Giáo trình Cơ sở toán học cao cấp

hàm của các hàm số sau: 1) 3 23 235 x xxy −−= ; 2) xey 12sin= ; 3) 122 += xxy ; 4) 42 4 ++−= xxy ; 5) )2(cos3 xy = ; 6) )2sin( )(cos2 x xy = ; 7) )]1ln[sin( 2 += xy ; 3. Tính đạo hàm của hàm ẩn _______________________ Tính đạo hàm dx dy của các hàm ẩn sau: 1) 322 =− yx tại (2,1) ; 2) 1222 =+ xyyx tại (3,1) ; 3) 742 23 =++ xxyy tại (1,1) ; 4) 45235 =+++ yyxxyx tại (1,1) ; Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 6 10 8 5) 2)sin(2 =+π y xy tại ) 2 ,1( π . 4. Các định lý giá trị trung bình và ứng dụng __________ Bài 1 Chứng minh rằng với mọi 11 ≤≤− x ta luôn có 2 )arccos()arcsin( π=+ xx . Bài 2 Chứng minh rằng ph−ơng trình )1ln()arctan(2 2xxx += có một nghiệm duy nhất x = 0 . Bài 3 Cho m > 0 còn a,b,c là ba số bất kỳ thoả mãn điều kiện 0 12 =++++ m c m b m a . Chứng minh rằng ph−ơng trình 02 =++ cbxax có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1). Bài 4 Chứng minh bất đẳng thức b ba b a a ba −<  <− ln . Bài 5 Cho a, b, c, d là các số bất kỳ. Chứng minh bất đẳng thức 64 3 1 cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++≤   +++    . Bài 6 Chứng minh rằng biểu thức    ++ 21 2arcsin)arctan(2 x xx nhận giá trị π nếu x≤1 và nhận giá trị π− nếu 1−≤x . Bài 7 Chứng minh rằng với hai số a, b bất kỳ a) baba −≤− sinsin ; b) baba −≤− arctanarctan . Bài 8 Cho hàm số liên tục ]1,0[]1,0[: →f có đạo hàm trên (0,1) thoả mãn f(0) = 0 và f(1) = 1. Chứng minh rằng tồn tại a,b trên (0,1) sao cho ba ≠ và f'(a).f'(b) = 1. Bài 9 Chứng minh rằng ne xxn 2 11 <− với mọi x thuộc (0,1) . 5. Bài tập nâng cao ______________________________ Bài 1 Cho 7 )7sin( 5 )5sin( 3 )3sin()sin()( xxxxxf +++= . Chứng minh rằng: 2 1 9 ' =   πf . Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 6 10 9 Bài 2 Cho hàm ( ){ }xmx n nm !coslimlim)( πχ ∞→∞→= . Chứng minh rằng )(xχ là hàm Dirichlet, tức là )(xχ =0 khi x là số vô tỷ và )(xχ =1 khi x là số hữu tỷ. Suy ra )(xχ gián đoạn tại mọi điểm x. 6. Thực hành tính toán đạo hàm ____________________ Để thực hành tính đạo hàm , hãy đ−a vào dòng lệnh có cú pháp nh− sau: [> diff(f(x),x); Trong đó f(x) là hàm số và x là biến số mà ta cần tính đạo hàm. Sau dấu (;), ấn phím "Enter" thì việc tính đạo hàm sẽ đ−ợc thực hiện và sẽ có ngay đáp số. Thí dụ [> diff(x^2*sqrt(x^2+1),x); 1 12 2 3 2 + ++ x xxx Muốn biểu diễn quá trình này một cách t−ờng minh (qua các công thức quen biết) ta dùng các thủ tục sau đây: Xác định hàm số bằng dòng lệnh có cú pháp nh− sau: [> f:=x -> Biểu thức của x Thiết lập công thức đạo hàm của f(x) theo biến x bằng dòng lệnh có cú pháp nh− sau: [> Diff(f(x),x); Tìm giá trị thực tế của biểu thức trên bằng dòng lệnh có cú pháp nh− sau: [> f_prim:=value("); Muốn rút gọn biểu thức này ta dùng lệnh: [> simplify("); Thí dụ [> f:=x->5*x^3-3*x^2-2*x^(-3); 3 23 235: x xxxf −−→= [> Diff(f(x),x);    −− 323 235 x xx x∂ ∂ [> f_prim:=value("); Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 6 11 0 4 2 6615:prim_ x xxf +−= Thí dụ [> f:=x -> ((cos(x))^2/sin(2*x)); )2sin( )cos(: 2 x xxf →= [> Diff(f(x),x); )2sin( )cos( 2 x x x∂ ∂ [> f_prim:=value("); 2 2 )2sin( )2cos()cos(2 )2sin( )sin()cos(2:prim x xx x xxf −−= [> simplify("); 2 2 )2cos(1 )cos(2 x x +− . (L−u ý rằng máy không viết )(cos2 x , nh− chúng ta hay viết, mà viết là 2)cos(x ). 111 Ch−ơng 7 ________________________________ ứng dụng của đạo hàm 7.1. Vi phân ________________________________________ 7.1.1. Khái niệm Vi phân là một khái niệm độc lập nh−ng có quan hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm. Để trình bày khái niệm này ta đ−a ra Định nghĩa Hàm số r(x) đ−ợc gọi là một đại l−ợng vô cùng bé bậc cao tại lân cận điểm a nếu nh− nó thỏa mãn điều kiện sau 0)(lim =−→ ax xr ax . Khi ấy, với axx −=∆ , ng−ời ta nói rằng r(x) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆x (tại lân cận điểm a) và ký hiệu nó là o(∆x). Nếu a = 0 thì xx =∆ và trong tr−ờng hợp này một đại l−ợng vô cùng bé (bậc cao hơn x tại lân cận điểm gốc) sẽ đ−ợc ký hiệu là o(x). Nh− vậy, theo định nghĩa ta có 0)(lim 0 =∆ ∆ →∆ x xo x . Nhớ lại rằng số gia của hàm số y = f(x) (t−ơng ứng với số gia ∆x của biến số) th−ờng đ−ợc ký hiệu là ∆y, chúng ta đ−a ra Định nghĩa Hàm f đ−ợc gọi là khả vi tại điểm ),(0 bax ∈ nếu tồn tại một số K sao cho xKy ∆−∆ . là một đại l−ợng vô cùng bé bậc cao tại lân cận điểm x0, nghĩa là )(.)()(: 00 xoxKxfxxfy ∆+∆=−∆+=∆ . Biểu thức xK ∆. đ−ợc gọi là vi phân cấp 1 của hàm f tại điểm x0 (ứng với số gia biến số là x∆ ) và đ−ợc ký hiệu là dy. Nhận xét Từ định nghĩa ta có ngay vi phân của biến số độc lập đúng bằng số gia của biến số, nghĩa là : xdx ∆= . Và vì vậy ng−ời ta còn viết vi phân của hàm số là dy = K.dx Thí dụ Hàm 2xy = là hàm khả vi tại điểm x = 1 và có vi phân tại đó là dy = 2dx, bởi vì 222 )(.21)1( xxx ∆+∆=−∆+ mà đại l−ợng 2)( x∆ rõ ràng là một vô cùng bé bậc cao (dễ dàng kiểm tra bằng định nghĩa). Ch−ơng 7. ứng dụng của đạo hàm 11 2 7.1.2. Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân Định lý f khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x . Chứng minh Giả sử f khả vi tại x , khi đó ta có )(. xoxKy ∆+∆=∆ Suy ra x xoK x y ∆ ∆+=∆ ∆ )( , và khi cho 0→∆x ta thấy rằng giới hạn x y x ∆ ∆ →∆ 0lim là tồn tại. Nh− vậy, theo định nghĩa, hàm f là có đạo hàm tại x, và ngoài ra Kxf =′ )( . Đảo lại, giả sử f có đạo hàm tại x . Khi ấy tồn tại )('lim 0 xf x y x =∆ ∆ →∆ , hay đại l−ợng )(')( xf x yxu −∆ ∆=∆ (*) sẽ tiến tới 0 khi ∆x tiến tới 0. Nh− vậy đại l−ợng )(.:)( xuxxr ∆∆=∆ sẽ là vô cùng bé bậc cao khi ∆x tiến tới 0. Biểu thức (*) có thể viết lại thành )().