Đề tài Tensor đề các và ứng dụng trong vật lí

10 Giả sử hai hệ tọa độ Đề-các trực giao có chung gốc tọa độ tùy ý  1 2 3 iOx x x Ox và  ' ' ' '1 2 3 iOx x x Ox (Hình 1). Vì hai hệ trục  iOx và  'iOx đều trực giao có chung gốc nên có thể hệ trục này nhận đƣợc từ hệ trục kia bằng phép quay các trục quanh gốc tọa độ hoặc bằng phép chiếu gƣơng các trục đối với một mặt tọa độ nào đấy, hoặc có thể kết hợp cả hai cách. Gọi ie và 'ie là các vector đơn vị trên các trục tọa độ tƣơng ứng và cosin của góc giữa hai trục ix và ' kx kí hiệu là ika . Rõ ràng ta có:      ' ' ' ' '. . cos . cos . osi k i k i k i k i k ike e e e e e e e c x x a    (1.2) Và có 9 đại lƣợng ika nhƣ vậy. Ta lập bảng: Hoặc ma trận biến đổi hệ trục tọa độ:   11 12 13 21 22 23 31 32 33 ik a a a A a a a a a a a             (1.3) Nhờ ma trận biến đổi này mà các vector đơn vị trên hệ trục tọa độ  iOx (tạm gọi là hệ trục tọa độ cũ) là ke có thể biểu diễn qua các vector đơn vị của hệ trục tọa độ mới 'ie và ngƣợc lại: ' .i ik ke a e ; '.k ik ie a e (1.4) (lƣu ý đến quy ƣớc về chỉ số) 1e 2e 3e ' 1e 11 a 12a 13a ' 2e 21 a 22a 23a ' 3e 31 a 32a 33a 11 Nói cách khác, khi cho trƣớc một hệ trục tọa độ Đề-các (tƣơng ứng với cho tập các vector đơn vị hay hệ các vector cơ sở) và ma trận cosin chỉ phƣơng thì hệ vector cơ sở mới (tƣơng ứng với hệ trục tọa độ mới) là hoàn toàn xác định theo (1.4). Dễ dàng thấy rằng các hàng và các cột của ma trận A đều là những vector trực giao và trực chuẩn, nghĩa là các vector vuông góc với nhau có độ lớn (chuẩn) bằng đơn vị. Thật vậy: ' ' ' ' . . . i k ik ip p kp q ip kq pq ip kp i k ik pi p qk q pi qk pq pi pk e e a e a e a a a a e e a e a e a a a a             (1.5) Ma trận gồm các hàng, các cột trực giao và trực chuẩn gọi là ma trận trực giao. Các ma trận trực giao thỏa mãn đẳng thức: 1 TA A  1.2.2. Cách phân bậc của tensor Đề-các. Vector tùy ý x trên Hình 1 có thể biểu diễn qua các thành phần tƣơng ứng trong hệ tọa độ mới 'ix và trong hệ tọa độ cũ kx nhƣ sau: ' ' '.i i ix x x e  (1.6) .k k kx x x e  (1.7) Các vector đơn vị 'ie và ke lại có quan hệ thông qua (1.4). Từ (1.4) và (1.6) và (1.7) suy ra: 'i ik kx a x ; ' k ik ix a x (1.8) Đẳng thức (1.8) chứng tỏ rằng nếu biết trƣớc ma trận cosin chỉ phƣơng của hai hệ trục tọa độ và các thành phần của một vector nào đó trong một hệ trục đã cho thì các thành phần của nó trong hệ trục kia cũng hoàn toàn xác định. Quy luật này giống với quy luật biến đổi hệ trục tọa độ (1.4). Từ kết quả đó cho phép ta có một định nghĩa mới về vector nhƣ sau: 12 Một hệ thống gồm 13 3 thành phần kx cho trong một hệ tọa độ Đề- các nào đó, khi hệ trục này thay đổi theo quy luật (1.4) thì các thành phần này cũng thay đổi theo quy luật ấy (quy luật (1.8)), chúng lập thành một tensor Đề-các bậc nhất. Lƣu ý rằng quy luật biến đổi của tensor bậc nhất tỉ lệ bậc nhất với