Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 5: Chuỗi lũy thừa (Tiếp theo) - Nguyễn Xuân Thảo

• Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier

• Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier

•Đặt vấn đề

1. Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier

a) Chuỗi lượng giác

Định nghĩa. Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm số có dạng

pdf6 trang | Chia sẻ: trungkhoi17 | Lượt xem: 391 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 5: Chuỗi lũy thừa (Tiếp theo) - Nguyễn Xuân Thảo, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 5 § 5. Chu i lu th a (TT) • Khai tri ển m ột s ố hàm s ơ c ấp • Ứng d ụng 4. Khai tri n m t s hàm s s c p c b n 4.1. M t s khai tri n 1°°°/ f( x ) = e x • f (n ) (0)= 1 • fxee(n ) ()= ∞ xn ∞ xn • ex =∑ , ∀∈− xAAA() ;,0 > ⇒ ex =∑ , ∀ x ∈ » n! n! n=0 n=0 2°°° f( x )= cos x π (− 1)k ,n = 2 k π  ••• f(n ) (0)= cos n =  • fx(n ) ( )= cos xn +  ≤∀∈ 1, x » 2 0,n= 2 k + 1 2  x2 x 4 x 2 n • cos1x=−+−+− (1)n +  , x ∈ » 2! 4! (2)!n 3°°° f( x )= sin x x35 x x 21n− • sinx=−+−+− x  ( 1)n−1 +  , x ∈ » 3! 5! (2n − 1)! 4°°° f( x )= (1 + x )α , α∈ » α αα−( 1) αα−( 1) ( α−n + 1) • fx( )=++ 1 x x 2 +  +xn +−<<, 1 x 1 1! 2! n! 5°°° f( x )= ln(1 + x ) x2 x 3 x n • ln(1)+=−x x + −+− (1)n−1 +  ,1 −<<x 1 2 3 n 6°°° f( x )= arctan x x35 x x 21n− • arctanx=−+−+− x  ( 1)n−1 +  , x∈», −≤ 1 x ≤ 1 35 21n − Ví d 1. Khai tri ển thành chu ỗi Maclaurin a) fx()= ax ,0 < a ≠ 1 ∞ ln n a • ax= e xln a • exln a=∑ x n , x ∈ » n! n=0 b) f( x )= ln(2 + x ) x  x x • ln2()+=x ln21 +=+ ln2 ln1  + , −1 < < 1 2  2 2 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn n ∞ x ∞ n x  n−1 ( ) n−1 x • ln1+  =∑() − 1 2 =∑() − 1 2  n n n=1 n=1 n.2 ∞ n n−1 x • ln2()()+=+−x ln2 1 ,2 −<< x 2 ∑ n n=1 n.2 1∞ 2 2n− 1x 2 n c) sin 2 x ( − ∑ , x ∈ » ) 2 (2)!n n=0 1+ x ∞ x2n+ 1 d) f( x )= ln (2∑ ,1− <x < 1 ) 1− x 2n + 1 n=0 x ∞ n + 2 ()−1 x2n 1 e) fx( ) = e−t dt ( ∑ , x ∈» ) ∫ n!() 2 n + 1 0 n=0 ∞n ∞ 2 n n−1x n − 1 x f) fx()ln(1= ++ xxx2 + 3 ) ( ()−1 +−() 1 ,11 −≤≤x ) ∑n ∑ n n=1 n = 1 n ∞ ()x2 n π g) fx( )= ex sin x ( sin , x ∈» ) ∑ n! 4 n=0 ∞ x2n h) f( x )= cosh x ( ∑ , x ∈» ) ()2n ! n=0 x ∞ 2n+ 1 sin t n x i) fx( ) = dt ( ∑ ()−1 , x ∈ » ) ∫ t ()()2n+ 1!2 n + 1 0 n=0 x dt x5 1.3.5() 2 n − 1 k) f( x ) = ( x+++ x 4n+ 1 + , x < 1) ∫ 4 2.5 n!2n () 