Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu

ch chéo của f và g được kí hiệu là f×g ∈ Extr+kA (N⊗Q,P⊗ R). Đặc biệt, nếu f ∈ ExtkA(N,P ) được biểu diễn bởi dãy khớp từ P đến N , ký hiệu Q là ánh xạ đồng nhất trong Ext0A(Q,Q), thì f ×Q ∈ ExtkA(N ⊗Q,P ⊗Q) 17 biểu diễn bởi dãy khớp nhận được từ dãy khớp ban đầu bằng cách tensor với Q. Một mối quan hệ giữa tích chéo và tích hợp thành được cho bởi quy tắc sau. Nếu f ∈ ExtrA(N,P ) và g ∈ ExtkA(Q,R) thì (xem [21], trang 229) f × g = (f ×R) ◦ (N × g). Gọi P1 = F2[x] với |x| = 1. Gọi Pˆ ⊂ F2[x, x−1] là môđun con sinh bởi {xp | p ≥ −1}. Tác động thông thường của A trên P1 được thác triển chính tắc (duy nhất) thành một A-tác động trên F2[x, x−1] (xem [3], [36]). Khi đó, Pˆ là một A-môđun con của F2[x, x−1]. Ta có một dãy khớp ngắn của các A-môđun 0 −→ P1 i−→ Pˆ pi−→ Σ−1F2 −→ 0, (2.1) với i là phép nhúng và pi được xác định bởi pi(xp) = 0 nếu p 6= −1 và pi(x−1) = 1. Gọi e1 là phần tử trong Ext 1 A(Σ −1F2, P1) tương ứng với dãy khớp ngắn (2.1). Một các tổng quát với k ≥ 1 bất kỳ ta định nghĩa ek ∈ ExtsA(Σ−kF2, Pk) bởi công thức ek = (e1 × Pk−1) ◦ · · · ◦ (e1 × P1) ◦ e1 = e1 × · · · × e1 (k lần) . Ta gọi ek(M) = ek ×M ∈ ExtkA(Σ−kM,Pk ⊗M), với M là một A-môđun trái. Ở đây, M cũng có nghĩa là ánh xạ đồng nhất của M . Ta nói A-môđun M là không ổn định nếu u ∈M và i > |u| thì Sqi(u) = 0. Giả sửM là mộtA-môđun bất kỳ. Ta ký hiệu EM = Span{Sqix | i > degx, x ∈ M}. Khi đó, EM là một A-môđun con của M . Ta đặt D(M) = M/EM , ta có D(M) là một A-môđun không ổn định. Như vậy, D là một hàm tử từ phạm trù các A-môđun tới phạm trù các A- môđun không ổn định. Hơn nữa, Lannes-Zarati [22] đã chỉ ra rằng D là một hàm tử khớp phải. Gọi Dk là hàm tử dẫn xuất thứ k của D, với k ≥ 0. Giả sử M1,M2 là các A-môđun. Tích cap ∩ : ExtrA(M1,M2)⊗Dk(M1)→ Dk−r(M2), (f, z) 7→ f ∩ z, được xác định như sau. Lấy F∗(Mi) là một giải thức tự do của Mi, với i = 1, 2. Khi đó, Dk(Mi) = Hk(D(F∗(Mi))). Mỗi phần tử f ∈ ExtrA(M1,M2) xác định duy nhất (sai khác một tương đương đồng luân) một ánh xạ dây chuyền F : F∗(M1)→ 18 F∗−r(M2). Ta viết f = [F ]. Gọi Z ∈ Fk(M1) là một đại diện của z ∈ Dk(M1), z = [Z]. Khi đó, f ∩ z = [F (Z)] ∈ Dk−r(M2). Lấy tích cap với ek(M), ta thu được đồng cấu ek(M) : Dk(Σ−kM)→ D0(Pk ⊗M) ≡ Pk ⊗M z 7→ ek(M) ∩ z. Định lý 2.1 (Lannes-Zarati [22]). Cho Dk ⊂ Pk là đại số Dickson của k biến. Khi đó, αk = ek(Σ nF2) : Dk(Σn−kF2)→ ΣnDk là một đẳng cấu bậc 0. Theo định nghĩa của hàm tử D, ta có một đồng cấu tự nhiên, D(M)→ F2⊗AM . Ta có biểu đồ giao hoán . . . // DFk(M) // ik  DFk−1(M) // ik−1  . . . . . . // F2 ⊗A Fk(M) // F2 ⊗A Fk−1(M) // . . . . Trong đó, các mũi tên nằm ngang được cảm sinh từ vi phân trong F∗(M), và ik[Z] = [1⊗A Z], với Z ∈ Fk(M). Chuyển qua đồng điều, ta thu được một đồng cấu ik : F2 ⊗A Dk(M)→ Tor A k (F2,M) 1⊗ A [Z] 7→ [1⊗ A Z]. Lấy M = Σ1−kF2, ta thu được một đồng cấu ik : F2 ⊗A Dk(Σ 1−kF2)→ TorAk (F2,Σ1−kF2). Ta chú ý rằng phép treo Σ : F2 ⊗A Dk → F2 ⊗A ΣDk và phép đối treo Σ−1 : TorAk (F2,Σ1−kF2)→ TorAk (F2,Σ−kF2) là các đẳng cấu bậc trong tương ứng là 1 và −1. Định nghĩa 2.2 (Lannes-Zarati [22]). Đồng cấu ϕk với bậc trong bằng 0 là đối ngẫu của ϕ∗k = Σ −1ik(1⊗A α −1 k )Σ : F2 ⊗A Dk → Tor A k (F2,Σ−kF2). 