Chuyên đề Phương trình - Bất phương trình mũ, logarit

( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0  ⇔ − + − =    Ta có ( ) 2sinx2 cos xy 0 − ≥  và ( ) ( ) y y 2 2 2 1 2 cos xy 0 cos xy 1  ≥  ⇒ − ≥  ≤ Do ñó ( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0  − + − ≥    Vậy phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sinx sinx y y2 2 2 cos xy 0 2 cos xy 1 2 cos xy 0 2 cos xy 0 2  − = =  ⇔ ⇔  − = − =   Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH ( ) ( ) ( ) y 22 y 02 1 2 y 0. cos x.0 1cos xy 1  ==  ⇔ ⇔ ⇔ =  ==   Thay vào (1) ta ñược x kπ= . Bài 3. Giải phương trình: ( ) 2x 1 3 2x 2 3 82 2 log 4x 4x 4 + −+ = − + . HD: Ta có ( )224x 4x 4 2x 1 3 3− + = − + ≥ nên ( )23log 4x 4x 4 1− + ≥ Suy ra ( )23 8 8 log 4x 4x 4 ≤ − + (1) Mặt khác 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x2 2 2 2 .2 2 2 8+ − + − + + −+ ≥ = = (2) Bài 4. Giải phương trình: ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = − . HD: ðiều kiện x 0.> Phương trình ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = − ( )23 1 log x 1 1 x 1 x   ⇔ + + = − − +    Ta có ● 3 1 1 1 x 2 x 1 3 log x 1 1 x x x   + ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥    ● ( )21 x 1 1− − + ≤ Vậy phương trình ( ) 3 2 1log x 1 1 x x 1 1 x 1 1    + + =   ⇔ ⇔ =  − − + = . Nhận xét: Bài toán tương ñương là giải phương trình 2 2 21 3 x xx x x − + + = . Bài 5. Giải phương trình: ( )2 3 1log x 2 4 log 8 x 1   − + = +  −  . HD: ðiều kiện x 2> . ● ( )2x 2 4 4 log x 2 4 2− + ≥ ⇒ − + ≥ ● Với x 2> ta có 1 1x 1 1 1 8 9 x 1 x 1 − ≥ ⇒ ≤ ⇒ + ≤ − − 3 1 log 8 2 x 1   ⇒ + ≤  −  Bài 6. Giải phương trình: ( )2 2 x x 1 24x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x++ − = + − + − . Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH HD: ðiều kiện 2 x 2− ≤ ≤ . Phương trình ( )( ) ( )x 2 4 x.2 x 1 2 2 x 0 *⇔ − − + − = Ta có 3 x 2 2x 2 x.2 2.2 2.2 4≤ ⇒ ≤ < = . Do ñó ( ) 2* x 1 2 2 x 0⇔ − + − = . Bài 7. Giải phương trình: 2 3 4 2 22 25x 6x x x log x (x x) log x 5 5 6 x x+ − − = − + + + − . HD: ðiều kiện 2 x 0 0 x 3 6 x x 0 > ⇔ < ≤ + − ≥ . Phương trình ( )( ) ( )22 x log x 5 6 x 1 x 0 *x⇔ − + − + − = Do ( )2 2 2 2x 3 x log x 3log 3 log 32 5 x log x 5 0≤ ⇒ ≤ < = ⇒ − < Khi ñó ( ) ( )2* 6 x 1 x 0x⇔ + − + − = . Bài 8. Giải phương trình: 2 2sin x cos x x x3 3 2 2 2−+ = + + . HD: Phương trình 2 2 x -x2 2 sin x 1 sin x 2 2 3 3 2 2 2−⇔ + = + + ( )( ) 2 2 2 2 2 x -x2sin x 2 2 2 2 sin x sin x sin x 2 x -x 2 2 sin x 3 3 4 2 2 2 3 3 1 3 3 2 2 3 + ⇔ − = + − − −   ⇔ = −    Ta có 22 sin x0 sin x 1 1 3 3≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ . Do ñó VT 0 VP≤ ≤ . Bài 9. Giải phương trình: 3 22log cot x log cos x= . HD: ðặt 3 22log cot x log cos x t= = , ta có 2 t t 2 t t 2 t 2 t 2 t cos x 4 cos x 2 cos x 4 4 cot x 3 cot x 3 sin x 3 cos x 0,cot x 0 cos x 0,cot x 0 cos x 0,cot x 0  =  = =     = ⇔ = ⇔ =     > > > >   > >  2 t 2 t t t t cos x 4 cos x 4 1 cos x4 4 1 t 1 23 cos x 0,cot x 0cos x 0,cot x 0 cos x 0,cot x 0  =  =  =  ⇔ + = ⇔ = − ⇔      > >> > > >  π x k2π 3 ⇔ = + . Tổng quát: Dạng ( ) ( ).log .loga bf x g xα β= ta ñặt ( ) ( ).log .loga bt f x g xα β= = Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 10. Giải phương trình: ( )2 3 22 23x 2x log x 1 log x.