4 n + 1 0 1− t l) Vi ết rõ các h ệ s ố đế n x6 : fx() = ex sin x m) Vi ết rõ các h ệ s ố đế n x6 : fx() = ex cos x Ví d 2. Khai tri ển thành chu ỗi Taylor t ại lân c ận điểm t ươ ng ứng a) fx()= ln, xx = 1 ∞ n n ()x −1 • lnx= ln1( + x − 1 ) • ln1()()+−x 1 = − 1 ∑ n n=1 1 b) f() x= ,4 x = x2 +3 x + 2 1 1 • f() x = − x+1 x + 2 () n 1 1  • fn ()() x= −1 n ! − n+1 n + 1  ()x+1() x + 2  PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn () n • fn()()4= − 1!5 n ( −− n1 − 6 −− n 1 ) ∞ n n • f()() x=−∑ 15()−−n1 − 6 −− n 1 () x − 4 n=0 x x c) f( x ) = , theo chu ỗi lu ỹ th ừa c ủa 1+ x 1+ x 2 3 n x1 x  1.3  x  1.3() 2n− 3  x  (f() x =+  +   +  +  + ) 1+ x 21 + x 2.41  + x  2.4() 2n− 2 1 + x  x π  d) f( x )= cos , theo chu ỗi lu ỹ th ừa c ủa x −  2 2  −  π π2 π n 1  2 ()x−() x −() x − ( 1−2 − 2 −− 2 +  )  2n− 1  2 1!2 2!2 (n − 1)!2  ∞ 2n− 1 π  n ()3n + π e) f( x )= sin3 x , theo chu ỗi lu ỹ th ừa c ủa x +  (∑()−1 ) 3  ()2n − 1 ! n=1 1 f) f() x = theo lu ỹ th ừa c ủa (x − 3) x2 −3 x + 2 1 g) f() x = theo lu ỹ th ừa c ủa (x − 2) x2 +3 x + 2 4.2. ng d ng c a chu i lu th a 1°°°/ Tính g n úng Ví d 3. Áp d ụng chu ỗi lu ỹ th ừa, tính g ần đúng a) sin18 ° v ới độ chính xác 10 −5 n−1 ∞ ()−1 • sin x= ∑ x 2n− 1 ()2n − 1 ! n=1 n−1 π∞ () −1 π 2n− 1 • sin18° = sin = ∑ 10() 2n − 1! 2n− 1 n=1 10 2n+ 1 π −5 • Rn < ≤ 10 ()2n + 1!10 2n+ 1 • n ≥ 3 1 2 b) ∫e−x dx v ới độ chính xác 10 −3 0 ∞ n ∞ 2n x 2 n x • ex = ∑ • e−x =∑ () − 1 n! n! n=0 n=0 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 ∞2n+ 1 ∞ nx n 1 • I =−()1 =−() 1 ∑nn!21()+ ∑ nn !21() + n=00 n = 0 1 • R≤ ≤ 10−3 ⇒ n ≥ 4 n ()n+1!2() n + 3 c) Tính g ần đúng s ố e v ới độ chính xác 0,00001 (2,71828 ) 1 2 d) Tính g ần đúng ∫ e−x dx v ới độ chính xác 0,0001 (0,747 ) 0 ∞ dx e) v ới độ chính xác 10 −3 (0,118 ) ∫ 1+ x3 0 2°°°/ Tính gi i h n. x3 x 5 x 7 sin x−+ x − + Ví d 4. lim 3! 5! 7! x→0 x9 x3 x 5 x 7 x 9 • sin xx=− + − + + ox()9 3! 5! 7! 9! x9 + o() x 9 1 • A =lim 9! = x→0 x9 9! § 6 Chu i FOURIER • Chu ỗi l ượng giác, chu ỗi Fourier • Khai tri ển hàm s ố thành chu ỗi Fourier ••• t v n 1. Chu i l ưng giác, chu i Fourier a) Chu i l ưng giác nh ngh a. Chu ỗi l ượng giác là chu ỗi hàm s ố có d ạng ∞ » a0 +∑( an cos nxb + n sin nxab ), nn , ∈ (1.1) n=1 Nh n xét. ∞ ∞ » 1°°°/ Nếu ∑an, ∑ b n h ội t ụ ⇒ chu ỗi (1.1) h ội t ụ tuy ệt đố i trên n=1 n = 1 ∞ ∞ 2°°°/ Tuy nhiên, ∑an, ∑ b n h ội t ụ không ph ải là điều ki ện c ần để chu ỗi (1.1) h ội t ụ. n=1 n = 1 b) Chu i Fourier PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn B . Với ∀p, k ∈ », ta có π π 1°/ ∫ sinkxdx = 0 2°/ ∫ coskx dx= 0, k ≠ 0 −π −π π π 0, k≠ p 3°/ coskx sin pxdx = 0 4°/ coskx cos px dx =  ∫ ∫ π,k = p ≠ 0 −π −π π 0, k≠ p 5°/ sinkx sin px dx =  ∫ π,k = p ≠ 0 −π • Gi ả s ử f( x ) tu ần hoàn v ới chu kì 2π và có ∞ a0 fx()= +∑ (cos an nxb + n sin) nx (1.2) 2 n=1 Sử dụng b ổ đề trên và tính toán ta có π π 1 1 a= fxdx( ) ; a= fx( )cos nxdxn , = 1,2, 0 π ∫ n π ∫ −π −π π 1 b= fx( )sin nxdxn , = 1,2, (1.3) n π ∫ −π ∞ a0 nh ngh a. Chu ỗi l ượng giác +∑(an cos nxb + n sin nx ) với các h ệ s ố a0 , an, b n xác 2 n=1 định trong (1.3) được g ọi là chu ỗi Fourier c ủa hàm f( x ) . 2. iu ki n hàm s khai tri n ưc thành chu i Fourier nh ngha. Chu ỗi Fourier c ủa hàm f( x ) h ội t ụ v ề hàm f( x ) thì ta b ảo hàm f( x ) được khai tri ển thành chu ỗi Fourier. nh lí Dirichlet. Cho f( x ) tu ần hoàn v ới chu kì 2π, đơ n điệu t ừng khúc và b ị ch ặn trên [−π; π ] ⇒ chu ỗi Fourier c ủa nó h ội t ụ t ại m ọi điểm trên đoạn [−π; π ] và có Sx()= fx () , t ại điểm liên t ục c ủa f( x ) . fc(+ 0) + fc ( − 0) Còn t ại điểm gián đoạn x= c có S( c ) = . 2 Ví d 1. Khai tri ển thành chu ỗi Fourier hàm s ố f( x ) tu ần hoàn v ới chu kì 2π , xác định nh ư sau 1, 0 ≤x ≤ π a) f( x ) =  −1, −π≤x < 0 π 1 1 +) a= fxdx() =π−π=() 0 0 π∫ π −π PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn π 0 π 1 1 1 +) a= fx()cos nxdx =−()cosnxdx + cos nxdx = 0 n π ∫ π∫ π ∫ −π −π 0 π 0 π 1 1 1 +) b= fx()sin nxdx =() −sinnxdx + sin nxdx n π ∫ π∫ π ∫ −π −π 0 nπ 2 2 n =()1 − cos n π =1 −() − 1  nπ nπ 4 1 1  +) fx() =sin x + sin3 x + sin5 x +   π 3 5  x, 0 ≤ x ≤ π π4∞ cos2()m + 1 x b) f( x ) =  (f() x = − ∑ ) −x, −π≤ x < 0 2 π 2  m=0 ()2m + 1 c) fxx( )=2 , −π< x <π π 1 2 π2 +) a= xdx2 = 0 π ∫ 3 −π π 1 +) b= x2 sin nxdx = 0 n π ∫ −π π 1 2 4()n 4 +) an = xcos nxdx =cosn π=− 1 π ∫ n2 n 2 −π π2 cosx cos2 x cos3 x cos4 x  f() x =−4 − + − +  3 1 4 9 16  1,−π≤x < 0 d) f( x ) =  0, 0 ≤x < π ∞ ∞ π2 cos() 2mx + 1n+1 sin nx (f() x =−+∑ +− ∑ ()1 ) 4 π 2 n m=0()2m + 1 n = 1 HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfbai_giang_phuong_trinh_vi_phan_va_li_thuyet_chuoi_bai_5_chuo.pdf
Tài liệu liên quan