19 Nhận xét 2.3. Lưu ý rằng ta cũng ký hiệu bởi ϕ∗k là hợp thành của đồng cấu ϕ ∗ k nói ở trên với đẳng cấu treo Σk : TorAk,i(F2,Σ−kF2)→ TorAk,k+i(F2,F2). Bây giờ, ta sẽ mô tả αk = ek(ΣF2) qua các đồng cấu nối. Giả sử rằng f ∈ Ext1A(M3,M1) được biểu diễn bởi một dãy khớp ngắn của các A-môđun 0 −→ M1 −→ M2 −→ M3 −→ 0. Ta gọi ∆(f) : Ds(M3)→ Ds−1(M1) là đồng cấu nối liên kết với dãy khớp ngắn này. Ta có thể kiểm tra thấy rằng ∆(f)(z) = f ∩ z, với bất kỳ z ∈ Ds(M3). Ta có ek(ΣF2) = (e1(ΣF2)⊗ Pk−1) ◦ · · · ◦ (e1(Σ3−kF2)⊗ P1) ◦ e1(Σ2−kF2). (2.2) Do đó, ta có αk = ∆(e1(ΣF2)⊗ Pk−1) ◦ · · · ◦∆(e1(Σ3−kF2)⊗ P1) ◦∆e1(Σ2−kF2). (2.3) Đặt k = p+ q. Phép nhúng GLp×GLq ⊂ GLk và ánh xạ đường chéo ∆ : Pk → Pp ⊗ Pq cảm sinh ánh xạ đường chéo ∆¯ : F2 ⊗A Dk → (F2 ⊗A Dp)⊗ (F2 ⊗A Dq). Hệ quả là ⊕ k(F2⊗ADk) ∗ có một cấu trúc đại số. Mặt khác, ta có ⊕ k Ext k A(Σ −kF2,F2) có một cấu trúc đại số với phép nhân chính là tích cup. Mệnh đề 2.4 (Hưng-Peterson [16]). Ánh xạ Lannes-Zarati ϕ = ⊕ k ϕk : ⊕ k ExtkA(Σ −kF2,F2)→ ⊕ k (F2 ⊗A Dk) ∗ là một đồng cấu đại số. Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định đối ngẫu rằng ϕ∗ = ⊕ k ϕ∗k : ⊕ k (F2 ⊗A Dk)→ ⊕ k TorAk (F2,Σ−kF2) là một đồng cấu đối đại số. 20 Bước 1. Theo Định lý 2.1, ek(Σ 2F2) : Dk(Σ2−kF2) → Σ2Dk là một đẳng cấu. Từ định nghĩa, ta có biểu đồ giao hoán F2 ⊗A ΣDk 1⊗ A e−1k (ΣF2)−−−−−−−→ Dk(1) ik(Σ 1−kF2)−−−−−−→ TorAk (F2,Σ1−kF2) Σ y Σy Σy F2 ⊗A Σ 2Dk 1⊗ A e−1k (Σ 2F2) −−−−−−−→ Dk(2) ik(Σ 2−kF2)−−−−−−→ TorAk (F2,Σ2−kF2), trong đó, Dk(1) = F2 ⊗A Dk(Σ 1−kF2) và Dk(2) = F2 ⊗A Dk(Σ 2−kF2). Do đó, ϕk = Σ −2ik(Σ2−kF2)(1⊗A e −1 k (Σ 2F2))Σ2. Bước 2. Ta sẽ xem xét các đối tích. Giả sử k = p+ q. (a) Ánh xạ đường chéo thông thường ∆ : Dk → Dp ⊗ Dq cảm sinh ánh xạ đường chéo ∆ : Σ2Dk → ΣDp ⊗ ΣDq. (b) Gọi M,N là hai A-môđun trái và F∗(M), F∗(N) là hai giải thức tự do tương ứng. Khi đó, F∗(M)⊗F∗(N) là giải thức tự do của M ⊗N . Ta có thể chọn F∗(M ⊗N) = F∗(M)⊗ F∗(N). Chuyển qua hàm tử dẫn xuất D∗ ta thu được ánh xạ đường chéo ∆ = ∆p,q : Dk(M ⊗N)→ Dp(M)⊗Dq(N). (c) Tương tự, ta có ∆ : TorAk (F2,M ⊗N)→ TorAp (F2,M)⊗ TorAq (F2, N). Lấy M = Σ1−iF2, N = Σ1−jF2, ta có các ánh xạ ∆p,q : Dk(Σ2−(i+j)F2)→ Dp(Σ1−iF2)⊗Dq(Σ1−jF2), và ∆p−i,q−j : Dk−(i+j)(Σ2Pi+j)→ Dp−i(ΣPi)⊗Dq−j(ΣPj). Ta khẳng định rằng (f ⊗ g) ∩∆p,q(x) = ∆p−i,q−j[(f ⊗ g) ∩ x] 21 trong Dp−i(ΣPi)⊗Dq−j(ΣPj) với f ∈ ExtiA(Σ1−iF2,ΣPi), g ∈ ExtjA(Σ1−jF2,ΣPj) và x ∈ Dk(Σ2−(i+j)F2). Áp dụng nhận xét này với i = p, j = q, f = ep(ΣF2), g = eq(ΣF2) và chú ý rằng ek(Σ 2F2) = ep(ΣF2)⊗ eq(ΣF2), ta có biểu đồ giao hoán F2 ⊗ Σ2Dk 1⊗ A e−1k (Σ 2F2) −−−−−−−→ Dk(2)y∆ y∆p,q (F2 ⊗A ΣDp)⊗ (F2 ⊗A ΣDq) 1⊗ A e−1p (ΣF2)⊗1⊗Ae −1 p (ΣF2) −−−−−−−−−−−−−−−→ Dp(1)⊗Dq(1). Hơn nữa, từ định nghĩa của ik(−) ta có biểu đồ sau giao hoán. Dk(2) ik(Σ 2−kF2)−−−−−−→ TorAk (F2,Σ2−kF2)y∆p,q y∆ Dp(1)⊗Dq(1) ip(Σ 1−pF2)⊗iq(Σ1−qF2)−−−−−−−−−−−−−−→ TorAp (F2,Σ1−pF2)⊗ TorAq (F2,Σ1−qF2). Kết hợp hai biểu đồ giao hoán này với công thức cuối ở bước 1 ta đã chứng minh được rằng ϕ∗ là một đồng cấu đối đại số. Mệnh đề được chứng minh. 2.1.2 Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu Nguyễn H. V. Hưng đã đưa ra dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu trong [11] như sau: Giả thuyết 2.5 (Hưng [11]). Đồng cấu Lannes-Zarati ϕk : Ext k,k+i A (F2,F2)→ P (F2 ⊗ GLk H∗(BVk))i bằng 0 tại mọi phần tử có gốc i dương với k > 2. Giả thuyết 2.5 đã được Nguyễn H. V. Hưng chứng minh cho k = 3 trong [11] và k = 4 trong [14]. Trong [12], Nguyễn H. V. Hưng đã đưa ra giả thuyết sau: Giả thuyết 2.6 (Hưng [12]). Nếu q ∈ D+k , thì [q] = 0 trong TorAk (F2,F2), với k > 2. Giả thuyết 2.6 đã được Nguyễn H. V. Hưng chứng minh cho k = 3 trong [12]. Ta sẽ sử dụng công thức (2.3) để xây dựng một biểu diễn cấp độ dây chuyền của αk. Đồng thời, ta cũng sẽ chỉ ra sự tương đương giữa hai Giả thuyết 2.5 và 2.6. 22 2.2 Biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati Giả sử M là một A-môđun trái phân bậc. Ta gọi B∗(M) là giải thức bar của M trên A. Nhắc lại rằng Bk(M) = A⊗ I ⊗ · · · ⊗ I︸ ︷︷ ︸ k lần ⊗M (k ≥ 0), với I là iđêan bổ sung của A và tích tensor lấy trên F2. Môđun B∗(M) = ⊕kBk(M) là một môđun song bậc, một phần tử a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ak ⊗ x của B∗(M) được gán bởi bậc đồng điều k và bậc trong ∑k i=0 deg(ai) + degx. Vi phân dk : Bk(M)→ Bk−1(M) được xác định bởi dk(a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ak ⊗ x) = a0a1 ⊗ · · · ⊗ ak ⊗ x+ a0 ⊗ a1a2 ⊗ · · · ⊗ ak ⊗ x + · · ·+ a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ akx. Từ cách xác định của dk ta thấy dk bảo toàn bậc trong và làm giảm bậc đồng điều đi 1. Tác động của A trên Bk(M) được cho bởi công thức a(a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ak ⊗ x) = aa0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ak ⊗ x, với a ∈ A. Giả sử N là một A-môđun phải phân bậc. Khi đó, vì giải thức bar là một giải thức tự do nên ta có TorAk (N,M) = Hk(N ⊗A B∗(M)). Vì Dk ⊂ F2[v1, . . . , vk], nên mọi phần tử q ∈ Dk có thể viết duy nhất dưới dạng q = ∑ (j1,...,jk) vj11 . . . v jk k , với j1, . . . , jk là các số nguyên không âm. Ta sẽ liên kết với mỗi q ∈ Dk một phần tử sau có bậc trong là ∑k i=1 ji + 1. Định nghĩa 2.7 (Hưng [13]). q˜ = ∑ (j1,...,jk) Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ1−k1 ∈ Bk−1(Σ1−kF2). 23 Bổ đề 2.8 (Hưng [13]). Nếu q ∈ Dk thì q˜ ∈ EBk−1(Σ1−kF2) = Span{Sqix | i > degx, x ∈ Bk−1(Σ1−kF2)}. Chứng minh. Từ tác động của toán tử Steenrod lên giải thức bar ta có Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ1−k1 = Sqj1+1(1⊗ Sqj2+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ1−k1). Ta cần chứng minh j1 + 1 > (j2 + 1) + · · ·+ (jk + 1) + (1− k) = j2 + · · ·+ jk, với mọi số hạng trong khai triển của q˜. Nhắc lại rằng Vi = v 2i−2 1 v 2i−3 2 . . . vi−1vi. Vì thế, ta có thể dễ dàng thấy rằng mọi v ∈ F2[V1, . . . , Vk] là một tổng của các đơn thức vj11 . . . vjkk thỏa mãn điều kiện j1 ≥ j2 + · · ·+ jk. Mặt khác, đại số Dickson Dk là đại số con của đại số Mùi P Tk k . Do vậy, bổ đề được chứng minh. Bổ đề 2.9 (Hưng [13]). Đồng cấu pik,p : ∆k → Ak−1 = A⊗ · · · ⊗ A (k − 1 lần) vj11 . . . v jp p v jp+1 p+1 . . . v jk k 7→ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjp+1Sqjp+1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 triệt tiêu trên Γk ⊂ ∆k, với 1 ≤ p < k. Chứng minh. Ta xét ánh xạ đường chéo ψ : ∆k → ∆p−1 ⊗∆2 ⊗∆k−p−1 xác định bởi công thức ψ(vi) =  vi ⊗ 1⊗ 1, i < p, 1⊗ vi−p+1 ⊗ 1, p ≤ i ≤ p+ 1, 1⊗ 1⊗ vi−p−1, p+ 1 < i. Từ Mệnh đề 1.6, ta có ψ(Γk) ⊂ Γp−1 ⊗ Γ2 ⊗ Γk−p−1. Ta định nghĩa đồng cấu ωt : Γt → At bởi công thức ωt(v j1 1 . . . v jt t ) = Sq j1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjt+1. 