Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thườngdùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên +cận dưới, .
Chúng ta cần phải nhớnhững đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
27 trang |
Chia sẻ: maiphuongdc | Lượt xem: 2298 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Chuyên đề Tích phân, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
2
64
0
6
3
π
π
π
−=−
+−=
+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 4
Tính các tích phân sau :
a) ∫
+
=
2
0
22221 cos.sin.
cos.sin
π
dx
xbxa
xx
I b) ∫ +
=
3
0
2
2cos2
cos
π
dx
x
x
I
Bài làm :
a) ðặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 +−=⇒+=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
2
2
0
btx
atx
π
Nếu ba ≠
Vậy : ( )
baab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b
a
+
=
−
−
=
−
=
−
=
+
= ∫ ∫
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22221
2
2
2
2
π
Nếu ba =
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
22221
=−==
=
+
=
∫
∫∫
ππ
ππ
b) ðặt : xdxdtxt cossin =⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
3
3
00
tx
tx
π
Vậy : ∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0 2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
232cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I
π
ðặt : ududtut sin
2
3
cos
2
3
−=⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
42
3
2
0
π
π
ut
ut
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 5
Vậy :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0 2
2
π
π
π
π
π
π
π
===
−
=
−
=
∫
∫∫
udu
u
udu
t
dt
I
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
2
0
1 5cos3sin4
1
π
dx
xx
I b) ∫ ++
++
=
2
0
2 5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
I
Bài làm :
a) ðặt :
1
2
1
2
tan
2
tan
2
2
+
=⇒
+=⇒=
t
dt
dxdx
x
dt
x
t
ðổi cận :
=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
=
+
−=
+
=
+
+
−
+
+
+= ∫∫
t
t
dt
dt
t
t
t
t
tI
b)ðặt :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
++
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng ñồng nhất thức ta ñược: 1,1,1 === CBA
Vậy :
( )
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
++=++++=
++
+
++
−
+=
++
++
= ∫∫
ππ
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Bạn ñọc tự làm :
a) ∫=
2
6
2
3
1 sin
cos
π
π
dx
x
x
I b) ∫=
2
0
3
2 sin.cos
π
xdxxI c) ∫ +=
2
0
3 2sin
π
x
dx
I
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 6
c) ∫ +=
2
0
3
3 1cos
sin4
π
dx
x
x
I d) ∫ ++=
2
0
5 3cos2sin
1
π
dx
xx
I d) ∫ ++
+−
=
2
0
6 3cos2sin
1cossin
π
dx
xx
xx
I
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1 :
( ) ( )
C
axnax
dx
I
nn
+
−−
−=
−
= −∫ 1
1
.
1
1 với ( ) { }( )1,0, −×∈ NCna ta có :
Nếu Ran ∈= ,1 ta có : Cx
ax
dx
I +=
−
= ∫ ln
Dạng 2 :
( )∫ ++
+
= dx
cbxax
x
I
n2
βα trong ñó :
<−=∆
∈
04
,,,,
2 acb
Rcbaβα
* Giai ñoạn 1 : 0≠α ,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức cbxax ++2 ,
sai khác một số :
( ) ( ) ( )∫∫∫ ++
−+
++
+
=
++
−++
=
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2
2
2
2
2
2 α
βααα
β
α
* Giai ñoạn 2 :
Tính
( ) ( )∫∫
∆−
+
=
+
∆−
∆−
=
++
=
bax
t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22 12
.
4
* Giai ñoạn 3 :
Tính
( )∫ +
= dt
t
I
n
1
1
2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc ñặt φtan=t
Dạng 3 : ( )
( )∫= dxxQ
xP
I
n
m
Ta có : ( )
( ) 01
01
......
......
bxbxb
axaxa
xQ
xP
n
n
m
m
n
m
+++
+++
=
Nếu : ( ) ( )QP degdeg ≥ thì ta thực hiện phép chia ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m += − trong ñó
phân số ( )
( )xQ
xR
n
r có ( ) ( )QR degdeg <
Nếu : ( ) ( )QP degdeg < ta có các qui tắc sau :
*Qt 1: ( )
( ) ( ) ( ) ( )n
n
n
n
n
xm
ax
A
ax
A
ax
A
ax
P
−
+
−
++
−
=
− −
−
1
11 ......
