Các dạng toán thường gặp trong phép biến hình và phép dời hình

A qua d - Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm . - Thật vậy : . Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó : . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng với M’. Ví dụ 4 . Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài . Giải Vẽ hình : a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán - Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d . Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với (O’;R’) - Từ đó suy ra cách tìm : Tìm hai đường tròn ảnh của hai đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần lượt là (C’) và (C’’) Hai đường tròn này cắt hai đường tròn đã cho tại . Sau đó kẻ hai đường thẳng d’’ và d’’’ qua cắt (O;R) và (O’;R’) tại Các điểm cần tìm là và b/ Nếu MT và MT’ nhận d là phân giác trong hoặc ngoài của góc TIT’ thì MT và MT’ đối xứng nhau qua d . Từ đó suy ra cách tìm : - Gọi d’ là ảnh của MT qua phép đối xứng d nghĩa là d’ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d. Mặt khác d’ là tiếp tuyến của (O’;R’) . Cho d’ là tiếp tuyến chung của (C ) với (O’;R’) . Từ đó ta suy ra cách tìm M : Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) . Khi đó d’ cắt d tại M . Chính là điểm cần tìm . Tương tự áp dụng cho (O’;R’) Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d . BÀI TOÁN 3:TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài toán : Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 . Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ? Cách giải : Bước 1: Gọi B(x’;y’) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm của AB thì điều kiện : Bước 2: Giải hai điều kiện (1) và (2) suy ra tọa độ của B Ví dụ 1. Cho điểm M(2;3) tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d : y=x Giải - Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là : - Ta có : . - Điều kiện (*) Ví dụ 2. Cho điểm M(2;-3) . Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d : y-2x=0 Giải - Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là : - Ta có : . - Điều kiện (*) BÀI TOÁN 4:CHO (C ) VÀ (d) HÃY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH (C’) LÀ ẢNH CỦA (C ) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC d CÁCH GIẢI Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’,B’ Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d . Giải - Tìm giao của d và d’ bằng A(x;y) là nghiệm của hệ : .A(-2;-2) - Trên d’ lấy điểm M (3;3) . Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d .Gọi H là trungđiểm của MN thì điều kiện để M,N đối xứng nhau qua d là : (*) - Ta có : - Điều kiện (*) . - Đường thẳng (m) là đường thẳng đi qua AN có véc tơ chỉ phương là , nên (m) có phương trình là : . Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d: 2x-y+2=0 ; d’ : x+3y-3=0 . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng d’ . Giải - Tìm tọa độ điểm A là giao của d với d’ . Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ hai phương trình : - Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2) - Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d’ . Khi đó nếu M,N đối xứng nhau qua d’ thì điều kiện : (*) Với H là trung điểm của MN , là véc tơ chỉ phương của d’ . Ta có : . - Điều kiện (*) - Đường thẳng (m) =(AN) đi qua và có véc tơ chỉ phương . Do đó (m) : . Ví dụ 3 . Cho đường tròn (C ) : và đường thẳng d : 2x-y+2=0. Hãy viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục d . Giải Do tính chất của phép đối xứng trục biến (C ) thành (C’) có cùng bán kính . Cho nên ta chỉ cần tìm tọa độ tâm I’ của (C’) đối xứng với tâm I của (C ) . Vậy từ giả thiết ta có tâm I của (C ) có tọa độ : I(2;-1) và R=2 . - Gọi I’(x;y ) là tâm của (C’)H là trung điểm của II’ , là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d . Để I’ đối xứng với I qua d thì điều kiện : (*) -Ta có : . - Điều kiện (*) - Vậy (C’): . Ví dụ 4. Cho (E) : . Và đường thẳng d : x+y-2=0 . Lập phương trình (E’) là ảnh của (E) qua phép đối xứng trục d . Giải Vẽ (E) chỉ ra tọa độ các đỉnh của trục lớn : A(3;0) ,A’(-3;0) và tọa độ hai đỉnh của trục nhỏ : B(0;2) ;B’(0;-2 ) - Tìm tọa độ của 4 đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là ảnh của 4 đỉnh hình chữ nhật cơ sở của (E) đã cho . Bằng cách giải các bài toán nhỏ như ở trên , dễ dàng tìm được tạo độ của O’(2;2) là ảnh của O(0;0) , M’(4;5) là ảnh của M(-3;-2 ). N’(4;-1 ) là ảnh của N(3;-2) . P’(0;-1) là ảnh của P(3;2) và Q’( 0;5) là ảnh của Q(-3;2) . - Áp dụng cách vữ (E) ta suy ra cách vẽ của (E’) . * Chú ý : Đây là bài toán tương đối khó , chưa gặp trong các đề thi đại học , nhưng lấy ví dụ này là để mở rộng cho trường hợp đối xứng trục . Dù đường (C ) cho là đường gì đi chăng nữa , ta chỉ cần sử dụng tốt kiến thức đã học là có thể giải được . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Gọi m là đường phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC . Chứng minh rằng với mọi điểm M trên m , chu vi tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC Bài 2. Cho (E) với hai tiêu điểm . Gọi M là một điểm nằm trên (E) nhưng không nằm trên đường thẳng và m là phân giác ngoài tại đỉnh M của tam giác M. Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại M duy nhất ( đường thẳng m như thế gọi là tiếp tuyến của E tại M ) Bài 3. Cho đường tròn (C ) : . Tìm phương trình đường tròn (C’) qua phép đối xứng trục d : x-y-0 . Bài 4 . Cho hai đường thẳng d : x-y+2=0 và d’: 3x+4y-1=0 . Tìm đường thẳng m là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xừng trục là d’ . Bài 5. Cho đường thẳng d: x+y-2=0 và hai điểm A(-4;-3) ,B(2;-1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất Bài 6. Cho hai điểm A(4;3) và B(-2;0) . Tìm trên đường thẳng d : x+y-2=0 điểm M sao cho đạt gía trị lớn nhất . Bài 7.( Bài 39-tr106-BTHH10NC) Cho tam giác ABC có đỉnh A. Hai đường phân giác trong của hai góc B và C lần lượt có phương trình x-2y-1=0 và x+3y-1=0 . Viết phương trình cạnh BC của tam giác . GỢI Ý CÁCH GIẢI Bài 1. Kẻ đường phân giác ngoài của góc A . Tìm điểm C’ đối xứng với C qua m . T a có : MB+MC=MB+MC’. Mà BC’=AB+AC . Suy ra MB+MC+BC . Đó chính là điều phải chứng minh . Bài 2. Giả sử trục lớn của (E) là 2a , tức là M nằm trên E khi : . Theo cách chứng minh bài 1 , nếu M’ nằm trên phân giác m thì : . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’ trùng với M . Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên E . Suy ra m cắt E tại một điểm duy nhất tại M . Bài 3. Đường tròn (C ) có tâm I(3;-1) và bán kính R=3 . Gọi I’ là tâm của đường tròn (C’) . Nếu I và I’ đối xứng nhau qua d thì ta có hệ : . Vậy đường tròn (C’): đối xứng với (C ) qua trục đối xứng d . Bài 4. Gọi A là giao của d và d’ thì tọa độ A là nghiệm của hệ : . Trên d lấy điểm M(0;2) . Tìm M’(x;y) là ảnh của M qua phép đối xứng trục d’ ( có Khi đó tọa độ M’ là nghiệm của hệ : . Khi đó đường thẳng m đối xứng với d qua d’ là đường thẳng AM’ đi qua A(-1;1) có véc tơ chỉ phương suy ra (m) : . Hay đường thẳng (m) : 19x-8y+27=0. Bài 5. Tìm tọa độ A’(x;y) đối xứng với A(-4;-3) qua phép đối xứng trục d: x+y-2=0 Suy ra hệ : . Lập đường thẳng (A’B) đi qua A’(5;6) có véc tơ chỉ phương . Do đó (A’B): . Vậy M là giao của (A’B) với d cho nên tọa độ của M là nghiệm của hệ : Bài 6. Tương tự cách làm bài tập 5 , ta có tạo độ A’(x;y) đối xứng với A(4;3) qua d là nghiệm của hệ : . Đường thẳng (A’B) đi qua B(-2;0) có véc tơ chỉ phương : . Do đó (A’B): . Điểm M cần tìm là giao của (A’B) với d , cho nên tọa độ M là nghiệm của hệ : . Bài 7. Tìm tọa độ hai điểm M,N lần lượt là ảnh của A qua phép đối xứng trục là hai đường phân giác của hai góc B và C , thì M,N phải nằm trên BC . Từ đó đường thẳng (BC) chính là đường thẳng (MN) : y+1=0 . Bài 4. PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 1. Định nghĩa phép quay . * Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác không đổi . Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’và góc (OM;OM’)= . Được gọi là phép quay tâm O góc quay là . 2. Định lý : Phép quay là phép dời hình . 3. Phép đối xứng tâm . * Định nghĩa : Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình , biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O , có nghĩa là : . * Ký hiệu và các thuật ngữ : Phép đối xứng tâm O ký hiệu : . Trong đó O là tâm đối xứng *Biểu thức tọa độ : Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(a;b) . Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thì : ( Đó chính là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ) . * Tâm đối xứng của một hình : Là điểm sao cho biến hình H thành chính nó *Biểu thức tọa độ của phép quay có tâm I(a;b) điểm M(x;y) , điểm M’(x’;y’) và góc quay là : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I,) , với I(a; b). Khi đó Q(I,) biến điểm M (x; y) thành M’(x’; y’) xác định bởi: (IVb) ( Chứng minh cho HS ) 4. Các ứng dụng của phép quay và đối xứng tâm . BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM Bài toán : Cho hình H và một điểm M thay đổi trên đường (C ) ( thuộc H ). Tìm quỹ tích của điểm N khi M thay đổi . Cách giải : Bước 1: Tìm một điểm I cố định sao cho I là trung điểm của MN Bước 2: Dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm I ta suy ra quỹ tích của N Ví dụ 1. ( bài toán 2-tr17-HH11NC). Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A,B cố định . Với mỗi điểm M , ta xác định điểm M’ sao cho . Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên (O;R) . Giải Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất của véc tơ trung tuyến thì : , suy ra : . Có nghĩa là I là trung điểm của MM’ Ví A,B cố định , cho nên I cố định . Do đó . Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) Cách xác định (O’;R) như sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO . Sau đó lấy O’ làm tâm , quay đường tròn có bán kính R . Ví dụ 2. ( Bài 17-tr19-HH11NC). Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R)và một điểm A thay đổi tren đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định . ( Hay : tìm quỹ tích của H khi A thay đổi ). Giải Vẽ hình theo giả thiết cho . Nối đường kính AM , tìm vị trí của H . Ta thấy CH ∟AB và MB∟AB suy ra CH//BM . Tương tự BH//MC và tứ giác BHCM là hình bình hành , do đoa hai đường chéo BC và MH cắt nhau tại trung điểm I của BC . Do B,C cố định cho nên I cố định . Vậy H là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I . Mặt khác M chạy trên (O;R) do đó H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I . Ví dụ 3. ( Bài 34-tr10-BTHH11NC) . Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a . Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a? Giải - Vẽ hình . Từ hình vẽ và tính chất của tam giác đều ta thấy góc . Như vậy phép quay tâm G với góc quay bién A thành C và biến A thành B . Nhưng A chạy trên d vì thế B và C chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay . Ví dụ 4. ( Bài 35-tr10-BTHH11NC). Cho đường tròn (O) và tam giác ABC . Một điểm M thay đổi trên (O) . Gọi là điểm đối xứng với M qua A, là điểm đối xứng với qua B và là điểm đối xứng với qua C . Tìm quỹ tích điểm ? Giải . - Vẽ hình . Từ hình vẽ ta có : Do, đối xứng nhau qua B cho nên - Vì và đối xứng nhau qua C cho nên : (2) . Từ (1) và (2) chứng tỏ BC là đường trung bình của tam giác , có nghĩa là BC// (3) . - Gọi D là trung điểm của M thì AD là đường trung bình của tam giác (4) . Từ (3) và (4) suy ra AD//BC và tứ giác ABCD là hình bình hành . Có nghĩa là D cố định. Như vậy : . Mà M chạy trên (O) cho nên Chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm D . BÀI TOÁN 2: DỰNG HÌNH Hãy tham khảo một vài ví dụ sau Ví dụ 1. ( Bài toán 3-tr17-HH11NC) Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại hai điểm B,C . Hãy dựng một đường thẳng d đi qua A và cắt (O;R) và (O’;R’) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN . Giải - Giả sử đường thẳng d đã dựng xong , do A là trung điểm của MN cho nên N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A vì vậy N phải nằm trên đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn (O;R) ( vì M chạy trên (O) ). Mặt khác N lại thuộc (O’;R’) vì thế cho nên N là giao của (O’’) với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách dựng . +/ Dựng đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn (O) : Nối OA , đặt OA=O’’A . +/ Đường tròn (O’’) cắt đường tròn (O’) tại N . Nối NA cắt (O) tại M . Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của (O’’) cắt (O’) . Ví dụ 2. ( Bài 18-tr19-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) , đường thẳng d và điểm I . Tìm điểm A trên (O;R) và điểm B trên d sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Giải - Vẽ hình . Do I là trung điểm của AB cho nên B là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I . Mặt khác A chạy trên (O;R) vì thế B chạy trên đường tròn (O’’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm I . Nhưng B lại nằm trên d vì vậy B là giao của d với (O’’) -Từ đó suy ra cách tìm . Nối IO đặt IO=IO’’ , sau đó dựng đường tròn (O’’) bán kính R , cắt d tại B . Nối BI cắt (O;R) tại A . - Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của (O’’) với d . BÀI TOÁN 3: BÀI TOÁN CHỨNG MINH Để làm được dạng bài toán chứng minh ta cần phải lắm chắc kiến thức về phép đối xứng tâm và phép quay . Đồng thời phải nhớ lại các kiến thức về tam giác , tứ giác : Hình bình hành , hình vuông , hình chữ nhật . Ví dụ 1. ( Bài toán 1-tr17-HH11NC) Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ . Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’ . Chứng minh rằng OCD là tam giác đều ? Giải Xét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng giác ( OA,OB)=. Rõ ràng A biến thành B và A’ biến thành B’ , vì thế cho nên phép quay đã biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ . Từ đó suy ra phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD . Vì góc quay bằng cho nên tam giác cân OCD là tam giác đều . Ví dụ 2. ( Bài 43-tr11-BTHH11NC)Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm là O và O’ . a/ Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A,B và cho C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn đi qua một điểm cố định . b/ Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân . Giải . a/ Vẽ hình theo giả thiết đã cho . Từ hình vẽ , giải cho học sinh bài