− = + − HD: ðiều kiện x 0> . ðặt ( ) ( ) ( )2 3 22 2f x 3x 2x , g x log x 1 log x= − = + − ● Ta có ( ) ( ) ( )2 3 2f x 3x 2x f ' x 6x 6x ; f ' x 0 x 0, x 1= − ⇒ = − = ⇔ = = . Lập bảng biến thiên ta thấy f(x) ñồng biến trên (0,1) và nghịch biến trên ( )1, +∞ . Suy ra trên ( )0,+∞ , ( ) ( )maxf x f 1 1= = hay ( )f x 1, x 0.≤ ∀ > ● Ta có ( ) ( ) 222 2 2 2x 1 1g x log x 1 log x log log x x x  +   = + − = = +       . Với x 0> , ta có ( ) 2 21 1x 2 côsi log x log 2 1. x x   + ≥ => + ≥ =    Suy ra ( )g x 1, x 0.≥ ∀ > Vậy phương trình ( ) 2 3 2 2 2 3x 2x 1 log x 1 log x 1  − = ⇔  + − = Bài 11. Giải phương trình: ( )2 2x 1 x x2 2 x 1 .− −− = − HD: phương trình ( ) ( )2x 1 x x 2 2 x 1 2 x x− −⇔ + − = + − . ðặt 2u x 1; v x x.= − = − Khi ñó phương trình có dạng u v2 u 2 v+ = + . Xét hàm số ( ) tf t 2 t= + , hàm này ñồng biến và liên tục trên ℝ . Vậy phương trình ( ) ( ) 2 f u f v u v x 1 x x x 1⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = . Bài 12. Giải phương trình: x x x2009 2011 2.2010+ = . HD: Gọi 0x là một nghiệm của phương trình ñã cho. Ta ñược ( )0 0 0 0 0 0 0x x x x x x x2009 2011 2.2010 2009 2010 2010 2011 *+ = ⇔ − = − Xét hàm số ( ) ( ) 00 xxF t t t 1= − + . Khi ñó (*) ( ) ( ) F 2009 F 2010⇔ = . Vì F(t) liên tục trên [ ]2009, 2010 và có ñạo hàm trong khoảng ( )2009,2010 , do ñó theo ñịnh lí Lagrange tồn tại ( )c 2009,2010∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 00 x 1 0x 10 0 x 0F 2010 F 2009 F' c x . c c 1 0 x 12010 2009 − − =−  = ⇔ − + = ⇔   =−  Thử lại 0 0x 0, x 1= = thấy ñúng. Vậy nghiệm của phương trình là 0 0x 0, x 1= = . Nhận xét: Bài toán tương tự 1) cos x cos x cos x cos x3 2 cosx 3 2 3cosx 2cosx− = ⇔ − = − . Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 2) 3 3log x log x4 2 2x+ = . ðặt u3u log x x 3= ⇒ = . Phương trình u u u 4 2 2.3⇔ + = . Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng ñịnh lí Lagrange: Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên ñoạn [ ];a b và có ñạo hàm trên khoảng ( );a b thì tồn tại một ñiểm ( );c a b∈ sao cho ( ) ( ) ( )' f b f af c b a − = − . Bài 13. Giải phương trình: 2 2 3 2 x x 1log x 3x 2 2x 2x 3 + + = − + − + . HD: ðặt ( )2 2u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0= + + = − + > > . Suy ra 2v u x 3x 2.− = − + Phương trình ñã cho trở thành 3 3 3 ulog v u log u log v v u v = − ⇔ − = − 3 3 log u u log v v⇔ + = + . Xét hàm số ( ) 3f t log t t= + . Ta có ' 1f (t) 1 0, t 0t.ln 3= + > ∀ > nên hàm số ñồng biến khi t 0> . Do ñó phương trình ( ) ( ) f u f v⇔ = suy ra u v= hay v u 0− = tức là 2x 3x 2 0 x 1, x 2− + = ⇔ = = . Vậy phương trình có nghiệm x 1, x 2= = . Lưu ý: Với phương trình dạng ( )log , 0, 0, 1a u v u u v a v = − > > > ta thường biến ñổi log log log loga a a au v v u u u v v− = − ⇔ + = + . Vì hàm số ( ) logaf t t t= + ñồng biến khi 0t > . Suy ra u v= . Bài 14. Giải phương trình: cos x sinx2 2 3+ = . HD: Áp dụng BðT Becnuli mở rộng: ( )1 1t tα α+ − ≤ với [ ]0, 0,1t α> ∈ Từ phương trình suy ra: [ ]s inx, cos x 0,1∈ . Suy ra πx k2π; k2π 2   ∈ +   Theo Becnuli: ( )cosx2 1 2 cos x 1+ − ≤ ( )sinx2 1 2 sinx 1+ − ≤ Suy ra ( )cosx sinx2 2 sinx cos x 2+ ≤ + + Suy ra ( ) ( )cosx sinx2 2 min sinx cos x 2 min s inx cos x 2 + ≤ + + = + +  Mà: ( )min sinx cos x 1+ = với πx k2π; k2π 2   ∈ +   . Do ñó cos x sinx2 2 3+ ≤ . Dấu '' ''= xảy ra khi và chi khi sinx 1 cosx 0 =  = hoặc sinx 0 cosx 1 =  = Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH x k2π π x k2π 2 = ⇔  = +  . ---------- HẾT ---------- Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Ta có thể dùng các phương pháp biến ñổi như ñối với giải phương trình và sử dụng các công thức sau HAØM SOÁ MUÕ ● 0 a 1< < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x a a f x g x a a f x g x > ⇔ < ≥ ⇔ ≤ (nghịch biến) ● a 1> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x a a f x g x a a f x g x > ⇔ > ≥ ⇔ ≥ (ñồng biến) HAØM SOÁ LOGARIT ● ( )alog f x có nghĩa ( ) 0 a 1 f x 0 < ≠ ⇔  > ● ( ) ( ) balog f x b f x a= ⇔ = ● ( ) ( ) ( ) ( )a a f x g xlog f x log g x 0 a 1  = = ⇔  < ≠ ● 0 a 1< < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a log f x log g x 0 f x g x log f x log g x 0 f x g x > ⇔ < < ≥ ⇔ < ≤ (nghịch biến) ● a 1> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a log f x log g x 0 f x g x log f x log g x 0 f x g x > ⇔ ≥ ⇔ < ≥ (ñồng biến) Tổng quát ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a 0 log f x log g x f x 0; g x 0 a 1 f x g x 0  >  > ⇔ > >   − − >   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a 0 log f x log g x f x 0; g x 0 a 1 f x g x 0  > ≥ ⇔ > >   − − ≥   CHUYEÂN ÑEÀ 2. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 1. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ Ví dụ 1. Giải bất phương trình: 2 x x 1 x 2x 13 3 − − −  ≥     Lời giải: - ðiều kiện: x 0≤ hoÆc x 2≥ . - Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi 2 x x 1x 2x 23 3 x 2x x x 1− −− ≥ ⇔ − ≥ − − (1) + NÕu x 0≤ th× x 1 1 x− = − , khi ®ã bpt ( ) 21 x 2x 2x 1⇔ − ≥ − (®óng v× x ≤ 0) + NÕu x 2≥ th× x 1 x 1− = − , khi ®ã bpt ( ) 21 x 2x 1⇔ − ≥ 2 x 1 2 x 2x 1 0 x 1 2  ≤ − ⇔ − − ≥ ⇔  ≥ + - KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta ®−îc x 1 2≥ + . Ví dụ 2. Giải bất phương trình: ( )2xlog 5x 8x 3 2− + > Lời giải: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 2 2 2 2 2 2 2 0 x 1 0 x 1 0 x 1 1 3 x 15x 8x 3 x 4x 8x 3 0 2 2 x 235x 8x 3 0 3 x x 1x x 1 55x 1 x 1x 15x 8x 3 x 1 34x 8x 3 0 x x 2 2         < <    < < < <    < <  − + < − + <   <    − + > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     >   >>  − + >     − + >    3 5 3 x 2  <   >  Lưu ý: Víi bÊt phương trình d¹ng ( )( )log f x g x a> , ta xÐt hai tr−êng hîp cña c¬ sè ( )0 1f x< < và ( )1 .f x< Ví dụ 3. Giải bất phương trình: ( ) 2 3 3log x log x3 x 6+ ≤ Lời giải: - ðiều kiện: x 0> - Ta sö dông phÐp biÕn ®æi ( ) ( )2 33 3 3log xlog x log x log x3 3 x= = . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi 3 3 3log x log x log xx x 6 x 3+ ≤ ⇔ ≤ . - LÊy l«garit c¬ sè 3 hai vÕ, ta ®−îc: ( )3log x3 3 3 3log x log 3 log x.log x 1 ≤ ⇔ ≤ ( )23 3 1 log x 1 1 log x 1 x 3.3⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ - VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 1 x 3 3 ≤ ≤ . Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 1 2 3 1 2xlog log 0 1 x +  > +  Lời giải: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 2 2 1 2x 1 2x xlog 0 1 0 x 1 x 01 x 1 x 1 x x 0 1 2x 1 2x 1 x 1log 1 2 0 1 x 1 x 1 x + +  > > >    + + +⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >    + + − > −  < < <  + + +  - VËy x 0> lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh. BAØI TAÄP Giải các bất phương trình sau: 1) 2 0,7 6 x xlog log 0 x 4  + <  +  2) ( )23x xlog 3 x 1− − > 3) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 255 5 5 25 log x 5 3log x 5 6log x 5 4log x 50 2 0− + − + − − − + ≤ 2. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ Ví dụ 1. Giải bất phương trình: x x 2 x x 2.3 2 1 3 2 + − ≤ − Lời giải: - ðiều kiện x 0≠ . - Chia cả tử và mẫu cho x2 , ta ñược: x x x 2 xx x 32. 4 2.3 2 21 1 3 2 3 1 2 +   −  −  ≤ ⇔ ≤ −   −    - §Æt ( ) x3 t , 0 t 1 2   = < ≠    . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi 2t 4 1 0 t 1 − − ≤ − x 3 2 t 3 3 0 1 t 3 1 3 0 x log 3 t 1 2 −   ⇔ ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤  −   - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 3 2 0 x log 3< ≤ . Ví dụ 2. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 3 4 2 2 2 1 2 12 2 2 x 32log x log 9log 4log x 8 x     − + <       Lời giải: - ðiều kiện x 0> . - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) 1 1 3 4 2 2 2 2 22 2 24 3 2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 2 2 2 2 x 32 log x log 9 log 4 log x 8 x log x log x log 8 9 log 32 log x 4 log x log x 3log x 3 9 5 2log x 4 log x − −     ⇔ − + <          ⇔ − − + − <    ⇔ − − + − < Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH - §Æt ( )2t log x= , bÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 4 2 2 2 2 t 13t 36 0 4 t 9 1 13 log x 23 t 2 x 8 42 log x 32 t 3 4 x 8 − + < ⇔ < <    − < < −− < < − < <  ⇔ ⇔ ⇔  < << < < <   - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ( )1 1, 4,8 8 4   ∪    . Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 25 4.5 5− − − − + −− < Lời giải: - §Æt x 5 3 2X 5 0, Y 5 0x− −= > = > .Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 2X 4X 5Y Y − < (1) - Do Y 0> nªn ( ) ( )( )2 2 2 2 x 5 1 3 x 2 1 X 4XY 5Y X 4XY 5Y 0 X Y X 5Y 0 X 5Y 0 X 5Y 5 5 x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2 − + − ⇔ − < ⇔ − − < ⇔ + − < ⇔ − < ⇔ < ⇔ < ⇔ − < + − ⇔ − < − - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau ( ) x 2 0I 2 x 6 x 6 0 − ≥ ⇔ ≤ < − < ( ) ( ) ( )2 2 x 6 0 x 6 x 6 II 6 x 18 x 21x 54 0 3 x 189 x 2 x 6 − ≥  ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ <   − + < < < − > −   - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 2 x 18≤ < . BAØI TAÄP Giải các bất phương trình sau: 1) ( ) ( )x x x15 1 5 1 24+ + − = 2) ( )2 2 22 1 4 2 log x log x 3 5 log x 3+ − > − 3) 2x x x 4 x 43 8.3 9.9 0+ + +− − > . 3. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ Ví dụ 1. Giải bất phương trình: ( )5 4log 3 x log x+ > Lời giải: - ðiều kiện x 0> . - §Æt t4t log x x 4= ⇔ = , bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh ( )t5log 3 2 t+ > t t t t 3 23 2 5 1 5 5   ⇔ + > ⇔ + >    - Hµm sè ( ) t t 3 2 t 5 5 f  = +     nghÞch biÕn trªn ℝ vµ ( )1 1.f = - BÊt ph−¬ng tr×nh trë ( ) ( )t 1 t 1f f> ⇔ < , ta ®−îc 4log x 1 0 x 4.< ⇔ < < Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 0 x 4< < . Ví dụ 2. Giải bất phương trình: 2 2 3 2 x x 1log x 3x 2 2x 2x 3 + + > − + − + Lời giải: - §Æt ( )2 2u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0= + + = − + > > . Suy ra 2v u x 3x 2− = − + . - BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ( )3 3 3 3 3ulog v u log u log v v u log u u log v v 1 v = − ⇔ − = − ⇔ + > + - XÐt hµm sè ( ) ( )'3 1t log t t, ta co: t 1 0, t 0t ln 3f f= + = + > ∀ > nªn hàm số ñång biÕn khi t 0.> Tõ (1) ta cã ( ) ( )f u f v u v> ⇔ > 2 2 2 x x 1 2x 2x 3 x 3x 2 0 1 x 2. ⇔ + + > − + ⇔ − + < ⇔ < < - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 1 x 2< < . Lưu ý: 1. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log loga bu v< , ta th−êng gi¶i nh− sau: §Æt logat u= (hoÆc logbt v= ) ®−a vÒ bÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ sö dông chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè. 2. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log log loga a a u v u u u v v v < − ⇔ + < + . Ta xÐt hµm sè ( ) logaf t t t= + ®ång biÕn khi 0t > , suy ra ( ) ( ) .f u f v u v< ⇔ < BAØI TAÄP Giải các bất phương trình sau: 1) ( )3 x6 64log x x log x+ ≥ 2) x x x2.2 3.3 6 1.+ > − 3) x x x x16 3 4 9 .− < + 4. PHÖÔNG PHAÙP VEÕ ÑOÀ THÒ Ví dụ . Giải bất phương trình: x 5 xlog 5 x 0 2 3x 1 + − < − + Lời giải: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ ( ) x 5 xlog 0 I 5 x 2 3x 1 0 + > −  − + < vµ ( ) x 5 xlog 0 II 5 x 2 3x 1 0 + < −  − + > - Gi¶i hÖ (I) + 5 x 5 x 2xlog 0 1 0 0 x 5 5 x 5 x 5 x + + > ⇔ > ⇔ > ⇔ < < − − − + x2 3x 1< − , ta vÏ ®å thÞ cña hai hµm sè xy 2= vµ y 3x 1= − trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é. Khi ®ã ta ®−îc nghiÖm lµ 1 x 3.< < - Do ®ã hÖ (I) cã nghiÖm 1 x 3.< < Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH - Gi¶i hÖ (II) + 5 x 5 5 x 55 x 5 xlog 0 0 1 5 x 02x x 0 x 55 x 5 x 0 5 x − < < − < <+ +  < ⇔ < < ⇔ ⇔ ⇔ − < <  − − <  − . + x2 3x 1> − x 1⇔ . - Do ®ã hÖ (II) cã nghiÖm 5 x 0.− < < - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ( 5,0) (1,3)− ∪ . BAØI TAÄP Giải bất phương trình sau: 1 x x 2 2x 1 0 2 1 − − + ≤ − . 5. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC Ví dụ 1. Giải bất phương trình: ( )2 3 1log x 2 4 log 8 x 1   − + ≤ +  −  Lời giải: - §iÒu kiÖn x 2.