Bài giảng Lịch sử đại số

Đại số là gì? Phổ thông: giải phương trình Đại học: nghiên cứu các cấu trúc với các phép toán hai ngôi (nhóm, vành, trường, không gian tuyến tính) Phản ánh quá trình hình thành môn Đại số trong lịch sử (gần 4000 năm) Nguồn gốc chữ “Đại số”  Có xuất xứ từ cuốn sách của nhà toán học ả rập Al Khwarizmi (800 – 847): Hisab al-jabr wal-muqabala (Khoa học về sự cân bằng và lược giản)  Nội dung: các phương pháp giải phương trình  Al-jabr => Algebra => Đại số  Al Khwarizmi => Algorithm => Thuật toán Dấu tích đầu tiên Ai Cập: 1800 – 1600 trước c/n các cuộn giấy Papyrus chứa các bài toán giải phương trình bậc nhất Babilon (Irak): 1800 trước c/n các bảng đất xét chứa các bài toán giải phương trình bậc hai, phương trình hai biến bậc hai Chú ý: Babilon phát triển hơn Papyrus Rhind Tác động của việc biểu diễn các số Ai cập  hệ thập phân  dùng các chữ để biểu diễn các số lớn => tính toán khó khăn Babilon  hệ sáu mươi (ví dụ: giờ đồng hồ)  dùng vị trí ký hiệu để biểu diễn số lớn => dễ tính toán hơn => đại số phát triển hơn Đặc điểm Đại số thời cổ đại  Các bài toán có ngữ cảnh đời thường  Các con số được chọn lọc để có nghiệm nguyên  Không có số không và số âm  Nặng về số học  Không dùng ký hiệu  Không có suy luận và chứng minh (là toán nhưng chưa phải là toán học) Hy lạp (600 – 100 năm trước c/n) Trung tâm thương mại (hàng hải) Giao lưu của nhiều văn hoá và tín ngưỡng khác nhau Nhu cầu tìm hiểu thế giới tự nhiên  Sự hình thành nghề “thông thái”: Appolonius, Archimedes, Aristoteles, Demokrit, Euklid, Hippokrates, Plato, Pythagoras, Zeno Sự ra đời của toán học Câu hỏi trọng tâm “tại sao” (trước kia “thế nào)  Quan tâm đến các vấn đề toán học thuần tuý  Toán học có suy luận và chứng minh  Nặng về hình học (3 vấn đề nổi tiếng nhất: chia ba một góc, nhân đôi hình lập phương, cầu phương đường tròn) Bộ sách “Cơ sở” của Euklid  13 tập: tổng kết kiến thức toán học Hy Lạp  Xây dựng hình học trên cơ sở một hệ tiên đề Cuốn sách được in nhiều thứ hai trên thế giới  Sách giáo khoa cho nhiều thế kỷ sau (vua Càn Long đã học cuốn sách này) và ảnh hưởng đến tận ngày nay (các chứng minh hình học) Giải phương trình thông qua hình học (các số = đoạn thẳng: chỉ chấp nhận số dương) Euklid Cuốn sách Đại số đầu tiên Diophantus (~ 250 trước c/n): “Số học”  9 tập: còn lưu lại 6 tập gồm 189 bài toán giải phương trình và hệ phương trình bậc hai với các cách giải khác nhau Chỉ xét nghiệm dương hữu tỷ Không dùng hình học để giải Dùng ký hiệu để biểu diễn phương trình, ẩn số, phép trừ, số mũ (gieo mầm đại số trừu tượng) La Mã (200 trước c/n – 1100 sau c/n)  Thời kỳ đen tối của khoa học và đặc biệt là toán học  Chế độ nô lệ và phong kiến quan liêu Chỉ có một tín ngưỡng, giáo điều  Kinh tế nông nghiệp, không khuyến khích phát triển khoa học Điểm sáng Tiểu á (700 – 1200) Vua Al Mamun (~ 800) thành lập “Ngôi nhà của các nhà thông thái” tập trung các nhà khoa học các dân tộc (có thư viện và đài thiên văn) Phát huy và giữ gìn các thành tựu của toán học Hy Lạp (ta biết về toán học Hy Lạp thông qua các bản dịch ả rập của thời kỳ đó) Chịu ảnh hưởng của toán học ấn Độ và Trung Quốc (hệ thập phân và cách viết theo vị trí) Cuốn sách của Al Khwarizmi Nghiên cứu hệ thống việc giải phương trình Dùng hình học để giải (ảnh hưởng của toán học Hy Lạp) Không chấp nhận số âm và số không => phân loại