Chuyên đề Về bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn Toán ở Tiểu học- Các bài toán về chia hết

nh÷ng lý do kh¸ch quan vµ chñ quan ®· nªu trªn, th«ng qua viÖc häc tËp, t«i chän ®Ò tµi : "Chuyªn ®Ò vÒ båi d­ìng häc sinh kh¸ giái m«n To¸n ë TiÓu häc: C¸c bµi to¸n vÒ chia hÕt". T«i chän ®Ò tµi nµy ®Ó nghiªn cøu s©u h¬n vÒ d¹ng To¸n chia hÕt, tõ ®ã t×m ra ph­¬ng ph¸p, biÖn ph¸p thÝch hîp ®Ó gióp cho viÖc gi¶ng d¹y vµ h­íng dÉn häc sinh häc to¸n, gi¶i to¸n n©ng cao ®­îc tèt h¬n. II.Mục đích nghiên cứu. Như chúng ta đã biết giáo dục bậc tiểu học không những phát huy kế thừa những thành tựu kinh nghiệm của giáo dục tiểu học, góp phần hình thành cho học sinh cơ sở ban đầu cần thiết đúng đắn và lâu dài về nhiều mặt: trí tuệ, thể chất, tình cảm và tâm hồn nhân cách con người mới, phát triển toàn diện về mọi mặt đáp ứng nhu cầu hiện nay. Thực tế nhận thức của học sinh Tiểu học thường là cảm tính, tư duy của các em vào trực quan và quan sát, kỹ năng tưởng tượng còn hạn chế. Suy luận của các em không phải là suy diễn mà là một dãy các phán đoán có ý thức. Quá trình học tập môn toán của học sinh về bài toán chia hết còn có nhiều hạn chế, nhất là việc nhận dạng toán chia hết, nên lựa chọn phương pháp giải một bài toán về chia hết là rất cần thiết và quan trọng trong bộ môn toán ở Tiểu học. Đặc biệt điều này còn khó khăn trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Với thực tế đó tôi thấy cần phải hệ thống các bài tập về chia hết theo từng dạng cụ thể. Với mong muốn đưa được ra các dạng toán cụ thể để học sinh phát huy được tính chủ động, tích cực sáng tạo của học sinh. Để đáp ứng được nhu cầu đổi mới giáo dục “Lấy học sinh làm trung tâm giúp các em có thể tự mình giải quyết một số vấn đề có liên quan, hình thành năng lực làm việc, độc lập, sáng tạo. III. Đối tượng và khách thể nghiên cứu. - Đối tượng nghiên cứu : Các bài toán về chia hết. - Khách thể nghiên cứu : Bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán ở tiểu học. - Phạm vi nghiên cứu : Các bài toán về chia hết đối với học sinh khá giỏi. ІV.Giả thuyết khoa học. Bồi dưỡng học sinh giỏi không phải là vấn đề của riêng nước ta mà là vấn đề đang được quan tâm ở mọi quốc gia trên thế giới trong chiến lược phát triển nguồn nhân lực con người phát triển các mục tiêu kinh tế- xã hội. Vì vậy bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong môn toán rất cần thiết để đất nước đi lên. Nếu tìm ra đuợc một số cách giải toán sẽ giúp cho học sinh phát triển trí tuệ, nâng cao năng lực tư duy, hình thành kỹ năng giải một số bài toán một cách chính xác. V. Nhiệm vụ nghiên cứu. Trªn c¬ së nghiªn cøu nh÷ng tµi liÖu cã liªn quan, ®Ò tµi nµy ®· tæng kÕt, t×m hiÓu mét c¸ch cã hÖ thèng vÒ : - Néi dung vµ ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n nãi chung vµ d¹y gi¶i to¸n n©ng cao vÒ d¹ng to¸n chia hÕt nãi riªng. - Nh÷ng yªu cÇu c¬ b¶n ®èi víi gi¸o viªn vµ häc sinh; mét sè ®Ò xuÊt vÒ néi dung, ph­¬ng ph¸p d¹y gi¶i to¸n n©ng cao, c¸c bµi tËp vÒ d¹ng to¸n chia hÕt cho häc sinh . VI. Phương pháp nghiên cứu. Để nghiên cứu đề tài này tôi chọn một số phương pháp sau: 1. Phương pháp đọc sách giáo khoa và sử dụng tài liệu. Nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa và sách giáo viên, tài liệu tham khảo môn toán. 2. Phương pháp trực quan. Trong quá trình nghiên cứu, quan sát học sinh trong quá trình học tập, tiếp thu bài, kỹ năng giải toán về chia hết. 3. Phương pháp đàm thoại. Đưa ra hệ thống câu hỏi, bài tập để học sinh suy nghĩ, thảo luận làm bài và giáo viên giải đáp chung cho cả lớp, nhóm hoặc cá nhân. 4. Phương pháp trắc nghiệm. Thu thập kết quả nghiên cứu thông qua bài tập trên lớp để theo dõi quá trình học tập của học sinh. PhÇn II : Néi dung Ch­¬ng I : c¬ së lý luËn. I - T×m hiÓu vµ ph©n tÝch c¸c quan ®iÓm kh¸c nhau trong viÖc lùa chän néi dung vµ ph­¬ng ph¸p båi d­ìng häc sinh giái m«n to¸n ë tiÓu häc. 1. Nh÷ng vÊn ®Ò chung: §Ó lµm tèt ho¹t ®éng d¹y häc gi¶i c¸c bµi to¸n n©ng cao ®ßi hái gi¸o viªn ph¶i biÕt lùa chän c¸c ph­¬ng ph¸p d¹y häc thÝch hîp, lu«n kh«ng ngõng n©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n, nghiªn cøu tµi liÖu, tõng b­íc n©ng cao tay nghÒ nh»m truyÒn thô cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n. Tõ ®ã, gióp cho häc sinh vËn dông s¸ng t¹o trong viÖc gi¶i to¸n. ViÖc lµm nµy ®ßi hái gi¸o viªn ph¶i mÊt nhiÒu c«ng søc. Cã gi¸o viªn phÊn ®Êu v­¬n lªn ®¹t yªu cÇu trong gi¶ng d¹y, t¹o ®­îc niÒm tin n¬i phô huynh häc sinh: lu«n mong muèn con em m×nh häc kh¸,giái. Còng cã gi¸o viªn ng¹i khã, kh«ng phÊn ®Êu vµ cè t×nh l­ít qua ®èi víi lo¹i to¸n nµy. ViÖc gi¶i c¸c bµi to¸n cã kiÕn thøc n©ng cao ph¶i ®­îc rÌn luyÖn ngay tõ ban ®Çu vµ ®­îc tiÕn hµnh tõng b­íc. §©y lµ qu¸ tr×nh rÌn luyÖn l©u dµi vµ ®ßi hái cã tÝnh kiªn tr×, lßng hiÕu häc ë häc sinh. Nh÷ng phÈm chÊt nµy kh«ng ph¶i häc sinh nµo còng ®¹t ®­îc . Nh­ng khi n¾m v÷ng ®­îc nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ to¸n häc trong ch­¬ng tr×nh, gi¶i thuÇn thôc ®­îc c¸c d¹ng bµi to¸n mÉu, dÇn dÇn häc sinh tËp lµm quen gi¶i c¸c bµi to¸n n©ng cao. Nh÷ng thao t¸c t­ duy ®­îc rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n. Lóc nµy viÖc t×m hiÓu gi¶i c¸c bµi to¸n khã lµ nhu cÇu trong ho¹t ®éng häc tËp cña c¸c em, gióp c¸c em lu«n kh«ng ngõng häc tËp vµ rÌn luyÖn ®Ó trë thµnh nh÷ng häc sinh kh¸, giái. Thùc tÕ cho thÊy r»ng, tÊt c¶ c¸c bËc phô huynh ®Òu mong muèn con em m×nh häc tËp tiÕn bé, trë thµnh häc sinh kh¸, giái. Nh­ng phÇn lín hä kh«ng thÓ hoÆc kh«ng cã ®iÒu kiÖn d¹y c¸c bµi to¸n n©ng cao. V× vËy, viÖc d¹y häc gi¶i c¸c bµi to¸n n©ng cao líp 4 - 5 lµ yªu cÇu cÇn thiÕt ®èi víi mçi gi¸o viªn ®øng líp, nh»m trang bÞ cho häc sinh n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®Õn n©ng cao, rÌn luyÖn thuÇn thôc kü n¨ng- kü x¶o trong gi¶i to¸n. §èi víi c¸n bé qu¶n lý ph¶i nghiªn cøu nh»m ®i ®Çu trong c«ng t¸c chØ ®¹o n©ng cao chÊt l­îng gi¶ng d¹y vµ häc tËp, tõng b­íc h×nh thµnh ®éi ngò gi¸o viªn giái trong nhµ tr­êng; ®ång thêi t¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh lu«n cã ý thøc phÊn ®Êu trong häc tËp ®Ó trë thµnh nh÷ng häc sinh kh¸, giái. Nh­ vËy, viÖc d¹y häc gi¶i to¸n n©ng cao lµ qu¸ tr×nh rÌn luyÖn ph­¬ng ph¸p t­ duy, ph­¬ng ph¸p lµm viÖc cho häc sinh tiÓu häc, gióp häc sinh biÕt c¸ch ph©n tÝch tæng hîp vµ vËn dông nh÷ng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña to¸n häc vµo gi¶i to¸n. 2. Nh÷ng yªu cÇu c¬ b¶n ®èi víi gi¸o viªn vµ häc sinh. 