(')()( xoxxfxrxxfy ∆+∆=∆+∆′=∆ Điều này có nghĩa rằng f là hàm khả vi tại x, và ngoài ra dxxfdy ).(′= . Nhận xét Từ định lý trên và các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, th−ơng, hàm hợp, hàm ng−ợc,... của các hàm số ta dễ dàng tính đ−ợc vi phân của một hàm phức tạp thông qua vi phân của các hàm đơn giản Thí dụ dvduvud ±=± )( , vduudvuvd +=)( . Nhận xét Chính mối quan hệ mật thiết nêu trên giữa đạo hàm và vi phân đã dẫn đến một cách ký hiệu đạo hàm nữa, thông qua khái niệm vi phân, đó là f dx d dx df , , dx dy ,... . Xin l−u ý rằng đây là những ký hiệu mang tính hình thức (mà không có nghĩa là th−ơng của 2 đại l−ợng). 7.1.3. Vi phân và phép tính xấp xỉ Định nghĩa của vi phân cho thấy rằng nó là một xấp xỉ tốt của số gia hàm số tại lân cận điểm đang xét. Độ lệch giữa nó và số gia hàm số là không đáng kể so với độ lệch của biến số so với điểm đang xét, cho nên đại l−ợng dyxf +)( 0 sẽ là một xấp xỉ tốt của )( 0 xxf ∆+ . Nghĩa là xxfxfdxxfxfdyxfxxf ∆+=+=+≈∆+ ).(')()(')()()( 000000 . Nh− vậy, để có một xấp xỉ tốt của giá trị hàm số tại các điểm lân cận x0 ta chỉ cần biết đ−ợc giá trị và đạo hàm của hàm số tại đúng điểm x0. Chúng ta hãy minh họa điều này qua các ví dụ d−ới đây. Ch−ơng 7. ứng dụng của đạo hàm 11 3 Thí dụ Hãy tính 3 29 . Ta biết rằng không thể tính chính xác đ−ợc giá trị này, cho nên ta phải tính xấp xỉ của nó. Đặt 3)( xxf = . Khi x = 27 ta tính đ−ợc chính xác 3273 = . Ngoài ra ta còn biết rằng 3/2 3/2 )27(3 1)27( 3 1)27(' == −f . Lấy 2=∆x và áp dụng công thức xafafxaf ∆+≈∆+ )(')()( ta đ−ợc 2)27(')27(293 ff +≈ 0741,30741,03 27 23 =+=+= . Vậy 0741,3293 ≈ . Tổng quát Muốn tính giá trị hàm số f tại một điểm b nào đó thì: 1) Chọn điểm a gần điểm b mà f(a), f'(a) là tính đ−ợc. 2) Lấy abx −=∆ ( x∆ có thể d−ơng hoặc âm tùy theo vị trí của b). 3) Tính xafaf ∆+ )(')( . Đó chính là xấp xỉ của f(b). Ta viết )(')()()( afabafbf −+≈ . Thí dụ Tính giá trị xấp xỉ của hàm y = tan(x) tại các điểm gần 4 π . Ta có 1) 4 tan() 4 ( == ππf , )(sec)(' 2 xxf = , ⇒ 2)2() 4 (sec) 4 (' 22 === ππf . Vậy tại các điểm gần 4 π hàm tan(x) đ−ợc tính một cách xấp xỉ bằng ) 4 )( 4 (') 4 ()( πππ −+= xffxp ) 4 (21 π−+= x . 7.2. Công thức Taylor _______________________________ 7.2.1. Đặt vấn đề Phần trên ta đã thấy rằng hàm affine ))(()( 00 ' 0 xxxfxf −+ là một xấp xỉ khá tốt của hàm f trong lân cận của điểm 0x . Đây là cách xấp xỉ đơn giản, dễ tính toán, tuy nhiên độ chính xác không thật cao (chỉ là vô cùng bé bậc cao hơn 1 mà thôi). Khi có nhu cầu tìm một xấp xỉ với độ chính xác cao hơn, ta phải tìm ở ngoài lớp hàm affine, và lớp hàm tự nhiên đ−ợc để ý tới sẽ là lớp các hàm đa thức, tức là hàm số có dạng n no xaxaaxP +++= ...)