Đồ án Dùng phần tử hữu hạn để tính toán khả năng phá huỷ của một kết cấu hai Vật Liệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VÂN TẢI KHOA CƠ KHÍ BỘ MÔN KĨ THUẬT MÁY ((( ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP ĐỂ TÀI DÙNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ PHƯƠNG PHÁP VIRTUAL CRACK CLOSURE TECHNIQUE (VCCT) THÔNG QUA PHẦN MỀM ANSYS ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU Giáo viên hướng dẫn : Th.s Trần Thanh Hải Sinh viên thực hiện : Phạm Xuân Hiếu Lớp : Cơ điện tử K46 HÀ NỘI - 2010     MỤC LỤC TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI ……………………………………...………..4 Đặt vấn đề 4 Nội dung đề tài 6 CHƯƠNG I: CƠ HỌC PHÁ HỦY……………………………………...7 I. Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) 7 II. Biểu đồ ứng suất – chuyển vị 10 III. Fracture modes (các chế độ phá hủy) 12 IV. Năng lượng cân bằng trong vết nứt 12 V. Lý thuyết Griffith 13 CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN………………15 I. Khái niệm chung và nội dung của phương pháp 15 1. Khái niệm chung 15 2. Nội dung của phương pháp 16 4. Một số khái niệm sử dụng trong bài toán phần tử hữu hạn 17 5. Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp PTHH 25 6. Giải bài toán hệ thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn 27 II. Các phần tử cơ bản 34 1. Giới thiệu chung 34 2. Một số phần tử cơ bản và tính chất của chúng 36 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP VIRTUAL CRACK CLOSURE TECHNIQUE…………………………………………………………..42 I. Phương pháp VCCT 2 bước 42 II. Virtual Crack Closure Technique…………………………………...44 CHƯƠNG IV: PHẦN MỀM ANSYS…………………………………47 I. Giới thiệu chung 47 II. Ứng dụng của Ansys 49 1. Phân tích kết cấu : 50 2. Động lực học biến dạng lớn: 51 3. Phân tích nhiệt 51 4. Phân tích điện từ 52 5. Tính toán động lực học dòng chảy 54 6. Phân tích tương tác giữa các trường vật lí 55 III. Các bước thực hiện khi giải bài toán trong Ansys 55 1. Preprocessing 56 2. Solution 59 3. Postprocessing 60 CHƯƠNG V: TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU (CU-EPOXY MOLDING COMPOUND)………….68 I. Nội dung bài toán và xác định phương hướng triển khai 69 1. Nội dung 69 2. Hướng triển khai bài toán 70 II. Giải quyết bài toán trên Ansys 71 KẾT LUẬN…………………………………………………………….81 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………...82 TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI Đặt vấn đề Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thủy, khung nhà cao tầng, dầm cầu v.v.., những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện từ trường v.v.. Với sự giúp đỡ của nghành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng. Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS, MODULLEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v.. Phần mềm ANSYS là một trong nhiều chương trình phần mềm công nghiệp sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM - Finite Element Method) để phân tích các bài toán vật lý cơ học, chuyển các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng từ dạng giải tích số, với việc sử dụng phương pháp rời rạc hóa về dạng gần đúng để giải. Đề tài : “Dùng phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp Virtual Crack Closure Technique (VCCT) thông qua phần mềm Ansys để tính toán khả năng phá huỷ của một kết cấu hai vật