Vdụ 1a :
( )
( ) ( )
∑
∏ =
=
−
=
−
n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b : ( )
( )22))()(( cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xPm
−
+
−
+
−
+
−
=
−−−
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 7
*Qt 2': ( )
( ) ( ) ( ) ( )n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
++
+
+
++
+
++
++
+
=
++
−
−−
212
11
2
11
2
...... với 0<∆
*Qt 3: ( )
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= = ++
+
+
−
=
++−
m
i
n
k
i
i
i
i
nm
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2
1
2 αα
Vdụ 1 : ( )( ) ( )cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xPt
++
+
+
−
=
++− 22)( αα
Vdụ 2 : ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
22
2
11
22 cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xPt
++
+
+
++
+
+
−
=
++− αα
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
1
0
21 23xx
dx
I b)
( )∫ ++
=
1
0
222 23xx
dx
I
Bài làm :
a)
( )( ) ∫∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
1
0
21 2
1
1
1
2123
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
b)
( ) ( ) ( ) ( )( )
dx
xxxx
dx
xx
dx
I ∫∫
++
−
+
+
+
=
++
=
1
0
22
1
0
222 21
2
2
1
1
1
23
( ) OKxx
xx
=
+−+−
+
−
+
−=
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
1
0
241 33xx
dx
I b) ( )( )∫ ++
−
=
1
0
22 21
24
dx
xx
x
I
Bài làm :
a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược ∫ +=+= Ca
x
aax
dx
I arctan
1
220
với 0>a
( )( ) dxxxxx
dx
xx
dx
I ∫ ∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
2222
1
0
241 3
1
1
1
2
1
3133
( )329
23
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0
−=
−=
πx
x
[ ]
3
4
ln2ln1ln
1
0
=+−+= xx
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 8
b) ðặt :
( )( )
( ) ( )
( )( )12
22
1212
24
2
2
22 ++
+++++
=
+
+
+
+
=
++
−
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do ñó ta có hệ :
=
=
−=
⇔
=+
=+
=+
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy : ( )( )∫ ∫
+
+
+
−=
++
−
=
1
0
1
0
222 1
2
2
2
21
24
dx
x
x
x
dx
xx
x
I
[ ]
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2 =−++−=+++−= xx
Bạn ñọc tự làm :
a)
( )∫ −
+
=
3
2
21 1
1
dx
xx
x
I b) ∫ −+=
5
2
22 32xx
dx
I
c) dx
xx
x
I ∫ −
−
=
2
1
3
3
3 4
1 d) ∫ +−=
2
3
243 23
dx
xx
x
I
HD:
a)
( ) 11
1
22 −
++=
−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x b)
3132
1
2 +
+
−
=
−+ x
B
x
A
xx
c)
( )( )
−+
−
+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x d)
221123 24 −
+
+
+
+
+
−
=
+− x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
ðẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận
xét một số ñặc ñiểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ −=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx mnnm
Bài làm :
Xét ( )∫ −=
1
0
1 dxxxI nm
ðặt : dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 9
ðổi cận :
=→=
=→=
01
10
tx
tx
Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=−=
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI nmnmnm (ñpcm)
Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [ ]aa,− thì :
( )∫
−
==
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
( ) ( ) ( )1)(
0
0
∫ ∫ ∫
− −
+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét ( )∫
−
0
a
dxxf . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
ðổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
atax
V ậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0
Thế vào (1) ta ñược : 0=I (ñpcm)
Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn
[ ]aa,− thì ( ) ( )∫ ∫
−
==
a
a
a
dxxfdxxfI
0
2
Cho 0>a và ( )xf là hàm chẵn , liên tục và xác ñịnh trên R .
Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫
−
=
+
α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
01
Bài làm :
Xét ( ) dx
a
xf
x∫
− +
0
1α
. ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
ðổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
tx αα
Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +=+
−
=
+ −−
α α
α 0 0
0
111 t
t
tx a
tfa
dt
a
tf
dx
a
xf
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫
− − +
+
+
=
+
α
α α
α0
0
1
111
dx
a
xf
dx
a
xf
dx
a
xf
xxx
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 10
Thế vào (1) ta ñược : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ =+++=+− −
αα
α α
α
0
0
0 111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx
x
x
(ñpcm)
Cho hàm số ( )xf liên tục trên [ ]1,0 . Chứng minh rằng :
( ) ( )∫ ∫=
π ππ
0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx
Bài làm :
Xét ( )∫
π
0
sin. dxxfx . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= π
ðổi cận :
=→=
=→=
0
0
tx
tx
π
π
Vậy : ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=
π ππ
πππ
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
( ) ( )∫ ∫−=
π π
π
0 0
sin.sin dttftdttf
( ) ( )
( ) ( )dxxfdxxfx
dxxfdxxfx
∫∫
∫∫
=⇒
=⇒
ππ
ππ
π
π
00
00
sin
2
sin.