toán phụ : Cho hai điểm A,B cố dịnh , với mỗi điểm M và với hai phép quay tâm A , tâm B có cùng góc quay thì phép hợp của hai phép quay là một phép đối xứng mà tâm đối xứng là đỉnh goác vuông của tam giác vuông cân OAB ( O là tâm đối xứng ). - Như vậy : đi qua tâm đối xứng H được xác định bằng cách dựng tam giác vuông cân HAB b/ Tương tự như trên : đi qua tâm đối xứng I được xác định bằng tam giác vuông cân OO’I ( với I là đỉnh của góc vuông ). Như vậy tam giác O’OI là tam giác vuông cân . BÀI TOÁN 4: TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH BẰNG PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM CÁCH GIẢI . Sử dụng các định nghĩa , tính chất của phép quay và phép đối xứng tâm cùng với biểu thức tọa độ của chúng . Ví dụ 1. ( Bài 1-tr15-HH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d có phương trình : x-2y+3=0 . Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O Giải - Gọi A’(x;y) là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O(0;0) . Theo công thức tọa độ của phép đối xứng ta có : - Tương tự Gọi M(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc d và M’(x’;y’) là một điểm bất kỳ thuộc d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O . Theo công thức tọa độ của phép đối xứng ta có : . Do đó d’ có phương trình là : x-2y-3=0 . Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R) : và (E) : điểm I(1;2) . Tìm ảnh của (O;R) và (E’) qua phép đối xứng tâm I Giải Gọi M(x;y) là điểm bất kỳ thuộc (O;R) và (E) . Từ công thức chuyển trục ta có : *Chú ý : (O;R) : . Ta chỉ tìm J’(x;y) là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I(1;2) bằng công thức chuyển trục tọa độ : . Do đó (O’) : là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I . Ví dụ 3.( Bài 1.13-BTHH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x-2y+2=0 và d’: x-2y-8=0 . Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó . Giải Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta làm như sau : - Gọi M(x’y) thuộc d , M’(x’;y’) thuộc d’ . Giả sử tâm đối xứng là I(a;b) , thì theo công thức chuyển trục : . - Để trục Ox thành chính nó thì tâm đối xứng phải có dạng : I(a;0) tức là b=0 - Từ hai kết quả trên ta có : . Ví dụ 4. ( Bài 1.14 –tr-21-BTHH11CB) Cho ba điểm không thẳng hàng I,J,K . Hãy dựng tam giác ABC nhận I,J,K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB . Giải - Phân tích : Giả sử tam giác ABC đã dựng xong thỏa mãn điều kiện đầu bài . Vì I,J,K là trung diểm cho nên Ị là đường trung bình suy ra Ị=KB , tương tự KJ=IC . Từ đó suy ra cách dựng : +/ Tìm điểm P là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I +/ Kẻ Px //KJ và đặt PQ=KJ . Từ Q kẻ Qy //Ị và đặt QC=IP. +/ Tìm B đối xứng với C qua I và A đối xứng với B qua K . Như vậ tam giác ABC đã dựng xong . * Chú ý : Ngoài cách trên ta còn có cách khác như sau +/ Lấy một điểm N bất kỳ . Tìm các điểm M đối xứng với N qua I , P đối xứng với N qua J và Q đối xứng với P qua K . ( Vẽ hình ) +/ Từ đó suy ra : . Do đó C là trung điểm của MQ . Từ đó suy ra cách dựng . Ví dụ 5 ( Bài 1-tr19-HH11NC) Cho hình vuông ABCD a/ Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc quay b/ Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay . Giải a/ Từ hình vẽ ta thấy ảnh của C qua phép quay tâm A góc là C’ hoặc C’’ sao cho các tam giác ACC’ và ACC’’ là các tam giác vuông cân b/ Ta nhận thấy ảnh của C qua phép quay tâm O góc quay là B hoặc D . Còn ảnh của B qua phép quay tâm O góc quay là A hoặc C , do đó ảnh của BC là AB hoặc DC . Ví dụ 6 .( Bài 2-tr19-HH11-NC) . Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (2;0) và đường thẳng d : x+y-2=0 . Tìm ảnh của điểm A và d qua phép quay tâm O góc quay . Giải - Vẽ hình . Từ hình vẽ ta thấy A thuộc d . Ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay . Là B(0;-2) hoặc B’(0;2) . Điểm B’ có ảnh qua phép quay là A(2;0) hoặc A’(-2;0) - Vì B’ và A nằm trên d cho nên ảnh của d qua phép quay này sẽ là (AB) hoặc (A’B’) lần lượt có phưng trình : . PHÉP VỊ TỰ I. ĐỊNH NGHĨA Cho điểm O và một số . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’ sao cho được gọi là phép vị tự tâm , tỉ số vị tự là k . Ký hiệu : , hay : M’= II. TÍNH CHẤT - Tính chất 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì : . - Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k : a/ Biến ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm ấy b/ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng âý , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng . c/ Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó , biến một góc thành một góc bằng nó . d/ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính . III. TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN 1. Định lý : Với hai đường tròn bất kỳ luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia và ngược lại .Tâm của phép vị tự gọi là tâm vị tự của hai đường tròn 2. Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn . Trường hợp : I trùng với I’ . Khi đó phép vị tự tâm I tỉ số R’/Rvà phép vị tự tâm I tỉ số -R’/R biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I;R’) . Trường hợp I. Trên (O;R) lấy một diểm M bất kỳ , trên (O’;R’) lấy điểm M’ sao cho IM//I’M’ và I’M’’//IM . Hai đường thẳng MM’ và MM’’ cắt đường thẳng nối hai tâm II’ tại hai điểm O và O’ . Khi đó O nằm ngoài II’ gọi là tâm vị tự ngoài , còn O’ nằm trong đoạn II’ gọi là tâm vị tự trong . Trường hợp I khác I’ và R=R’ . Khi đó MM’//II’ nên chỉ có phép vị tự tâm O’ với k=-1 . Đó chính là phép đối xứng . IV. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BÀI TOÁN 1 :TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP VỊ TỰ Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự . Từ định nghía nếu tâm vị tự là I(a;b) , điểm M(x;y) điểm M’(x’;y’) thì ta có : (*) . Chính là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k . . Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x+2y-6=0 . Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số vị tự k=-2 ? Giải Gọi M(x;y) thuộc d ,M’(x’;y’) là một điểm bát kỳ thuộc d’ thì theo biểu thức tọa độ của phép vị tự ta có : . Thay vào phương trình của đường thẳng d: Do vậy d’: 3x+2y-9=0 . Ví dụ 2 .( Bài 1.23-tr33-BTHH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x+y-4=0 a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số vị tự k=3 . b/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I (-1;2) tỉ số vị tự k=-2 Giải a/ Từ công thức tọa độ : Do đó đường thẳng d’: 2x+y-12=0 . b/ Tương tự : . Do đó đường thẳng d’’: 2x+y+8=0 . Ví dụ 3. ( Bài 1.24-tr33-BTHH11-CB) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): . Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2 . Giải Đường tròn (C ) có tâm O(3;-1) bán kính R=3. Gọi O’ (x’;y’) là tâm của (C’) ,R’ là bán kính của (C’) . Ta có tọa độ của O’ thỏa mãn biểu thực tọa độ của phép vị tự : . Vậy (C’) : BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐẺ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Để xác định một điểm M ta xem nó như là ảnh của một điểm A nào đó đã biết qua phép vị tự , hoặc xem M như là giao của của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép vị tự . Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có hai góc B,C đều nhọn . Dựng hình chữ nhật DEEG có EF=2DE với hai đỉnh D,E nằm trên BC và hai đỉnh F,G nẵm trên hai cạnh AC và AB . Giải - Vẽ hình ( đã thỏa mãn yêu cầu bài toán ). * Phân tích : + Giả sử hình chữ nhật đã dựng xong , trên AB lấy một điểm G’ bất kỳ , dựng hình chữ nhật G’F’E’F’ có E’F’=2D’E’ và hai đỉnh D’,E’ thuộc BC , nối BF’ cắt AC tại F , khi đó ta có : . Chứng tỏ B,F’F thẳng hàng .Ta có thể xem hình chữ nhật DEFG là ảnh của hình chữ nhật D’E’F’G’ qua phép vị tự tâm B tỉ số vị tự : . Từ đó suy ra cách dựng . * Cách dựng : - Lấy điểm G’ tùy ý trên AB , sau đó dựng hình chữ nhật G’F’E’D’ có E’F’=2 D’E’, hai đỉnh D’E’ nẵm trên BC . - Nối BF’ cắt AC tại F , đường thẳng qua F song song với BC cắt AB tại G . Gọi D và E là hình chiếu của G và F trên BC . Thì hình chữ nhật DEFG là hình chữ nhật cần dựng . * Chứng minh : Thật vậy : Vì GF //G’F’ , GD//G’D’ nên : Từ đó suy ra : . Như vậy hình chữ nhật đã dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán . Ví dụ 2. ( Bài 1.25-tr33-BTHH11CB). Cho nửa đường tròn đường kính AB . Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn , hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó . Giải Vẽ hình , từ hình vẽ ta có các bước sau . * Phân tích . Giả sử hình vuông MNPQ đã dựng xong thỏa mãn yêu cầu bài toán ( với M,N nẵm trên AB , còn P,Q nằm trên nửa đường tròn ).Gọi O là trung điểm của AB Nối OQ và OP, dựng hình vuông M’N’P’Q’ sao cho M’,N’ nằm trên AB và O là trung điểm của M’N’ . Khi đó ta có : . Ta xem như MNPQ là ảnh của M’N’P’Q’ qua phép vị tự tâm O tỉ số k=. Từ đó suy ra : * Cách dựng : - Dựng hình vuông M’N’P’Q’ ( có M’N’ thuộc AB và O là trung điểm của M’N’ ) - Nối OP’ và OQ’ chúng cắt (O,AB) tại P và Q - Hình chiếu của P và Q trên AB là N và M . Khi đó MNPQ chính là hình vuông cần dựng . * Chứng minh : Do M’N’P’Q’ là hình vuông , cho nên M’N’//AB . Tam giác OM’N’ đồng dạng với tam giác OPQ suy ra : . Ví dụ 3. ( Bài 1.26-tr33-BTHH11CB). Cho góc nhọn Oxy và điểm C nằm trong góc đó . Tìm trên Oy một điểm A sao cho khoảng cách từ A đến trục Ox = AC . Giải - Vẽ hình . Căn cứ vào hình vẽ ta có phân tích sau * Phân tích : Gọi B là hình chiếu của A trên Ox . theo đầu bài thì tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A ( AB=AC ) . Giả sử tam giác A’B’C là một tam giác cân đỉnh là A’ có A’B’ vuông góc với Ox . Dễ dàng nhận thấy hai tam giác này đồng dạng vì thế ta có : . Ta coi tam giác ABC là ảnh của tam giác A’B’C’ qua phép vị tự tâm OP tỉ số vị tự là k . Từ đó suy ra cách dựng : * Cách dựng : - Nối OC , sau đó trên Oy lấy điểm A’ , tìm B’ là hình chiếu của A’ trên Ox ( kẻ A’B’ vuông góc với Ox) . - Dùng com pa lấy A’ làm tâm , quay cung tròn có bán kính bằng A’B’ cắt OC tại C’ . - Từ C kẻ hai đường thẳng song song với hai cạnh A’C’ và C’B’ chúng cắt hai cạnh Oy và Ox tại A và B . Tam giác ABC là tam giác cần tìm * Chứng minh : Giống cách phân tích Ví dụ 4. ( Bài tập O.11-tr76-BTHH10 –T6-2000) Cho tam giác nhọn ABC . Hãy dựng hình vuông MNPQ sao cho M,N nằm trên cạnh BC , P,Q nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác . Giải - Vẽ hình . Từ hình vẽ ta có cách phân tích : Gọi một hình vuông M’N’P’Q’ có cạnh M’N’ thuộc BC và M’N’=N’P’=P’Q’=Q’M’ và bằng a cố định Nếu ta coi hình vuông MNPQ là ảnh của một phép vị tự tâm B với tỉ số vị tự nào đó thì : . Suy ra cách dựng . - Trên AB lấy một điểm Q’ bất kỳ , kẻ đường thẳng qua Q’ vuông góc với BC cắt BC tại M’ . Sau đó đặt M’N’=A’M’ , dựng hình vuông M’N’P’Q’ . - Nố