liệu (bi-material structure)” được lựa chọn để đáp ứng mục đích kiểm nghiệm, xác định năng tỷ lệ lượng giải phóng (hay độ cứng chống phá hủy) của kết cấu khi vết nứt hình thành, từ đó so sánh với các cấu trúc trong thực tế nhằm đưa ra phương pháp sử dụng cấu trúc vật liệu một cách phù hợp nhất. Sau một quá trình tìm hiểu, nghiên cứu với nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.s Trần Thanh Hải_ BM KTM đề tài đã được hoàn thành. Tuy vậy, do thời gian và vốn kiến thức còn hạn chế nên đề tài còn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý sâu sắc của các Thầy, Cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn. Hà nội, ngày 30 tháng 4 năm 2010 Sinh viên thực hiện Phạm Xuân Hiếu Lớp cơ điện tử K46 _ ĐHGTVT Nội dung đề tài Đề tài được chia thành các chương sau: Chương 1: Tìm hiểu cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) Xác định nguyên lý cơ bản của việc dùng Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) trong việc đánh giá độ bền phá hủy của kết. Chương 2: Nghiên cứu phương pháp PTHH Trong chương này sẽ tìm hiểu khái niệm, nội dung và những ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) trong việc giải các bài toán cụ thể. Đồng thời sẽ giới thiệu các một số phần tử cơ bản thường được sử dụng trong phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH). Chương 3: Giới thiệu về phương pháp Virtual Crack Closure Technique (VCCT), một phương pháp PTHH dùng để xác định tỷ lệ năng lượng giải phóng (hay độ cứng chống phá hủy) khi có một vết nứt hình thành trong kết cấu. Chương 4: Tìm hiểu phần mềm Ansys Nội dung của chương này đi sâu tìm hiểu về phần mềm Ansys, những ứng dụng của phần mềm trong các lĩnh vực công nghiệp. Thực hiện phân tích, tính toán các cấu trúc, cấu kiện, các chi tiết máy bằng phần mềm Ansys. Chương 5: Nghiên cứu và triển khai phương pháp VCCT trên Ansys để tính độ bền phá hủy của kết cấu. CHƯƠNG I CƠ HỌC PHÁ HỦY Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) là môn khoa học chuyên nghiên cứu về độ bền tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện khi có các vết nứt. Cho phép định lượng mối quan hệ giữa tính chất vật liệu, ứng suất, sự hiện diện của các vết nứt có thể gây phá hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt. Nó sử dụng các phương pháp phân tích cơ học vật rắn để tính toán động lực trên một vết nứt và những thử nghiệm của cơ học vật rắn để mô tả đặc điểm chống lại phá hủy kết cấu (theo [1]). Hầu hết các thành phần kỹ thuật và các cấu trúc chứa khuyết tật hình học. Kích thước và hình dạng của chúng là quan trọng bởi vì chúng xác định độ bền của cấu trúc vật liệu. Thông thường, độ bền của các thành phần hoặc cấu trúc có chứa các khuyết tật bị ảnh hưởng bởi hai yếu tố ứng suất và độ bền uốn. Tuy nhiên, cách tiếp cận này thường sẽ cho kết quả không chính xác nếu khuyết tật có đặc trưng hình học lớn. Để giải thích điểm này, chúng ta hãy xem xét các trường hợp sau (hình 1): Hình 1. Các mẫu thử có và không có vết nứt Tất cả các mẫu có cùng độ dày. Các lực cần thiết để phá vỡ bốn mẫu được sắp xếp theo thứ tự sau: F4 < F3 < F1 < F2 Rõ ràng, các kích thước của các khuyết tật ở các mẫu C và D ảnh hưởng lớn đến độ bền của mẫu, làm giảm độ bền của mẫu. So với phương pháp thông thường có tên là tiếp cận sức bền vật liệu có hai yếu tố ảnh