2.1 §èi víi häc sinh. §Ó gi¶i ®­îc nh÷ng bµi to¸n n©ng cao, ®ßi hái qu¸ tr×nh rÌn luyÖn thao t¸c t­ duy ë häc sinh, ®ång thêi ph¶i gióp häc sinh n¾m v÷ng c¸c d¹ng to¸n, c¸c c¸ch gi¶i vµ biÕt nhËn biÕt tõ nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau. Tõ ®ã gióp häc sinh ®i tíi nhiÒu c¸ch gi¶i, nhiÒu c¸ch ph¸t biÓu. Do vËy, gi¸o viªn cÇn trang bÞ cho häc sinh: - N¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n cña to¸n häc nh­ : tri thøc ban ®Çu vÒ sè häc c¸c sè tù nhiªn, ph©n sè, sè thËp ph©n, c¸c ®¹i l­îng c¬ b¶n, c¸c yÕu tè h×nh häc ®¬n gi¶n vµ gi¶i to¸n lêi v¨n. - Cã kü n¨ng, kü x¶o thùc hµnh tÝnh, h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn n¨ng lùc trõu t­îng ho¸, kh¸i qu¸t ho¸, kÝch thÝch trÝ t­ëng t­îng, cã høng thó trong häc tËp, xem viÖc häc to¸n nh­ lµ yªu cÇu cña b¶n th©n. - Häc sinh ®­îc rÌn luyÖn tÝnh cÇn cï, chÞu khã, cÈn thËn lµm viÖc cã kÕ ho¹ch, lËp luËn cã c¨n cø, chÝnh x¸c. 2.2. §èi víi gi¸o viªn: Mét sè tiÕt to¸n ®­îc xem nh­ lµ kh«ng hÊp dÉn nÕu thiÕu yÕu tè rÌn luyÖn t­ duy cho häc sinh. Trong ®ã, bµi to¸n n©ng cao cã t¸c dông rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t­ duy mét c¸ch cã hiÖu qu¶ nÕu gi¸o viªn cã ®Çu t­ vµ tæ chøc tiÕt d¹y gi¶i c¸c bµi to¸n mét c¸ch sinh ®éng. V× vËy, ngoµi viÖc cung cÊp ®Çy ®ñ vµ chÝnh x¸c c¸c kiÕn thøc vµ yªu cÇu c¬ b¶n cña néi dung ch­¬ng tr×nh to¸n 4 - 5 cho toµn líp, gi¸o viªn cÇn ph©n lo¹i c¸c ®èi t­îng häc sinh trong líp. Trªn c¬ së ®ã vËn dông vµ khai th¸c tèt c¸c bµi to¸n vµ ®­a ra nh÷ng møc ®é rÌn luyÖn t­ duy mét c¸ch phï hîp víi tõng lo¹i ®èi t­îng häc sinh, thu hót ®­îc sù chó ý cña toµn líp, n©ng cao chÊt l­îng häc tËp cña häc sinh. §èi víi häc sinh kh¸ - giái, møc ®é rÌn luyÖn t­ duy cao h¬n häc sinh trung b×nh, víi c¸c häc sinh nµy, viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n n©ng cao xem nh­ lµ nhu cÇu ®èi víi c¸c em, gi¸o viªn cÇn t¹o ra t×nh huèng cã vÊn ®Ò trong bµi to¸n ®ßi hái häc sinh ph¶i cã tÝnh s¸ng t¹o, linh ho¹t trong gi¶i to¸n. ViÖc lùa chän ph­¬ng ph¸p d¹y häc cho tõng lo¹i to¸n lµ cÇn thiÕt ®èi víi gi¸o viªn. Do ®ã, gi¸o viªn lu«n kh«ng ngõng häc hái, tham kh¶o c¸c tµi liÖu ®Ó cã kiÕn thøc, tù n©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n nh»m ®¸p øng nhu cÇi häc tËp cña häc sinh ë møc ®é cao. 3. Nghiªn cøu ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y nh÷ng bµi to¸n n©ng cao trong ch­¬ng tr×nh 4 - 5. ViÖc häc gi¶i nh÷ng bµi to¸n n©ng cao lµ nh»m gióp häc sinh biÕt c¸ch vËn dông nh÷ng kiÕn thøc vÒ to¸n, ®­îc rÌn luyÖn kü n¨ng thùc hµnh víi nh÷ng yªu cÇu ®­îc thÓ hiÖn mét c¸ch ®a d¹ng, phong phó. Tõ ®ã, häc sinh cã ®iÒu kiÖn rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn n¨ng lùc t­ duy, rÌn luyÖn ph­¬ng ph¸p suy luËn, nh÷ng phÈm chÊt cÇn thiÕt trong viÖc gi¶i to¸n. Gi¶i bµi to¸n lµ mét ho¹t ®éng bao gåm nh÷ng thao t¸c: x¸c lËp ®­îc mèi quan hÖ d÷ kiÖn gi÷a c¸i ®· cho vµ c¸i ph¶i t×m trong ®iÒu kiÖn bµi to¸n, chän ®­îc phÐp tÝnh thÝch hîp, tr¶ lêi ®óng c©u hái cña bµi to¸n. Do vËy, viÖc nghiªn cøu nh÷ng ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n n©ng cao trong s¸ch gi¸o khoa vµ c¸c bµi to¸n ë s¸ch gi¸o khoa lµ hÕt søc cÇn thiÕt. §Æc biÖt trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n n©ng cao ë c¸c nhãm kiÕn thøc kh¸c nhau vµ cã nh÷ng d¹ng bµi to¸n kh¸c nhau. Nghiªn cøu kü nh÷ng ph­¬ng ph¸p phï hîp ®Ó gi¶i nh÷ng bµi to¸n nµy lµ cÇn thiÕt nh»m gióp häc sinh biÕt vËn dông c¸c ph­¬ng ph¸p mét c¸ch linh ho¹t vµo ho¹t ®éng gi¶i to¸n. Tõng b­íc h×nh thµnh n¨ng lùc kh¸i qu¸t ho¸ vµ kü n¨ng gi¶i to¸n; ®ång thêi rÌn luyÖn n¨ng lùc s¸ng t¹o trong häc tËp cña häc sinh. §Ó viÖc d¹y gi¶i c¸c bµi to¸n n©ng cao phï hîp víi t­ duy häc sinh vµ gióp häc sinh n¨ng ®éng, tù tin, linh ho¹t trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n n©ng cao th× gi¸o viªn cÇn ph©n biÖt ®­îc nh÷ng bµi to¸n n©ng cao vµ ph©n lo¹i nh÷ng bµi to¸n khã cã trong ch­¬ng tr×nh. Ng­êi gi¸o viªn ph¶i t×m tßi ph­¬ng ph¸p gi¶i tõng d¹ng to¸n thÝch hîp. Tõ ®ã gióp häc sinh n¾m ®­îc c¸c d¹ng to¸n n©ng cao. II. C¸C KH¸I NIÖM1. Bài toán là gì? Theo nghĩa rộng, bài toán là bất cứ vấn đề nào của khoa học hay của cuộc sống cần được giải quyết. Theo nghĩa hẹp hơn, bài toán là vấn đề nào đó của khoa học hay cuộc sống cần được giải quyết bằng phương pháp của toán học. Ở tiểu học, bài toán được hiểu theo nghĩa hẹp này, thậm chí nhiều khi còn được hiểu đơn giản hơn nữa, bài toán, bài tập trong sách giáo khoa. 2. Đề bài: Nói đến bài toán chúng ta nghĩ ngay đến đề bài và lời giải của nó. Đề bài của một bài toán gồm hai phần chính: Phần đã cho. Phần cần tìm 3. Lời giải: Giải một bài toán là đi tìm phần cần tìm của nó. Trong quá trình giải một bài toán là quá trình đi tìm phần cần tìm của nó. Về bản chất, quá trình giải là một suy luận liên tiếp nhằm rút ra phần cần tìm về phần đã biết. Quá trình giải được ghi lại thành lời giải, ở cuối lời giải thường ghi rõ câu trả lời: Phần cần tìm là gì. Câu trả này gọi là đáp số của bài toán. 4. Bồi dưỡng học sinh khá, giỏi; Bồi dưỡng học sinh khá, giỏi là hoạt động cần thiết trong quá trình dạy học. Bồi dưỡng học sinh giỏi là để các em phát triển những phương pháp tư duy đặc trưng của toán học, chứ không phải chỉ để các em tích luỹ được một kho kiến thức toán hay biến các em thành những người thợ giải toán. Bồi dưỡng học sinh giỏi cần được tiến hành liên tục, đồng thời, với việc dạy học mỗi đơn vị kiến thức nhưng không phải dạy trước cho học sinh những kiến thức của các bậc học trên. III. Mét sè d¹ng to¸n ®iÓn h×nh vÒ chia hÕt. Dạng1 : Tạo lập số tự nhiªn thoả m·n điều kiện chia hết. Bài 1: Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 0,1,2,5 thoả mãn ĐK: a. Chia hết cho 2. b. Chia hết cho 2 và 5. c. Chia hết cho 3. Giải: a. Số chia hết cho 2 phải có chữ số hàng đơn vị là 0 và 2. Mặt khác, mỗi số đều có các chữ số khác nhau, nên các số thiết lập được là: 120 510 512 150 520 502 210 152 102 b. Số chia hết cho 2 và 5 phải có chữ số hàng đơn vị là 0, các số thiết lập được là: 102; 150; 250; 210; 510; 520. c. Với các chữ số đã cho ta thấy chỉ có 0 +1 + 2 = 3 chia hết cho 3, và 0 + 1 + 5 = 6 chia hết cho3, nên các số chia hết cho 3 lập được là: 102; 210; 105; 501; 120; 210; 150; 510; Bài 2: Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số được lập thành từ các chữ số 3; 5 và 7? Giải Trong các chữ số đã cho có 1 chữ số chẵn là 2. Với chữ số 2 ta có duy nhất một cách duy nhất chữ số hành đơn