Chuyên đề Hình học - Khoảng cách 2 đường chéo nhau

2) Tồn tại hay không một đường thẳng d cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy ? KIỂM TRA BÀI CŨ: a’ a b Q A H 1) Trong các mệnh đề sau đây,mệnh đề nào đúng? a) Đường thẳng a’ là hình chiếu của a trên (Q). d M Cho hai đường thẳng chéo nhau a vàb. Kẻ a’qua H và a’//a. A là điểm tùy ý thuộc a,kẻ AH vuông góc với (Q) tại H. Gọi:(Q) là mặt phẳng chứa b và (Q)// a. c) a’ // b hoặc a’ trùng b. b) Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách giữa a và (Q) d) a’ và b luôn luôn cắt nhau. ĐÁP ÁN: a,b và d là mệnh đề đúng. X X X Câu c: Giả sử: + b//a’,vì a’//a nên b//a (trái với giả thiết) + b trùng a’,suy ra b//a (trái với giả thiết) Vậy mệnh đề c sai. Kẻ d đi qua N song song AH.ĐÁP ÁN: Vậy tồn tại d cắt cả a và b và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy ? Gọi N là giao điểm của a’ và b. N Rõ ràng: * d vuông góc (Q),nên d vuông góc b tại N. * Trong mp(a,a’):do d//AH nên d vuông góc và cắt a tại M. KHOẢNG CÁCH (tiết 36) 5)Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau: a) Định lý: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, Đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.(M,N lần lượt là giao điểm của d với a và b) Ta có ddQd Qd //' )(' )( ⇒ ⎩⎨ ⎧ ⊥ ⊥ b) Định nghĩa: Q P a a’ b N M d A H c)Nhận xét: Trường hợp a,b chéo nhau và vuông góc, b a Trong (P),kẻ NM vuông góc a tại M. M Xác định (P) chứa a và vuông góc b tại N Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung N P đoạn vuông góc chung nên xác định như sau: luôn luôn có duy nhất một đường thẳng d cắt cả a và b,và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy. Đường thẳng d trong định lý trên được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Có hay không d’ khác d cùng có tính chất như d ? ab d M N 6) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: a)Định nghĩa: Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b * Khoảng cách giữa (P) và (Q). * Khoảng cách giữa a và (Q). Ta có: MN≤ IJ b)Tính chất: M N A H Q a P b +Gọi I,J là hai điểm lần lượt nằm trên a và b. a’ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng: I J . . + Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau a và b.MN là đoạn vuông góc chung: K OIOAOBCOA OCOA OBOA ⊥⇒⊥⇒ ⎩⎨ ⎧ ⊥ ⊥ )( ⎩⎨ ⎧ = Δ ICIB OBC cân tại O BCOI ⊥⇒ Vậy OI là đoạn vuông góc chung của OA và BC. 2 2 2 aBCOI == A O a B a C a I . Ví dụ 1 Cho tứ diện OABC,trong đó OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a.Gọi I là trung điểm BC. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: 1) OA và BC 2) OC và AI. 7) CácVí dụ : 1) OA và BC: LỜI GIẢI: EF O A B C I 2) OC và AI: Kẻ OH vuông gócAJ tại H. Ta có: OCOH OABOH OABOC ⊥⇒⎩⎨ ⎧ ⊂ ⊥+ )( )( AIEFOCEF ⊥⊥ ,Vì EF//OH nên: Trong tam giác AOJ vuông tại O: =+= 222 111 OJOAOH 5 5aOHEF ==⇒ Gọi J là trung điểm OB,OC//IJ nên OC//(AIJ) Q P a a’ b N M A H Vậy EF là đoạn vuông góc chung của OC và AI H Tính EF=OH: 222 5 2 11 aaa = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ Qua E kẻ đường thẳng song song OH cắt OC tại F Qua H kẻ đường thẳng song song OC cắt AI tại E. J . IJOH IJOC OCOH ⊥⇒ ⎩⎨ ⎧ ⊥+ // AIOH IJOH AJOH ⊥⇒⎩⎨ ⎧ ⊥ ⊥+ Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’có AB=a,BC=b,CC’=c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’. A’B’ D’C’ c LỜI GIẢI: Vì BB’//CC’ nên BB’//(ACC’) Trong (ABC),kẻ BH vuông góc AC tại H Vậy:Độ dài đoạn BH là khoảng cách giữa BB’ và AC’. Tính BH: == AC BCABBH . AC BCABBHBCABACBH ... =⇒= 22 ba ab + C B A D a b Do đó khoảng cách giữa BB’ và AC’ bằng khoảng cách từ BB’ đến (ACC’). H )'( )'()( ACCBH ACCABC ACBH ⊥⇒⎩⎨ ⎧ ⊥ ⊥Ta có: bP Q a HN M A a’ 1) Trong các mệnh đề sau đây,mệnh đề nào đúng ? ĐÁP ÁN: 2) Độ dài đoạn thẳng AH bằng khoảng cách giữa các đối tượng nào? Mệnh đề a và c đúng ĐÁP ÁN: a) Điểm A đến (Q) (khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng) BÀI TẬP: Bài 1 (trang 85), Bài 3,4,5,6,7,8 (trang 86) Tự giải ví dụ 2 (trang 84),như bài tập. b) Đoạn AH là đoạn vuông góc chung của a và b. a) Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. c) Độ dài đoạn AH bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. b) Đường thẳng a và (Q) (khoảng cách giữa đường thẳng và một mặt phẳng song song với nó) c) Mặt phẳng (P) và (Q) (khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song ) d) Đường thẳng a vàb. (khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau)