Đề tài Sáng kiến kinh nghiệm - Một số bất đẳng thức nâng cao

g tự : 1a b ab ab a b a b ab a b ab b+> ⇒ + >+ − + − > www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 16 Bài 8:Cho x , y > 0 và α 2≥ .CMR: 12 ( )x y x yα α α−+ ≥ + α Giải: Ta có 1 2 22 ( ) 2x yx y x y x y x y α α α α α α− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + ⇔ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli ta có : 2 2 2 2. 1 ; . 1x x y y x y x y x y x y α α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ + − ≥ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α− Từ đó suy ra : 2 2 2 2 2 2x y x y x y α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + (đpcm) Bài 9:Cho a,b,c,p > 0 và số nguyên dương n . CMR: (1) 1 ( )3 ( )n p n p n p n p n pa b c a b c+ + + − ++ + ≥ + + HD: 3 3 3(1) 3 n p n p n pa b c a b c a b c a b c + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≥ Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli ta có : 3 3( ). 1 ( ) n pa an p n p a b c a b c +⎛ ⎞ ≥ + + − +⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ,… Bài 10:Cho a, b,c > 0.CMR: 2 2 2 2 3 2 a b c b c c a a b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2) HD: 2 22 2 2(2) a b c b c a c a b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ≥3. Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli và BĐT: 3 2 a b c b c c a a b + + ≥+ + + Bài 11:Cho tam giác ABC.CMR: a/ 2 2 2 2 3sin A+sin sin 3 2 B C ⎛ ⎞+ ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ (3) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 17 b/ 2 2 2 2 2 2 1 2tan tan tan 3 2 2 2 A B C −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ HD: a/ 2 22 2 2(3) sin sin sin 3 3 3 3 A B A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ≤ Áp dụng 1t tα α α≥ + − với 22 ; sin 2 t Aα = = và 2 2 2 9sin sin sin 4 A B C+ + ≤ b/ Áp dụng: tan tan tan 3 2 2 2 A B C+ + ≥ Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) III.1.BĐT CHEBYSHEV 1/Cho hai dãy n số và đều tăng hoặc đều giảm tức là : 1 2, ,..., na a a 1 2, ,..., nb b b 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≤ ≤ ≤⎧⎨ ≤ ≤ ≤⎩ hoặc thì ta có : 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≥ ≥ ≥⎧⎨ ≥ ≥ ≥⎩ 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ....n n n na b a b a b a a a b b b n n + + + + + + + + +≥ n Dấu bằng xảy ra khi 1 2 ... na a a= = = hoặc 1 2 ... nb b b= = = 2/Cho hai dãy n số và có một dãy tăng hoặvà một dãy giảm tức là : 1 2, ,..., na a a 1 2, ,..., nb b b 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≤ ≤ ≤⎧⎨ ≥ ≥ ≥⎩ hoặc 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≥ ≥ ≥⎧⎨ ≤ ≤ ≤⎩ thì ta có : 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ....n n n na b a b a b a a a b b b n n + + + + + + + + +≤ n Dấu bằng xảy ra khi 1 2 ... na a a= = = hoặc 1 2 ... nb b b= = = Chứng minh:Ta CM cho trường hợp: 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≤ ≤ ≤⎧⎨ ≤ ≤ ≤⎩ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 18 Gọi 1 2 ... na a aa n + + += khi đó tồn tại k sao cho 1 1... ...k ka a a a + na≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (1) Ứng với k ở trên lấy b sao cho 1kb b bk+≤ ≤ khi đó ta có 1 1... ...k kb b b b + nb≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (2) Từ (1) và (2) suy ra ( )( )i ia a b b 0− − ≥ với mọi i=1,2,…,n hay 0i i i ia b ab ba ab− − + ≥ với mọi i. Cộng n BĐT lại ta được : 0i i i ia b a b b a nab− − +∑ ∑ ∑ ≥ . Vì i ina a nab b a= ⇒ =∑ ∑ 1i i i i ia b a b a bn⇒ ≥ =∑ ∑ ∑ ∑ .Từ đó suy ra đpcm Dấu bằng chỉ xảy ra khi ta có ( )( )i ia a b b 0− − = với mọi i , nếu (ai) không là dãy hằng thì khi đó ,tức 1 na a a< < 1 nb b b= = 1 2 ... nb b b= = = III.2.Bài tập áp dụng : Bài 1:Cho tùy ý .CMR: 1 2, ,..., na a a 22 2 2 1 2 1 2... ...n na a a a a a n n + + + + + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ HD: Giả sử .Xét dãy b1 2 ... na a a≤ ≤ ≤ k=ak Bài 2:Cho .CMR: 2a b+ ≥ 1n n n na b a b 1+ ++ ≤ + với mọi số tự nhiên n Bài 3:Cho x,y > 0.CMR: 3 3 7 7 11 11( )( )( ) 4( )x y x y x y x y+ + + ≤ + Bài 4:Cho m lẻ và .CMR: 1 2 ... na a a+ + + ≥ n 1 1 1 n n m m k k k k a a + = = ≤∑ ∑ HD:Giả sử thì a b≥ n na b≥ Bài 5:Cho n số không âm .CMR với mọi số nguyên dương m ta có : 1 2, ,..., na a a 1 2 1 2... ... mm m m n na a a a a a n n + + + + + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ HD: Giả sử thì 1 20 ... na a a≤ ≤ ≤ ≤ 1 20 ...m m na a am≤ ≤ ≤ ≤ Áp dụng BĐT Tsêbưsep và quy nạp Bài 6: Cho n số dương .CMR với mọi số nguyên dương k,l ta có : 1 2, ,..., na a a www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 19 1 2 1 2 1 2... ... .... k k k l l l k l k l k l n na a a a a a a a a n n n n + + ++ + + + + + + + +≤ HD:Áp dụng BĐT Tsêbưsep cho hai dãy 1 2 1 2 ... ... k k n l l l n a a a a a a ⎧ k≤ ≤ ≤⎪⎨ ≤ ≤ ≤⎪⎩ Bài 7:Cho tam giác ABC.CMR: 3 aA bB cC a b c π+ + ≥+ + Bài 8:Cho a,b không âm có tổng bằng 2.CMR: 3 3 4a b a b4+ ≥ + Bài 9:Cho a,b,c > 0 và số tự nhiên n.CMR: a/ 1 1 1 3 n n n n n n a b c a b a b c + + ++ + + +≥+ + c b/ 3( ) a b c a b ca b c abc + + ≥ .Hãy tổng quát bài toán Bài 10: Cho a,b tùy ý ,m và n là hai số tự nhiên có cùng tính chẵn lẻ.CMR: ( )( ) 2(m m n n m n m na b a b a b+ ++ + ≤ + ) Bài 11:Cho tam giác ABC.CMR: a/ cos cos cos 1 2 a A b B c C a b c + + ≤+ + b/ sin sin sin sin sin sin sin sin sinA A B B B B C C C C A A A B C A B B C C A + + ++ + ≥ ++ + + + Bài 12: a/ Cho a,b,c > 0 và .CMR: 2 2 2 1a b c+ + ≥ 3 3 3 1 2 a b c b c c a a b + + ≥+ + + b/ Cho a,b,c,d > 0 và .CMR: 2 2 2 2 1a b c d+ + + ≥ 3 3 3 3 1 3 a b c d b c d a c d a b d a b c + + ++ + + + + + + + ≥ c/Hãy chứng minh bài toán tổng quát Bài 13:Cho là các cạnh của đa giác lồi n cạnh có chu vi là p.CMR: 1 2, ,..., na a a www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 20 1 2 2 n i i i a n p a n= ≥− −∑ Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG IV.1.Chứng minh BĐT Côsi bằng phương pháp đạo hàm: a/ Bằng cách lập bảng biến thiên hàm số f(x) = ex - x-1 trên R ta chứng minh được BĐT: (1) với mọi 1xe x≥ + x R∈ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 b/ BĐT Côsi :Cho các số dương .Ta có 1 2, ,..., na a a 1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n + + + ≥ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a= = = Chứng minh: Gọi 1 1 n k k T n = = ∑a .Áp dụng (1) ta có : 1 , 1,2,..., ka kT ae k T − ≥ = n Nhân n BĐT trên lại ta được 1 k n a kn nT n k kn a e T a T T −∑ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ∏ a∏ ∏ Dấu bằng xảy ra 1 2 1 2... 1 ...n n aa a a a a T T T ⇔ = = = = ⇔ = = = c/ BĐT Côsi mở rộng: Cho và Ta có BĐT 1 2, ,..., 0nx x x > 1 2, ,..., 0np p p > 1 2 1 2 ... 1 1 2 2 1 2 1 2 .... ... ... n n p p p pp p n n n n x p x p x px x x p p p + + +⎛ ⎞+ + +≤ ⎜ + + +⎝ ⎠⎟ .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... nx x x= = = Đặc biệt nếu thì ta được BĐT CôSi. 1 2 ... 1np p p= = = = Chứng minh: www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 21 Đặt 1 1 n k k k n k k x p T p = = = ∑ ∑ . Áp dụng (1) ta có : 1 ( . k k k k k x x pp pk T T k x e x T e T − −≤ ⇒ ≤ 1) Nhân n BĐT trên lại ta được : 1 1 1 1 1 . n kn n k k k k x n n 1 n kp p pTp p k k k x T e x T − = ∑∑ ∑ ∑≤ ⇒∏ ∏ ≤ IV.2.Bài tập áp dụng : Bài 1:CMR với mọi số dương a , b ta có : 2 a b b a a ba b ++⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ Giải : Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 2 2 b a a b a b ab ab ab a ba b ab a b a b a b + + +≤ + = ≤ ≤+ + + ⇒ 2 a b b a a ba b ++⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b Bài 2:Với x > 0 .CMR: 11 11 1 1 x x x x +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ < +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 1 1 1 1(1 ) 1.11 2 11 .1 1 1 1 1 x x xx xx x x x x + +⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ = = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 1 x 1.Vì + ≠ nên dấu bằng không xảy ra. Chú ý :Có thể chứng minh cách khác bằng cách áp dụng định lí Lagrange như sau: www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 22 Xét hàm số ( )1( ) ln(1 ) ln( 1) lnf x x x x x x = + = + − Ta có / 1( ) ln( 1) ln 1 f x x x x = + − − + Hàm số g(t) = lnt liên tục trên [x ;x+1] có đạo hàm trên (x;x+1) nên /ln( 1) ln 1 1( ; 1) : ( ) 1 1 x xx x x g c c x + −∃ ∈ + = = > + suy ra f tăng trên ( 0; )+∞ Vậy f(x) > f(x+1) từ đó suy ra đpcm. Bài 3:Cho 2 4(0;2) . : 1 2 9 xxx CMR ⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠ < Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 2 2 2 2 2 2 1(1 ) 2(1 )9 1 2 21 . 1 . 1 22 4 2 2 2 x x x x x x x x +⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + ≤ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ 1= suy ra 2 41 2 9 xx⎛ ⎞− <⎜ ⎟⎝ ⎠ .Vì 11 1 2 2 x− ≠ + nên dấu bằng không xảy ra. Bài 4:Cho các số dương 1 2 3, ,x x x và các số thỏa hệ : 1 2 3, ,y y y 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 31 1 32 2 33 3 3 y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x = + +⎧⎪ = + +⎨⎪ = + +⎩ trong đó thỏa : 0ija > i1 i2 i3 1 2 3 1( 1,2,3) 1( 1,2,3)j j j a a a i a a a j + + = =⎧⎨ + + = =⎩ CMR: 1 2 3 1 2 3x x x y y y≤ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 23 Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: i1 i2 i3 i3i1 i2 i1 1 i2 2 i3 3 1 2 3 i1 1 i2 2 i3 3 i1 i2 i3 . . a a a aa a i a x a x a xx x x a x a x a x y a a a + +⎛ ⎞+ +≤ = +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ + = 2 3y với i =1,2,3 Nhân 3 BĐT trên lại ta được: 11 21 31 11 21 31 13 23 33 1 2 3 1. . a a a a a a a a ax x x y y+ + + + + + ≤ ⇒ 1 2 3 1 2 3x x x y y y≤ Bài 5:Cho n số dương 1 2, ,..., nx x x thỏa 1 2 ... 1nx x x+ + + = . Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 ... ( 0)n aa a n ix x x a > Giải:Đặt 1 ; n k k k k aa a b a= = =∑ thì 1 1 n k k b = =∑ .Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1. ... ... ( ... ) nbb b n n n n n n x x x b b bx x x x x x a a a a a a a ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤ + + + = + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a 1 21 2 1 1 2 1 2 1 21 2 1 1 2 1 2 . ...1. ... . ... n n n aa aa a a aa a n naa a a a n a a ax x x x x x a a a aa ⇒ ≤ ⇒ ≤ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 1 ;1... i i in n x ax ixx x a a a a a ⎧ =⎪ ⇔ = ∀⎨ = = = =⎪⎩ ∑ Vậy max = 1 21 2 ... n aa a nx x x 1 2 1 2. ... n aa a n a a a a a khi ;ii ax i a = ∀ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 24 Bài 6: Cho p , q dương và 1 1 1 p q + = .CMR với mọi x , y dương ta có : p qx yxy p q ≤ + .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi p qx y= Giải : Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 1 1 1 1 ( ) .( ) p q pp q p qp q x y x yxy x y p q p q +⎛ ⎞= ≤ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ q + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi p qx y= Tổng quát : Với và 1 2, ,..., 0np p p > 1 1 1 n k kp= =∑ thì ( ) ( ) ( ) 1 21 21 2 11 1 1 21 2 1 2 1 2 ... ... ... n n n pp p pp p npp p n n n x x xx x x x x x p p p = ≤ + + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 2 1 2 ... n pp p nx x x= = = Bài 7:Cho p , q > 0 và p+q =1.CMR với mọi (0; ) 2 x π∈ ta có 1 1 tan cot 1p qp x q x+ ≥ Hướng dẫn: Áp dụng bài 6 Bài 8 : (BĐT Holder ) Cho ; p > 0 , q > 0 và 0; 0 ( 1,2,..., )i ix y i> > = n 1 1 1p q+ = .Ta có : www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 25 1 1 1 1 1 n n np q p q i i i i i i i x y x y = = = ⎛ ⎞ ⎛≤ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝∑ ∑ ∑ ⎞⎟⎠ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 1 ... p p n q q n x x y y = = Chứng minh:Đặt ( ) ( )1 1A ; Bp qp qi ix y= =∑ ∑ Áp dụng bài 6 ta có : 1 1 1 1 1. . . . . p q p q i ii i i i i i p q x yx y x y x y A B p A q B AB p A q B p q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ + ⇒ ≤ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1=∑ ∑∑ Suy ra 1 1 1 1 1 n n np q p q i i i i i i i x y x y = = = ⎛ ⎞ ⎛≤ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝∑ ∑ ∑ ⎞⎟⎠ n Chú ý :Nếu p = q =2 ta được BĐT Bunhiacopxki Bài 9: (BĐT Mincopxki) Cho các số không âm và p > 1 ta có BĐT: 1 2 1 2, ,..., ; , ,...,na a a b b b ( ) ( )1 11( ) p p p ppi i i ia b a b⎡ ⎤+ ≤ +⎣ ⎦∑ ∑ p∑ Chứng minh: Đặt 1 1 pq p = − > ta có 1 1 1 p q + = .Áp dụng BĐT Holder ta có : www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p i i i i i i i i p p q pp q p q i i i i i i p p p pp p p i i i i a b a a b b a b a a b b a b a b a b − − − − − + = + + + ≤ + + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ p q ( ) ( )1 111( ) pp p pp ppi i i ia b a b−−⎡ ⎤⇒ + ≤ +⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ( ) ( )1 11( ) p p pp ppi i i ia b a b⎡ ⎤⇒ + ≤ +⎣ ⎦∑ ∑ ∑ n n Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG V.1. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Cho m dãy số thực không âm: Ta có: 1 2 1 2 1 2, ,..., ; , ,..., ;...; , ,...,n na a a b b b c c c ( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2. ... . ... ... . ... ( ... )( ... )...( ... )m m m m m m m m m mn n n n n na b c a b c a b c a a a b b b c c c+ + + ≤ + + + + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 2 2 2: : ... : : : ... : ... : : ... :n na b c a b c a b c= = = ( Nếu m chẵn thì không vần giả thiết ai,bi,ci không âm ) Chứng minh: Giả sử ( ) ( ) ( )1 11 2 1 2 1 2... 0 ; ... 0 ; ... 0m m m m m m m m mm mn n nA a a a B b b b C c c c= + + + ≠ = + + + ≠ = + + + ≠1m (Vì nếu một trong các số A,B,C bằng 0 thì BĐT đúng ) Đặt ; ;...; ( 1, 2,..., )i i ii i i a b cx y z i n A B C = = = = .Khi đó 1 1 1 ... 1 n n n m m m i i i i i i x y z = = = = = = =∑ ∑ ∑ Theo BĐT Côsi cho m số không âm ( i=1,2,…,n) ta có: , ,...,m m mi i ix y z www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 27 m m i i i i i x y zx y z m + +≤ m i ( i=1,2,…,n) 1 1 1 1 1... ... 1 n n n n m m m i i i i i i i i i i mx y z x y z m m= = = = ⎛ ⎞⇒ ≤ + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ = 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ... ... ... ... 1 ... ... ... ... ... ( ... ... ... ... ) ( ... )( ... )...( ... ) n n n n n n m m m m m m m m m m n n n n n n a b ca b c a b c A B C A B C A B C a b c a b c a b c AB C a b c a b c a b c a a a b b b c c c ⇒ + + + ≤ ⇒ + + + ≤ ⇒ + + + ≤ + + + + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xi = yi =…= zi hay tức là : : ... : : : ... :i i ia b c A B C= 1 1 1 2 2 2: : ... : : : ... : ... : : ... :n na b c a b c a b c= = = n V.2.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1:CMR nếu x,y,z là 3 số không âm thì ta có : n m n m n m n m n m n mx y y z z x x y z+ ++ + ≤ + + + với m , n là 2 số tự nhiên Giải : Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... . ... ... . ... ... . ... ... n m n mn m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n mn m n m n m n m n m n m x y y z z x x x y y y yz z z zx x x y z y z x x y y z z x x y z + + + + + + + + + ++ + + + + = + + ≤ + + + + ⇒ + + ≤ + + Suy ra n m n m n m n m n m n mx y y z z x x y z+ + ++ + ≤ + + Bài 2 :Cho các số dương x,y,z và a,b,c thỏa 1a b c x y z + + = .CMR: a/ ( )32 2 2 2 2 23 3 3x y z a b c+ + ≥ + + b/ ( ) 11 1 1 nn n n n n nn n nx y z a b c ++ + ++ + ≥ + + www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 28 Giải :Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : a/ ( ) 33 32 2 2 2 2 23 3 3 3 3 3 33 3 3 3 2 2 2 2 2 2( )( )( ) a a b b c ca b c x y z x x y y z z a b c a b cx y z x y z x y z x y z ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ + + + + + + = + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 2 2 2 3 31 1 1 1: : : ,a b c ax y z a x y z y x b z x = = ⇒ = = c 2 23 33 3 11 (a b c a b a c a a ab ac x y z x x b x c x = + + = + + = + + ) Khi đó : 2 23 3 33 2 23 3 33 2 23 3 33 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x a a b c y b a b c z c a b c ⎧ = + +⎪⎪ = + +⎨⎪ = + +⎪⎩ b/ ( ) 11 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1... ... ... ( )( ) n n n nn n n n nn n n nn n nn n n n n n n n n n n a b c a a b b c cx y z x x y y z z a b cx y z x y z x y z ++ + + + ++ + + ++ + + + + + = ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ + + + + = + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 11 1 1 1: : : ,n n n n na b c ax y z a x y z y x b z x + += = ⇒ = = c www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 29 Khi đó : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n nn n n n n n nn n n n n n n nn n n n x a a b cn ny b a b c z c a b c + + + + + + + + + + + + ⎧ = + +⎪⎪ = + +⎨⎪ = + +⎪⎩ Bài 3:Cho các số dương a1,a2,…,an.CMR: 1 2 1 2... ... k k k n na a a a a a n n + + + + + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ k Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ... 