Chuyên đề Số phức - Ôn thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP TRƯỜNG THPT THÀNH PHỐ CAO LÃNH Năm học: 2009 – 2010 A. SỐ PHỨC. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC. I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn . Kí hiệu · i: đơn vị ảo, · a: phần thực, · b: phần ảo. Chú ý: được gọi là số thực được gọi là số ảo vừa là số thực vừa là số ảo Biểu diễn hình học của số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z Û z = a + bi 2. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức và với 3. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức và với Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi (a, b 4. Nhân hai số phức. Cho hai số phức và với 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z là số thực ; z là số ảo 6. Môđun của số phức z = a + bi 7. Chia hai số phức. Số phức nghịch đảo của z (z: Thương của z’ chia cho z (z: Với z, II. CÁC DẠNG TOÁN Bài toán 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: a. ; b. ; c. Giải. a. Phần thực a = 14; Phần ảo b = ; môđun b. Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun c. Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) (2 + i)3 – (3 – i)3 (1 + i)2 – (1 – i)2 (2 + i)3 – (3 – i)3 ( 1- 2 i ) + 2. Tính 2i(3 + i)(2 + 4i) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) (2 – i)4 (3 – 2i)(2 – 3i) (2 + 3i)2 (2 – 3i)3 + (5 – i)2 Bài toán 2. Tính Giải. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tính. Bài toán 3. Tìm các số thực x và y biết Giải. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tìm các số thực x và y biết: (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i (2 – x) – i = + (3 – y) i (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y – 5) i (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i Bài toán 4. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a. ; b. Giải. Đặt , khi đó: a. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng b. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm I(-3;0) và bán kính bằng 1 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: 2|z – i| = z + 2 = 2 – 4i = 1 = và = 25 1 =1 và phần ảo của z =1 1<2 phần thực của z thuộc đọan [0;1], phần ảo của z thuộc đoạn [-1;2] B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Căn bậc hai của số phức có một căn bậc hai là 0 là số thực dương có 2 căn bậc 2 là là số thực âm có 2 căn bậc hai là z = x + yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho (a, b, x, y 2. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số thực cho trước, A ). Tính : Phương trình có hai nghiệm phân biệt : Phương trình có hai nghiệm phân biệt : Phương trình có 1 nghiệm kép là 3. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A ). Tính : Phương trình có hai nghiệm phân biệt , ( là 1 căn bậc hai của : Phương trình có 1 nghiệm kép là II. CÁC DẠNG TOÁN. Bài toán 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a. ; b. (NC) Giải. a. Hai căn bậc hai của là b. Gọi là căn bậc hai của , ta có: Vậy có hai căn bậc hai là và BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 8;3; ; ; -I; -2i; 2i; 4i 2. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: (NC) ; ; ; ; 3+4i; 5 – 12i Bài toán 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. ; b. Giải. a. b. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2iz + 1 – i = 0 (1 – i )z + 2 – i = 2z + i ( iz –1 )( z + 3i )( – 2 + 3i) = 0 ( 2 i) – 4 = 0 (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i) (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) (3 – 2i)z + (6 – 4i)= 5 – i (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i. Bài toán 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC) a. ; b. Giải. a. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: b. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: z4–8 = 0 x3 – 1 = 0 z3 + 1 = 0 z4 + 4 = 0 5z2 – 7z + 11 = 0 z2 - 2z + 7 = 0 z3 – 8 = 0 z2 + z +7 = 0 z2 – z + 1 = 0 z2 + 2z + 5 = 0 8z2 – 4z + 1 = 0 x2 + 7 = 0 x2 – 3x + 3 = 0 x2 –5x +7=0 x2 –4x + 11 = 0 z2 – 3z + 11 = 0 2. Giải phương trình sau trên trường số phức z4 – 5z2 – 6 = 0 z4 +7z2 – 8 = 0 z4 – 8z2 – 9 = 0 z4 + 6z2 + 25 = 0 z4 + 4z – 77 = 0 8z4 + 8z3 = z + 1 z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0 Bài toán 4. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC) a. ; b. Giải. a. Gọi là một căn bậc hai của , ta có Do , phương trình có 2 nghiệm phân biệt: b. Gọi là một căn bậc hai của , ta có Do , phương trình có 2 nghiệm phân biệt: BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. (NC) 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0 2z2 – iz + 1 = 0 z2 + (-2 + i)z – 2i = 0 z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 z2 + ( 1 – 3 i)z – 2(1 + i) = 0 ( 1 – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = 0 ( 1 + i)x2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0 z2 + 18z + 1681 = 0 2. Giải các hệ phương trình : C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. (NC) I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Dạng lượng giác của số phức. z = (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b là môđun của z là một acgumen của z thỏa 2. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r(costhì : 3. Công thức Moa-vrơ : thì Nhân xét: 4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Căn bậc hai của số phức z = r(cos (r > 0) là và II. CÁC DẠNG TOÁN. Bài toán 1. Viết dạng lượng giác của các số phức sau: a. ; b. Giải. a. Mô đun Gọi là một acgumen của z ta có Dạng lượng giác b. Mô đun Gọi là một acgumen của z ta có Dạng lượng giác BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 4 – 4i 1 – 2. Thực hiện phép tính 5 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 1 + i z = Bài toán 2. Tính: a. ; b. Giải. a. b. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tính : [)]7 (cos12o + isin12o)5 Bài toán 3. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a. ; b. Giải. a. Dạng lượng giác: Hai căn bậc hai của z là và b. Dạng lượng giác Hai căn bậc hai của z là và BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau : –1 + 4 4 + 6 –1 – 2 1+i ( - i)6