các cosin chỉ phƣơng. Một vector là một tensor bậc nhất nhƣng không phải chỉ có vector mới là tensor bậc nhất mà bất kỳ một tập 3 thành phần nào khi hệ trục tọa độ thay đổi mà nó đƣợc xác định theo quy luật (1.8) đều là tensor bậc nhất. Một mặt phẳng có phƣơng trình tổng quát cho trong hệ trục  iOx là: 1k k i ia x a x  , khi hệ trục thay đổi thành  'iOx phƣơng trình của mặt phẳng này trong hệ trục tọa độ mới là: ' ' 1i ia x  Quan hệ giữa tọa độ kx và ' ix nhƣ đã biết là: ' i ik kx a x . Vậy thì: ' ' ' 1i i i ik k k ka x a a x a x   hay ' k ik ia a a . Đây chính là quan hệ của biến đổi tensor bậc nhất (1.8). Vậy các hệ số của mặt phẳng ka cũng là một tensor bậc nhất. Tensor bậc nhất có một bất biến, đó là “độ dài” và “hƣớng” của nó đƣợc xác định bằng tích i ix x trong hệ tọa độ cũ và ' ' i ix x trong hệ tọa độ mới là không thay đổi (bằng nhau). Thật vậy, ta có: ' '. . .i i ip p iq q ip iq p q pq p q i ix x a x a x a a x x x x x x    Để dẫn đến các tensor bậc cao hơn (chẳng hạn bậc 2) ta xét tích của 2 vector đƣợc định nghĩa nhƣ sau: i kx y x y  (1.9) nghĩa là lấy tập hợp các tích có thể có đƣợc của từng thành phần của hai vector x và y . Ta có tất cả 9 tích nhƣ vậy. Kí hiệu: 13 ik i ka x y (1.10) Ta thử xem các thành phần ika sẽ thay đổi nhƣ thế nào khi chuyển sang hệ trục tọa độ mới. Gọi 'ika là các thành phần của nó trong hệ trục mới và khi chuyển sang hệ trục mới, đẳng thức (1.10) trở thành: ' ' 'ik i ka x y (1.11) Do ,i kx y là thành phần của tensor bậc nhất nên sang hệ tọa độ mới phải tuân theo quy luật (1.8): ' . . .ik ip p kq q ip kq p q ip kq pqa a x a y a a x y a a a   (1.12) Đẳng thức (1.12) chứng tỏ rằng việc chuyển đổi các thành phần pqa trong hệ tọa độ cũ sang các thành phần trong tọa độ mới là có quy luật xác định dựa vào các thành phần của ma trận chuyển đổi A và tỷ lệ bậc hai với các thành phần cosin chỉ phƣơng này. Quy luật (1.12) dẫn đến định nghĩa tensor bậc hai nhƣ sau: Một hệ thống gồm 23 9 thành phần ika cho trong một hệ trục tọa độ Đề-các nào đấy, khi hệ trục tọa độ thay đổi theo quy luật (1.12) chúng lập thành một tensor Đề-các bậc hai. Dễ dàng thấy rằng các hệ số của mặt bậc hai tổng quát 1ik i ka x x  , là một tensor bậc hai. Trên cơ sở nghiên cứu quy luật biến đổi của tensor bậc nhất và tensor bậc hai ta có thể mở rộng để định nghĩa một tensor Đề-các bậc N bất kỳ nhƣ sau: Một hệ thống gồm 3N thành phần ...ikpa cho trong một hệ trục tọa độ Đề-các nào đấy, khi hệ trục tọa độ thay đổi theo quy luật (1.4) thì các thành phần này thay đổi theo quy luật: ' ......ikp im kn ps mnsa a a a a (1.13) 14 chúng lập thành một tensor Đề-các bậc N . Các thành phần của tensor trong hai hệ trục tỉ lệ bậc N với các cosin chỉ phƣơng. Trƣờng hợp đặc biệt, các vô hướng là tensor bậc không. 