1...1 1...1 ... 1...1 ... 1 1 ... 1 ... k k n n kk k k k k k k k k k n n a a a a a a a a a n a a a − − + + + = + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + ⇒ 1 2 1 2... ... k k k n na a a a a a n n + + + + + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ k Dấu đẳng thức xảy ra khi và khi a1 = a2= …= an. Bài 4:Cho các số dương p , q , x , y , z .CMR với mọi số nguyên dương n ta có : 1 1n n n n nx y z x y py qz pz qx px qy p q 1nz− − −+ ++ + ≥+ + + + Giải: • Với n = 1 Áp dụng BĐT Svacxo ta có: x y z py qz pz qx px qy + ++ + + 2 2 2 2( ) ( )( ) x y z x y z 3 pxy qxz pyz qyx pzx qzy p q xy yz zx p q + += + + ≥ ≥+ + + + + + + • Với n > 1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có : www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 30 ( )21 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) n n n n n n n n x y z x yx py qz y pz qx z px qy py qz pz qx px qy − − − − − − + + ⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦ nz + 2 2 2( ) ( ) ( ) n n n n n n x y zx py qz y pz qx z px qy py qz pz qx px qy − − − ⎡ ⎤⎡ ⎤≤ + + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ + + +⎣ ⎦ ( )21 1 1 2 2 2 2 2 2( ) ( ) n n n n n n n n n n n n x y z x y zp x y y z z x q x z y x z y py qz pz qx px qy − − − − − − − − − ⇒ + + ⎛ ⎞⎡ ⎤≤ + + + + + + +⎜ ⎟⎣ ⎦ + + +⎝ ⎠ 1 1 1( )( ) n n n n n n x y zp q x y z py qz pz qx px qy − − − ⎛ ⎞≤ + + + + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ Áp dụng bài 1 ta có 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 n n n n n n n n n n x y y z z x x y z x z y x z y x y z − − − − − − − − − − + + ≤ + + + + ≤ + + 1 1 n n − − Do đó : 1 1n n n n nx y z x y py qz pz qx px qy p q 1nz− − −+ ++ + ≥+ + + + Bài 5:CMR nếu a,b,c là ba số dương và n là số nguyên dương thì ta có : 13 2 3 nn n na b c a b c b c c a a b −+ +⎛ ⎞+ + ≥ ⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠ Giải: • Với n =1 Áp dụng BĐT Svacxo ta có: 2 2 2 2( ) 2( ) 2 a b c a b c a b c b c c a a b ab ac bc ba ca cb ab bc ca + ++ + = + + ≥ ≥+ + + + + + + + 3 • Với . Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : 2n ≥ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 31 ( ) . .1...1 . .1...1 . .1...1 n n n n n n n n a b c a b cb c c a a b b c c a a b + + = ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ [ ] 2( ) ( ) ( ) (1 1 1 )n n n n n n na b c b c c a a b b c c a a b −⎛ ⎞≤ + + + + + + + + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ 1 2 1 ( ) 2 3 ( ) 2 3 n n n n n n n n n a b ca b c b c c a a b a b c a b c b c c a a b − − − ⎛ ⎞⇒ + + ≤ + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ + +⇒ ≤ + ++ + + 3 0 Bài 6: a/Cho .CMR: ,i ia b > 1 1 2 2 1 2 1 2( )( )...( ) ... ...n nn n na b a b a b a a a b b b+ + + ≥ + n n b/Cho .CMR: 0ia > ( )1 2 1 2(1 )(1 )...(1 ) 1 ... nnn na a a a a a+ + + ≥ + c/Cho .CMR: 0ia > 1 2 2 3 1 1(1 )(1 )...