Chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng

Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11 Chủ đề: ĐẠO HÀM CẤP CAO I- LÝ THUYẾT:    / ( ) ( ) ; . : ; Cho hµm sè: (1) Gi¶ sö hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mäi Khi ®ã t­¬ng øng: y f x y f x x a b f a b R     / / ( ) ( ), ( ). ( ) cho ta mét hµm sè míi. V× hµm sè nµy x©y dùng tõ hµm sè hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi hµm sè ®ã nªn ®­îc gäi lµ ®¹o hµm cña hµm sè T­¬ng tù, nÕu hµm sè: (2 x f x y f x y f x y f x         // // ; ; ( ) ( ). ) cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm th× ta lËp ®­îc ®¹o hµm cña (2) theo c¸ch trªn gäi lµ ®¹o hµm cÊp hai cña vµ kÝ hiÖu lµ: x c d a b y f x y f x     * TỔNG QUÁT:     ( -1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ; : ; ( ) NÕu hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm th× t­¬ng øng: cho ta ®¹o hµm cña n n n n y f x x c d f c d R x f x     ( -1) ( 1) ( ), ( ) gäi lµ ®¹o hµm cÊp cña hµm sè vµ kÝ hiÖu lµ:n ny f x n y f x  ( ) ( ) ( ) n ny f x Nh­ vËy: /( ) ( 1) ( ) 4 n ny f x n      II- THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH ĐẠO HÀM CẤP n CỦA HÀM SỐ: * Bước 1: // ///, , ,/TÝnh y ... vµ tiÕn hµnh dù ®o¸n ®¹o hµm cÊp n dùa trªn logic.y y * Bước 2: Chøng minh dù ®o¸n b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc. III- MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ VÍ DỤ CẦN LƯU Ý: Bài tập 1: Chøng minh r»ng:    ( ) ( )sin 2 2 a) sin b) cos cos n nn nax a ax n ax a ax np p                 Giải: Ta có:       / ( ) ( 1) 1 sin 1 2 sin 2 1 sin ( 1) 2 cos sin (*) §óng víi Gi¶ sö (*) ®óng ®Õn , tøc lµ: sin Ta cÇn chøng minh (*) còng ®óng víi , tøc lµ: sin k k k k ax a ax a ax n n k ax a ax k n k ax a ax k p p p                           / //( 1) ( )sin sin . 2 2 2 Ta cã: sin cos k k k kax ax a ax k a ax k ax kp p p                                               Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11 1 1 1 ( 1) 2 2 2 2 cos sin sink k ka ax k a ax k a ax kp p p p                                 Chøng minh t­¬ng tù, ta ®­îc:  ( ) 2 cos cos n nax a ax n p       Ví dụ áp dụng: ( ) , sin5 .cos2TÝnh biÕt ny y x x Giải: Ta có:   ( ) 1sin 5 .cos 2 sin 7 sin 3 2 1 7 sin 7 3 sin 3 2 2 2 n n n y x x x x y x n x np p                         Ví dụ áp dụng: 2 (25)sin .Cho TÝnh y x x y Giải: (0)¸p dông c«ng thøc Lai-b¬-nit (Leibnitz). Quy ­íc: u u  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) / 1 / ( 1) ( ) 0 . . ... . . nn k n k k n n n n n n n n n n k uv C u v u v C u v C u v C u v                       ( )2 (25) (25) (24) (23)(25) 2 2 2 2 / 2 // 2 0 3 25.24sin . sin . sin . 25 sin .( ) sin .( ) 2 sin 25. 50 sin 24. 600sin 23. 2 2 2 vµ chó ý r»ng: Ta ®­îc: S k x k y x x x x x x x x x x x x x x xp p p                                         (25) 2 600 cos 50 sinuy ra: y x x x x   Ví dụ áp dụng: 2 (2 )(1 )cos .Cho TÝnh ny x x y  Giải: Ta cã:      (2 ) (2 1) (2 2)(2 ) 2 1 2 / 2 2 //2 2 2 2 cos (1 ) cos (1 ) cos (1 ) 2 (2 1)(1 )cos( ) 4 cos (2 1) 2. cos (2 2) 2 2 2 ( 1) (1 )cos 24 cos ( ) 2 n n nn n n n y x x C x x C x x n nx x n nx x n x n x x nx x n p pp p p                                     1 2 2 2 (2 ) 2 2 ( 1) (4 2 )cos ( 1) (4 2 1 )cos ( 1) 4 sin ( 1) (4 2 1 )cos 4 sin VËy: n n n n n n n x n n x x nx x y n n x x nx x                    Ví dụ áp dụng:   (10)0 .Cho TÝnh y x x y  Giải: Ta cã: Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11   / // // 2 /// 2 3 2 (4) 3 4 3 (10) 9 10 9 (10) 10 9 1 ; 2 1 1 1 1 1( 1) ; 2 2 2 1 1.3( 1) ; 2 1 3.5( 1) ; 2 ... 1 1.3.5.7.9.11.13.15.17( 1) ; 2 1 17!! 2 VËy: y x x y xx x x y x x y x x y x x y x                             17!! 1.3.5.7.9.11.13.15.17 0 ; ë ®©y x x   Ví dụ áp dụng: (10)sin .sin 2 .sin3 .Cho TÝnh y x x x y Giải: H­íng dÉn: Ph©n tÝch thµnh tæng råi t×m ®¹o hµm dÇn tõng bËc. (10) 8 18 8 102 sin 2 2 sin 4 2 .3 sin 6 .§¸p sè: y x x x   Ví dụ áp dụng: (10). 2 .Cho cos TÝnh y x x y Giải: ¸p dông c«ng thøc Lai-b¬-nit (Leibnitz).  (10) 1024 . 2 5sin 2 .§¸p sè: cosy x x x  Bài tập 2: Chøng minh r»ng:   ( ) 1 1 . !( 1) . n n n n a n ax b ax b         Giải: Ta có:         / / 2 2 ( ) 1 1 1 .1!( 1) 1 1 . !, ( 1) . §óng (**) víi Gi¶ sö (**) ®óng víi tøc lµ: Ta cÇn chøng minh (**) còng ®óng víi n=k+1, tøc lµ chøng m k k k k aax b n ax b ax b ax b a kn k ax b ax b                      ( 1) 1 1 2 1 .( 1)!( 1) . inh: k k k k a k ax b ax b                 / //( 1) ( ) 1 1 1 1 . ! 1( 1) . ( 1) . ! ThËt vËy: k k k k k k k k a k a k ax b ax b ax b ax b                                               Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11           /1 1 2 2 2 2 1 1 2 ( 1). . ( 1) . !.( 1). ( 1) . ! .( 1)!( 1) . (®.p.cm) k k k k k k k k k k k ax b k a ax b a k a k ax b ax b a k ax b                       Ví dụ áp dụng: ( ) 1, (1 ) TÝnh biÕt ny y x x   Giải: Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 1 ( 1) ! ( 1) !( 1) ( 1) 1! (1 ) (1 ) Suy ra: n n n n n n n n n y x x x x n ny n x x x x                       Ví dụ áp dụng: 2 5 3 3 2 Cho hµm sè: xy x x    ( ) 1 2 . a) T×m A, B sao cho cã thÓ viÕt d­íi d¹ng: b) Tõ ®ã, h·y tÝnh n A By y x x y     Giải: Ta có:     2 5 3 , 1, 2 1 23 2 5 3 2 1 5 3 ( a) Sö dông ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt thøc, ta ®­îc: A B A B A B) (2A B) x x x x xx x x x x x x                           2 ( ) 1 1 5 2 3 5 3 2 1 23 2 2 2 7( 1) ! 1 2 1 2 A B A 2 VËy ta cã hÖ sau sau ®Ó x¸c ®Þnh A, B: A B B 7 7 VËy: 7 b) Theo c©u a, . Suy ra: n n n n x x xx x y y n x x x x                                  Lưu ý: Trong toµn bé c¸c bµi gi¶i trªn, chóng t«i dµnh phÇn chøng minh b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p cho ®éc gi¶. IV- MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 2 2 2 sin sin . 4 ) .sin (1 ) 4 2 1 2 1 32 TÝnh ®¹o hµm cÊp cña c¸c hµm sè sau: a) b) cos c d) cos e) f) g) n y x y x x y x x y x x x xy y y xx x            2 2 sin 2 1 h) x xy x x x    