hưởng, phương pháp cơ học phá hủy (Fracture mechanics) bị ảnh hưởng bởi ba yếu tố áp dụng ứng suất, kích thước phá hủy và độ bền phá hủy. Trong phương pháp tiếp cận này, độ bền phá hủy thay thế độ bền uốn phù hợp tính chất vật liệu. Fracture Mechanics xác định giới hạn của ba yếu tố trên. Hình 3 cho thấy sự khác biệt giữa cách tiếp cận Fracture Mechanics với cách tiếp cận sức bền vật liệu. Hình 2. So sánh phương pháp Fracture Mechanics với phương pháp tiếp cận Sức bền vật liệu Đối với vật liệu không thay đổi theo thời gian, Fracture Mechanics có thể được chia thành Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM) và Elasto Plastic Fracture Mechanics (EPFM). LEFM cho kết quả vượt trội cho các vật liệu giòn như thép cường độ đàn hồi cao, thủy tinh, đá, bê tông, vv... Tuy nhiên, đối với vật liệu dễ uốn như thép carbon thấp, thép không gỉ, hợp kim nhôm, polyme, vv, tính dẻo luôn xảy ra trước phá hủy. Tuy nhiên, khi tải trọng nhỏ, LEFM vẫn cho kết quả gần đúng. Sơ đồ hình cây của Fracture Mechanical có thể được nhìn thấy trong hình 3: / Hình 3. Mô hình cấu trúc hình cây đơn giản của Fracture Mechanics Biểu đồ ứng suất – chuyển vị Theo thí nghiệm đối với vật liệu dẻo (Thép CT 38) ta có được đồ thị chuyển vị – ứng suất như hình 4 (theo [2]): / Hình 4. Đồ thị chuyển vị - ứng suất Trong quá trình từ lúc bắt đầu kéo đến khi bị đứt, mẫu thử đã qua các điểm đặc biệt. Dưới đây ta sẽ phân tích quá trình đó. Giai đoạn tỉ lệ: Giai đoạn này thể hiện bằng đoạn OA. Trong giai đoạn này vật liệu tuân theo định luật Hooke, ứng suất lớn nhất gọi là giới hạn tỉ lệ 𝜎 𝑡𝑙 . Độ dốc của đoạn OA bằng giá trị của modul đàn hồi của vật liệu. Trong giai đoạn này, vật liệu có tính đàn hồi, tức là sau khi bỏ hết tải trọng – lực kéo, mẫu thử hoàn toàn trở lại trạng thái chiều dài ban đầu. Tuy nhiên trên phía trên giới hạn đàn hồi một ít, người ta thấy vật liệu vẫn còn đàn hồi A’.Ứng suất lớn nhất mà vật liệu còn đàn hồi được gọi là ứng suất đàn hồi 𝜎 𝑑ℎ . Khi kéo mẫu đến điểm C, đồ thị có dạng nằm ngang CC’ gọi là mặt chảy. Trong giai đoạn này, không tăng lực kéo, mẫu vẫn bị giãn. Ứng suất tương ứng với điểm C gọi là giới hạn chảy 𝜎 𝑐ℎ Hết mặt chảy độ bền của kim loại được khôi phục. Đó là giai đoạn tái bền tương ứng với đoạn C’D. Cuối giai đoạn này, trên mẫu thử đã hình thành một chỗ thót. Chính chỗ thót này đã làm cho độ giãn của thanh rất lớn. Ứng suất cao nhất (điểm D) gọi là giới hạn bền 𝜎 𝑏 Sau điểm D, đồ thị tụt xuống đến một điểm nhất định thì mấu đứt. Sở dĩ có đoạn tụt xuống vì lúc đó chỗ thót có diện tích tương đối bé nên lực kéo không cần lớn như trước. Từ sau giới hạn đàn hồi, vật liệu bao giờ cũng có biến dạng dư hay biến dạng dẻo. Thí dụ tại điểm M ta bỏ lực, đồ thị giảm tải trọng đi theo đường MP có độ dốc bằng độ dốc của giai đoạn đàn hồi OA. Khi hết tải trọng, thanh còn biến dạng dẻo thể hiện bằng đoạn OP, còn đoạn PQ là biến dạng đàn hồi. Fracture modes (các chế độ phá hủy) Trong kỹ thuật ta thường gặp ba chế độ phá hủy cơ bản (theo [1]). / Hình 5. Ba chế độ phá hủy cơ bản Chế độ I các bề mặt phá hủy bị tách theo hướng vuông góc với mặt đầu của vết nứt. Chế độ II các bề mặt trượt lên nhau trong một hướng vuông góc với mặt đầu của vết nứt. Chế độ III các bề mặt bị tách theo hướng song song với mặt đầu vết nứt. Ngoài ra còn có các dạng phá hủy khác là các