sinsin.2
Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số ( )xf liên tục trên [ ]ba, và ( ) ( )xfxbaf =−+ . Thì ta luôn có :
( ) ( )∫ ∫
+
=
b
a
dxxf
ba
dxxfx
π
02
.
Cho hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T .
Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
Bài làm :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ ∫
+++
++=+=
Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
Vậy ta cần chứng minh ( ) ( )∫ ∫
+
=
a Ta
T
dxxfdxxf
0
Xét ( )∫
a
dxxf
0
. ðặt dxdtTxt =⇒+=
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 11
ðổi cận :
+=→=
=→=
Tatax
Ttx 0
Vậy : ( ) ( )∫ ∫
+ +
=−
Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf
Hay : ( ) ( )∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
(ñpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn
có : ( ) ( )∫ ∫
−
=
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2
Bạn ñọc tự làm :
a) ( )∫ −=
1
0
6
1 1 dxxxI b) ( )∫
−
++=
1
1
22
2 1lncos.sin dxxxxxI
c) ∫ +=
π
0
23 cos49
sin.
dx
x
xx
I d) ∫ +=
π
0
24 cos1
sin.
dx
x
xx
I
e) ∫
−
+
=
2
2
2
5 21
sin
π
π
dx
xx
I
x
f) ∫
− +
+
=
1
1
2
2
6 1
sin
dx
x
xx
I
g) ( )∫ ++=∗
π2
0
2
7 sin1sinln dxxxI h) dxxI ∫ −=∗
π2009
0
8 2cos1
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số u và v có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [ ]ba, , thì ta có :
[ ]∫ ∫−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải ñặt xu ln= hay xu alog= .
*ưu tiên 2 : ðặt ??=u mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 12
a) ∫=
1
0
1 . dxexI
x b) ∫=
2
0
2
2 cos.
π
xdxxI c) ∫=
e
xdxI
1
3 ln
Bài làm :
a) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xx evdxedv
dxduxu
Vậy : ( ) 11.. 1
0
1
0
1
0
1
0
1 =−−=−=−== ∫∫ eeeedxeexdxexI xxxx
b) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
xdxduxu
sincos
22
Vậy : ( )1sin.2
4
sin.2cos..
2
0
2
0
2
2
0
1
0
1 ∫∫∫ −=−−==
ππ
π π
xdxxxdxxxxdxexI x
Ta ñi tính tích phân ∫
2
0
sin.
π
xdxx
ðặt :
−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxduxu
cossin
Vậy : 1sincos.coscos.sin. 2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=+−=+−= ∫∫
ππ
π
π
π
xxxdxxxxdxx
Thế vào (1) ta ñược :
4
8
.
21
0
1
−
== ∫
π
dxexI x
c) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln
Vậy : 1ln.ln.ln
01
1
1
1
3 =−=−== ∫∫
ee
e
e
e
xxxdxxxxdxI
Tính các tích phân sau :
a) ∫=
π
0
1 sin. xdxeI
x b) ∫=
4
0
22 cos
π
dx
x
x
I c) ( )∫=
πe
dxxI
1
3 lncos
Bài làm :
a) ðặt :
−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu xx
cossin
Vậy : ( )∫∫ ++=+−==
π
ππ
π
0
0
0
1 11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI
xxx
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 13
ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu xx
sincos
Vậy : IxdxexexdxeJ xxx −=−== ∫∫
π
π
π
0
0
0
sin.sin.cos.