vị. Với cách chọn chữ số hàng đơn vị , hàng chục ta có bốn cách chọn chữ số hàng trăm. Mà mỗi cách chọn cho ta đúng một số vậy ta có tất cả : 1x 4 x 4 = 16 số chẵn cần tìm. Bài 3: An nói rằng “ Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 ”. Em hãy cho biết An nói đúng hay sai ? tại sao ? Giải Bạn An nói đúng vì: Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là X, X+1, X+2. Ta xét trường hợp : - Nếu X chia hết cho 3 thì An đã nói đúng. - Nếu X không chia hết cho 3, thì X chia hết cho 3 sẽ có số dư là 1 hoặc 2. * Trường hợp X chia hết cho 3 dư 1 thì X+2 sẽ chia hết cho 3. *Trường hợp X chia hết cho 3 dư 2 thì X+1 sẽ chia hết cho 3. Vậy trong 3 số X, X+1, X+2 luôn có một số chia hết cho 3. Dạng 2: Điền những chữ số thích hợp thoả mãn điều kiện chi hết. Bài 1: Viết chữ số thích hợp vào (*)để dược số chia hết cho 9. a. 4*95, b. 89*1, c. 891*, d.*891. Giải a. Để 4*95 chia hết cho 9 thì (4+*+9+5) phải chia hết cho 9, mà tổng (4+9+5) chia hết cho 9 nên * phải là 0 hoặc 9. Vậy số đó là: 4095: 4995. b. Tượng tự số chia hết cho9 là: 8901; 8991. c. 8910; 8919. d. Chữ số * đứng ở hàng cao nhất nên * phải khác 0, do đó * chỉ có thể là chữ số 9. Số đó là 9891. Bài 2: Thay x,y trong số 2004xy bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2,5 và 9. Giải Số 2004xy đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên y= 0. Thay y=0 vào số 2004xy ta được số 2004x0. Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9. Vậy 2+ 0+ 0+ 4+ x+ 0 chia hết cho 9 hay 6+x chia hết cho 9. Vì 6 chia hết cho 9 dư 6 nên x chỉ có thể là 3. Thay x = 3 vào số 2004x0 ta được 200430 thoả mãn đề bài cho Bµi 3 :N= a1974 là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm tất cả những chữ số a để thay vào ta được số N chia hết cho 3? Giải N chia hết cho 3, vậy ( a +1+7+4 ) chia hết cho 3 hay( a+21) chia hết cho 3. Vậy a=3 hoặc a=6; a=9. vậy những số phải tìm là: N= 31974; N= 61974; N= 91974( loại). Bài 4: Cho m= x157y là số tự nhiên có 5 chữ số. Tìm tất cả những chữ số a và b để thay vào ta được chữ số chia hết cho 9 và 4. Giải m chia hết cho 4 thì ab chia hết cho 4. Vậy b=0 hoặc 4; 8. Thay b=4 thì m = a1104. b=0 thì m = a1100 b=8 thì m = a1108 + Số a1104 chia hết cho 9 thì a= 3. + Số a1100 chia hết cho 9 thì a= 7. + Số a1108 chia hét cho 9 thì a= 8. Vậy số phải tìm là: 31104; 81108; 71100. Bài 5: Cho P = . TÌm tất cả những chữ số x và y để thay vào ta được số chia hết cho 15. Giải Số P = chhia hết cho 15, tức là P vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 3. - P chia hết cho 5 thì y = 0 hoặc 5. + Nếu y =0 thì P = , mà P lại chia hết cho 3. vậy x =4 hoặc 7. + Nếu y = 5 thì P = , mà P chia hết cho 3. Vậy x= 2 hoặc 8. Vậy những số thoả mãn điều kiện là: 204270; 202275; 20720; 208275. Bài 6: T×m tất cả chữ số x,y để vừa là số chia hét cho 5, vừa là số chiư hết cho 9. Giải Số chia hết cho 5 thì y =0 hoặc5. + Trường hợp1: y= 0 ta có: Số chia hết cho 9 thì 4+ x+ 3+ 7+x +0 chia hết cho 9 hay 14+ 2x chia hết cho 9. Vậy x=2 ta được số thỏa mãn điều kiện của bài là: 423720. + Trường hợp 2: y =5, ta có: Số chia hết cho 9 thì: 4+x +3 +7 +x +5 chia hết cho 9. Hay 19 +2x chia hết cho 9. Vậy x =4 ta được số 443745 thoả mãn bài toán. Vậy các số phải tìm là: 