biến thể của 3 chế độ trên. Trong đó chế độ I là loại phổ biến nhất thường gặp trong hư hỏng kỹ thuật. Năng lượng cân bằng trong vết nứt Sự khác biệt giữa một khối nứt và một khối không nứt là trên bề mặt có các vết nứt. Khối nứt tạo ra các bề mặt mới (vết nứt) và giải phóng ra năng lượng. Sau đó vết nứt có phát triển ra được hay không còn phụ thuộc vào việc nó có chứa đủ năng lượng để tạo thêm các bề mặt trong khi vẫn duy trì sự cân bằng của nó. Theo định luật bảo toàn năng lượng: Công thực hiện trong một đơn vị thời gian do tác dụng của tải trọng (
) phải bằng tổng tỷ lệ của biến đổi năng lượng đàn hồi nội bộ (internal elastic energy) ( 𝑈 𝐸 ), năng lượng biến dạng dẻo ( 𝑈 𝑃 ), động năng (kinetic energy) ( 𝐾 ) của vết nứt, và năng lượng cần thiết để tăng vết nứt cho một đơn vị thời gian ( 𝛤 ). Nói cách khác (theo [1]).
(*) Nếu vết nứt xảy ra chậm, động năng K là không đáng kể (
). Hơn nữa, vì tất cả thay đổi theo thời gian được gây ra bởi những thay đổi kích thước các vết nứt, chúng ta có:
với A là diện tích vết nứt. Do vậy phương trình (*) có thể được viết lại như sau:
(**)
là thế năng của hệ Phương trình (**) cho thấy việc giảm thế năng bằng với năng lượng tiêu tan trong kết cấu dẻo và tạo ra bề mặt. Lý thuyết Griffith Đối với một vật liệu giòn lý tưởng (vật liệu tuyến tính đàn hồi), năng lượng tiêu tan trong biến dạng dẻo là không đáng kể và có thể được bỏ qua ( 𝑈 𝑃 =0). Do vậy, năng lượng để mở rộng một đơn vị của bề mặt vết nứt G có thể được xác định (theo [1]):
(***) Phương trình trạng thái cân bằng ở trên có nghĩa là thế năng trong vật thể cần phải thắng năng lượng bề mặt của vật liệu (năng lượng cần thiết để vết nứt lớn thêm ra). G còn được gọi là tỷ lệ giải phóng năng lượng đàn hồi hay độ cứng chống phá hủy. Theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính, một vật thể không thay đổi dưới tác dụng của tải trọng (theo định lý Clapeyron):
và kết hợp với (*) ( 𝐾 =0), do đó (***) phương trình có thể được viết lại như sau:
Ý nghĩa vật lý đầy đủ của tỷ lệ giải phóng năng lương G là nó mô tả năng lượng trên một đơn vị diện tích sẽ được giải phóng nếu vết nứt phát triển. Cần chỉ ra rằng phương trình chỉ đúng khi vật thể nứt là đàn hồi tuyến tính. Nếu vật thể đàn hồi phi tuyến hoặc có tính dẻo đáng kể, phương trình không còn giá trị và khi đó phương trình (***) được sử dụng phù hợp hơn. CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Khái niệm chung và nội dung của phương pháp Khái niệm chung Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số, đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó. Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền xác định V mà chỉ trong từng miền con
(phần tử) thuộc miền xác định V. Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó có hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Phương pháp ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát biểu một cách chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân. Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài toán. Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con
