định nghĩa. Số cỏc hệ số dương, hệ số õm và hệ số bằng 0 trong dạng chớnh tắc của một dạng toàn phương được gọi là cỏc chỉ số quỏn tớnh của . ω ω Đ6. DẠNG TOÀN PHƯƠNG XÁC ĐỊNH 6.1. Định nghĩa. Giả sử là một dạng toàn phương trờn khụng gian vộctơ V. Dạng toàn phương được gọi là xỏc định nếu 6.2. Định nghĩa. Giả sử là một dạng toàn phương xỏc định • Nếu > thỡ được gọi là xỏc định dương • Nếu < thỡ được gọi là xỏc định õm ω ω ( )x 0 xω = ⇔ = θ ω ( )x 0; xω ∀ ≠ θ ( )x 0; xω ∀ ≠ θ ω ω 6.3. Định lý. • Điều kiện cần và đủ để dạng toàn phương xỏc định dương là tất cả cỏc hệ số trong dạng chớnh tắc của nú đều dương. • Điều kiện cần và đủ để dạng toàn phương xỏc định õm là tất cả cỏc hệ số trong dạng chớnh tắc của nú đều õm. Hệ quả. • Dạng toàn phương xỏc định dương khi và chỉ khi ma trận của nú cú tất cả cỏc trị riờng dương. • Dạng toàn phương xỏc định õm khi và chỉ khi ma trận của nú cú tất cả cỏc trị riờng õm. ω ω ω ω 6.4. Định nghĩa. Cho ma trận . Cỏc định thức: được gọi là cỏc định thức con chớnh của A ij nA a  =    1 11 11 12 2 21 22 11 12 1n 21 22 2n n n1 n2 nn a a a a a .............. a a a a a a a a a ∆ = ∆ = ∆ = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 6.5. Định lý. (Tiờu chuẩn Sylvester) • Dạng toàn phương là xỏc định dương khi và chỉ khi tất cả cỏc định thức con chớnh của ma trận đều dương. Tức là > • Dạng toàn phương xỏc định õm khi và chỉ khi A cú cỏc định thức con chớnh cấp chẵn dương, cấp lẻ õm. Tức là: > VD. Tỡm m để dạng toàn phương sau xỏc định dương ( ) n 1 n ij i j i , j 1 x , ..., x a x x = ω = ∑ ij nA a  =    i 0; i 1, n∆ = ω ( ) i i1 0; i 1, n− ∆ = ( ) 2 2 21 2 3 1 2 1 3x 2x x 3x 2mx x 2x xω = + + + +