1.3. Đại số Tensor Đại số tensor nghiên cứu các phép tính đại số nhƣ: phép cộng, phép trừ, phép nhân (tích trong, tích ngoài và phép cuộn) tensor. 1.3.1. Phép cộng và phép trừ tensor. Giả sử ij ...ka và ij ...kb là các thành phần của cùng một tensor. Các tensor Đề-các cùng bậc có thể cộng (hoặc trừ) các thành phần theo nguyên tắc sau: ij ... ij ... ij ...k k ka b c  (1.14) Tensor tổng này sẽ cùng bậc với các tensor thành phần. Cần lƣu ý rằng các chỉ số nhƣ nhau đƣợc sắp xếp theo một thứ tự nhất quán trong mỗi một phần tử. Phép nhân tất cả các thành phần của tensor với một vô hƣớng cho một tensor mới cùng bậc, chẳng hạn: ij ij.k kb a a (1.15) 1.3.2. Phép nhân tensor: Tích ngoài, tích trong và phép cuộn. 1.3.2.1. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của tensor. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của hai tensor có bậc tùy ý là một tensor mới mà mỗi thành phần của nó đƣợc biểu diễn bằng tích có thể có của từng thành phần tensor này với từng thành phần tensor kia. Bậc của tensor mới bằng tổng bậc của hai tensor thành phần. Chứng minh: Giả sử đối với hai tensor có bậc hai và bậc ba ika và ijkb . Tích có thể của từng thành phần tensor này với từng thành phần tensor kia sẽ là ik pqra b . Ta kí hiệu kết quả phép nhân này là ikpqrc , nghĩa là: 15 ikpqr ik pqr c a b Bây giờ cần chứng minh ikpqrc là một tensor bậc năm. Thật vậy, trong hệ tọa độ mới có: ' ' ' ikpqr ik pqrc a b Do giả thiết, ika và pqrb là hai tensor bậc hai và bậc ba nên ở hệ tọa độ mới, các thành phần này biến đổi theo quy luật của tensor, vậy: ' ikpqr im kn mn ps qh rj shj im kn ps qh rj mn shjc a a a a a a b a a a a a a b  im kn ps qh rj mnshja a a a a c Theo định nghĩa đây là quy luật của tensor bậc năm. 1.3.2.2. Phép cuộn tensor. Phép cuộn tensor theo hai chỉ số là phép tính khi hai chỉ số trùng nhau và nhƣ vậy nó tuân theo quy tắc lấy tổng. Kết quả phép cuộn tensor đƣợc một tensor mới (tích chập) có bậc giảm hai đơn vị so với tensor ban đầu. Việc chứng minh kết quả của phép cuộn tensor là một tensor có bậc bé hơn tensor ban đầu hai đơn vị hoàn toàn tƣơng tự nhƣ cách chứng minh tích ngoài của hai tensor. Điều cần lƣu ý là để thực hiện phép cuộn tensor đòi hỏi tensor ban đầu phải có bậc ít nhất là hai và có thể cuộn nhiều lần. Ví dụ: Chỉ ra phép cuộn của một tensor bậc N tạo ra tensor bậc  2N  . Bài làm Giả sử ij... ... ...l m kT là các thành phần của một tensor bậc N thì: ' ij... ... ... ... ... ...... ... ...l m k ip jq lr ms kn pq r s n Nthuaso T L L L L L T Nếu l m thì: ' ij... ... ... ... ... ...... ... ...l l k ip jq lr ls kn pq r s nT L L L L L T ... ... ...... ...ip jq rs kn pq r s nL L L T 16   ... ... ... 2 ...ip jq kn pq r r n N thuaso L L L T   Thấy rằng ij... ... ...l l kT là các thành phần (khác nhau) của một tensor Đề- các bậc  2N  1.3.2.3. Phép nhân trong (tích trong) của tensor. Phép nhân trong là phép nhân ngoài và cuộn đồng thời của các tensor, các chỉ số trùng nhau phải có mặt trong mỗi nhân tử. Ví dụ phép nhân trong là ij ,k jA b mn nkT a còn iik jA b lại không phải là phép nhân trong vì chỉ số i trùng nhau chỉ nằm ở nhân tử iikA . 