Thế vào (1) ta ñược :
2
1
12 11
+
=⇒+=
π
π eIeI
b) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvdx
x
dv
dxduxu
tan
cos
1
2
Vậy : ( )
2
2
ln
4
cosln
4
tantan.
cos
4
0
4
0
4
0
4
0
22
+=+=−== ∫∫
ππ π
π
π
π
xxdxxxdx
x
x
I
c) ðặt :
( ) ( )
=⇒=
−=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos
Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) JedxxxxdxxI
e
e
e
++−=+== ∫∫ 1lnsinlncos.lncos
1
1
1
3
π
π
π
π
ðặt :
( ) ( )
=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lncos
1
lnsin
Vậy : ( ) ( ) ( ) 3
1
1
1
3 0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e
e
e
−=−== ∫∫
π
π
π
Thế vào (1) ta ñược : ( )
2
1
12 33
+
−=⇒+−=
π
π eIeI
Bạn ñọc tự làm :
a) ∫ −=
2ln
0
1 . dxexI
x b) ( )∫ −=
e
dxxI
1
2
2 ln1
c) ∫
−=
2
23 ln
1
ln
1
e
dx
xx
I d) ( )∫ ++=
1
0
2
4 1ln dxxxI
e) ( )∫=
3
4
5 tanln.sin
π
π
dxxxI f) ( )∫=
e
dxxI
1
2
6 lncos
g) ∫=∗
4
0
2
7 2cos
π
xxI h) ∫ +
+
=∗
2
0
7
cos1
sin1
π
dxe
x
x
I x
Tích phân hàm trị tuyệt ñối, min , max :
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 14
Muốn tính ( )∫=
b
a
dxxfI ta ñi xét dấu ( )xf trên ñoạn [ ]ba, , khử trị tuyệt ñối
Muốn tính ( ) ( )[ ]∫=
b
a
dxxgxfI ,max ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba,
Muốn tính ( ) ( )[ ]∫=
b
a
dxxgxfI ,min ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba,
Tính các tích phân sau :
a) ∫ −=
4
1
1 2dxxI b) ∫ −+=
2
0
2
1 32 dxxxI
Bài làm :
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +
Vậy : ( ) ( )
4
2
22
1
24
2
2
1
4
1
1 222
2222
−+
−=++−=−= ∫∫∫ x
xx
xdxxdxxdxxI
( ) ( ) ( )[ ]
2
5
4288
2
1
224 =−−−+
−−−=
b) Lập bảng xét dấu [ ]2,0,322 ∈−+ xxx tương tự ta ñược
( ) ( )∫∫∫ −++−+−=−+=
2
1
2
1
0
2
2
0
2
1 323232 dxxxdxxxdxxxI
.
Tính ∫ −=
1
0
dxaxxI a với a là tham số :
Bài làm :
x ∞− a ∞+
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể ñánh giá ).
Nếu 0≤a .
4
3
3
3
3
2
1
3
2
1
0
3
2
1 =
++−+
−−=
x
xx
x
xxI
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 15
( )∫∫ −=
−=−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0 23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxIa
Nếu 10 << a .
( ) ( )∫ ∫∫ −+−−=−=
a
a
a dxaxxdxaxxdxaxxI
0
1
22
1
0
223
1
3232
32132
0
32 aaxaxxax
a
a
+−=
+−+
−=
Nếu 1≥a .
( )∫∫ +−=
−−=−−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0 23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxIa
Tính : a) ( )∫=
2
0
2
1 ,1min dxxI ( )∫=
3
0
2
2 ,max dxxxI
Bài làm :
a) Xét hiệu số : ( ) [ ]2,01 2 ∈∀− xx
Vậy : ( )
3
4
3
,1min
2
1
2
0
32
1
1
0
2
2
0
2
1 =+=+== ∫∫∫ x
x
dxdxxdxxI
b) Xét hiệu số : ( ) [ ]3,01 ∈∀− xxx tương tự như trên ta có .
( )
6
55
32
,max
3
1
31
0
23
1
2
1
0
3
0
2
2 =+=+== ∫∫∫
xx
dxxxdxdxxxI
Bạn ñọc tự làm :
a) ( )∫
−
−=
3
2
2
1 3,min dxxxI b) ( )∫=
2
0
2 cos,sinmax
π
dxxxI c) ∫ −=
4
3
0
3 cossin
π
dxxxI
d) ( )∫
−
−=
3
2
2
4 34,max dxxxI d) ∫
−−+−+=∗
5
1
4 1212 dxxxxxI
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp ñơn giản của tích phân Abel
Dạng 1: ( )∫ ++ dxcbxaxxR 2, ở ñây ta ñang xét dạng hữu tỷ.