24 Ta thấy ngay là pik,p = (ωp−1 ⊗ pi2,1 ⊗ ωk−p−1)ψ. Từ mệnh đề 1.11 ta có điều cần chứng minh. Bổ đề 2.10 (Hưng [13]). q˜ là một chu trình trong phức dây chuyền EB∗(Σ1−kF2), với mọi q ∈ Dk. Chứng minh. Trước tiên ta thấy rằng Sqjk+1(Σ1−k1) = 0 với mọi jk ≥ 0. Từ nhận xét đó và từ định nghĩa của vi phân trên giải thức bar ta có dk−1(q˜) = k−1∑ p=1 (pik,p ⊗ idΣ1−kF2)(q ⊗ Σ1−k1). Vì q ∈ Dk ⊂ Γk nên từ Bổ đề 3.5 ta có pik,p(q) = 0. Do đó, dk−1(q˜) = 0. Do đó, q˜ là một chu trình trong phức dây chuyền EB∗(Σ1−kF2). Ta định nghĩa ánh xạ p˜ik,p như sau p˜ik,p(Sq j1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1) = Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjp+1Sqjp+1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1, với 1 ≤ p < k. Giả sử rằng q = ∑ J=(j1,...,jk) vj11 . . . v jk k ∈ Dk. Với mỗi một (k − s) chỉ số (js+1, . . . , jk) cố định, ta định nghĩa J(js+1, . . . , jk) là tập gồm tất cả s chỉ số (j1, . . . , js) sao cho (j1, . . . , js, js+1, . . . , jk) là một k chỉ số xuất hiện trong tổng trên. Bổ đề 2.11 (Hưng [13]). Nếu q = ∑ J v j1 1 . . . v jk k ∈ Dk thì p˜is,p( ∑ J(js+1,...,jk) Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjs+1) = 0, với 1 ≤ p < s ≤ k. Chứng minh. Ta xét ánh xạ đường chéo ψ2 : ∆k → ∆s ⊗∆k−s cho bởi công thức ψ2(vi) = vi ⊗ 1, 1 ≤ i ≤ s,1⊗ vi−s, s < i ≤ k. 25 Theo Mệnh đề 1.6, ta có ψ(Γk) ⊂ Γs ⊗ Γk−s. Mặt khác, vì q ∈ Dk ⊂ Γk, ta suy ra∑ J(js+1,...,jk) vj11 . . . v js s ∈ Γs. Lúc này, theo bổ đề 3.5, ta có p˜is,p( ∑ J(js+1,...,jk) Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjs+1) = pis,p( ∑ J(js+1,...,jk) vj11 . . . v jk k ) = 0. Bổ đề được chứng minh. Từ định nghĩa của hàm tử không ổn định hóa D, với mỗi A-môđun M , ta có một dãy khớp ngắn của các phức dây chuyền 0→ EB∗M iE−→ B∗M jD−→ DB∗M → 0, trong đó giải thức bar B∗M là khớp. Do đó, đồng cấu nối của dãy khớp dài cảm sinh từ dãy khớp ngắn trên là một đẳng cấu ∂∗ : Dk(M) = Hk(DB∗(M))→ Hk−1(EB∗(M)). Lấy M = Σ1−kF2. Bổ đề sau liên quan tới đẳng cấu nối sau ∂∗ : Dk(Σ1−kF2) = Hk(DB∗(Σ1−kF2))→ Hk−1(EB∗(Σ1−kF2)). Gọi [q˜] là lớp đồng điều của chu trình q˜ trong Dk(Σ1−kF2) ∼= Hk−1(EB∗(Σ1−kF2)). Bổ đề 2.12 (Hưng [13]). Nếu q ∈ Dk thì ∂∗[1⊗ q˜] = [q˜]. Chứng minh. Giả sử q = ∑ J v j1 1 . . . v jk k . Phần tử ∑ J 1 ⊗ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ1−k1 ∈ Bk(Σ1−kF2) là một nâng qua jD của lớp của nó modulo EBk(Σ1−kF2) trong DBk(Σ1−kF2). Ta kí hiệu d là vi phân trong B∗(Σ1−kF2), ta có d( ∑ J 1⊗ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ1−k1) = ∑ J 1.Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ1−k1 + k−1∑ p=1 1⊗ p˜ik,p( ∑ J Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1)⊗ Σ1−k1 26 + ∑ J 1⊗ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1Σ1−k1. Theo Bổ đề 3.5 p˜ik,p( ∑ J Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1) = pik,p(q) = 0. Mặt khác, Sqjk+1Σ1−k1 = 0 với mọi jk ≥ 0. Do đó, ta có d( ∑ J 1⊗ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ1−k1) = ∑ J 1.Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ1−k1 = iE(q˜). Từ định nghĩa của đồng cấu nối ta suy ra ∂∗[1⊗ q˜] = [q˜]. Định lý 2.13 (Hưng [13]). Nếu q ∈ Dk thì αk[q˜] = Σq. Chứng minh. Ta sẽ sử dụng công thức sau để tính αk αk = ∆(e1(ΣF2)⊗ Pk−1) ◦ · · · ◦∆(e1(Σ3−kF2)⊗ P1) ◦∆e1(Σ2−kF2) = δk . . . δ1. Trong đó δs = ∆(e1(Σ 1−k+sF2)⊗ Ps−1). Xét dãy khớp ngắn biểu diễn cho e1(Σ 2−kF2) 0→ Σ2−kP1 i−→ Σ2−kPˆ pi−→ Σ1−kF2 → 0. Lúc này ta thấy đồng cấu nối cảm sinh bởi dãy khớp ngắn này chính là δ1 : Hk−1(EB∗(Σ1−kF2))→ Hk−2(EB∗(Σ2−kP1)). Một nâng của q˜ = ∑ J Sq j1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ1−k1 là∑ J Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ2−kx−1k ∈ EB∗(Σ2−kPˆ ), 27 trong đó P1 = F1[xk], Pˆ = Span{xik | i ≥ −1}. Biên của phần tử này trong EB∗(Σ2−kPˆ ) được kéo ngược bởi i tới một chu trình trong EB∗(Σ2−kP1), mà chu trình này biểu diễn δ1[q˜]. Điều này có nghĩa là δ1[q˜] = [d( ∑ J Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ2−kx−1k )] = [ k−1∑ p=1 p˜ik,p( ∑ J Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1)⊗ Σ2−kx−1k + ∑ J Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk−1+1 ⊗ Sqjk+1(Σ2−kx−1k )] = [ ∑ J Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk−1+1 ⊗ Σ2−kSqjk+1(x−1k )], trong đó đẳng thức cuối cùng suy ra từ Bổ đề 3.5. Tương tự như vậy, δ2 : Hk−2(EB∗(Σ2−kP1)) → Hk−3(EB∗(Σ3−kP2)) là đồng cấu nối được cảm sinh từ dãy khớp ngắn biểu diễn e1(Σ 3−kF2)⊗ P1 sau 0→ Σ3−kP2 i⊗P1−−−→ Σ3−k(Pˆ ⊗ P1) pi⊗P1−−−→ Σ2−kP1 → 0. Trong đó, ta kí hiệu P1 = F2[xk], P2 = F2[xk−1, xk], Pˆ = Span{xik−1 | i ≥ −1}. Một nâng của Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk−1+1 ⊗ Σ2−kSqjk+1(x−1k ) bởi pi ⊗ P1 là Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk−1+1 ⊗ Σ3−kx−1k−1Sqjk+1(x−1k ). Do đó, lập luận tương tự như phần trên ta có δ2δ1[q˜] = [d( ∑ J Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk−1+1 ⊗ Σ3−kx−1k−1Sqjk+1(x−1k ))] = [ k−2∑ p=1 ∑ J p˜ik−1,p(Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk−1+1)⊗ Σ3−kx−1k−1Sqjk+1(x−1k ) + ∑ J Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk−2+1 ⊗ Sqjk−1+1(Σ3−kx−1k−1Sqjk+1(x−1k ))] = [ ∑ J Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk−2+1 ⊗ Σ3−kSqjk−1+1(x−1k−1Sqjk+1(x−1k ))] (Bổ đề 2.11). Lặp lại quá trình này ta thu được αk[q˜] = δk . . . δ1[q˜] = [ ∑ J (ΣSqj1+1(x−11 Sq j2+1(x−12 . . . Sq jk+1(x−1k ) . . . )))]. 28 Theo Định lý 3.2 của [12] ta có [ ∑ J (ΣSqj1+1(x−11 Sq j2+1(x−12 . . . Sq jk+1(x−1k ) . . . )))] = [Σq] = Σq. Định lý được chứng minh. Từ định lý này ta có ngay hệ quả sau. Hệ quả 2.14 (Hưng [13]). Đồng cấu Dk → EBk−1(Σ1−kF2), q 7→ q˜ là một biểu diễn cấp độ dây chuyền của đồng cấu (1⊗ α−1k )Σ : F2 ⊗A Dk → F2 ⊗A Dk(Σ 1−kF2). Định lý 2.15 (Hưng [13]). Nhúng Dk ⊂ Γ∧k là một biểu diễn cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati ϕ∗k : (F2 ⊗A Dk)i → Tor A k,k+i(F2,F2). Chứng minh. Giả sử rằng q = ∑ J=(j1,...,jk) vj11 . . . v jk k ∈ Dk. Theo Hệ quả 2.14 và Bổ đề 2.12 ta có (1⊗ A α−1k )Σ : F2 ⊗A Dk → F2 ⊗A Dk(Σ 1−kF2) [q] 7→ [q˜] ∂∗≡ [1⊗ q˜]. Từ định nghĩa của ik, ta có ik : F2 ⊗A Hk(DB∗(Σ 1−kF2))→ TorAk (F2,Σ1−kF2) [1⊗ q˜] 7→ [1⊗ q˜]. Ta xét phép đối treo sau Σ−1 : TorAk (F2,Σ1−kF2)→ TorAk (F2,Σ−kF2), phép đối treo này chuyển [ ∑ J 1 ⊗ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ1−k1] thành [ ∑ J 1 ⊗ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ−k1]. Khi này, ánh xạ ϕ∗k = Σ −1ik(1⊗A α −1 k )Σ : F2 ⊗A Dk → Tor A k (F2,Σ−kF2) 29 được xác định bởi công thức ϕ∗k[q] = [ ∑ J 1⊗ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ Σ−k1]. Đẳng cấu chính tắc Σk : TorAk,i(F2,Σ−kF2)→ TorAk,k+i(F2,F2) được xác định bởi phiên bản cấp độ dây chuyền sau Σk(a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ak ⊗ Σ−k1) = a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ak ⊗ 1. Như đã nói trong phần định nghĩa của đồng cấu Lannes-Zarati, xem Nhận xét 2.3, cái hợp thành Σkϕ∗k cũng được kí hiệu bởi ϕ ∗ k. Do đó, ϕ∗k : (F2 ⊗A Dk)i → Tor A k,k+i(F2,F2) [q] 7→ [ ∑ J 1⊗ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ 1]. Trong [30], Priddy xây dựng phức Koszul K∗(A), một phức con của B∗(F2), đẳng cấu với đối ngẫu của đại số lambda. Cụ thể nó được định nghĩa như sau. Theo Priddy [30], K∗(A) là ảnh của đơn cấu Λ∗ → B∗(F2) (λj1 . . . λjk) ∗ 7→ 1⊗ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ 1, đơn cấu này là một tương đương đồng luân. Kết hợp đơn cấu này với đẳng cấu ở Mệnh đề 1.20 Γ∧ → Λ∗ vj11 . . . v jk k 7→ (λj1 . . . λjk)∗, ta thu được tương đương đồng luân sau Γ∧ → B∗(F2) vj11 . . . v jk k 7→ 1⊗ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ 1. 30 Do đó, với bất kì q ∈ Dk ta có ϕ∗k[q] = [ ∑ J 1⊗ Sqj1+1 ⊗ · · · ⊗ Sqjk+1 ⊗ 1] = [ ∑ J vj11 . . . v jk k ] = [q]. Định lý đã được chứng minh. Ta có một hệ quả trực tiếp từ Định lý 2.15 như sau. Hệ quả 2.16 (Hưng [13]). Giả thuyết 2.5 và 2.6 là tương đương với nhau. Nhắc lại rằng ∆M đẳng cấu không gian véctơ với ∆1 ⊗M . Trong đó, ∆1 = F2[v, v−1] là đại số của các chuỗi Laurent hữu hạn trên một phần tử sinh v có chiều bằng 1. Tác động của A lên ∆M được cho bởi công thức: Sqa(vb ⊗ x) = ∑ j ( b− j a− 2j ) va+b−j ⊗ Sqjx. Kí hiệu ∆sM dùng để chỉ tác động của hàm tử ∆ tới M s lần. Ta có thể đồng nhất ∆sM = ∆s ⊗M = F2[v±11 , . . . , v±1s ]⊗M . Định lý 2.17 (Singer [31]). Tác động của A trên Γ∧M cảm sinh một tác động tầm thường của A trên TorAs (F2,M), với mỗi s ≥ 0. Mệnh đề 2.18 (Hưng [13]). Đồng cấu ϕ∗k được phân tích qua F2 ⊗A Ker∂k, biểu đồ giao hoán sau cho thấy điều này: F2 ⊗A Dk i¯ wwnnn nnn nnn nnn ϕ∗k ((PP PPP PPP PPP P F2 ⊗A Ker∂k p¯ // TorAk (F2,F2), trong đó, i¯ được cảm sinh bởi nhúng Dk ⊂ Ker∂k, và p¯ là một toàn cấu cảm sinh bởi phép chiếu chính tắc p : Ker∂k → Hk(Γ∧) ∼= TorAk (F2,F2). Chứng minh. Phép chiếu chính tắc p : Ker∂k → TorAk (F2,F2) = Ker∂k/Im∂k+1 31 biến x thành [x] = x+ Im∂k+1. Ta biết rằng tác động của A trên Ker ∂k cảm sinh một tác động tầm thường của A trên TorAk (F2,F2). Do đó, ánh xạ p cảm sinh toàn cấu p¯ : F2 ⊗A Ker∂k → TorAk (F2,F2), biến [x] thành [x]. Với bất kì q ∈ Dk ta có p¯¯i([q]) = p¯([q]) = [q] = ϕ∗k([q]). Do đó, ta có p¯¯i = ϕ∗k. Trong [13], Nguyễn H .V .Hưng đưa ra giả thuyết sau. Giả thuyết 2.19 (Hưng [13]). D+k ⊂ A.Ker∂k với mọi k > 2. Ta có thể thấy ngay là Giả thuyết 2.19 mạnh hơn Giả thuyết 2.6. 32 Chương 3 Toán tử squaring và đồng cấu Lannes-Zarati Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày về các toán tử squaring và nêu ra những ứng dụng của nó trong nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati và dạng đại số của Giả thuyết cổ điển về lớp cầu. Chúng tôi đã tham khảo các tài liệu [14], [11] và [17]. 3.1 Các toán tử squaring Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày về các toán tử squaring: toán tử squaring cổ điển, toán tử squaring Kameko và toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson. 3.1.1 Toán tử squaring cổ điển Liulevicius [25] đã đưa ra các toán tử squaring Sqi : Exts,s+dA (F2,F2)→ Exts+i,2(s+d)A (F2,F2), có hầu hết các tính chất của toán tử Steenrod Sqi tác động trên đối đồng điều của các không gian tôpô. Cụ thể là: (i) Sqi(α) = 0 nếu i > s với α ∈ Exts,s+dA (F2,F2); (ii) Sqs(α) = α2 với α ∈ Exts,s+dA (F2,F2); 33 (iii) các toán tử Sqi (i ≥ 0) thỏa mãn công thức Cartan. Tuy nhiên Sq0 không phải là ánh xạ đồng nhất, và được gọi là toán tử squaring cổ điển. Toán tử squaring cổ điển Sq0 có thể được xây dựng như sau. Gọi A∗ là đối ngẫu của A, và F : A∗ → A∗ là đồng cấu Frobenius cho bởi F (ξ) = ξ2. Khi đó, Sq0 chính là đồng cấu được cảm sinh từ đối ngẫu của F , F∗ : A → A, trên đối đồng điều của A, Sq0 = F ∗ : Exts,s+dA (F2,F2)→ Exts,2(s+d)A (F2,F2). (xem [28].) Ngoài ra, toán tử Sq0 còn được định nghĩa qua đại số lambda như sau Sq0 : Λk → Λk λi1 . . . λik 7→ λ2i1+1 . . . λ2ik+1. Vì vậy, qua đối ngẫu, ánh xạ sau Sq0v : Γ ∧ k → Γ∧k , Sq0v(v i1 1 . . . v ik k ) = v i1−1 2 1 . . . v ik−1 2 k , j1, . . . , jk lẻ, 0, ngược lại, là một biểu diễn cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của toán tử squaring Sq0∗ : Tor A k (F2,F2)→ TorAk (F2,F2). 3.1.2 Toán tử squaring Kameko Toán tử squaring Kameko được xây dựng như sau. Như ta đã biết, H∗(BVk) là đại số đa thức, Pk = F2[x1, . . . , xk], trên k phần tử sinh x1, . . . , xk, mỗi phần tử sinh có bậc 1. Bằng cách lấy đối ngẫu, ta thu được H∗(BVk) = Γ(a1, . . . , ak), là đại số lũy thừa bị chia sinh bởi a1, . . . , ak, mỗi phần tử ai có bậc 1, ai là đối ngẫu của xi ∈ H1(BVk). Ở đây, đối ngẫu được lấy theo cở sở của H∗(BVk) gồm tất cả các đơn thức xi11 . . . x ik k . 34 Gọi γt là lũy thừa bị chia thứ t trong H∗(BVk) và với bất kỳ a ∈ H∗(BVk), ta đặt a(t) = γt(a). Vì vậy, a (t) i là phần tử đối ngẫu của x t i. Ta có a (2r) i a (2r) i = 0, và a (t) i = a (2r1 ) i . . . a (2rm ) i nếu t = 2r1 + · · ·+ 2rm , 0 ≤ r1 < · · · < rm. Trong [19], Kameko đã định nghĩa một đồng cấu S˜q0 : H∗(BVk)→ H∗(BVk), a (i1) 1 . . . a (ik) k 7→ a(2i1+1)1 . . . a(2ik+1)k , với a (i1) 1 . . . a (ik) k là đối ngẫu của x i1 1 . . . x ik k . Ông cũng chỉ ra rằng S˜q 0 là một GLk- đồng cấu. Giả sử M là một A-môđun. Gọi P (M) là không gian con của M gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương, P (M) = {f ∈M | θ(f) = 0 với mọi θ ∈ A và deg(θ) > 0 }. Kameko [19] đã chứng minh rằng S˜q0 : PH∗(BVk)→ PH∗(BVk). Thật vậy, khẳng định này được suy ra từ Bổ đề 3.1. Giả sử α ∈ H∗(BVk) thỏa mãn Sqr∗(α) = 0 với bất kỳ r > 0; ta sẽ chỉ ra rằng Sqr∗(S˜q0(α)) = 0 với mọi r > 0. Từ định nghĩa của Sq0 và từ Bổ đề 3.1, ta có Sqr∗(S˜q0(α)) = S˜q 0(Sq r/2 ∗ (α)), r chẵn, 0, r lẻ, = 0. 35 Bổ đề 3.1 (Hưng [11]). Sq2r+1∗ S˜q0 = 0, Sq 2r ∗ S˜q0 = S˜q0Sq r ∗. Chứng minh. Với a ∈ H1(BVk), ta đặt (a(t))[2] = a(2t). Với x ∈ H1(BVk), ta có Sqr(xs) = ( s r ) xs+r. Gọi a là phần tử đối ngẫu của x. Khi đó, qua đối ngẫu ta thu được Sqr∗(a (t)) = ( t− r r ) a(t−r). Đặc biệt, ta có Sq2r+1∗ (a (2t+1)) = 0 và Sq2r∗ (a (2t)) = ( 2t− 2r 2r ) a(2t−2r) = ( t− r r ) (a(t−r))[2] = (Sqr∗a (t))[2]. Gọi a = a (i1) 1 . . . a (ik) k . Theo công thức Cartan, ta có Sqr∗S˜q0(α) = Sq r ∗(a (2i1+1) 1 . . . a (2ik+1) k ) = ∑ r1+···+rk=r Sqr1∗ (a (2i1+1) 1 ) . . . Sq rk∗ (a (2ik+1) k ). Những số hạng tương ứng với (r1, . . . , rk) bằng 0 nếu ít nhất một trong các số r1, . . . , rk là số lẻ. Do đó, Sq 2r+1 ∗ Sq 0(α) = 0. Hơn nữa, Sq2r∗ S˜q0(α) = ∑ r1+···+rk=r Sq2r1∗ (a (2i1+1) 1 ) . . . Sq 2rk∗ (a (2ik+1) k ) = ∑ r1+···+rk=r {Sq2r1∗ (a(2i1)1 ) . . . Sq2rk∗ (a(2ik)k )}a1 . . . ak = ∑ r1+···+rk=r {Sqr1∗ (a(i1)1 )}[2] . . . {Sqrk∗ (a(ik)k )}[2]a1 . . . ak = S˜q0Sqr∗(α). Bổ đề được chứng minh. Vì tác động củaGLk và củaA trênH∗(BVk) giao hoán với nhau, nên PH∗(BVk) là một GLk-môđun. Do đó, S˜q0 là một đồng cấu GLk-môđun trên PH∗(BVk). Đồng cấu cảm sinh bởi S˜q0 trên F2 ⊗ GLk PH∗(BVk), Sq0 = 1 ⊗ GLk S˜q0 : (F2 ⊗ GLk PH∗(BVk))d → (F2 ⊗ GLk PH∗(BVk))2d+s, được gọi là toán tử squaring Kameko. 36 3.1.3 Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson Nguyễn H. V. Hưng [11] đã xây dựng toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson Sq0 : P (F2 ⊗ GLk H∗(BVk))d → P (F2 ⊗ GLk H∗(BVk))2d+k. Toán tử squaring này được xây dựng như sau. Nguyễn H. V. Hưng đã xét ánh xạ Sq0 : F2 ⊗ GLk H∗(BVk)→ F2 ⊗ GLk H∗(BVk), là ánh xạ được cảm sinh từ ánh xạ mà Kameko xây dựng. Đồng cấu do N. H. V. Hưng xây dựng được nhắc tới trong mệnh đề sau. Mệnh đề 3.2 (Hưng [11]). Với mọi số nguyên dương k, tồn tại đồng cấu Sq0 : P (F2 ⊗ GLk H∗(BVk))→ P (F2 ⊗ GLk H∗(BVk)) biến một phần tử có bậc n thành một phần tử có bậc 2n+ k. Chứng minh. Giả sử α ∈ H∗(BVk) thỏa mãn Sqr∗(1 ⊗ GLk α) = 1 ⊗ GLk Sqr∗α = 0 với bất kỳ r > 0; ta sẽ chỉ ra rằng Sqr∗(Sq 0(1 ⊗ GLk α)) = 0 với mọi r > 0. Từ định nghĩa của Sq0 và từ bổ đề 3.1, ta có Sqr∗(Sq 0(1 ⊗ GLk α)) = 1 ⊗ GLk Sqr∗S˜q0(α) =  1 ⊗ GLk S˜q0(Sq r/2 ∗ (α)), r chẵn, 0, r lẻ, =  Sq0(Sq r/2 ∗ (1 ⊗ GLk α)), r chẵn, 0, r lẻ, = 0. Mệnh đề được chứng minh. 37 Ta có đối ngẫu của toán tử Sq0 : P (F2 ⊗ GLk H∗(BVk)d)→ P (F2 ⊗ GLk H∗(BVk)2d+k) là Sq0∗ : (F2 ⊗A H ∗(BVk)GLk)2d+k → (F2 ⊗A H ∗(BVk)GLk)d. Từ định nghĩa của S˜q0, ta có biểu diễn cấp độ dây chuyền của Sq0∗ trên H ∗(BVk) là Sq0x : F2[x1, . . . , xk]→ F2[x1, . . . , xk], Sq0x(x i1 1 . . . x ik k ) = x i1−1 2 1 . . . x ik−1 2 k , i1, . . . , ik lẻ, 0, ngược lại. 3.2 Tính giao hoán của các toán tử squaring qua đồng cấu Lannes-Zarati Bổ đề 3.3 (Mùi [26], Dickson [9]). Vk = Qk−1,0xk +Qk−1,1x2k + · · ·+Qk−1,k−1x2 k−1 k . (3.1) Chứng minh. Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp theo k rằng Qk,0xk +Qk,1x 2 k + · · ·+Qk,kx2 k k = 0. (3.2) Với k = 1, ta thấy rằng Q1,0x1 + Q1,1x 2 1 = x 2 1 + x 2 1 = 0. Do đó, công thức (3.2) đúng với k = 1. Giả sử công thức (3.2) đúng với k − 1. Khi đó, ta có 0 = Qk−1,0xk−1 +Qk−1,1x2k−1 + · · ·+Qk−1,k−1x2 k−1 k−1 = Q2k−1,0x 2 k−1