(1 ) 1 n na a a na na na n ⎛ ⎞+ + + ≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠ Hướng dẫn: a/ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : 1 2 1 2 1 2 1 2( ... ... ) ( ... ... ) n nn n n nn n n n n n na a a b b b a a a b b b+ = + n 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) n n n n nn n n n n n n na b a b a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡≤ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ n ⎤⎦ 1 1 2 2( )( )...( )n na b a b a b≤ + + + ⇒ 1 1 2 2 1 2 1 2( )( )...( ) ... ...n nn n na b a b a b a a a bb b+ + + ≥ + n n www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 32 b/Áp dụng a/ bằng cách thay 1 2 ... nb b b= = = = 1 c/ Áp dụng b/ Bài 7:Cho a,b,c,x,y,z > 0 và ax+by+cz = 1.CMR: ( )11 1 1 ; 2nn n nn n n n n nx y z a b c n−− − −+ + ≥ + + ∀ ≥ Giải: Ta có: 1 = ( )nax by cz= + + ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1... . ... . ... . nn n n n n n n n na a a x b b b y c c c z− − − − − − − − −+ + ( ) ( )11 1 1 nn n n n nn n na b c x y z−− − −≤ + + + + n ⇒ ( )11 1 1 ; 2nn n nn n n n n nx y z a b c n−− − −+ + ≥ + + ∀ ≥ Bài 8 :Cho các số dương a,b,c,p,q,r,d,x,y,z thỏa điều kiện n n nax by cz d+ + = .CMR: ( )11 mnm n m n m nn mn m n mm m m mnp q r a p b q c rx y z d +++ ++ + ≥ + + với m , n nguyên dương Giải:a/ ... . ... ... . ... ... . ... m n n nn m n mn m n m n m m m m n n nn m n m n m n m n mm m m n n nn m n m n m n m n m m m p pa p ax ax x x q qb q by by y y r rc r cz cz z z + ++ + + + + + + + + + + + + = = = Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 33 ( ) ( ) nn m mm n m n m n n n nn mn m n m m m m n m m m m p q ra p b q c r ax by cz x y z p q rd x y z +++ + ⎛ ⎞+ + ≤ + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )11 mnm n m n m nn mn m n mm m m mnp q r a p b q c rx y z d +++ +⇒ + + ≥ + + Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) VI.1. BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) Cho > 0,ta có BĐT : 1 2, ,..., nb b b 2 2 1 1 1 n in ii n i i i i a a b b = = = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝≥ ∑∑ ⎠∑ .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi { }, 1,2,...,ji i j aa i j n b b = ∈ Chứng minh:Áp dụng BĐT Bunhiacopxi cho hai dãy 1 2, ,..., nb b b và 1 2 1 2 , ,..., n n a a a b b b ta có: ( )2 22 2 . . ii i ii i i ii aa a ab b b bb ⎛ ⎞ ≤ ⇒ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ib ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi { }, 1,2,...,ji i j aa i j n b b = ∈ VI.2.Bài tập áp dụng Bài 1:a/Cho > 0 .CMR: 1 2, ,..., na a a 2 1 1 1n n i i i i n a a= = ≥∑ ∑ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 34 b/ Cho ( )ib là một hoán vị của ( )ia .CMR: 2 i i i a a b ≥∑ ∑ Bài 2:Cho a,b,c là ba cạnh tam giác .CMR : a/ 2 2 2a b c a b c b c a a c b a b c + + ≥ ++ − + − + − + b/ 2 2 2a b c a b c pb qc pc qa pa qb p q + ++ + ≥+ + + + với p,q> 0 c/ 3a b c b c a a c b a b c + ++ − + − + − ≥ d/ 1 2 2 2 2 2 2 a b c b c a a c b a b c + ++ − + − + − ≥ HD : c/VT= 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c a b c a b c a b a c b c a b c ab bc ca a b c + ++ + ≥+ − + − + − + + − − − ≥ d/ Tương tự c/ Bài 3:Cho các số dương a,b,c,d.CMR: a/ 3 2 a b c b c c a a b + + ≥+ + + b/ 3a b c pb qc pc qa pa qb p q + + ≥+ + + + ( với p,q >0 ) c/ 2a b c d b c c d d a a b + + + ≥+ + + + HD: Viết 2 ( ) a a b c a b c =+ + ,… Bài 4:Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh tại M,N,P. CMR: 1 4MNP ABC S S≤ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 35 HD: 1 3 4 4 APN APN APN MNP ABC ABC BPM CMN S S SS S S S S ≤ ⇔ + + ≥ 2 2 2( ) ( ) ( ) 4 p a p b p c bc ac ab − − − 3⇔ + + ≥ Mà 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) (3 2 ) 1 ( ) 4 4 p a p b p c p p a b c bc ac ab ab bc ca ab bc ca − − − − + ++ + ≥ ≥+ + + + 3≥ Bài 6:Cho a,b,c,d dương.CMR: a/ 3 3 3 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a 2+ ++ + ≥+ + + b/ 2 2 3 2 3 2 3 2 3 a b c d b c d c d a d a b a b c + + ++ + + + + + + + 3≥ c/ 8 3 a b b c c d d a b c d c d a d a b a b c + + + ++ + ++ + + + + + + + ≥ HD: a/ Viết 3 4 2 ( 2 a a a b a a b =+ + ) ,… b/ Viết 2 2 3 ( 2 3 a a b c d a b c d =+ + + + ) ,… c/ Viết 2( ) ( )( a b a b b c d a b b c d + +=+ + + + + ) ,… Bài 7:Cho 1 2, ,..., nx x x > 0 và 1 2, ,..., ni i ix x x là hoán vị của (xi) .CMR : 2 1 1 1 ( ) k n n k k k ki x x x n= = ≥∑ ∑ HD: 2 2 21 1 1 1 ( ) 1 ( k k n kn n k k kn k ki i i x x 1 ) n k k x x x nx = = = = ≥ = ≥ ∑∑ ∑ ∑∑ = ( theo BĐT Bunhiacopxki) Bài 8:a/ Cho x,y,z > 0 và xy+yz+zx = 1 . CMR: 3 3 3 1 2 x y z y z z x x y + + ≥+ + + www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 36 b/ Cho x,y,z,t > 0 và xy+yz+zt+tx = 1 . CMR: 3 3 3 3 1 3 x y z t y z t z x t t x y x y z + + ++ + + + + + + + ≥ c/ Cho xi > 0 và , 1 2 2 3 1... 1nx x x x x x+ + + = 1 n i i S x = =∑ CMR: 3 1 1 1 n i i i x S a n= ≥− −∑ HD:a/ Viết 3 4 ( ) x x y z x y z =+ + ,… và 2 2 2x y z xy yz zx+ + ≥ + + b/ Viết 3 4 ( ) x x y z t x y z t =+ + + + ,… và 2 2 2 23( ) 2( )x y z t xy xz xt yz yt zt+ + + ≥ + + + + + c/ 2 24 2 2 ( ) ( ) ii i i aaVT a S a S a = ≥− − ∑∑ ∑ i 2i Mà 2 2 2 2 ( 1)i iS n a S a n a≤ ⇒ − ≤ −∑ ∑ ∑ ∑ 21 1 1 1i VT a n n ⇒ ≥ ≥− −∑ ( vì ) 2 1ia ≥∑ Bài 9:Cho a,b,c > 1.CMR: a/ 2 2 8 1 1 a b b a + ≥− − b/ 2 2 2log log log 9b c aa b c a b c b a c a b c + + ≥+ + + + + HD: log log log 3b c aa b c+ + ≥ ( BĐT Côsi ) Bài 10:Cho a,b,c > 0 và abc=1.CMR: 3 3 3 1 1 1 ( ) ( ) ( )a b c b c a c a b 3 2 + + ≥+ + + HD:Đặt 1 1, ,x y z a b = = = 1 c và 2 2 2 3 2 2 x y z x y z y z z x x y + ++ + ≥ ≥+ + + www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 37 Bài 11: Cho n số dương và 1 2, ,..., na a a 1 1 n i i a = =∑ .CMR: 1 2 2 n i i i a n a n= ≥ 1− −∑ HD: 22 2 2 2 1 ( ) 1 1 12 2 2 22 n ii i i i i i i aa nVT a a a a a n n = = ≥ = ≥ =− − − − ∑∑ ∑ ∑ ∑ 1− (Vì 2 21 1i ia an ≥ ⇒ ≥∑ ∑ n ) Bài 12:Cho tam giác ABC.CMR: 2 2 2 2 9a b ch h h r bc ca ab R + + ≥ 2 HD: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (9 )a b c a b ch h h h h h r r bc ca ab ab bc ca a b c R + ++ + ≥ ≥ ≥+ + + + 29 (Vì 1 1 1 a b ch h h r + + = 1 và ) 2 2 2 2 2 2 24 (sin sin sin )a b c R A B C+ + = + + Bài 13:Cho hình hộp chữ nhật có , ,α β γ là góc của đường chéo với các cạnh có kích thước a,b,c.CMR: 4 4 4cos cos cos 1 a b c a b α β γ+ + ≥ c+ + HD: 2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = Bài 14: là các cạnh của một đa giác n cạnh chu vi là p.CMR: 1 2, ,..., na a a 1 2 2 n i i i a n p a n= ≥− −∑ HD:Viết 2 2 ( 2