Bài giảng Xác suất thống kê - Tuần 4

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (Buổi 4) BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (Tiếp)  Khái niệm biến ngẫu nhiên hai chiều và phân phối xác suất  Phân phối biên duyên  Phân phối xác suất có điều kiện  Sự độc lập thống kê  Hàm của biến ngẫu nhiên hai chiều và của hai biến ngẫu nhiên một chiều 4. BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT . Khái niệm biến ngẫu nhiên hai chiều Định nghĩa: Cho các biến ngẫu nhiên một chiều X, Y. Cặp (X,Y) được gọi là một biến ngẫu nhiên hai chiều. + X, Y tương ứng được gọi là thành phần thứ nhất, thành phần thứ hai của (X,Y). + Khi cả X và Y là biến ngẫu nhiên rời rạc ta gọi (X,Y) là biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc; X và Y là biến ngẫu nhiên liên tục thì (X,Y) được gọi là biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục. + Biến ngẫu nhiên (X,Y) nhận giá trị (x,y), tức là X nhận giá trị là x đồng thời Y nhận giá trị y. Tập giá trị của (X,Y) có thể được biểu diễn hình học bởi các điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy. V dụ 2.14 í BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT . Ví dụ 10 + Tung hai đồng xu, một đồng xu sơn xanh, một đồng xu sơn đỏ. Đặt X = Số mặt ngửa của đồng xu xanh, Y = Số mặt ngửa của đồng xu đỏ. Hãy nêu tập giá trị và biểu diễn hình học cho tập giá trị của (X,Y). + Lấy ngẫu nhiên hai số trong [0; 2]. Gọi X là số thứ nhất, Y là số thứ hai. Ta được (X, Y) là biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục. Hãy nêu tập giá trị và biểu diễn hình học cho tập giá trị của (X,Y). BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT . Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều • Cho (X, Y) là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {(xi, yj) | i, j =1,2,}. Định nghĩa: Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc (X,Y) là hàm hai biến được xác định bởi f(x,y) = P(X = x, Y = y). Nhận xét : Hàm xác suất có các tính chất sau (1) f(x,y) ≥ 0, với mọi (x,y) thuộc R2. (2) f(xi, yj) = P(X = xi, Y = yj) và f(x,y) = 0 với (x,y) ≠ (xi, yj). (3) Hệ biến cố {(X = xi)(Y = yj)} với (xi, yj) chạy khắp tập giá trị của (X,Y), là một hệ đầy đủ các biến cố nên   f (xi , y j )  1 i j Một hàm nào đó có ba tính chất trên cũng là một hàm phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT . Do f(x,y) = 0 với mọi (x,y) không thuộc tập giá trị của (X,Y) nên hàm xác suất còn được trình bày dưới dạng bảng như sau: Y y1 y2 .. yk . X x1 f(x1, y1) f(x1, y2) .. f(x1, yk) .. x2 f(x2, y1) f(x2, y2) .. f(x2, yk) .. : : : : : : : : : : : : xn f(xn, y1) f(xn, y2) .. f(xn, yk) : : : : : : : : : : : : Gọi là bảng phân phối xác suất của (X,Y). Với mỗi miền A cho trước trên mặt phẳng Oxy, ta được P[(X,Y)A]   f (xi , yj ) (xi ,y j )A BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT . Ví dụ 11 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với tập giá trị {1, 2, 3}, biến ngẫu nhiên Y với tập giá trị là {1, 2, 3, 4} và Bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y như sau: Y 1 2 3 4 X 1 0.1 0 0.1 0 2 0.3 0 0.1 c 3 0 0.2 0 0 Tìm hằng số c trong bảng trên, từ đó tính P(X ≥ 2, Y ≥ 2). BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT . Ví dụ 12 Hai chiếc ruột bút bi được chọn ngẫu nhiên từ một hộp gồm 3 ruột bút xanh lơ, 2 ruột bút đỏ, 3 ruột bút xanh lá cây. Gọi X là số ruột bút xanh lơ, Y là số ruột bút đỏ rút được. (a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y. (b)Tính P[ (X,Y) ∊ A], trong đó A là miền {(x, y) | x + y ≤ 1}. BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT . Cho biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X, Y). Định nghĩa: Hàm f(x, y) xác định trên R2 được gọi là hàm mật độ đồng thời của các biến ngẫu nhiên liên tục X và Y nếu thoả mãn: BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PP XÁC SUẤT . Ví dụ 13 Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y với hàm mật độ đồng thời là: c(2 x 3 y ), 0  x  1; 0  y  1 f(,) x y    0, (a) Xác định hằng số c; (b) Tính P[(X, Y) ∊ A], trong đó A = {(x, y)| 0< x < ½, ¼ < y < ½ } 5. PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN . • Nếu (X, Y) là biến ngẫu nhiên rời rạc, có bảng phân phối xác suất Y y1 y2 .. yk . X x1 f(x1, y1) f(x1, y2) .. f(x1, yk) .. x2 f(x2, y1) f(x2, y2) .. f(x2, yk) .. : : : : : : : : : : : : xn f(xn, y1) f(xn, y2) .. f(xn, yk) : : : : : : : : : : : : + Ta có P(X = xi) = P(X = xi, Y = y1) + P(X = xi, Y = y2) + + .. = tổng của các xác suất nằm ở hàng i, i =1, 2, + Tương tự cho P(Y = yj). PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN . Y y1 y2 .. yk . Tổng theo hàng X x1 f(x1, y1) f(x1, y2) .. f(x1, yk) .. p1 x2 f(x2, y1) f(x2, y2) .. f(x2, yk) .. p2 : : : : : : : : : : : : : : xn f(xn, y1) f(xn, y2) .. f(xn, yk) pn : : : : : : : : : : : : : : Tổng theo q1 q2 .. qk .. 1 cột Phân phối biên duyên của X X x1 x2 .. xn .. P(X= xi) p1 p2 . pn .. của Y Y y1 y2 .. yk .. P(Y=yj) q1 q2 . qk .. PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN . Ví dụ 14 Tìm phân phối biên duyên của X và Y biết phân phối xác suất đồng thời của chúng được cho trong bảng sau: X 0 1 2 Y 0 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/28 0 0 Nhận xét: Khi hàm xác suất của (X, Y) là f(x,y), thì phân phối biên duyên của X, Y lần lượt là h(y)  f (x , y) g(x)   f (x, y j )  i j i PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN . • Nếu (X, Y) là các biến ngẫu nhiên liên tục, thì ta thay tổng trong định nghĩa ở trường hợp rời rạc bởi tích phân. Giả sử (X,Y) có hàm mật độ là f(x,y). Hàm mật độ biên duyên của X, Y tương ứng ký hiệu là g(x) và h(y) được xác định như sau   g ( x)   f ( x, y)dy h( y)   f (x, y)dx   Ví dụ 15 Tìm g(x) và h(y) với hàm mật độ 6. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN . Định nghĩa: Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên, rời rạc hoặc liên tục với phân phối xác suất đồng thời f(x,y). Phân phối điều kiện của biến ngẫu nhiên Y với X = x đã xảy ra, là f (x, y) f (y/ x)  , g(x)  0 g(x) Tương tự, phân phối điều kiện của biến ngẫu nhiên X với Y = y đã xảy ra, là f (x, y) f (x / y)  , h( y)  0 h( y) + X, Y là biến ngẫu nhiên rời rạc: P(a  X  b /Y  y)   f (xi / y) xi(a,b) + X, Y là biến ngẫu nhiên liên tục: b P(a  X  b /Y  y)   f (x / y)dx a PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN . Ví dụ 16 Tìm phân phối biên duyên của X và Y biết phân phối xác suất đồng thời của chúng được cho trong bảng sau: X 0 1 2 Y 0 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/28 0 0 Tìm phân phối có điều kiện của X với điều kiện Y = 1 và dùng nó để xác định P(X = 0/Y = 1). PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN . Ví dụ 17 Cho hàm mật độ đồng thời x(1 3y2 )  , 0  x  2, 0  y 1 f (x, y)   4  0 , (x, y)(0,2) (0,1) Tìm g(x), h(y), f(x/y) và P(1/4 < X < 1/2 / Y =1/3). 7. ĐỘC LẬP THỐNG KÊ . Định nghĩa: Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên, rời rạc hoặc liên tục, có phân phối xác suất đồng thời f(x,y) và các phân phối biên duyên tương ứng g(x), h(y). Các biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập thống kê khi và chỉ khi f(x,y) = g(x)h(y), với mọi (x,y) nằm trong miền giá trị của (X, Y). Ví dụ 18 X và Y có phân phối xác suất đồng thời của chúng được cho trong bảng sau. X và Y là hai bnn độc lập hay phụ thuộc. X 0 1 2 Y 0 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/28 0 0 8. HÀM CỦA BNN HAI CHIỀU VÀ.. . Tự đọc giáo trình Các ý chính trong bài giảng tuần 4 • Biến ngẫu nhiên hai chiều và phân phối xác suất. • Phân phối biên duyên. • Phân phối xác suất điều kiện. • Độc lập thống kê.