423745; 443720. Dạng3: Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu: Bài 1: Không làm phép tính hãy xem xét các tổng và các hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không? a, 204 + 132 d, 1981+1974 +995. b,204 +132 e, 1994 – 405. c, 954 + 78 + 2001 f, 115 + 110 – 27. Giải Ta nhËn xÐt 204 và 132 đều chia hết cho 3 nên: a, 204 +132 chia hết cho 3; b, 204 – 132 chia hết cho 3; c, 954; 78; 201 chia hết cho 3; nên 954 +78 +201 chia hết cho3. d, 999 chia hết cho 3 và 1981 không chia hêtc cho 3 nên 1981 +1974 +999 không chia hết cho 3. e, 1944 và 405 đều chia hết cho 3 nên 1944 -405 chia hết cho 3. f, 27 chia hết cho 3, 115 và 110 không chia h ết cho 3 nên 115 +110 – 27 không chia hết cho 3. Bài 2: Hai bạn Hương và Huế đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để lớp liên hoan. Hương đưa cho cô bán hàng tờ 100.000đ và cô trả lại 72.000đ. Huế nói ngay “cô tính sai rồi”. Bạn hãy cho biết Huế nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ? Biết rằng giá mỗi số kẹo bánh là một số nguyên đồng ? Giải Số tiền Hương đưa cho cô bán hàng là: 100.000đ x 2 = 200,000đ. Ta thấy 12 và 18 đều chia hết cho 3, suy ra số tiền mua bánh và kẹo phải chia hết cho 3. Hiệu giữa 200.000đ và 72.000đ, chính là số tiền mua bánh và kẹo. 200.000đ không chia hết cho 3, còn 72.000đ chia hết cho 3. Từ đó cho ta thấy hiệu này không chia hết cho 3, điều này sai với thực tế. Do vậy Huế nói đúng. Dạng 4: Tìm những chữ số thích hợp thoả mãn điều kiện chia hết và chia có dư. Bài 1: Cho a= . Bạn hãy thay x,y bởi những chữ số thích hợp bëi khi chia a cho 2; 5 và 9 đều dư1. Giải Cách1: + Vì a chia hết cho 2 dư1 nên a có tận cùng là 1,3,5,7,9. Vậy y có thể nhận các giá trị 1,3,5,7,9. + Vì a chia cho 5 dư 1 nên a có tận cùng là 1 hoặc 6 vậy y có thể nhận các giá trị 1;6. + a vừa chia hết cho 2 dư 1, vừa chia hết cho 5 dư1 nên tận cùng của a bằng 1 hay y=1. Thay y =1 vào a ta có số , vì a chia cho 9 dư 1 nên: ( x + 4 + 5+ 9 + 1 ) chia cho 9 dư 1 hay x + 19 chia hết cho 9 dư 1. Vì 19 chia hết cho 9 dư 1 nên x chia hết cho 9 mà x phải là chữ số khác 0 nên x = 9. Thay x = 9 ta được : a = 9451. Cách 2: Giả sử a là một số chia hết cho cả 2; 5 và 9. Vì a chia hết cho 2 nên tận cùng của a là 0,2,4,6,8. Vậy có thể nhận các giá trị 0,2,4,6,8. Vì a chia hết cho 5 nên tận cùng của a là 0 hoặc 5. A vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 nên tận cùng của a bằng 0 hay y = 0. Thay y =0 vào a ta có số . Vì a chia hết cho 9 nên: ( x +4 +5 +9 +0) chia hết cho 9 hay x +18 chia hết cho 9. Vì 18 chia hết cho 9 nên x phải chia hết cho 9 mà x là chữ số > 0 nên x=9. Thay x = 9 vào a ta có số 94590 chia hết cho cả 2; 5 và 9. nhưng theo đề bài thì a chia hết cho 2; 5 và 9 đều dư 1 nên giá trị của a là: 94590 + 1 = 94591. Bài 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1, sao cho khi chia số đó cho 2; 3; 4; 5 và 7 đều dư 1. Giải Cách1: Ta gọi a là số tự nhiên khác 1 nhỏ nhất mà khi chia a cho 2; 3; 4; 5 và 7 đều dư 1. Khi đó a – 1 = b đồng thời chia hết cho 2; 3; 4; 5 và 7. Vì b chia hết cho 7 nên b = 7c, suy ra c chia hết cho 2; 3; 4; 5. Với c chia hết cho 5 thì c = 5d. Suy ra d chia hết cho 2; 3; 4. Giả sử d = 4e thi e chia hết cho 3. Số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất chia hết cho 3 là 3 ta chọn e = 3. Suy ngược lại ta được số tự nhiên nhỏ nhất b = 420. Do đó số cần tìm là a = 420 + 1= 421. ( b= BCNN ( 2,3,4,5,7) = 3x 4x 5x 7 = 420). Cách 2: Ta gọi a là số tự nhiên khác 1 mà khi chia a cho 2; 3; 4; 5 và cho 7 đều dư 1, thì a >1. Khi đó a – 1 = b. đồng thời chia hết cho 2; 3; 4; 5 cà 7. Do b chia hết cho 2 và 5 nên b có chữ số hàng đơn vị là 0. Trường hợp b có một chữ số: b có chữ số hàng đơn vị là 0 nên b = 0; khi đó a = 1. Vậy b có hơn một chữ số. Trường hợp b có hai chữ số: b có chữ số hàng đơn vị là 0, b chia hết cho 7 nên b= 70, mà 70 không chia hết cho 3, vậy b có hơn 2 chữ số. Ta xét b có 3 chữ số: b = . Vì b chia hết cho 4 nên y = 0, 2, 4, 6 8. Và b = chia hết cho 7, suy ra chia hết cho 7. Do đó = 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91 hoặc 98. Từ đó b= 140; 280; 420; 560; 700; 840; hoặc 980. Trong các số này chỉ có 420 và 840 là chia hết cho 3, do đó b = 420 hoăc 480. Suy ra a = 421 hoặc 841. Vậy số cần tìm là 421. Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 2 sao cho khi chia số đó cho 2; 5; 7; 9 đều dư 2. Giải Cách 1: Gọi số phải tìm là a; theo bài ta có a chia cho 2; 5; 7; 9 đều dư 2, nên b – a không chia hết cho 2; 5; 7; 9. b chia hết cho 2 và 3, vậy b có tận cùng là 0. + Trường hợp b có 1 chữ số: b có tận cùng là 0, vậy b = 0. Suy ra a = 2 (loại) vì số phải tìm lớn hơn 2. + Trường hợp b có hai chữ số: b tận cùng là 0 và chia hết cho 7 nên b = 70( loại) vì 70 không chia hết cho 9. + Trường hợp b có ba chữ số: b có tận cùng là 0 vậy b = . Số chia hết cho 7 nên xy = 14; 21; 28; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91 hoặc 98. Từ đó suy ra b = 140; 210; 280; 420; 430; 490; 560; 630; 700; 840; 910; hoặc 980. Trong các số trên chỉ có 630 chia hết cho 9 nên b = 630. Cách 2: Theo lập luận ở cách 1 thì b chia hết cho 2,5 7 và 9. Nếu b chia cho 9 bằng c thì c chia hết cho 2; 5; 7. Nếu c chia cho 7 bằng d thì d chia hết cho 2; 5. Nếu d chia cho 5 bằng m thì m chia hết cho 2. Số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất chia hết cho 2 là 2. Vậy m = 2. Suy ra: d = 2 x 5 = 10; c = 10 x 7 = 70, b = 70 x 9 = 630. Vậy a = 630 + 2 = 632. Bài 4: Một số nhỏ nhất khi chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6. thì có các số dư tương ứng là 1,2,3,4,5. Và khi chia cho 7 thì không còn số dư. Tìm số dư. Giải Gọi số phải tìm là A thì A+ 1 sẽ chia hết cho 2,3 4,5,6. - A+ 1 chia hết cho 2 và 5 vậy A + 1 phải có tận cùng là 0. - A+ 1 chia hết cho 3 vậy A+ 1 chỉ có thể là các chữ số 30, 60, 90, 100. Trong các số trên, số nhỏ nhất chia hết cho 4 là 60. Nếu A+ 1 = 60 thì A = 59, 59 không chia hết cho 7. Vậy ta phải chọn số tiếp theo là 90, lúc này A= 89, 89 không chia hết cho 7. Chọn tiếp: 120 lúc này A= 119, 119 chia hết cho 7. Vậy A= 119 là số phải tìm. Bµi 5. T×m sè lín h¬n 1960, nhá h¬n 2000biÕt sè ®ã chia cho 5 d­ 2 chia cho 9 th× d­ 7. Gi¶i. Nh÷ng sè chia cho 5 d­ 2 tõ nhá ®Õn lín dÇn lµ: 2, 7,12, 17, 22…… Nh÷ng sè chia 9 d­ 7 tõ nhá ®Õn lín dÇn lµ: 7, 16, 25, 34, 42….. Ta thÊy 7 lµ sè nhá nhÊt chia 5 d­ 2, chia 9 d­ . Nh­ng 7 nhá h¬n 1960 nªn ta ph¶i thªm vµo 7 mét sè cïng chia hÕt cho 5 vµ 9 sao cho: Sè thªm céng 7 lín h¬n 1960 nh­ng nhá h¬n 2000. Sè nhá nhÊt cïng chia hÕt cho 5 vµ 9 lµ: 5 x 9 = 45. Sè thªm b»ng bao nhiªu lÇn 45? ( 2000 – 7 ) : 45 =44 d­ 13. VËy sè cÇn t×m lµ: 7+ 45 x 44 = 1987 HoÆc : 2000 – 13 = 1987 §¸p sè 1987. Bµi 6. H·y viÕt thªm vµo bªn ph¶i, bªn tr¸i sè 15 mçi bªn mét ch÷ sè kh¸c 0 ®Ó ®­îc sè míi võa chia hÕt cho 9, võa chia hÕt cho 5. Gi¶i Khi viÕt thªm vµo bªn ph¶i, bªn tr¸i sè 15 mçi bªn mét ch÷ sè kh¸c 0 ta cã sè : a15b ( a, b ≠ 0 ) §Ó a15b chia hÕt cho 5 th× b = 5 . Víi b =5 ta cã sè a155. §Ó chia hÕt cho 9 th× a + 1 + 5 + 5 = a + 11 ph¶i chia hÕt cho 9 . VËy a = 7. Ta ®­îc sè : 7155 chia hÕt cho 9. Dạng 5: Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bài toán có lời văn. Bài 1: Số học sinh đoạt loại giỏi trong năm học 2004 - 2005 của trường Tiểu học Lê Hồng Phong là số có 3 chữ số và có chữ số hàng trăm là 2. Lễ phát thưởng tổ chức ở sân trường, khi các em học sinh giỏi xếp hàng 10 hay 12 đều dư 4 mà xếp hàng 4 thì vừa đủ. Bạn hãy tính giúp số học sinh giỏi của trường đó là bao nhiêu ? Giải Số học sinh giỏi của trường đó có dạng . Các em xếp hàng 10 dư 4 Suy ra y = 4. Vậy số học sinh giỏi là: . Mặt khác, khi xếp hàng 12 cũng dư 4 nên hiệu - 4 = là số chia hết cho 12. Nên chia hết cho 3 và chia hết cho 4. + Nếu chia hết cho 3 thì x = 1; 4 hoặc 7. + Nếu chia hết cho 4 thì x = 0; 2; 4; 6; 8. Từ đó ta có x = 4. ta có 244 chia hết cho 4, vậy số học sinh giỏi là 244 học sinh. Bài 2: Một cửa hàng rau quả sạch có 5 thùng đựng cam, chanh, mỗi thùng chỉ đựng một loại quả, số quả trong mỗi thùng là 60, 75, 87, 91 và 95.Khi bán hết một thùng cam cô bán hàng nhận thấy rằng số chanh gấp 3 lần số cam còn lại. Bạn hãy tính xem cử hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Giải Tổng số cam, chanh của hàng có : 60 + 75 + 87 + 91 + 95 = 408 ( quả) Số chanh gấp 3 lần số cam còn lại, cho nên tổng số chanh và cam còn lại là chia hết cho 4. Mà tổng số chanh và cam mà cửa hàng có là 408 quả là số chia hết cho 4 . Vậy cô bán hàng đã bán thùng đựng 60 quả cam. Số quả cam còn lại bằng số quả chưa bán. Ta có (75 + 87 + 91 + 95 ) : 4 = 87. Trong 4 thùng còn lại chỉ có thùng đựng 87 quả là có số quả bằng số quả chưa bán. Vậy thùng đựng 87 quả là thùng đựng cam, nghĩa là 3 thùng đựng số quả 75, 91, 95 ( quả) là các thùng chanh. Vậy số cam cửa hàng có là: 60 + 87 = 147 ( quả) Số chanh cửa hàng có là: 75 + 91 + 95 = 261 ( quả). Bài 3: Cho 4 tờ giấy, xé mỗi tờ thành 5 mảnh, lấy một số mảnh và lấy mỗi mảnh thành 5 mảnh nhỏ. Sau đó lại láy một số mảnh xé thành 5 mảnh nhỏ. Khi nhừng xé theo quy luật trên người ta đếm được 2002 mảnh lớn, nhỏ cả thảy. Hỏi người đó đếm đúng hay sai? giải thích. Giải Khi xé một mảnh thµnh 5 mảnh nhỏ thì mảnh tăng thêm 4, lúc đầu có 4 mảnh, sau mỗi đợi xé mỗi mảnh thêm là bội của 4, cho nên tổng số mảnh lớn nhỏ sau mỗi đợt xé phải chia hết cho 4. Số 2002 không chia hết cho 4 nên người đó đếm sai. Bài 4: Trong buổi họp đội, các bạn đội viên sắp xếp ghế băng thành 2 dãy, cứ mỗi ghế xếp 3 em ngồi. Số đại biểu cña hai dãy đều như nhau. Nếu cứ mỗi ghế ngồi 5 em thì sẽ có 1 ghế ngồi 4 em. Hãy tính số đội viên biết rằng số người trong khoảng từ 50-60 em. Giải Số đội viên phải là một số vừa chia hết cho 2 lại vừa