≥ - Ta cã nhËn xÐt sau: + ( )2x 2 4 4 log x 2 4 2 VT 2.− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ + 1 x 2 x 1 1 x 1 1 1 x 1 ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ − 3 1 1 8 9 log 8 2 VP 2 1 1x x   ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤  − −  - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi VT 2 x 2 0 x 2 VP 2 x 2  = − =  ⇔ ⇔ =  = =  . - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2. Ví dụ 2. Giải bất phương trình: ( )xx 9log log 3 9 1 − <  Lời giải: - §Ó ( )x9log 3 9− cã nghÜa, ta cÇn cã x x 23 9 3 3 x 2.> ⇔ > ⇔ > - Víi ®iÒu kiÖn trªn bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ( ) ( ) 9 x x 9 x 2 3x 9 1 log 3x 9 0 3 9 9 log 3x 9 x  > − > − > ⇔  − < − < - §Æt ( )x3 t, t 0= > , ta cã hÖ x 32 t 10 t 0 3 10 x log 10t t 9 0 > ⇔ > ⇔ > ⇔ > − + > . Ví dụ 3. Giải bất phương trình: ( )2 3 4 2 22 25x 6x x x log x x x log x 5 5 6 x x+ − − > − + + + − Lời giải: - ðiều kiện: 2 x 0 0 x 3 6 x x 0 > ⇔ < ≤ + − ≥ - BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ( )( ) ( )22x log x 5 6 x x 1 x 0 *− + − + − > - Do 2 2 2x 3 x log x 3log 3 log 32 5≤ ⇒ ≤ < = . VËy khi 0 x 3< ≤ th× 2xlog x 5 0,− < do ®ã Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH ( ) 22 0 x 3 0 x 3 5 * x 3 2x 3x 5 0 26 x x 1 x 0 < ≤ < ≤ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤  − − >+ − + − <  - VËy nghiÖm 5 x 3. 2 < ≤ Ví dụ 4. Giải bất phương trình: ( )2 2 x x 1 24x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x++ − > + − + − Lời giải: - ðiều kiện: 2 x 2− ≤ ≤ (1) - BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi ( )( )x 24 x.2 x 1 2 2 x 0− − + − > (2) - Tõ (1) ta cã 3 x 2 2x 2 x.2 2.2 2.2 4.≤ ⇒ ≤ < = . Do ®ã (2) t−¬ng ®−¬ng víi 2 2 2 x 2 2 2 x 1 x x 1 2 2 x 0  − ≤ ≤ ⇔ − > − − + − > (3) - (3) t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau + ( ) 22 x 0 I : 1 x 2 1 x 0  − ≥ ⇔ < ≤ − < + ( ) ( ) ( )2 22 x 11 x 0 x 1 II : 1 x 175x 2x 7 04 2 x 1 x 1 x 5 ≤ − ≥ ≤  ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤   − − − − < <   - VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x 1; 2 . ∈ −  Ví dụ 5. Giải bất phương trình: ( ) ( )2 2 1 1 log x 1 log 3 2x > + − Lời giải: - ðiều kiện: 1 x 0 30 x 1 1 1 x 230 3 2x 1 1 x x 0;12  − < ≠ < + ≠ − < <   ⇔ ⇔   < − ≠ ≠ <   ≠ ● ( )2log x 1 0 x 1 1 x 0.+ > ⇔ + > ⇔ > ● ( )2log 3 2x 0 3 2x 1 x 1.− > ⇔ − > ⇔ < - Ta cã b¶ng xÐt dÊu - Tõ ®ã ta cã c¸c tr−êng hîp sau + TH1: Víi 1 x 0 − suy ra bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm + TH2: Víi 0 x 1 > Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi ( ) ( )2 2log x 1 log 3 2x 3 2x x 1 0 x 1.