(phần tử). Các miền này được liên kết với nhau bởi các điểm nút. Trên miền con này, dạng biến phân tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoả mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán. Trong việc giải phương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là tạo ra một phương trình xấp xỉ với phương trình cần được nghiên cứu. Có rất nhiều cách để làm việc này, tất cả đều có những ưu điểm và nhược điểm. PP PTHH là sự lựa chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp hoặc khi những yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong toàn miền. Nội dung của phương pháp Phương pháp phần tử hữu hạn có nội dung như sau: Để giải một bài toán biên trong miền V, ta chia thành một số hữu hạn các miền con
(j = 1,..., n) sao cho hai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chung nhau đỉnh hoặc các cạnh. Mỗi miền con
được gọi là một phần tử hữu hạn. Người ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên ban đầu trong một không gian hữu hạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi nhất định trên toàn miền V. Có thể chọn cơ sở của không gian này gồm các hàm số ψ1(x),..., ψn(x) có giá trị trong một số hữu hạn phần tử
ở gần nhau. Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu được tìm dưới dạng: c1ψ1(x) + ... + cnψn(x) trong đó các ck là các số cần tìm. Thông thường người ta đưa việc tìm các ck về việc giải một phương trình đại số với ma trận thưa (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính và trên một số đường song song nằm sát với đường chéo chính là khác không) nên dễ giải. Có thể lấy cạnh của các phần tử hữu hạn là đường thẳng hoặc đường cong để xấp xỉ các miền có dạng hình học phức tạp. Phương pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để giải gần đúng các bài toán biên tuyến tính, phi tuyến và các bất phương trình. Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn Với sự hỗ trợ của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn đang được sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như lí thuyết đàn hồi và dẻo, cơ học chất lỏng, cơ học vật rắn, cơ học thiên thể, khí tượng thuỷ văn, v.v.. Phương pháp phần tử hữu hạn thường được dùng trong các bài toán Cơ học (cơ học kết cấu, cơ học môi trường liên tục) để xác định trường ứng suất và biến dạng của vật thể. Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn cũng được dùng trong vật lý học để giải các phương trình sóng, như trong vật lý plasma, các bài toán về truyền nhiệt, động lực học chất lỏng, trường điện từ. Một số khái niệm sử dụng trong bài toán phần tử hữu hạn [3] Hàm xấp xỉ Một trong những tư tưởng cơ bản của PPPTHH là xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm trong mỗi miền con
(phần tử). Điều này cho phép ta khả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi phần tử ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản. Và vì vậy bước quan trọng đầu tiên cần nói đến là việc chọn hàm xấp xỉ đơn giản, thường chọn ở dạng đa thức vì những lý do sau: Đa thức khi được xem như một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức thì tập hợp các đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính. Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi xây dựng các phương trình của PPPTHH và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt vì dễ đạo hàm, tích phân. Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ (về mặt lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho nghiệm chính xác). Tuy nhiên trong thực tế ta cũng chỉ lấy các đa thức xấp xỉ bậc nhất mà thôi. Phép nội suy Tuy nhiên, trong phương pháp PTHH các hệ số của hàm xấp xỉ dạng đa thức được biểu diễn qua chính các giá trị của nó (hoặc cả giá trị các đạo hàm) tại một số điểm nút được định trước trên phần tử (theo [3]). Nói cách khác là hàm xấp xỉ được nội suy theo các giá trị ( hoặc cả các đạo hàm) của nó tại các nút phần tử. Kết quả là, trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần tìm là hàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóa bằng một đa thức nội suy qua các giá trị (hoặc cả các đạo hàm) của nó tại điểm nút của phần tử. / Hình 6. Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange Trong các ví dụ trên các hàm bất kì được biểu diễn xấp xỉ bằng các đa thức bậc 0, bậc 1, bậc 2 theo các giá trị (chỉ theo giá trị) của hàm tại điểm định trước (điểm nút). Phép xấp xỉ này được gọi là phép nội suy Lagrange. Nội suy Hecmit: Khác với phép nội suy Lagrange, nội suy Hecmit là phép xấp xỉ theo giá trị và cả đạo hàm từ bậc 1 đến bậc nào đó tại các điểm cơ sở / Hình 7. Hàm nội suy Hecmit Bằng việc xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi phần tử thì trên toàn miền V khảo sát, đại lượng cần tìm cũng được biểu diễn gần đúng theo các giá trị (và có thể cả đạo hàm đến cấp nào đó) của chính nó tại các điểm nút. Và rõ ràng nếu lưới phần tử càng mịn thì kết quả nhận được càng tiến đến sự mô tả chính xác của nghiệm cần tìm. Ví dụ : Với phép nội suy Lagrange / Hình 8. Hàm nội suy Lagrange khi lưới phần tử mịn Dạng đa thức xấp xỉ Như đã nói ở trên, hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức đơn giản. Có thể như sau. [3] : Bài toán 1 – D (một chiều) :
=
+

(xấp xỉ tuyến tính)
=
+

+
(xấp xỉ bậc hai)
=
+

+
+
(xấp xỉ bậc ba) Hay nếu lấy
là một hàm xấp xỉ bậc n thì:
=
Hay:
= [1

...
]
Hay:
=

Trong đó :
gọi là ma trận các đơn thức.
gọi là véc tơ các tọa độ tổng quát hay véc tơ các tham số. Bài toán 2 – D (hai chiều) ví dụ :
=
= [1




]
Hay
Chọn bậc của đa thức xấp xỉ hay hàm xấp xỉ Khi chọn bậc của đa thức xấp xỉ cần xét tới các yêu cầu sau (theo [3]): Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ: Đây là một yêu cầu quan trọng vì PP PTHH là một phương pháp số và do đó phải đảm bảo được rằng khi kích thước phần tử giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác. Muốn vậy đa thức xấp xỉ
phải thỏa mãn 3 điều kiện sau: Liên tục trong phần tử (
). Điều này hiển nhiên thỏa mãn khi xấp xỉ là đa thức. Bảo đảm tồn tại trong phần tử trạng thái đơn vị (hằng số) và đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm
đòi hỏi. Vì như ta đã biết, PPPTHH có thể được xem như một phương pháp xấp xỉ khi cực tiểu hóa một hàm dạng:
=
Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r-1) là liên tục. Ví dụ: Khi u là chuyển vị thì phải đảm bảo khả năng phần tử dịch chuyển cứng và muốn bảo đảm trạng thái đơn vị của đại lượng khảo sát thì chỉ cần không được bỏ qua số hạng tự do
trong đa thức xấp xỉ, hay không được bỏ qua thành phần 1 trong
