Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp, đại học Toán - Viết phương trình mặt phẳng - đường thẳng - mặt cầu

gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 011642222  zyxzyx và mặt phẳng () có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6. Giải: Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D 17) Mặt cầu (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5 Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới () là 2 2 2 25 3 4h R r     Do đó D DD D (loaïi)2 2 2 2.1 2( 2) 3 74 5 12 172 2 ( 1)                 Vậy () có phương trình 2x + 2y – z – 7 = 0 Bài 26: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu   2 2 2: 2 4 4 5 0S x y z x y z       , mặt phẳng (Q): 2x + y – 6z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P). Biết rằng mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;2), vuông góc với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Giải: Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2) có phương trình :       2 2 21 1 2 0 ( 0)a x b y c z a b c         Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;2) bán kính R = 2 Mặt phẳng (Q) có VTPT (2;1; 6)Qn    Ta có (P) vuông góc với (Q) và tiếp xúc (S) nên 2 2 2 2 6 0 3 2 a b c b a b c         2 2 2 2 2 2 2 2 6 22 6 2 6 (I)2 59 4 4 4 3 10 0 5 11 2 a c a c b b ca c b a c b b c b cb a b c b bc c b c a c                                Chọn c = 0 thì a = b = 0 (loại) Nên 0c  . Từ (I) Phương trình mặt phẳng        : 2 1 2 1 2 0P c x c y c z      www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 39 2 2 6 0x y z     Hoặc      11 1 5 1 2 0 11 10 2 5 0 2 c x c y c z x y z           Bài tập tổng hợp tự giải: Bài 1: Cho điểm  2;5;3A và đường thẳng 1 2: . 2 1 2 x y zd    Viết phương trình mặt phẳng   chứa d sao cho khoảng cách từ A đến   lớn nhất. Đs: 4 3 0x y z    Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : 2: 1 yd x z   và 2 5’ : 3 2 1 x zd y     . Viết phương trình mặt phẳng )( đi qua d và tạo với d’ một góc 030 Đs: 2 4 0 ; 2 2 0x y z x y z        Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3 . Đs: 2 0 ;7 5 2 0x y z x y z        Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1;2;3).Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba tia Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Đs: 6 3 2 18 0x y z    Bài 5: Cho đường thẳng d có phương trình: 2 : 2 2 2 x t d y t z t          .Gọi  là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với d và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên d. Trong các mặt phẳng qua  , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến d. là lớn nhất. Đs: 2x - z - 9 = 0 . Bài 6: Trong kgian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình 1 2 1 3 x t y t z t        . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Đs: 7 5 77 0x y z    Bài 7: Cho điểm  2;5;3A và đường thẳng 1 2: . 2 1 2 x y zd    Viết phương trình mặt phẳng   chứa d sao cho khoảng cách từ A đến   lớn nhất. Đs: 2 2 15 0x y z    Bài 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 3: 1 1 4 x y z     và điểm  0; 2;0 .M  Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4. Đs: 4 8 16 0x y z    hay 2 2 4 0.x y z    Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 biết: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 40 1 2 : 2 3 x t d y t z t         và 2 1 2 1: 2 1 5 x y zd     Đs: 3 – – 4 7 0x y z   Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 0 : 2 6 0 x y d x y        và mặt cầu   2 2 2: 2 2 2 1 0S x y z x y z       . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính r = 1. Bài 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu   2 2 2: 2 2 4 3 0S x y z x y z       và hai đường thẳng  1 2 2 0 : 2 0 x y x z        ,  2 1: 1 1 1 x y z     Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S), biết nó song song với 1 và 2. Bài 12: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 8 11 8 30 0 2 0 x y z x y z         và tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2: 2 6 4 15 0S x y z x y z       . Bài 13: Cho mặt cầu (S):   2 2 2: 10 2 26 170 0S x y z x y z       ; 2 5 2 : 1 3 13 2 x t y t z t           và 1 1 1 7 : 1 2 8 x t y t