+ + ⇔ < < log2(3-2x) x -1 0 1 - + + + + - 2 3 log2(x+1) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH + TH3: Víi 31 x 2 < bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi 31 x 2 < < . - VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ { }30 x \ 1 2   < <    . Lưu ý: Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng 1 1 log loga bu v > , ta th−êng gi¶i nh− sau: + LËp b¶ng xÐt dÊu cña loga u vµ logb v trong tËp x¸c ®Þnh cña bÊt ph−¬ng tr×nh. + Trong tËp x¸c ®Þnh ®ã nÕu loga u vµ logb v cïng dÊu th× bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi log log .a bu v< Ví dụ 6. Trong c¸c nghiÖm ( )x; y cña bÊt ph−¬ng tr×nh ( )2 2x 2ylog 2x y 1+ + ≥ , chØ ra c¸c nghiÖm cã tæng ( )2x y+ lín nhÊt. Lời giải: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau ( ) 2 2 2 2 0 x 2y 1 I : 2x y x 2y 2x y 0  < + <  + ≤ +  + > vµ ( ) 2 2 2 2 x 2y 1 II : 2x y x 2y  + >  + ≥ + - Râ rµng nÕu ( )x; y lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh th× tæng ( )2x y+ lín nhÊt chØ x¶y ra khi nã lµ nghiÖm cña hÖ ( )II ( ) ( ) 2 2 2 2 x 2y 1 II 1 9 x 1 2y 82 2  + >  ⇔    − + − ≤     - Ta cã ( ) 1 1 92x y 2 x 1 2y 42 2 2   + = − + − +    . - Áp dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho hai bé sè 1x 1; 2y 2 2   − −    vµ 12; 2       , ta ®−îc ( ) ( ) 2 2 21 1 1 1 9 9 812 x 1 2y x 1 2y 4 . 2 8 2 162 2 2 2 2         − + − ≤ − + − + ≤ =                 ( )9 1 1 9 9 2 x 1 2y 0 2x y 4 4 22 2 2   ⇔ − ≤ − + − ≤ ⇔ < + ≤    - Dấu '' ''= xảy ra khi và chỉ khi 92x y 2 x 2 9 12x y 2y 1 x 12 y2 2 212 2  + = =    + = ⇔ ⇔−  − = =   - Víi 1 x 2, y 2 = = tho¨ m·n bÊt ph−¬ng tr×nh 2 2x 2y 1.+ > Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH - VËy trong c¸c nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh th× nghiÖm 12; 2       lµ nghiÖm cã tæng ( )2x y+ lín nhÊt b»ng 9 . 2 BAØI TAÄP Giải bất phương trình sau: 1) ( )( )xx 3log log 9 72 1− ≤ 2) ( )( ) 3 a a log 35 x 3 log 5 x − > − với 0 a 1< ≠ . 3) ( )2 11 33 1 1 log x 1log 2x 3x 1 > + − + . 4) Trong c¸c nghiÖm ( )x; y cña bÊt ph−¬ng tr×nh ( )2 2x ylog x y 1+ + ≥ . T×m nghiÖm cã tæng ( )x 2y+ lín nhÊt. BAØI TAÄP LUYEÄN TAÄP Giải các bất phương trình sau: 1) ( ) ( )x 1 x 3x 3 x 110 3 10 3+ −+ −− < + (Học viện GTVT năm 1998) 2) ( )2 11 33 1 1 log x 1log 2x 3x 1 > + − + (ðH Quốc gia TPHCM 1999) 3) ( ) ( )2 24 21 log 2x 3x 2 log 2x 3x 2+ + + > + + (ðH Thuỷ lợi 1999) 4) 2 3 2 3log x log x 1 log x.log x+ < + (ðH NT 1998) 5) 3 2x 3log 1 1 x −  <  −  (ðH SP Vinh 1998) 6) x 1log x 2 4   − ≥    (ðH Huế 1998) 7) 3 x 2log x5 1 − < (ðH ngân hàng TPHCM 1998) 8) ( )23 1 1 3 3 1log x 5x 6 log x 2 log x 3 2 − + + − > − (ðH Bách khoa Hà Nội) 9) ( )( ) 2 2 2 log x 9x 8 2 log 3 x − + < − (ðH Tổng hợp TPHCM 1964) 10) 1log x x 2 4   − ≥    (ðH Huế 1998) 11) ( )x x2log 7.10 5.25 2x 1− > + (ðH Thủy sản 1999) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 12) ( )( ) 3log a 35 x 3 log a 5 x − > − (ðH Y DƯỢC TPHCM) 13) 1 x x 1 x8 2 4 2 5+ ++ − + > 14) x 1 x x 115.2 1 2 1 2+ ++ ≥ − + 15) 2 1 1 x x1 13. 12 3 3 +     + >        16) x x x2.14 3.49 4 0+ − ≥ 17) ( ) ( )x 1x 1 x 15 2 5 2 −− ++ ≥ − 18) ( )x x x2 5 24 5 7 5 7+ − − ≥ + 19) ( ) ( )x 3 x 1x 1 x 310 3 10 3− +− ++ < − 20) ( ) ( )( ) ( )x x2 3 7 4 3 2 3 4. 2 3+ + + − > + 21) ( ) ( )2x 1 2x 12. 3 11 2 3 11 4 3− −+ + − ≤ 22) 22 x 2 x x3 5x 2x 3x 3x.5 . 3 5x 2x 9 .5− −+ − + > + − + 23) 2 x 2 2 x3x 5x 2 2x 3 .2x. 3x 5x 2 4x .3− − + + > − − + + 24) 2 3 3 log log x 3 1− < 25) ( )( )xx 9log log 3 9 1− ≤ 26) ( ) ( )x x 25 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1−+ − < + + 27) ( ) xx2 3 2log 3 2 2.log 2 3 0++ + − > 28) 22x xlog 64 log 16 3+ ≥ 29) ( )2 22 2x 31 1 1log x 6 2 log2 12 64+ − < + 30) ( ) ( )2 33 1 1 log x 1log 2x 3x 1 > + − + 31) ( ) ( )3x 5 6x 2log 4 log 16 0− − − −− ≥ 32) ( )2lg x 3x 2 2 lg x lg 2 − + > + 33) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 log x 1 log x 1 0 x 3x 4 + − + > − − 34) ( ) ( )2 2 x2 22 x 7x 12 1 14x 2x 24 . log x x     + − + − ≤ − − +        35) ( )( ) 2 2 2 log x 9x 8 2 log 3 x − + < − 36) 2 7 2 7log x 2 log x 2 log x.log x+ ≤ + Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 37) ( ) ( )2 2x 1 x2 22 cos x.log x 6 2cos x 2 .log x 6+ + + ≥ + + 38) 1 1 x x 6 6 1log 3.4 2.9 log 5 x − −  + + =    39) ( )2 2 22 1 4 2 log x log x 3 5 log x 3+ − > − 40) 2 2 1 1 4 xlog 3 log 1 x 2 > − − 41) ( )2 22 2log x 3 x 1 2log x 0+ − − + ≤ 42) ( ) ( )25 5 1 5 12log x 1 log .log x 1 2x 1 1   − ≥ −  − −  43) ( ) ( )2 24 2log 2x 3x 2 1 log 2x 3x 2+ + + > + + 44) ( )2 log x 12 3 1 2 3 xlog log 2 3 21 1 3 −     + +       ≥    45) ( ) ( )2 22 3log x 5x 5 1 log x 5x 7 2− + + + − + ≤ 46) 2x 4x 2 1log x 2 2   − ≥   −  47) ( ) ( )x x 25 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1−+ − < + + 48) ( )2x 3log 5x 18x 16 2− + > 49) ( ) ( )2 24 2log 2x 3x 2 1 log 2x 3x 2+ + + > + + 50) 1 3 x 3 x 1 3 x8 2 4 2 5+ − − + −+ − + > . 51) 2 2 3 2 2x x 1 x x 1 x 1 2x 1log log 2x 1 x 1− − + −  + +  >   + +   52) ( )2 3log 1 x log x+ > 53) ( )2 x 1 2 x 2 2 x x 13 x 2 2 3x 2 2− − − −+ + > + + 54) ( ) ( )( )x 1 2 1 x 2 2 x2 5x 11 2 x 24 x 1 x 9 2+ − −+ + − < − − − 55) 2x x x 4 x 43 8.3 9.9 0+ + +− − ≥ 56) ( ) ( )2 3 5 7log log x log log x≤ 57) ( ) ( )2 29 3log 3x 4x 2 1 log 3x 4x 2+ + + > + + 58) 1 12 2 2 2 log x log x log x3 x 2 6x+ > . ---------- HẾT ---------- Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 1. PHÖÔNG PHAÙP BIEÁN ÑOÅI TÖÔNG ÑÖÔNG - §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa - Sö dông c¸c phÐp thÕ ®Ó nhËn ®−îc tõ hÖ mét ph−¬ng tr×nh theo Èn x hoÆc y (®«i khi lµ theo c¶ hai Èn x vµ y) Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: ( )1 4 4 2 2 1log y x log 1 y x y 25  − − =   + = Lời giải: - ðiều kiện: y 0 y x >  > - Víi ®iÒu kiÖn trªn hÖ t−¬ng ®−¬ng víi ( )4 4 2 2 log y x log y 1 x y 25 − − + =  + = ( ) ( )4 4 22 2 2 2 2 4x x 3y 3log y log y x .4 y y x .4 x 3 x y 25 x y 25 4x 4xx 25 y3 3  = =   = − = − = −  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    + = + =      + = =     + Víi x 3= suy ra y 4= (tmñk) + Víi x 3= − suy ra y 4= − (kh«ng tmñk) - VËy hÖ cã nghiÖm ( ) ( )x; y 3; 4= . Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: x y x y 2 .3 12 3 .2 18  =  = Lời giải: - L«garit c¬ sè 2 c¶ hai vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh trong hÖ ta ñược 2 2 2 2 x y.log 3 2 log 3 x.log 3 y 1 2.log 3 + = +  + = + ®©y