∆−
+
+
∆−
=++→
<∆
> 22 21
40
0 bax
a
cbxax
a
( ) ( )dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
+=++
2
22 1,, Tới ñây , ñặt ut tan= .
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 16
Dạng 2:
∆−
+
−
∆−
=++→
<∆
< 22 21
40
0 bax
a
cbxax
a
( ) ( )dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
−=++
2
22 1,, Tới ñây , ñặt ut sin= .
Dạng 3:
−
∆−
+∆
=++→
>∆
>
1
2
40
0
2
2 bax
a
cbxax
a
( ) ( )dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆
+
=
−=++
2
22 1,, Tới ñây, ñặt
u
t
sin
1
= .
Dạng 4 (dạng ñặc biệt) :
( ) ∫∫
+
=
++
=
+++
βα
ζµαβα
x
t
tt
dt
cbxaxx
dx
1
22
Một số cách ñặt thường gặp :
( )dxxaxS∫ − 22, ñặt π≤≤= ttax 0cos.
( )dxxaxS∫ + 22, ñặt 22tan.
ππ
<<−= ttax
( )dxaxxS∫ − 22, ñặt ππ ktt
a
x +≠=
2cos
( )dxcbxaxxS∫ ++2, ñặt ( )
>±±=++
=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
∫
+
+
m
dcx
bax
xS , ñặt 0; ≠−
+
+
= cbad
dcx
bax
t m
Tính :
( )∫ ++
=
32 74xx
dx
I
Bài làm :
( ) ( )∫∫ += +
=
++ 2
3232 374 xt t
dt
xx
dx
ðặt : ( )duudtut 1tan3tan3 2 +=⇒=
Ta có ( )
( ) ∫∫
=
+
+
=
uu
udu
u
duu
I
tan3tan3
32
2
cos
3
1
1tan.33
1tan3
C
xx
x
C
t
t
Cu +
++
+
=+
+
=+=
74
2
3
1
13
1
sin
3
1
22
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 17
Tính : a) ∫
++
=
12 xx
xdx
I b) ∫
−−
=
122 xxx
dx
I
Bài làm :
a) ∫∫∫
+
=
+
−
=
+
+
=
++
3
12
222 1
13
2
1
4
3
2
11 xt
dt
t
t
x
xdx
xx
xdx
( )
Cxxxxx
Ctttdt
t
t
I
x
t
+
+++++−++=
+++−+=
+
−
= ∫
+
=
1
2
1
ln
2
1
1
1ln
2
1
1
2
3
1
13
2
1
22
22
3
12
2
b)ðặt :
2
1
t
dt
dx
t
x −=⇒=
( )
C
t
t
dt
xxx
dx
I
t
x
+
+
−=
+−
−=
−−
= ∫∫
=
2
1
arcsin
1212 1 22
C
x
Cx +
+
−=+
+
−=
2
1
arcsin
2
1
1
arcsin
Tìm các nguyên hàm sau
a) ∫ +++
=
3 11 xx
dx
I b) ∫ +++
=
11 xx
dx
I
Bài làm :
a)ðặt : dxdttxtxt =⇒+=⇒+= 566 611
Vậy : ∫∫∫
+=+=
+
−+−=
+
=
+++
=
66 1
2
1
23
5
3 1
1
166
11 xtxt
dt
t
tt
tt
dtt
xx
dx
I
Cxxxx
Ctttt
+++−+++−+=
++−+−=
11ln6161312
1ln6632
663
23
b) ∫ ∫∫∫
+
−
+=
+−+
=
+++
=
−
dx
x
x
dxxdx
x
xx
xx
dx
I
1
2
1
1
2
1
2
11
11
2
1
( )11
2
1
2
1
dx
x
x
xx ∫
+
−+=
Xét dx
x
x
∫
+1 ðặt :
( )
dt
t
t
dx
t
x
x
x
t
222 1
2
1
11
−
−=⇒
−
=⇒
+
=
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 18
Vậy :
( )
OK
t
dtt
dx
x
x
x
x
t
=
−
−=
+
∫∫
+
=
1
2
2
1
2
1
Tìm các nguyên hàm sau :
a) ∫ += dxxxI 9. 22 b) ∫ += dxxxI 4.16 22
Bài làm :
a)ðặt : dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
9
2
9
9
+
=⇒
−
=⇒−=+
Vậy :
( ) ( )
( )
( ) Cxxxx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+
+−
−+−−
+−
−=
+
−−−=
+−−=
−
−=
−
−−
+
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
24
2
222
2
2
1
94
6561
9ln162
4
9
16
1
4
6561
ln162
416
16561162
16
1
81
16
1
4
9
.