z          Viết phương trình )( tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với 1 và 2 Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm  1;2;3A và  2;3; 4B  và cắt mặt cầu   2 2 2: 2 – 6 4 15 0S x y z x y z      theo giao tuyến là một đương tròn có chu vi 8 Bài 15: Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng 1 5 1 13: 2 3 2 x y zd      2 7 1 8: 3 2 0 x y zd      đồng thời tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2: 10 2 26 113 0S x y z x y z       Bài 16: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm  2,3,1A và vuông góc với mặt phẳng   : 1 0Q x y z    đồng thời tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2: 2 2 4 –1 0S x y z x y z      Bài 17: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm  2,1, 1A  đồng thời song song với hai đường thẳng 1 3 5: 1 2 1 x y zd      ; 2 1 0 : 3 2 3 1 0 x y z x y z           Bài 18: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng 1 2: 1 2 1 x y zd     và tạo với mặt phẳng   : 2 – – 2 2 0Q x y z   một góc nhỏ nhất Bài 19: Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm    0;0;1 ; 3;0;0A B đồng thời a. Tạo với mặt phẳng Oxy một góc 60o b. Vuông góc với mặt phẳng   : 2 3 1 0P x y z    Bài 20: Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : 1 0P x y z    và mặt phẳng   : 2 – 3 2 0Q x y z   đồng thời www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 41 a. Đi qua A (1,3,-2) b. Vuông góc với mặt phẳng:   : 2 4 –1 0x y z    c. Song song với đương thẳng 1 3 5: 1 2 1 x y zd      Bài 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho  2;5;3A và đường thẳng 1 2: 2 1 2 x y zd    1. Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa d sao cho khoảng cách từ A đến  Q lớn nhất. 2. Viết phương trình mặt cầu  S có tâm nằm trên đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng    : 3 4 3 0, : 2 2 39 0x y x y z        . Bài 22: Trong các mặt phẳng đi qua các điểm    1;2; 1 , 1;1;2A B  ,viết phương trình mặt phẳng   tạo với mặt  xOy một góc nhỏ nhất. ĐS:   : 6 3 5 7 0x y z     Bài 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm  1; 2;4A và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt M, N, P khác gốc tọa độ sao cho tứ diện OMNP có diện tích nhỏ nhất Đs:   : 1 3 6 12 x y z     Bài 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm  1;2;3M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho 2 2 2 1 1 1 OA OB OC   nhỏ nhất Đs:   : 2 3 14 0x y z     Bài 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm  2;5;3M và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt A, B, C sao cho OA OB OC  nhỏ nhất Đs:   : 1 2 6 10 5 10 15 3 6 15 x y z           Bài 26: Trong các mặt phẳng đi qua điểm  2; 1;0A  và song song với đường thẳng 1 2 1: 1 1 1 x y zd      . Viết phương trình mặt phẳng   tạo với mặt phẳng  xOy một góc nhỏ nhất Đs:   : 2 1 0x y z     Bài 27: Trong các mặt phẳng đi qua  1;1; 1A  và vuông góc với mặt phẳng   : 2 2 0x y z     . Viết phương trình mặt phẳng tạo với Oy một góc lớn nhất. Đs :     : 0 5 1: 3 0 2 2 y z x y z            CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Viết phương trình tham số hoặc chính tắc www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 42 - Để viết phương tham số hoặc chính tắc ta phải biết được một điểm  0 0 0 0; ;M x y z và một vtcp  ; ;u a b c phương trình tham số 0 0 0 x x at y y bt z z ct         với t R là tham số  phương trình chính tắc 0 0 0x x y y z z a b c      (khi , , 0a b c  ) 2. Viết phương trình tổng quát của của đường thẳng Cách 1: Đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt giả sử   1 1 1 1: 0a x b y c x d     và   2 2 2 2: 0a x b y c x d     . Khi đó    d    hay 1 1 1 1 2 2 2 2 0 : 0 a x b y c z d d a x b y c z d          - Tìm vecto chỉ phương u của đường thẳng d Cách 1.1: Vtcp ;u n n        với n  và n  lần lượt là vtpt của   và   Cách 1.2: Chọn hai điểm M và N phân biệt thuộc đường thẳng d, khi đó vtcp u cùng phương với vecto MN  hay vecto MN  chính là vtcp của d Cách 2: Từ phương trình chính tắc hoặc tham số chuyển về phương trình tổng quát Các dạng bài tập Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm  0 0 0 0; ;M x y z và thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Loại 1: Có một vtcp cho trước, khi đó điều kiện là - Có một vecto  ; ;u a b c cho trước - Song song với một đường thẳng d cho trước du u    - Vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước Pu n    Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Cho tam giác ABC có    1; 2;3 , 2;1;0 ,A B  0; 1; 2 .C   Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC. Giải: Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của ABC  d là giao tuyến của  ABC với   qua A và vuông góc với BC. Ta có:  1;3; 3AB    ,  1;1; 5AC     ,  2; 2; 2BC      và  , 18;8;2AB AC      mp  ABC có vtpt  1 , 3;2;1 4 n AB AC        mp   có vtpt  ' 1 1;1;1 2 n BC     - Đường thẳng d có vtcp  ', 1;4; 5u n n       www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 43 Vậy phương trình đường thẳng 1 : 2 4 3 5 x t d y t z t          Bài 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho 3 điểm A(0,0,1); B(-1,-2,0) ; C(2,1,-1). 1. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A,B ,C 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (P). 3. Xác định chân đường cao hạ từ A xuống đường thẳng BC Giải: 1. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B,C. Ta có VTP (P) là: , (5, 4,3)Pn AB AC         Phương trình mặt phẳng (P): 5x – 4y + 3z – 3 = 0 Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là 1 1; ;0 3 3 G      Đường thẳng d đi qua G và d  (P):  (5, 4,3)Pda n     Phương trình tham số của d là: 1 5 3 1 4 3 3 x t y t z t            2. Chân đường cao H hạ từ A xuống đường thẳng BC. Ta có: (3,3, 1)BC    Phương trình tham số của BC là: 1 3 2 3 x t y t z t           Lấy   1 3 ; 2 3 ;H t t t BC      H là hình chiếu của A 19. 0 3(1 3 ) 3(2 3 ) 1(1 ) 19 8 8 HA BC t t t t t              Vậy 5 14 8; ; 19 19 19 H       Bài 3: (ĐH – B 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất Giải: Ta có (4; 1;2); (1; 2; 2)PAB n      Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0  x – 2y + 2z + 1 = 0. Gọi  là đường thẳng bất kỳ qua A Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q). Ta có : d(B, )  BH; d (B, ) đạt min   qua A và H. www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 44 Pt tham số 1 : 1 2 3 2 x t BH y t z t          Tọa độ H = BH  (Q) thỏa hệ phương trình : 1 , 1 2 , 3 2 10 1 11 7; ; 2 2 1 0 9 9 9 9 x t y t z t t H x y z                      qua A (-3; 0;1) và có 1 VTCP  1 26;11; 2 9 a AH      Phương trình 3 0 1: 26 11 2 x y z       Đáp số: Đường thẳng có phương trình là 3 0 1: 26 11 2 x y z       Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm  1;1;2M và song song với đường thẳng 3 2 7 0 : 3 2 3 0 x y z d x y z          Đáp số: 1 1 2: 2 4 5 x y z       Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm  1;1;1M và vuông góc với mặt phẳng   : 2 3 12 0P x y z    Đáp số: 1 : 1 2 1 3 x t y t z t          Bài 3: Trong không gian Oxyz cho ba điểm    1;3;2 ; 1;2;1A B và  1;1;3C . Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó Đáp số: 1 3 : 2 2 x t d y z       Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm  1;2; 1A  và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng   : 3 0x y z     và   : 2 5 4 0x y z     Đáp số: 1 4 : 2 7 1 3 x t d y t z t          Loại 2: Có một cặp vecto không cùng phương cho trước, khi đó điều kiện là - Có một cặp vecto chỉ phương a và b  cho trước - Vuông góc với hai đường thắng d1 và d2 cho trước  1 2;u u u     - Song song với hai mặt phẳng (P1) và (P2) cho trước  1 2;u n n     www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 45 - Vuông góc với một đường thẳng d và song song với một mặt phẳng (P)  ;d Pu u n     - Nếu đi qua hai điểm phân biệt và A B u AB    Chú ý: - Nếu giả thiết là vuông góc với một vecto c bất kì thì hiểu c là vtcp, - Nếu giả thiết là song song với một vecto d  thì hiểu d  là vtpt Bài tập giải mẫu: Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm  1;1; 2A  song song với mặt phẳng   : 1 0P x y z    và vuông góc với đường thẳng 1 1 2: 2 1 3 x y zd     Giải: - Mặt phẳng (P) có vtpt  1; 1; 1Pn     và đường thẳng d có vtcp  2;1;3du   - Đường thẳng  song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d nên có vtcp  , 2;5; 3P du n u         - Đường thẳng  đi qua  1;1; 2A  và có vtcp u  có phương trình là 1 2 : 1 5 2 3 x t y t z t           Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng  ở dạng tổng quát Cách 1: Đường thẳng  chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng   đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) - Mặt phẳng   đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d Cách 2: Từ phương trình tham số chuyển về phương trình tổng quát Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm  1;1;1M đồng thời vuông góc với hai đường thẳng 1 1 2: 8 1 1 x y zd    và 2 2 3 0 : 1 0 x y z d x y z          Giải: - Đường thẳng 1d có vtcp  1 8;1;1u   và 2d có vtcp  2 2; 3;1u    - Đường thẳng  vuông góc với hai đường thẳng 1d và 2d nên có vtcp  1 2, 4;6; 26u u u         - Đường thẳng  đi qua  1;1;1M và có vtcp u  có phương trình là 1 4 : 1 6 1 26 x t y t z t          Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng  ở dạng tổng quát Cách 1: Đường thẳng  chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng   đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d1 - Mặt phẳng   đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2 Cách 2: Từ phương trình tham số chuyển về phương trình tổng quát Bài tập tự giải: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 46 Bài 1: Viết phương trình chính tắc đường thẳng  đi qua  1;2;5M  đồng thời song song với hai mặt phẳng  : 3 5 8 0P x y z    và  : 2 1 0Q x y z    Đáp số: 1 2 5: 4 7 5 x y z        Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng  ở dạng tổng quát Cách 1: Đường thẳng  chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng   đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) - Mặt phẳng   đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q) Cách 2: Từ phương trình tham số chuyển về phương trình tổng quát Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm  2; 1;1A  và vuông góc với hai đường thẳng lần lược có vtcp là  1 1;1; 2u     và  2 1; 2;0u    Đáp số: 2 4 : 1 2 1 x t d y t z t          Bài 3: (ĐH TCKT – 1999) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm  1;1; 2A  song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d biết   : 1 0P x y z    và 1 1 2: 2 1 3 x y zd     Đáp số:  dạng chính tắc là 1 1 2 2 5 3 x y z       Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng  đi qua một điểm  0 0 0 0; ;M x y z cắt đường thẳng d và thỏa mãn điều kiện cho trước Điều kiện cho trước là - Vuông góc với đường thẳng 1 cho trước - Song song với một mặt phẳng (P) cho trước Chú ý: - Nếu giả thiết là vuông góc với một vecto c bất kì thì hiểu c là vtcp, - Nếu giả thiết là song song với một vecto d  thì hiểu d  là vtpt Phương pháp chung: Trường hợp 1: Nếu đề bài yêu cấu viết phương trình đường thẳng  ở dạng tổng quát Cách 1: Xác định các vtcp và vtpt Đường thẳng  chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng   đi qua điểm 0M và chứa đường thẳng d - Mặt phẳng   đi qua điểm 0M và thỏa mãn điều kiện cho trước Kết luận : - Nếu      thì bài toán có vô số nghiệm - Nếu      thì / /d thì bài toán vô nghiệm,  cắt d thì  là đường thẳng cần dựng Trường hợp 2: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng  ở dạng tham số hoặc chính tắc Cách 2: Xác định các vtcp và vtpt - Mặt phẳng   đi qua điểm M0 và thỏa mãn điều kiện cho trước (hiển nhiên mặt phẳng   chứa đường thẳng  ) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 47 - Gọi  M d  , tọa độ M là nghiệm của hệ + Nếu không tồn tại giao điểm thì bài toán vô nghiệm + Nếu có vô số nghiệm (tức là  d  ) thì bài toán có vô số nghiệm + Nếu có nghiệm duy nhất thì tính vecto 0M M  Kết luận: Đường thẳng  đi qua điểm  0 0 0 0; ;M x y z và thỏa mãn điều kiện cho trước chính là đường thẳng đi qua điểm 0M và có vtcp 0M M  Cách 3: Xác định các vtcp và vtpt - Do đường thẳng  đi qua điểm 0M và cắt đường thẳng d nên chọn điểm M d nên đường thẳng  chính là đường thẳng 0M M - Tính vecto 0M M  - Từ điều kiện cho trước ta dẫn đến một phương trình bậc nhất theo tham số t, tìm t 0M M  Kết luận: Đường thẳng  chính là đường thẳng đi qua điểm 0M và có vtcp 0M M  Chú ý: - Với cách này thì đường thẳng d phải ở dạng tham số (nếu d ở dạng tổng quát hay chính tắc thì chuyển về dạng tham số) - Tọa độ điểm M phải theo tham số t - Để tìm tọa độ điểm M ta có thể làm như sau đường thẳng  cắt đường thẳng d nên M d , tính 0M M  , từ điều kiện cho trước tìm ra được điểm M, suy ra đường thẳng  Bài tập giải mẫu: Bài 1: Cho điểm  1;2;3A và hai đường thẳng 1 2 2 3: 2 1 1 x y zd      và 2 1 1 1: 1 2 1 x y zd      . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 Giải: Đường thẳng 2d có phương trình tham số 2 1 : 1 2 1 x t d y t z t          Đường thẳng d1 có vtcp là: )1;1;2( u  , Gọi B là giao điểm của d với d2 thì  2 1 ;1 2 ; 1B d B t t t      )4;12;(  tttBA  Theo giả thiết 1 1. 0 1d d AB u t        Vậy d qua  1;2;3A có vtcp (1; 3; 5)AB     nên phương trình là: 5 3 3 2 1 1        zyx Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;1) cắt đường thẳng 1 2 1: 3 1 2 x y zd     và vuông góc với đường thẳng 2 2 2 : 5 2 x t d y t z t          ( Rt  ). Giải: - Vtcp của d2 là  2 2; 5;1u    và cũng là vtpt của mp(P) đi qua M và vuông góc với d2. www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 48 Phương trình mp (P) là: 0252  zyx - Gọi N là giao điểm của d1 và mp(P) nên     12 3 ; ;1 2N t t t P d     Thay vào phương trình mp(P) thì  1 5; 1;3t N     - Đường thẳng d cần lập pt có VTCP  3;1; 1u    do  6; 2;2MN     Vậy phường trình đường thẳng d là: 1 1 1 1 3 1       zyx (vì d ≠ d2) Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng 1 2: 1 2 1 x y zd    và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d. HD: Chọn ( ;1 2 ;2 ) ( 2; 2 1; 2)N d N t t t MN t t t          .   1 3 3/ / ( ) . 0 ( ) 1 (1;3;3) ' : 1 1 1 P x y zMN P MN n do M P t N d               . Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm  1;1;1A và đường thẳng 1 1: 1 2 1 x y zd      . Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt d, sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến  nhỏ nhất. Giải: Đường thẳng  thuộc mp (P) qua A và chứa d, nên   : 3 2 4 0P x y z    . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P). Toạ độ H thỏa mãn hệ: 3 2 6 4 2; ; 7 7 7 3 2 0 x t y t H z t x y z                Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên  : ( ; )d A AK AH   Để khoảng cách nhỏ nhất thì K H H   . Suy ra qua A,H nên có pt : 1 2 1: 1 3 9 x y z      , dễ thấy  cắt d nên  là đường thẳng cần tìm. Bài 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 5 0x y    , ( ) : 3 0y z    , điểm M(1; 1; 0). Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với giao tuyến của ( ) và ( ) , đồng thời d cắt ( ) và ( ) lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của AB. Giải: Đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với giao tuyến của ( ) và ( ) . Phương trình (P): 0x y z   . Lấy đối xứng ( ) qua M được ( ') : 1 0x y    . Suy ra B là giao điểm của ba mặt phẳng ( )P , ( ) và ( ') . Toạ độ B là nghiệm của hệ 0 1 4 53 0 ; ; 3 3 3 1 0 x y z y z B x y                   Vậy đường thẳng qua B, M là đường thẳng d cần tìm: 1 1 2 7 5 x y z    . www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 49 Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng  đi qua  1; 2;3A đồng thời  vuông góc với d1 và cắt 2d biết 1 6 2 : 1 4 4 x t d y t z t         và 2 1 2 3: 2 1 1 x y zd      Đáp số: 1 6 : 3 23 5 11 x t y t z t          Bài 2: (CĐGT – 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho điểm  1;2 1M  , đường thẳng 3 3: 1 3 2 x y zd    và mặt phẳng   : 3 0P x y z    . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d Bài 3: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm  1;2; 3A   vuông góc với vecto  6; 2; 3a   và cắt đường thẳng 2 1 1 3: 3 2 5 x y zd      Đáp số:  dạng chính tắc là 1 2 3 2 3 6 x y z      , dạng tổng quát là 6 2 3 1 0 3 28 13 4 0 x y z x y z          Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng  đi qua một điểm  0 0 0 0; ;M x y z vuông góc và cắt đường thẳng d cho trước (chính là trường hợp đặc biệt của dạng 2) Phương pháp: Trường hợp 1: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng  ở dạng tổng quát Xác định vtcp của đường thẳng d Đường thẳng  chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng   đi qua điểm 0M