phương trình phức tạp Không dùng ký hiệu mà dùng số cụ thể Được dịch sang tiếng Latin, nguồn chính cho việc truyền bá Đại số sang châu Âu (một số ví  dụ luôn xuất hiện ở các sách Đại số sau này) Al Khwarizmi Thời kỳ Phục Hưng (1200 – 1600) Thương mại phát triển đặc biệt ở Italia  Hình thành các đế chế ở châu Âu  Sự giao lưu thúc đẩy toán học phát triển (kế toán, thiên văn, v.v)  Sử dụng hệ thập phân và cách biểu diễn số theo vị trí  Các trường đại học ra đời Giải phương trình bậc ba Người có công đầu tiên: delle Ferro (1465-1526), giáo sư trường Đại học Bologna (đại học đầu tiên trên thế giới) giải phương trình dạng ax3 + bx = c (hệ số dương)  Trường hợp tổng quát: Tartaglia (1500-1557) Công bố: Cardano (1501-1576) trong cuốn sách “Ars Magna” Tranh cãi bản quyền khoa học đầu tiên Tartaglia Cardano Cuộc cách mạng “Ars Magna” Chứa đựng những ý tưởng mới sau hơn hai nghìn năm (từ thời Babylon) Lần đầu tiên xuất hiện số âm và số ảo (Cardano coi những số này không tồn tại trên thực tế, nhưng có thể tính toán được)  Hạn chế: dùng ngôn ngữ hình học, không dùng ẩn số  Chú ý: số ảo xuất hiện qua việc biểu diễn nghiệm phương trình bậc ba Giải phương trình bậc bốn Ferrari (1522-1565, học trò của Cardano): lời giải dựa trên việc giải phương trình bậc ba Công bố trong “Ars Magna” Bước tiến lớn: các nhà toán học trước đó không công nhận có đại lượng bậc bốn (vượt khuôn khổ không gian ba chiều) Phương pháp bất định Cuốn “Số học” của Diophantus dùng ký hiệu ẩn số đầu tiên nhưng bị quên lãng (do ảnh hưởng của phương pháp hình học), được tìm thấy lại 1463 Bombelli (1530-1572): công bố sách “Đại số” viết lại Ars Magna, dùng ẩn số thay lời (tiện lợi hơn cho suy luận và tổng quát hóa) Viete (1540-1603): dùng ký hiệu (bất định) cho các hệ số => dọn đường cho đại số trừu tượng ra đời Viete Số phức Bombelli: dùng số phức một cách hệ thống Gauss (1777-1855): - chứng minh mọi đa thức đều có nghiệm phức (Định lý cơ bản của Đại số) - chỉ ra việc dựng hình bằng thước kẻ và compa có liên quan chặt chẽ đến việc giải phương trình ý nghĩa: Tồn tại các cấu trúc đại số ngoài các hệ số thông thường Gauss Cân bằng Đại số và Hình học Lịch sử cổ đại và trung đại: Đại số chịu ảnh hưởng của Hình học Descartes (1596-1650): phương pháp tọa độ cho phép giải các bài toán hình học bằng đại số Cách mạng: đẩy Đại số lên một tầm cao mới với những ứng dụng mới Đoạn tuyệt với quan niệm về chiều hình học của các số khi giải phương trình Descartes Giải phương trình bậc cao Vấn đề giải phương trình bằng căn thức Abel (1802-1829): không có công thức tổng quát giải phương trình bậc > 4 (dùng nhóm đối xứng) Galois (1811-1832): tiêu chuẩn để một phương trình giải được bằng căn thức (đưa ra khái niệm nhóm) Abel Galois Sự ra đời của các cấu trúc Đại số Mở đầu: nhóm và phép toán hai ngôI (Galois) Hamilton (1805-1865): trường quaternion (không giao hoán) Grassmann (1809-1877): không gian tuyến tính (chiều bất kỳ) Dedekind (1831-1916): trường, vành Đại số hiện đại  Đặc điểm: “thoát khỏi” các vấn đề cụ thể của số học và giải phương trình Những người tiên phong: Noether (1882- 1935), Artin (1898-1962) Hệ thống: cuốn sách “Đại số hiện đại” của Waerden (1903-1996) Nghiên cứu các cấu trúc toán học với các quan hệ hai ngôi Noether Artin Đại số ngày nay “Đại số hiện đại” = Đại số cơ sở Câu hỏi “Đại số là gì?” sẽ do tương lai trả lời