. Với cơ học vật rắn biến dạng và kết cấu, các yêu cầu này có thể được hiểu như yêu cầu liên tục của biến dạng, nói cách khác là phần tử biến dạng không có sự đứt, gãy. Như với dầm, tấm, vở đòi hỏi cả chuyển vị và đạo hàm cấp 1 của chuyển vị là liên tục. Nếu đa thức xấp xỉ thảo mãn tất cả 3 điều kiện này, thì nghiệm xấp xỉ sẽ hội tụ tới nghiệm chính xác khi sử dụng lưới phần tử mịn hơn. Tuy nhiên để thấy được điều này khi mịn hóa lưới phần tử cũng cần tuân theo các qui tắc sau: Lưới sau được mịn hơn trên cơ sở lưới trước, các điểm nút lưới trước cũng có mặt trong tập hợp các nút lưới sau. Các phần tử có khích thước nhỏ hơn trước nhưng dạng hình học của phần tử vẫn phải như dạng cũ. Dạng đa thức xấp xỉ là không đổi trong quá trình mịn hóa lưới phần tử. Hình 9. Quy luật mịn hóa lưới phần tử Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình học. Các số phần tử của {a} tức số tham số của đa thức xấp xỉ phải bằng số bậc tự do của phần tử
. Yêu cầu này cho khả năng nội suy đa thức xấp xỉ theo giá trị đại lượng cần tìm tại các điểm nút. Ghép nối phần tử - ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể. Giả sử vật thể (miền V) được chia thành
phần tử (miền con
) bởi R điểm nút. Nếu mỗi nút có s bậc tự do thì số bậc tự do của cả hệ là n = R.s Gọi
là véc tơ chuyển vị nút tổng thể (hay véc tơ chuyển vị nút kết cấu). Nó sẽ là tập hợp của tất cả các bậc tự do của tất cả các nút của hệ và gồm n thành phần. Giả sử mỗi phần tử có r nút, thì số bậc tự do của r nút của phần tử gồm
. Và véc tơ chuyển vị nút phần tử
gồm tất cả các bậc tự do của r nút của phần tử tức là gồm
thành phần. Rõ ràng theo mô hình tương thích, các thành phần này của
là nằm trong số các thành phần của
. Và do đó sự liên hệ giữa 2 véc tơ này có thể được biểu diễn như sau:
Trong đó
là ma trận định vị của phần tử có kích thước
. Ma trận này cho thấy hình ảnh sắp xếp các thành phần của véc tơ
trong
. Ví dụ: Dầm với bốn điểm nút như hình 10 có véc tơ chuyển vị nút tổng thể
là:
Hình 10. Các bậc tự do của dầm 4 nút


Xây dựng ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể bằng ma trận chỉ số [b] Trong phương pháp phần tử hữu hạn, ta dùng 2 hệ thống chỉ số để đánh số cho các bậc tự do của các nút. Đó là: Hệ thống chỉ số tổng thể: Có được bằng cách đánh số bậc tự do của toan kết cấu. Hệ thống chỉ số tổng thể để chỉ thứ tự các bậc tự do trong tập hợp tất cả các bậc tự do của toàn hệ, tức thứ tự của các bậc tự do đang xét trong
(hoặc
). Hệ thống này được đánh thứ tự từ 1, 2, 3…n =
. Hệ thống chỉ số phần tử: để chỉ thứ tự các bậc tự do trong phần tử hay thứ tự của các bậc tự do trong
(hoặc
): Được đánh số từ 1, 2, 3,..
=
(Trong đó R là số nút của cả hệ; r là số nút của phần tử; s là số bậc tự do của 1 nút). Ví dụ: Để xác định sự tương ứng của mỗi phần tử thuộc
trong
(hoặc
trong
) người ta lập ma trận chỉ số
mà giá trị của mỗi thành phần
chính là chỉ số tổng thể tương ứng bậc tự do thứ j của phần tử thứ i. Ma trận chỉ số
có số hàng bằng số phần tử của hệ, số cột bằng số bậc tự do của một phần tử. Ví dụ: Ở ví dụ trong ví dụ trên thì
có kích thước (3x4). Và
Hệ thống chỉ số tổng: 1, 2, 3, …, 8 Hệ số chỉ số phần tử 1, 2, 3, 4 Hình 11. Các hệ số chỉ số của kết cấu Chỉ số cục bộ Phần tử  Nút i  Nút j    1  2  3  4   (1)  1  2  3  4   (2)  3  4  5  6   (3)  5  6  7  8   Hay
Khi sử dụng ma trận chỉ số
để xây dựng ma trận cứng tổng thể
và véc tơ tổng thể
(hoặc
và
) ta chỉ cần nhớ rằng mỗi thành phần
của ma trận cứng phần tử
sẽ phải gộp thêm vào phần tử
của ma trận cứng tổng thể
với
và
(trong đó
,
là các giá trị của phần tử hàng i cột j của ma trận
). Tương tự, mỗi phần tử
của véc tơ
sẽ được gộp thêm vào phần tử
của
với m =
. Ví dụ: