Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 3: Phương trình vi phân cấp hai - Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 8 §3. Ph ươ ng trình vi phân cấp hai ••• Đặt v ấn đề . Bài tr c ã h c xong ph ơ ng trình vi phân c p m t và có ng d ng thú v sau: • Ph ơ ng trình logistic c a ra (vào kho ng n m 1840 ) b i nhà toán h c và nhân chng h c ng i B P.F. Verhulst và nó tr thành m t mô hình cho s t ng tr ng dân s . • Trong ví d sau ây chúng ta so sánh mô hình t ng tr ng t nhiên và mô hình logistic cho d li u iu tra dân s M vào th k 19, sau ó a ra d án so sánh cho th k 20. Ví d ụ. Dân s n c M n m 1850 là 23.192 tri u. N u l y P0 = 5,308 . • Th các d li u t = 50, P = 23,192 (v i th i im 1850 ) và t = 100, P = 76212 (v i th i im 1900 ) vào ph ơ ng trình logistic dP =kP() M − P (1) dt (5,308) M ta có h hai ph ơ ng trình = 23,192 ; 5,308+ (M − 5,308) e −50 kM (5.308) M = 76,212 . 5,308+ (M − 5,308) e −100 kM • Gi i h này ta có M=188,121, k = 0,000167716 . 998,546 • Th vào (1) ta có P( t ) = (2) 5,308+ (182,813) e−(0,031551) t Dân s th c Mô hình dân s Sai s Mô hình Nm Sai s logistic ca n c M dng m dng m logistic 1800 5.308 5.308 0.000 5.308 0.000 1810 7.240 6.929 0.311 7.202 0.038 1820 9.638 9.044 0.594 9.735 -0.097 1830 12.861 11.805 1.056 13.095 -0.234 1840 17.064 15.409 1.655 17.501 -0.437 1850 23.192 20.113 3.079 23.192 0.000 1860 31.443 26.253 5.190 30.405 1.038 1870 38.558 34.268 4.290 39.326 -0.768 1880 50.189 44.730 5.459 50.034 0.155 1890 62.980 58.387 4.593 62.435 0.545 1900 76.212 76.212 0.000 76.213 -0.001 1910 92.228 99.479 -7.251 90.834 1.394 1920 106.022 129.849 -23.827 105.612 0.410 1930 123.203 169.492 -46.289 119.834 3.369 1940 132.165 221.237 -89.072 132.886 -0.721 1950 151.326 288.780 -137.454 144.354 6.972 1960 179.323 376.943 -197.620 154.052 25.271 1970 203.302 492.023 -288.721 161.990 41.312 1980 226.542 642.236 -415.694 168.316 58.226 1990 248.710 838.308 -589.598 173.252 76.458 2000 281.422 1094.240 -812.818 177.038 104.384 Hình 1.7.4. So sánh k t qu c a mô hình d ng m và mô hình logistic vi dân s thc ca nc M (tính theo triu) PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] • Nh ng d oán theo mô hình d ng m P( t )= (5,308) e (0,026643) t và theo mô hình d ng logistic (2) i chi u v i k t qu th ng kê dân s th c c a M , ta th y − C 2 mô hình u cho k t qu t t trong giai on th k 19 − Mô hình d ng m cho s li u phân k ngay t th p niên u tiên c a th k 20, trong khi mô hình logistic có k t qu t ơ ng i t t cho t i t n nh ng n m 1940. − n cu i th k 20 mô hình d ng m cho k t qu v t quá xa dân s th c c a M , còn mô hình logistic l i cho s li u d oán th p h ơn s li u th c. ••• Sai s ố trung bình o m c cho phép c a mô hình h p lí v i d li u th c t : là cn b c hai c a trung bình các bình ph ơ ng c a các sai s thành ph n. • T b ng 1.7.4 trên c: mô hình d ng m có sai s trung bình là 3.162 , còn mô hình logistic có sai s trung bình là 0.452 . Do ó mô hình logistic d oán t c t ng tr ng dân s n c M su t th k 20 t t h ơn mô hình d ng m . 1. Đại c ươ ng ••• Định ngh ĩa. Fx(,, y y′ , y ′′ )= 0 (1) hoc y′′= fxyy(, , ′ ) (2) Ví d ụ. a) yy′′+ y ′ 2 + xy = 0 b) y′=3 xy + y ′′ + 1 ••• Định lí v ề s ự t ồn t ại và duy nh ất nghi ệm ∂f ∂f 3 Nu f(, x y , y ′ ) , f(, x y , y ′ ) , f(, x y , y ′ ) liên t c trên D ⊂ » , (,xyy0 0 , 0′ ) ∈ D thì ∂y ∂y′ (2) có nghi m duy nh t trong Uε ( x 0 ) tho mãn yx()0= y 0 , yx′ () 0 = y 0′ ••• V ề m ặt hình h ọc: nh lí trên kh ng nh n u (,xyy0 0 , 0′ ) ∈ D ⇒ trong Uε ( x0 , y 0 ) có ng tích phân duy nh t c a ph ơ ng trình (2) i qua (x0 , y 0 ) và h s góc c a ti p tuy n c a nó t i im này b ng y0′ . Định ngh ĩa. Hàm y= ϕ(( xCC ,1 , 2 ) là nghi m t ng quát c a (2) ⇔ +) ϕ(,x C1 , C 2 ) tho mãn (2) v i ∀C1, C 2 0 0 0 0 +) ∀(,xyy0 0 , 0′ ) ∈ D nêu trong nh lí tìm c c1, c 2 : y= ϕ(, xcc1 , 2 ) tho mãn 0 0 0 0 ϕ(,xcc , ) = y 0 , ϕ′(,xcc , ) = y 0 ′ 1 2 x= x 0 1 2 x= x 0 0 0 Hàm ϕ(,x c1 , c 2 ) c g i là nghi m riêng Định ngh ĩa. H thc φ(,,x y c1 , c 2 )= 0 xác nh nghi m t ng quát c a (2) d i d ng 0 0 n c g i là tích phân t ng quát. H th c φ(,,xyc1 , c 2 ) c g i là tích phân riêng ••• M ột s ố ứng d ụng • Là mô hình toán h c c a nh ng h c ơ h c và m ch in. dx2 dx • Ph ơng trình mô t dao ng t do c a ch t im m+ c + kx = 0, ó ch t dt 2 dt im có kh i l ng m, các h ng s d ơ ng k, c . PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] • Ph ơ ng trình mô t dao ng c ng b c c a ch t im b i tác ng c a ngo i l c F( t ) dx2 dx m+ c + kx = F( t ). dt 2 dt 2. Ph ươ ng trình khuy ết a) F(, x y ′′ )= 0 Cách gi ải. t y′ = p ⇒ ph ơ ng trình vi phân c p m t F(, x p ′ )= 0 ⇒ p= ϕ( x , c ) . Gi i ph ơ ng trình vi phân c p m t y′ = ϕ( x , c ) 2 Ví d ụ 1. 1°/ x=() y′′ + y ′′ + 1 2 • p= y ′ ⇒ x=() p′ + p ′ + 1 2 2 2 3 t • t p′ = t ⇒ x= t + t + 1 và dp= tdx = t(2 t + 1) ⇒ p= t + + c 1 3 2 2  2 3 t • T y′ = p ⇒ y= pdx = t ++ c1  (2 t + 1) dt ∫ ∫ 3 4  45 5 4 1 3 2 =t + t + t +++ ct1 ctc 1 2 15 12 6 • Tích phân t ng quát c a ph ơ ng trình ã cho là 2 45 5 4 1 3 2 x= t + t + 1, y= t + t + tctctc +++1 1 2 15 12 6 1 2°/ y′′ = ( y= x(ln xC +1 ) + C 2 ) x x3 3°/ y′′ = x + sin x ( y= −sin xCxC +1 + 2 ) 6 x2 3  4°/ y′′ = ln x ( y=ln x −++  CxC1 2 ) 2 2  2 x− 1 x 2 5°/ y′′ = arctan x ( y=arctan x −+++ ln(1 xCxC ) 1 2 ) 2 2 b) F(, xy′ , y ′′ )= 0 Cách gi ải. t p= y ′ ⇒ ph ơ ng trình vi phân c p m t F(,, x p p ′ )= 0 ⇒ p= ϕ( x , c ) , gi i ph ơ ng trình vi phân c p m t y′ = ϕ( x , c ) Ví d ụ 2. 1°/ (1−−=xyxy2 )′′ ′ 2, y (0) = 0, y ′ (0) = 0 x 2 • p= y ′ ⇒ (1−x2 ) p′ − xp = 2 ⇒ p′ − p =, x ≠± 1 là ph ơ ng trình vi 1−x2 1 − x 2 phân tuy n tính c p 1, có nghi m t ng quát −x − x − x −dx − dx dx ∫2 ∫ 22 ∫ 2 pce=1 1−x + e 1 − x e 1 − x dx ∫ 1 − x2 1 1 1 −−−−ln 1x2 ln 1 x 22 ln 1 − x 2 c 1 2 =ce2 + e 2 e 2 dx =1 + dx 1 ∫ 2 ∫ 1 − x 1−x2 1 − x 2 1 − x 2 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] c 2 =1 + arcsin x 1−x2 1 − x 2 c1 2 2 y′ = + arcsin x ⇒ y=()arcsin xc +1 arcsin xc + 2 1−x2 1 − x 2 • y(0)= 0 ⇒ c2 = 0 y′(0)= 0 ⇒ c1 = 0 • Nghi m c n tìm : y= (arcsin x ) 2 2 x x 2°/ y′′= y ′ + x ( y= Ce1 + C 2 −− x ) 2 y′ 1 3 2 3°/ y′′ = + x ( y= x + Cx1 + C 2 ) x 3 x ′ +1 y 2 C 4°/ xy′′= y ′ ln ( y=( CxCe1 − ) 1 + C 2 ) x 1 2 2 2 5°/ (1+x ) y′′ + y ′ += 1 0 ( y=+(1 C1 ) ln xC +−+1 CxC 1 2 ) 2 2 2 2 6°/ x y′′= y ′ (CxCy1−=1 ln Cx 1 ++ 1 C 2 ;2 y =+ x CyC ; = ) 2 2 2 3 7°/ 2xyy′ ′′= y ′ − 1 (9CyC1 (−= 1 ) 4( Cx1 + 1) ; yCx =± ) 2 3 2 x2 x 8°/ y′′+ y ′ = xy ′′ ( yC=1 −+ CxCy 2 ; =+ C ) 21 12 3 3 212 5 5 42 p 9°/ y′′+ xy ′′ = 2 y ′ ( xCp=+23 py ; = p + CpC 1 + += CyC 2 ; ) 5 41 6 2 3 2 10 °/ 2(yy′ ′′+ 2) = xy ′′ (3();;Cy1=− xC 1 + CyCyC 2 = =− 2 x ) Ví d ụ 3 2  y′ 4 1 a). 1 °/ y′′+= xyy2 () ′,()() 1 = 2, y ′ 1 = 1 ( y=5 − (1 − 3ln x ) 3  ) x 2 2°/ (x++ 1) yxy′′ () ′2 = yy ′ ,(0) = 1, y ′ (0) = 2 ( y=++ln(1 x2 ) 2arctan x + 1 ) 1 x4 x 33 x 2 1 b). y′′− yxx ′ =−( 1), y()() 2 = 1, y ′ 2 =− 1 ( y= − − ++3 x ) x − 1 862 3 x3 x 4 7 c). 2xy′′−+= 6 yx ′2 0, y( 1) = 0, y ′ ( 1) = 1 ( y = + − ) 6 8 24 2 2 3 d). 1+()y′ = 2 xy ′ y ′′ ( y=( Cx1 − 1) + C 2 ) 3C1 c) Fy(, y′ , y ′′ )= 0 dp dp dp  Cách gi i. t p= y ′ ⇒ = p ⇒ F y, p , p  = 0 là ph ơ ng trình vi phân c p dx dy dy  mt, gi i ra có p= ϕ( x , c ) , gi i ph ơ ng trình vi phân c p m t y′ = ϕ( x , c ) ta c nghi m c n tìm. PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] Ví d ụ 4. 1°/ 2yy′′= y ′ 2 + 1 dp dp • p= y ′ ⇒ y′′ = p , thay vào có 2yp= p 2 + 1 dy dy 2p dy • dp=, y ≠ 0 1 + p2 y 2 2 ⇔ lny= ln(1 + p ) + ln c 1 hay y= c1(1 + p ) dy x • T p= y ′ ⇒ dx= =2 cdpp1 , ≠ 0 ⇒ p= + c 2 p 2c1 2  2 x  (x+ 2 c1 c 2 ) • Nghi m t ng quát y= c11 + + c 2   =c1 + 2c2   4c1 b  2 • t 2cc1 2= − ac , 2 1 = b ⇒ 2by−  = ( xa − ) là parabol ph thu c 2 tham s và 2  có ng chu n là tr c Ox . 2 3 2 2°/ y′+2 yy ′′ = 0 ( y= CxC1( + 2 ) , y = C ) 2 3°/ yy′′+1 = y ′ (Cy1= ±sin( CxC 1 + 2 ) ) y− C 1 4°/ y′′= 2 yy ′ ( yC=112tan( CxC + );ln =+−== 2 CyCyx 12 ;()1; yC ) y+ C 1 2 3 5°/ yy′′= y ′ − y ′ ( yC+1ln y =+ xCy 2 , = C ) 2 2 6°/ 2yy′′= y + y ′ ( yC=1(1 ± ch( xC + 2 )) ) 2 −y y 3 7°/ y′′+ y ′ = 2 e (e+ C1 =( xC + 2 ) 2 2 3 8°/ y′=(3 y − 2 yy ′ ) ′′ ( x=3 Cp1 + ln Cpy 2 ; = 2 Cp 1 += py ; C ) 2 y− C 2 9°/ y′(1+ y ′ ) = ay ′′ ( x− C1 = a ln sin ) a C x 10 °/ yy′′= y ′(1 + y ′ ) (Cy1−=1 Ce 2 1 ; y =− Cxy ,0 = ) 2 2 2 11 °/ yy′′+ y ′ = 1 ( y= x + Cx1 + C 2 ) Ví d ụ 5. (Bài toán v n t c v tr c p 2). Xác nh v n t c nh nh t phóng m t v t th ng ng vào v tr sao cho v t không tr l i trái t, gi thi t s c c n không khí không áng k . • Kh i l ng trái t là M , v t phóng là m, kho ng cách gi a tâm trái t và tâm v t Mm phóng là r , theo nh lu t h p d n c a Newton, l c hút tác d ng lên v t là f= k , k r 2 là h ng s h p d n. d2 r Mm • Ph ơ ng trình chuy n ng c a v t là m=− k, r (0) = Rr ,′ (0) = v 0 , ó R dt2 r 2 là bán kính trái t, v0 là vn tc lúc phóng. PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] dv dv M kM v 2 1 • t v= r ′ ⇒ r′′ = v ⇒ v= − k ⇒ vdv= − dr ⇒ =kM + c 1 dr dr r 2 r 2 2 r 2 2 2  v0 kM v Mv0 kM • T v(0)= 0 có v( R ) = v 0 ⇒ c1 = − ⇒ =+ −  ≥ 0 2 R2 2r 2 R  3 2kM −11 m 5 Cho r → ∞ ⇒ v0 ≥ ≈ 11,2 km/s (do k = 6, 68.10 , R = 63.10 m. R kg. s 2 • V n t c v tr c p hai là 11,2 km/s Ví d ụ 6 1 a). yy′′−= y ′2 y 4 , y( 0) = 1, y ′ ( 0) = 1 ( y = ) 1 − x x2 + 1 b) . 1. 2yyy′′−= ′2 1, y( 1) = 1, y ′ ( 1) = 1 ( y = ) 2 2. yy′′+= y ′2 1, y( 0) = 1, y ′ ( 0) = 1 ( y= x + 1) x2 + 1 c). 2yyy′′−−= ′2 1 0, y( 1) = 1, y ′ ( 1) = 1 ( y = ) 2 2 2 2 d). 1+()y′ = 2 yy ′′ (CxC1 (+2 ) = 4( Cy 1 − 1) ) HAVE A GOOD UNDERSTANDING!