Bài tập Giải tích tổ hợp

Bài Tập Giải Tích Tổ Hợp Dạng 1: Tính số lượng Bài 1: Cho 2 đường thẳng song song (d1) và (d2).Trên d1 có 17 điểm phân biệt ,d2 có 20 điểm phân biệt .Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm trên. Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ .Thầy chủ nhiệm muốn chọn 3 học sinh để tham gia tổ chức lễ khai giảng .Hỏi có bao nhiêu cách a) Chọn ra 3 học sinh trong lớp ? b) Chọn ra 3 hoc sinh trong lớp trong đó có 1 nam và 2 nữ ? c) Chọn ra 3 học sinh trong lớp trong đó có ít nhất 1 nam ? Bài 3: Cho tập A= {1,2,3,.,9}.Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600 000 xây dựng từ A Bài 4 : Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi.Cần chọn ra nhóm 3 học sinh đi dự cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào cả.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Bài 5: Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của 75000? Bài 6: Trên 1 mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì tạo nên bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳng đó? Bài 7: Xét 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số gồm 2,3,4,5.Hỏi có bao nhiêu số như thế: a) Năm chữ số 1 đứng kề nhau? b) Các chữ số đều xuất hiện tùy ý? Bài 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một cái ghế dài sao cho a) Bạn C ở chính giữa ? b) Hai bạn A,E ngồi ở 2 đầu ghế? Bài 9: Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5.Tìm tổng của các số gồm 5 chữ số tạo bởi các hoán vị của năm chữ số đó? Bài 10: Trong 1 phòng học có 2 chiếc ghế dài .Người ta cần xếp 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ vào 2 dãy ghế đó sao cho nam ngoài 1 ghế ,nữ ngồi 1 ghế .Hỏi có bao nhiêu cách xếp? Bài 11: Hỏi từ 10 chữ số 0,1,2,.,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong đó luôn có mặt chữ số 0 và 1? Bài 12: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó luôn có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ ? Bài 13: Có 9 viên bi xanh ,5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng a) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên bi trong đó có đúng 2 bi đỏ? b) Có bao nhiêu cách chon 6 viên bi mà số bi xanh bằng số bi đỏ Bài 14: Trong lớp học có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ.Cần chọn ra 3 học sinh sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Bài 15: Có 5 nhà toán học nam ,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam .Cần lập 1 đoàn công tác gồm có 3 người có cả nam ,nữ ,có cả nhà toán học và nhà vật lý học.Hỏi có bao nhiêu cách? Bài 16: Cho tập hợp gồm 10 phần tử khác nhau .Hỏi có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng gồm số phần tử chẵn? Bài 17:Một lớp học có 30 nam và 16 nữ .Cần 6 học sinh để lập 1 nhóm tốp ca .Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho: a) Phải có ít nhất 2 nữ b) Có đúng 2 nam Bài 18: Một đội văn nghệ gồm 20 người ,trong đó có 10 nam và 10 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 người sao cho: a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó? b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó? Bài 19: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người.Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người thường trực ở đồn .Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Bài 20: Có bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau bằng cách lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho 2 chữ số chẵn không đứng kề nhau? Bài 21: Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số khác nhau từ tập A={1,2,3,4,5,6} trong đó chữ số 1 và 6 đều xuất hiện 2 lần ,các chữ số khác có mặt đúng 1 lần Bài 22: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng của các chữ số của mỗi số là số lẽ? Bài 23: Từ 3 chữ số 1,2,3 co thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có mặt đầy đủ 3 chữ số trên? Bài 24: Xếp 3 viên bi đỏ có kích thướt khác nhau và 3 viên bi xanh kích thướt giống nhau vào 1 dãy gồm 7 ô trống . a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau? b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau mà sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau? Bài 25: Từ 1 tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình ,người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người .Tìm cách chọn trong các trường hợp sau: a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ ? b) Trong tổ có 1 tổ trưởng ,5 tổ viên ,hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ? Bài 26: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn luôn có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1 Bài 27: có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau mà chữ số 2 có mặt hai lần ,chữ số 3 xuất hiện ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần Bài 28: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một mà tổng của các chữ số này bằng 8 Bài 29: có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.Tính tổng các chữ số đó? Bài 30: cho tập A= {0,1,2,3,4,5} có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho : a) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10 b) chia hết cho 6 Dạng 2: Tìm hệ số chứa xktrong một khai triển Bài 1: Tìm số hạng không chứa x của khai triển Newton sau: a) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + x x 1 12 b) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +4 3 3 2 1 17 x x Bài 2: Trong khai triển sau: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 23 23 5 x x tìm hệ số của số hạng chứa x10 Bài 3: Tổng các hệ số của khai triển ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 22 12 3 nx nx n bằng 64.Tính số hạng không chứa x Bài 4: Tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển của ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − 4 1 4 xx n bằng 512. Tính số hạng không chứa x Bài 5: Tổng của hệ số của số hạng thứ 2 và thứ 3 của khai triển sau: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 65 2 2 1 x x n bằng 25,5 .Tính số hạng độc lập với x Bài 6: Với giá trị bao nhiêu của x thì số thứ tư của khai triển ( )31 22 xx m−− − bằng 20m, biết rằng hệ số tổ hợp thư tư trong khai triển gấp 5 lần hệ số tổ hợp thứ hai trong khai triển Bài 7: Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −12 12 x x n có số hạng thứ 3 và thứ 5 có tổng bằng 135,các hệ số của ba số hạng cuối của khai triển có tổng bằng 22 Bài 8: Tìm giá trị x sao cho khai triển ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + −− 5 3lg)2()310lg( 22 xx m sao cho số hạng thứ 6 là 21, các hệ số thứ hai ,ba ,bốn của khai triển là các số hạng thứ nhất ,ba và năm của một cấp số cộng Bài 9: Trong khai triển của ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +10 3 7 b a b a n có số hạng chứa ab.Tìm số hạng ấy Bài 10: Trong khai triển nhị thức ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − 15 28 3 xxx n hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x .Biết rằng 7921 =++ −− nnnnnn CCC Bài 11: Tìm số nguyên dương n sao cho trong khai triển sau ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +3 2 1 n tỉ số của sồ hạng thứ 4 và số hạng thứ 3 là 23 Bài 12: Với giá trị nào của x thì số hạng thứ 4 của khai triển lớn hơn số hạng thứ 3 và thứ 5 ( )x25 16+ Bài 13: Cho P(x) = (1+x) + 2(1+x)2 + 3(1+x)3 +.+ 20(1+x)20 được khai triển dưới dạng P(x) = a0+a1x+a2x2++a20x20.Tìm a15 Bài 14: Cho P(x) = (1+2x+3x2)10. Xác định hệ số của x3 trong khai triển của P(x) theo lũy thừa x Bài 15: Cho P(x) = (1+x+x2+x3)10.Tìm hệ số chứa x10 của khai triển ấy Bài 16: Cho P(x) = (1+2x)12 thành dạng a0 + a1x + a2x2 +..+ a12x12.Tìm max(a1,a2,,a12) Bài 17: Biết tổng các hệ số của khai triển sau (x2+1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a của số hạng chứa ax12 trong khai triển đó Dạng 3: Giải phương trình ,bất phương trình,hệ phương trình có chứa các công thức tổ hợp ,chỉnh hợp và giai thừa Bài 1: giải các phương trình sau a) xCCC xxx 2 7321 =++ b) 23 24 43 1 4 =− −+ nnn n CA A c) xxCCC xxx 14966 2321 −=++ d) )1(72 3 1 2 1 −=+ −−+ xCC xxx e) 243 32 xxx ACA =− f) xx x x PPA 7 302 1 1 1 =+ −−+ g) 79 1 1 1 = − − + + x yx y x P PA h) 720 5 5 3 = − + xx x PA P i) 3365 1 5 =− − x x x C A j) 1023..... 10921 =++++ −−−− xxxxxxxx CCCC Bài 2 : giải các bất phương trình và hệ sau: a) 256 11 1 −+ + == Y x y x y x CCC b) 10 6 2 1 322 2 +≤− xxx CxAA c) { 8025 9052 =− =+ yy y x y x CA CA xx d) { 720 126 1 1 = =+ + − − x xy y x x y P C P A e) 52 2 3 112 22 1 ++− −− − =++= y x y x y x y x y x CCCCC f) 1210 111 11 −−− −− ==+ y x y x y x y x CAyAA Dạng 4: Chứng minh các hệ thức giải tích tổ hợp Bài 1: Cho hai số nguyên n và m thỏa mãn 0 < m < n. Chứng minh rằng 11 − −= mnmn nCmC Bài 2: Chứng minh rằng: 122 3 2 1 2 2 2 2 2 0 2 ........ −+++=+++ nnnnnnnn CCCCCC Bài 3: Tính tổng sau: S = 11 11 10 11 9 11 8 11 7 11 6 11 CCCCCC +++++ Bài 4: Chứng minh rằng: 1616 16 02 16 141 16 150 16 16 23......333 =+−+− CCCC Bài 5: Tính tổng sau: S= 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 CCCCC ++++ Bài 6: Chứng minh rằng: k n k n k n k n k n CCCCC 3 321 33 + −−− =+++ Bài 7: Chứng minh rằng: 1 1 11 2 1 1 ..... − − −− − − − ++++= mmmmmnmnmn CCCCC Bài 8: Chứng minh rằng: k n k n k n k n k n k n CCCCCC 4 4321 464 + −−−− =++++ Bài 9: Chứng minh rằng: 20020 1 2001 2002 2001 20022002 2000 2001 1 2002 2001 2002 0 2002 2.1001..... =++++ −− CCCCCCCC kkk Bài 10: Chứng minh rằng: 1 12 1 1.... 3 1 2 11 1 11 + −=+++++ − n C n CC n n nnn Bài 11: Chứng minh rằng: 22 1 22 )1(.... 6 1 4 1 2 1 210 +=+ −+−+− n C n CCC nn n nnn Bài 12: Chứng minh rằng: 2432 2)1().1.(......3.4.2.3.1.2 −−=−++++ nnnnnn nnCnnCCC Bài 13: Chứng minh rằng: 11312111 4.....3.33.23. −−−− =++++ nnnnnnnn nnCCCC Bài 14: Tính tổng S= 2000 2000 2 2000 1 2000 0 2000 2001.....32 CCCC ++++ Bài 15: Chứng minh rằng: n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )(....)()()( =++++