Bài giảng Toán kinh tế 2 - Chương 3: Hàm nhiều biến

10/2/2021Hàm số và giới hạn hàm số1C3. HÀM NHIỀU BIẾN1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiện (x1, x2, xn) (xi  R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2, xn): xi  R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x.Định nghĩa: Khoảng các giữa 2 điểm x = (x1,x2, xn), y = (y1,y2, yn)  Rn:10/2/2021Hàm số và giới hạn hàm số2C3. HÀM NHIỀU BIẾN Một số tính chất của d: a) d(x,y)  0; d(x,y) = 0  xi = yi, I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y)  d(x,z) + d (z,y)Điểm biên, tập đóng: Điểm x0  Rn được gọi là điểm biên của D  Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Nếu biên của D thuộc D thì D được gọi là tập đóng.Lân cận: Cho x0Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x  Rn: d(x,x0) 0,  > 0: d(M,M0) f(M) – L 0 (r 0: f không đạt cực trị tại M0.3) Nếu s2 – rt = 0: Chưa kết luận được (trường hợp nghi ngờ)Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, z = x3 + y310/2/2021Hàm số và giới hạn hàm số17C3. HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện:Định nghĩa: Người ta gọi cực trị của hàm số z = f(x,y) trong đó các biến x,y bị ràng buộc bởi hệ thức g(x,y) = 0 là cực trị có điều kiện.Điều kiện cần (Phương pháp nhân tử Lagrange):Nếu f(x,y) đạt cực trị có điều kiện g(x,y) = 0 tại điểm M0 thì tồn tại  sao cho: Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 với điều kiện x + y + 2 = 0.10/2/2021Hàm số và giới hạn hàm số18C3. HÀM NHIỀU BIẾN Phương pháp nhân tử Lagrange có thể mở rộng cho hàm số n biến (n3):Giả sử M0(x0,y0,z0) là cực trị có điều kiện của hàm số u = f(x,y,z) với điều kiện g(x,y,z) = 0 thì: Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x2 + y2 + z2 – 1 = 0