2
9
.
2
9
b)ðặt : dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
4
2
4
4
+
=⇒
−
=⇒−=+
( ) ( )
( )
( )
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+
+−
−+−+
+−
−=
+
−−−=
+−−=
−
−=
−
−−
+
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
24
2
222
2
2
4
64
4ln36
4
4
64
ln36
4
25636
16
4
4
.
2
4
.
2
4
16
Tính các tích phân sau :
a) ∫ −=
1
2
1
2
1 dxxxI b) ∫
−
− −
=
8
3
2
1
dx
xx
dx
I
Bài làm :
( )∫∫ −−=−=
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1212
1
dxxdxxxI
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 19
ðặt : tdtdxtx cos
2
1
sin12 =⇒=−
ðổi cận :
=→=
=→=
2
1
0
2
1
π
tx
tx
Vậy : ( )
2
0
2
0
2
0
2
1 2sin2
1
1
8
1
2cos1
8
1
cos
4
1
πππ
+=+== ∫∫ tdtttdtI
b) ðặt : dxtdtxt =−⇒−= 21
ðổi cận :
=→−=
=→−=
38
23
tx
tx
Vậy : ( ) ∫∫∫ −=−=−=
−
−
3
2
2
3
2
2
8
3
2 1
2
1
2
1 t
dt
tt
tdt
dx
xx
dx
I
Bạn ñọc tự làm :
a) ∫
+
=
12
1
xx
dx
I b) dxxxI ∫ −= 22 4 c) ( )∫ +
=
32
3
4x
dx
I
d) ∫ += dxxI 24 1 d) ∫
−−
−+
=∗ dx
x
x
I
11
11
2
2
5 d) dx
x
I
11
1
2
6
++
=∗
Bất ñẳng thức tích phân :
Nếu ( ) [ ] ( ) 0,0 ≥⇒∈∀≥ ∫ dxxfbaxxf
b
a
Nếu ( ) ( ) [ ] ( ) ( )dxxgdxxfbaxxgxf
b
a
b
a
∫∫ ≥⇒∈∀≥ ,
Nếu ( ) [ ] ( ) ( ) ( )abMdxxfabmbaxxfm
b
a
−≤≤−⇒∈∀≤≤ ∫,
Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
( )
16
000
28
1 ππ
=
+−
−=
2ln1ln
2
1
ln
1
1
ln
3
2
=
−−=
+
−
−=
t
t
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 20
Chứng minh các bất ñẳng thức sau :
a) ( )∫ ≤−
1
0 4
1
1 dxxx b)
2
1
15
2 2
1
2
≤
+
≤ ∫ dxx
x c) ( )∫ ≤−++
1
0
211 dxxx
Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
( ) ( ) [ ]1,0
4
1
2
1
1
2
∈∀=
−+≤− x
xx
xx
Vậy : ( )
4
1
4
1
1
1
0
1
0
=≤−∫ ∫dxdxxx (ñpcm)
b) Xét hàm số : ( ) [ ]2,1
12
∈∀
+
= x
x
x
xf
ðạo hàm :
( )
( )
( )
−=
=
⇔=′
+
−
=′
1
1
0
1
1
22
2
x
x
xf
x
x
xf
Ta có :
( )
( )
=
=
5
2
2
2
1
1
f
f
Vậy :
[ ]
2
1
15
2
2
1
15
2
2,1
2
1
15
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
≤
+
≤⇒
≤
+
≤⇒
∈∀≤
+
≤
∫
∫∫∫
dx
x
x
dxdx
x
x
dx
x
x
x
Áp dụng Bunhicopxki ta có :
[ ]1,02111111 22 ∈∀=−+++≤−++ xxxxx
Vậy : ( ) ( )01211
1
0
−≤−++∫ dxxx
( )∫ ≤−++
1
0
211 dxxx (ñpcm)
Chứng minh rằng :
e
dx
x
xe x
121
sin.3
1
2
π
<
+∫
−
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 21
Bài làm :
[ ]
e
exx x
1
13,1 ≤⇒−≤−⇒∈∀ −
( )∫∫ +<+⇒
− 3
1
2
3
1
2 1
1
1
sin.
dx
xe
dx
x
xe x
Xét ( )∫ +
3
1
2 1
1
dx
xe
ðặt : ( )dttdxtx 1tantan 2 +=⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
3
3
4
1
π
π
tx
tx
Do ñó : ( )( ) 121tan
1tan 3
4
3
4
2
2 π
π
π
π
π
==
+
+
∫∫ e
dt
te
dtt
Từ ñó ta ñược ñpcm.
Bạn ñọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a)
10cos3516
2
0
2
ππ
π
≤
+
≤ ∫ x
dx b)
2
1sin
4
3 3
6
<< ∫
π
π
dx
x
x c)
8
2
46
3
6
32
ππ
π
π
≤
−−
≤ ∫
xx
dx
d*) Cho 2 hàm số liên tục : [ ] [ ] [ ] [ ]1,01,0:;1,01,0: →→ gf
Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ≤
1
0
1
0
21
0
.. dxxgdxxfdxxgxf
Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :
1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số ( ) ( )xfxf & liên tục trên ñoạn [ ]ba, . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các ñường là :
( ) ( )
=
=
=
=
xgy
bx
xfy
ax
;
ðược tính như sau :
( ) ( )∫ −=
b
a
dxxgxfS
2)Tính thể tích :
( )1
1
1
sin.
22 +
<
+
⇒
−
xex
xe x
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 22
Nếu diện tích ( )xS của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa ñộ , là
hàm số liên tục trên ñoạn [ ]ba, thì thể tích vật thể ñược tính :
( )dxxfV
b
a
∫=
Nếu hàm số ( )xf liên tục trên [ ]ba, và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các ñường:
( )
=
==
Ox
xfy
bxax ,
Khi (H) quay quanh Ox ta ñược 1 vật thể tròn xoay . Lúc ñó thể tích ñược tính :
( )[ ] dxxfV
b
a
∫=
2π
Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy
3)Tính giới hạn :
( ) ( )dxxfxf
b
a
n
i
ii
n ∫∑ =∆
=
∞→
1
.lim ξ trong ñó
−=∆
≤≤
−
−
1
1
iix
ii
xx
xx ξ
Từ ñó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng : ∑
=
=
n
i
n
n
i
f
n
S
1
1 sau ñó lập phân hoạch ñều trên [ ]1,0 , chọn
n
i
xii ==ξ ta có ( )∫∑ =
=
∞→
1
01
1
lim dxxf
n
i
f
n
n
i
n
4)Tính ñộ dài cung ñường cong trơn:
Nếu ñường cong trơn cho bởi phương trinh ( )xfy = thì ñộ dài ñường cung nó ñược tính
như sau :
( ) dxyl
b
a
∫ ′+=
21 với ba, là hoành ñộ các ñiểm ñầu cung .
4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau ñó dùng ñồng nhất thức, bước cuối
cùng là tính tích phân .
Hình1a hình1b
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 23
hình1c hình1d
BÀI TẬP
Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.
Bài làm : (hình 1a)
Phương trình ñường tròn có dạng :
22222 xRyRyx −±=⇔=+
Do tính ñối xứng của ñồ thị nên : dxxRS
R
∫ −=
0
224
ðặt : tdtRdxtRx cossin =⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx
=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx
Vậy :
( )
( )dvdtRtxR
dttRtdtRtRS
2
2
0
2
2
0
2
2
0
22
2sin
2
1
2
2cos12cossin4
π
π
ππ
=
+=
+=−= ∫∫
Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol 2xy = , phía trên bởi ñường thẳng ñi qua ñiểm
A(1,4) và hệ số góc là k . Xác ñịnh k ñể hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình ñường thẳng có dạng.
( ) 41 +−= xky
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm .
( ) 0441 22 =−+−⇔+−= kkxxxkx
Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử 21 xx <
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 24
Vậy diện tích là :
( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )*4
2
1
3
1
4
23
41
12
2
121
2
212
2
3
2
2
1
2
1
−+++++−−=
−++−=−+−= ∫
kxxkxxxxxx
xkx
kx
dxxxkS
x
x
x
x
Với :
( ) ( ) ( )
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- Kinh nghiệm tính tích phân.pdf