1.3.3. Phép hoán vị chỉ số. Với tensor đã cho, hoán vị bất kì chỉ số nào đều nhận đƣợc tensor mới cùng bậc với tensor đã cho. Tensor mới và tensor cũ có các thành phần nhƣ nhau, không thay đổi nhƣng sắp xếp thứ tự các thành phần là khác nhau. 1.3.4. Dấu hiệu ngược của tensor. Ta thƣờng gặp trƣờng hợp sau đây trong phép tính tensor: Khi thực hiện phép tính tích các đại lƣợng một cách hình thức nhƣ các phép tính tensor mà biết chắc một thành phần là tensor và kết quả của phép tính ấy cũng là tensor. Vấn đề đặt ra là, thành phần còn lại trong phép tính ấy có phải là tensor không. Trƣớc hết ta chứng minh cho trƣờng hợp riêng và sau đó mở rộng cho trƣờng hợp tổng quát. Giả thiết ,i ib c là hai tensor bậc 1 và có đẳng thức: i is sc a b (1.16) cần chứng minh isa là một tensor bậc hai. Chứng minh: 17 Do ib là tensor bậc nhất (vector), không mất tính tổng quát ta chọn hệ trục mới có một trục trùng với vector này, chẳng hạn trục đó là trục k , khi đó ' kb bằng độ dài  của vector: ' kb  và ' 0kb  khi s k Chuyển sang hệ tọa độ mới, đẳng thức (1.16) trở thành: ' ' ' i is sc a b (1.17) Ở đây, s là chỉ số lấy tổng, khi s chạy đến k thì 'kb  , hai giá trị khác bằng không. Đẳng thức (1.17) trở thành: ' ' i ikc a (1.18) Theo giả thiết ,i ib c là tensor bậc nhất nên theo quy luật biến đổi tensor phải có: ' ' i ip p ip pq q ip pq mq m ip kq pqc c a b a b a         (1.19) So sánh (1.18) và (1.19) nhận đƣợc: ' ik ip kq pqa a  Đây là quy luật của tensor bậc hai và là điều phải chứng minh. Mở rộng cho các tensor bất kỳ thì trong một tích hình thức kiểu phép nhân trong hai tensor mà có một thành phần là tensor (bậc bất kỳ), kết quả của phép nhân là tensor thì thành phần kia cũng là tensor, bậc của tensor này bằng chỉ số của nó. 1.3.5. Gradien của một tensor. Đạo hàm riêng một lần theo một biến kx nào đó của tensor bậc bất kì nhận đƣợc tensor có bậc cao hơn tensor ban đầu một đơn vị. Ví dụ: - Tensor bậc không:   tensor bậc nhất: i ix      18 - Tensor bậc nhất: ia  tensor bậc hai: , i i k k a a x    - Tensor bậc hai: , i i k k a a x     tensor bậc ba: 2 , i i kj k j a a x x     - Tensor bậc ba: ij ij,k k T T x     tensor bậc bốn: 2 ij ij ,km k m T a x x      Lƣu ý: Chỉ số biến lấy đạo hàm không trùng với chỉ số của các thành phần tenxơ. 1.3.6. Định luật co chỉ số của tensor. Xét phƣơng trình: ... ... ij... ... ... ij...pq k m k n pq m nA B C (1.20) Trong đó: 3 tensor , ,A B C lần lƣợt là các tensor bậc M , N , 2M N  ; k độc lập trong A và B . Khi ikB và piC là tensor bậc 2 bất kì, ta xét phƣơng trình: pk ik pi A B C (1.21) ta có: ' ' ' pk ik piA B C (chuyển từ (1.21)) ijpq qjL L C (khi C là một tensor) ijpq ql jlL L A B (từ (1.21)) ' ijpq ql mj nl mnL L A L L B (khi B là một tensor) ' pq nl ql inL L A B (khi ij mj imL L  ) Nếu k và n là chỉ số câm thì:  ' ' 0pk pq kl ql ikA L L A B  ikB là một tensor bất kì thì ' ikB cũng là một tensor bất kì nên: 19 'pk pq kl qlA L L A ' pkA đƣợc cho bởi công thức chung (1.12) vì thế pkA là thành phần của một tensor bậc 2, lúc này (1.21) đƣợc thay thế bằng: pk ik piA B C (Định luật co chỉ số của tensor). Định luật này đƣợc sử dụng để kiểm tra một tập hợp các số lƣợng là một tensor một cách thuận tiện. Nó đƣợc áp dụng bằng cách quy ƣớc tập hợp các số lƣợng (có kí hiệu N ), với một tensor tùy ý bậc N và xác định kết quả là một vô hƣớng. 1.4. Tensor Levi-Civita và Isotropic. 1.4.1. Tensor Isotropic (Tensor đẳng hướng) Một tensor mà các thành phần của nó có giá trị nhƣ nhau trong hệ tọa độ Đề-các đƣợc gọi là tensor đẳng hƣớng. Cụ thể là tensor đồng nhất thức bậc 2, ij và tensor hoán vị bậc 3, ijk . Chúng ta có thể phân loại tensor đẳng hƣớng thành bốn bậc nhƣ sau:  Bậc 0: Tất cả các đại lƣợng vô hƣớng đều là tensor đẳng hƣớng, xét với một tensor ijk T , trong hệ tọa độ Đề-các bất kì thì ta có thể viết là: ' ij ijk kT T  Bậc 1: Không có vector không đẳng hƣớng bằng 0.  Bậc 2: Tensor đẳng hƣớng bậc 2 chung nhất là ij .  Bậc 3: Tensor đẳng hƣớng bậc 3 chung nhất là ijk .  Bậc 4: Tensor đẳng hƣớng bậc 4 chung nhất là ij kl ik jk il jk       Trong đó , , , ,     là các đại lƣợng vô hƣớng. 20 Ví dụ: Chứng minh nếu T là một tensor đẳng hƣớng bậc 2 thì ijT  Chứng minh Xét một tensor bậc 2 T có thành phần ijT với các trục  1 2 3, ,e e e . Giả sử T là đẳng hƣớng, trong phép quay vuông góc với 3 trục, đối với trục mới thì: ' ' ' 1 2 2 1 3 3, ,e e e e e e    Ma trận của phép quay này là: 0 1 0 1 0 0 0 0 1 A            Sử dụng phép biến đổi của ma trận, ta thấy rằng: ' ' ' 11 12 13 11 12 13 ' ' ' 21 22 23 21 22 23 ' ' ' 31 32 3331 32 33 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 T T T T T T T T T T T T T T TT T T                                     22 21 23 12 11 13 32 31 33 T T T T T T T T T            vì T là đẳng hƣớng, 'ij ijT T , do đó: 11 22T T 13 23 13T T T   sao cho 13 23 0T T  31 32 31T T T   sao cho 31 32 0T T  Tƣơng tự xét trong phép quay vuông góc với 2 trục, ta thấy rằng 11 33T T và 12 32 0T T  , 21 23 0T T  . Do đó phần tử ngoài đƣờng chéo của T là số 0 và tất cả các phần tử đƣờng chéo bằng  . Nên: 21 0 0 0 0 0 0 T               hay ijT T . 1.4.2. Tensor Levi – Civita. 1.4.2.1. Định nghĩa: Kí hiệu Levi – Civita ijk là một tensor bậc 3 và đƣợc định nghĩa bằng: ijk 1  khi các chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1, 2, 3 ij 1k  khi các chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1, 2, 3 ij 0k  khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau. Ký hiệu Levi – Civita ijk