( 1 . Lớp hàm này tuy là phi tuyến, nh−ng dễ tính toán, cho nên cũng rất phổ biến. Mở rộng trực tiếp ph−ơng pháp xấp xỉ một hàm bằng vi phân đã đ−a đến ph−ơng pháp dùng đa thức Taylor mô tả d−ới đây. Ch−ơng 7. ứng dụng của đạo hàm 11 4 7.2.2. Đa thức Taylor Cho hàm số f có đạo hàm cấp cao hơn n tại 0x . Khi ấy đa thức n n n xxn xfxxxfxxxfxfxP )( ! )(...)( !2 )())(()()( 00 )( 2 0 0 000 −++−′′+−′+= đ−ợc gọi là đa thức Taylor bậc n t−ơng ứng với hàm f tại 0x . Thí dụ Tìm đa thức Taylor bậc 5 của hàm xxf sin)( = tại điểm 0x =0. Ta có bảng tính đạo hàm cấp cao của hàm số xsin tại điểm x = 0 nh− sau: .1)0cos()0()cos()( ,0)0sin()0()sin()( ,1)0cos()0()cos()( ,0)0sin()0()sin()( ,1)0cos()0()cos()( ,0)0sin()0()sin()( )5()5( )4()4( ==⇒= ==⇒= −=−=′′′⇒−=′′′ =−=′′⇒−=′′ ==′⇒=′ ==⇒= fxxf fxxf fxxf fxxf fxxf fxxf Vậy xxffxP )0()0()(1 =′+= !3 !3 )0()0()0()( 3 5 )3( 3 xx xfxffxP −= +′+= !5!3 !5 )0(...)0()0()( 53 5 )5( 5 xxx xfxffxP +−= ++′+= Để thấy đ−ợc tính năng xấp xỉ của đa thức Taylor đối với hàm phi tuyến nói chung, và đối với hàm sin(x) nói riêng, ta hãy quan sát các đồ thị của chúng (nh− trong Hình vẽ 7.1) 7.2.3. Phần d− và dạng Lagrange của phần d− Cho hàm số f và đa thức Taylor );( axPn bậc n t−ơng ứng với f tại a. Để làm rõ khả năng xấp xỉ của đa thức Taylor, ta xem xét biểu thức );()();( axPxfaxR nn −= , còn đ−ợc gọi là phần d− hoặc sai số của hàm f khi dùng xấp xỉ là đa thức Taylor. Biểu thức );();( axRaxP nn + th−ờng đ−ợc gọi là khai triển Taylor (bậc n) của hàm f(x). Mệnh đề Nếu f có đạo hàm liên tục tới cấp (n+1) trên [a,b] , thì tồn tại số ),( bac∈ sao cho 1 )1( )( )!1( )(),( + + −+= n n n abn cfbaR . Hình 7.1 Ch−ơng 7. ứng dụng của đạo hàm 11 5 Chứng minh Ký hiệu α là số thỏa mãn 1 1 )( )( )!1( )( )1( )()()( + = −++−+=− ∑ nk n k k ab n ab n afafbf α . Xét hàm số 1 1 )( )( )!1( )( ! )()()()( + = −+−−−−= ∑ nk n k k xb n xb k xfxfbfxh α . Hàm h(x) có đạo hàm liên tục trên [a,b] và h(a) = h(b) = 0. Theo định lý giá trị trung bình ta tìm đ−ợc ),( bac∈ sao cho 0)( =′ ch , tức là nnn cb n cbcf n ch )( ! ))(( ! 1)(0 )1( −+−−=′= + α . Suy ra )()1( cf n+=α và mệnh đề đã đ−ợc chứng minh xong. Nhận xét Định lý trên cho thấy rằng khi đạo hàm cấp n+1 của f là bị chặn thì sự sai khác giữa hàm số f và đa thức Taylor của nó là một vô cùng bé bậc cao cấp n+1, và vì vậy đa thức Taylor là một xấp xỉ lý t−ởng khi n đủ lớn. 7.3. Tìm giới hạn ___________________________________ 7.3.1. Giới hạn dạng không xác định 0 0 Định lý (l’Hôpital 1): Giả sử f,g là các hàm khả vi liên tục trong lân cận điểm a thỏa mãn điều kiện f(a) = g(a) = 0. Nếu tồn tại giới hạn L xg xf ax =′ ′ → )( )(lim thì cũng tồn tại giới hạn L xg xf ax =→ )( )(lim . Chứng minh Sử dụng Định lý Rolle cho hàm )()]()([)()]()([)( ygxfafyfagxgyF −+−= ta tìm đ−ợc điểm ζ nằm giữa a và x sao cho )()]()([)()]()([ ζζ fagxggafxf ′−=′− . Để ý rằng f(a)=g(a)=0 ta có )()()()( ζζ fxggxf ′=′ . Do sự tồn tại của giới hạn L xg xf ax =′ ′ → )( )(lim ta suy ra rằng g'(x) ≠ 0 tại những điểm khác a trong lân cận đủ nhỏ của điểm a và theo định lý giá trị trung bình g(x) ≠ 0 tại những điểm x ≠ a trong một lân cận đủ bé của a. Nh− vậy từ đẳng thức trên ta suy ra )( )( )( )( ζ ζ g f xg xf ′ ′= . Để ý rằng khi x tiến dần tới a thì ζ cũng tiến dần tới a (do bị kẹp giữa x và a), cho nên từ đây ta có ngay điều cần chứng minh. Ch−ơng 7. ứng dụng của đạo hàm 11 6 7.3.2. Giới hạn dạng không xác định ∞ ∞ Định lý (l’Hôpital 2) Giả sử f,g là các hàm khả vi liên tục trong lân cận điểm a và thỏa mãn điều kiện ∞== →→ )(lim)(lim xgxf axax . Khi đó nếu tồn tại giới hạn Lxg xf ax =′ ′ → )( )(lim thì cũng tồn tại giới hạn L xg xf ax =→ )( )(lim . Chứng minh Từ điều kiện L xg xf ax =′ ′ → )( )(lim , ta tìm đ−ợc số d−ơng M và, với mỗi số d−ơng (đủ nhỏ) ε, tồn tại δ1 > 0 sao cho ε<− Lxg xf )(' )(' , M xg xf < )(' )(' khi 1|| δ<− ax . Chú ý rằng với mỗi 0x thoả mãn 10 || δ<− ax ta có )(/)(1 )(/)(1 . )()( )()( )]()()[( )]()()[( . )()( )()( )( )( 0 0 0 0 0 0 0 0 xfxf xgxg xgxg xfxf xfxfxg xgxgxf xgxg xfxf xg xf − − − −=− − − −= Đặt )(/)(1 )(/)(1),( 0 0 0 xfxf xgxgxxI − −= ta thấy 1),(lim 0 =− xxIax cho nên tồn tại số d−ơng 1δδ ≤ sao cho )2/(|1),(| 0 MxxI ε≤− . Mặt khác, do Định lý Cauchy ta tìm đ−ợc điểm c nằm giữa x và xo thoả mãn )(' )(' )()( )()( 0 0 cg cf xgxg xfxf =− − . Tổng hợp lại, với mỗi số d−ơng ε ta đã tìm đ−ợc số d−ơng δ > 0 sao cho với δ<− || ax thì ≤−+−≤−=− .]11),([ )(' )('),( )(' )(' )( )( 00 LxxIxg xfLxxI xg xfL xg xf ≤ εεε =+≤−+− M MxxI xg xfL xg xf 2 . 2 ]1),([ )(' )(' )(' )(' 0 , nghĩa là ta có điều cần chứng minh. 7.4. Nguyên lý cực trị của hàm số ____________________ 7.4.1. Điều kiện cần bậc nhất Cho hàm f xác định trên khoảng (a,b). Ta nói rằng f đạt cực trị địa ph−ơng tại ),( bac∈ nếu tìm đ−ợc lân cận của c (trong khoảng (a,b)) để f đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên lân cận này tại điểm c. Dĩ nhiên, nếu f đạt cực trị trên (a,b) tại ),( bac∈ thì nó cũng đạt cực trị địa ph−ơng tại c, nh−ng điều ng−ợc lại không đúng. Thí dụ hàm |1|)( 2 −= xxf đạt cực đại địa ph−ơng tại x = 0, nh−ng không đạt cực đại trên khoảng (-2,2) tại điểm đó. Ch−ơng 7. ứng dụng của đạo hàm 11 7 Định lý Cho hàm f xác định trên (a,b) và đạt cực trị địa ph−ơng tại ),( bac∈ . Nếu f khả vi tại c thì .0)( =′ cf Chứng minh Đây chính là Định lý Fermat đã đ−ợc chứng minh trong ch−ơng tr−ớc. Chú ý Mệnh đề ng−ợc lại của định lý trên là không đúng. Từ tính suy thoái của đạo hàm (bằng 0) tại điểm 0x ch−a thể suy ra 0x là cực trị của hàm số. Thí dụ, hàm số 3xy = có đạo hàm suy thoái tại x = 0, nh−ng không đạt cực trị tại 0. 7.4.2. Điều kiện đủ bậc nhất Mệnh đề Cho hàm f liên tục trong lân cận ),( 00 δδ +− xx của điểm 0x và giả sử rằng f có đạo hàm tại mọi điểm trong lân cận ấy. i. Nếu khi x đi qua 0x mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang d−ơng thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x . ii. Nếu khi x đi qua 0x mà đạo hàm đổi dấu từ d−ơng sang âm thì hàm số đạt cực đại tại 0x iii. Nếu khi x đi qua 0x mà đạo hàm không đổi dấu thì 0x không phải là cực trị . Chứng minh Giả thiết điều kiện đầu tiên của định lýthoả mãn. Nếu 0x không phải là điểm cực tiểu, ta sẽ tìm đ−ợc điểm x trong khoảng ),( 00 δδ +− xx sao cho f(x) < f( 0x ). Theo định lýgiá trị trung bình, tồn tại điểm c trong khoảng giữa x và 0x sao cho ))((')()( 00 xxcfxfxf −=− . Vậy, nếu x 0, và nếu x > 0x thì f’(c) < 0. Chứng tỏ f’(x) không thể đổi dấu từ âm sang d−ơng khi qua 0x , điều này trái với giả thiết. Các điều kiện khác chứng minh t−ơng tự. 7.4.3. Điều kiện cực trị bậc 2 Mệnh đề Cho hàm f khả vi liên tục trên (a,b) và có đạo hàm bậc hai liên tục tại điểm ),( bac∈ : i. Nếu f đạt cực tiểu địa ph−ơng tại c thì f'(c) = 0 và 0)( ≥′′ cf . Ng−ợc lại, nếu f'(c) = 0 và 0)( >′′ cf thì f có cực tiểu địa ph−ơng tại c. ii. Nếu f đạt cực đại địa ph−ơng tại c thì f'(c) = 0 và 0)( ≤′′ cf . Ng−ợc lại, nếu f'(c) = 0 và 0)( <′′ cf thì f có cực đại địa ph−ơng tại c. Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh phần (i), phần còn lại chứng minh t−ơng tự. Điều kiện cần: Tính suy biến của đạo hàm bậc nhất tại điểm c đã đ−ợc chỉ ra trong Định lý Fermat. Ta chỉ cần chứng minh tính không âm của đạo hàm bậc 2 tại điểm c. Từ khai triển Taylor ta có 2 " ' )( !2 )())(()()( cxfcxcfcfxf −+−+= ς trong đó ς là điểm nằm trong khoảng (x,c). Do 0)(' =cf nên với cx ≠ ta có )(" ςf = )]()([)(2 2 cfxfcx −− − . Ch−ơng 7. ứng dụng của đạo hàm 11 8 Khi cho x tiến dần đến c thì vế phải luôn luôn không âm (vì c là điểm cực tiểu) và vế trái tiến dần tới f’’(c) (vì f’’(.) là hàm liên tục và ζ luôn nằm giữa x và c). Điều này có nghĩa rằng f’’(c) là không âm và điều kiện cần đã đ−ợc chứng minh xong. Điều kiện đủ: Giả sử f'(c) = 0 và 0)( >′′ cf . Vì 0)(")(')('lim)('lim 00 >=∆ −∆+=∆ ∆+ →∆→∆ cf x cfxcf x xcf xx nên khi x∆ đủ nhỏ, )(' xcf ∆+ cùng dấu với x∆ . Chứng tỏ đạo hàm đổi dấu từ âm sang d−ơng khi x đi qua c, và vì vậy hàm số đạt cực tiểu tại c. Mệnh đề đã đ−ợc chứng minh xong. 7.5. Khảo sát các tính chất của hàm số _______________ 7.5.1. Tính đơn điệu Mệnh đề Hàm khả vi là đơn điệu tăng (giảm) khi và chỉ khi đạo hàm của nó không âm (không d−ơng). Chứng minh (⇒) Nếu f là hàm khả vi và đơn điệu tăng thì ta có 0 )()( ≥∆ −∆+ x xfxxf với mọi 0>∆x . Suy ra 0)()(lim)( 0 ≥∆ −∆+=′ +→∆ x xfxxfxf x . T−ơng tự, nếu f là đơn điệu giảm ta có 0)( ≤′ xf . (⇐) Cho 12 xx > bất kỳ. Theo định lý giá trị trung bình ta có )()()( 12 12 cf xx xfxf ′=− − với c là một điểm nào đó trên khoảng ),( 21 xx . Từ đây ta suy ra rằng )]()([ 12 xfxf − là cùng dấu với )(cf ′ , và do đó f sẽ là đơn điệu tăng khi f' là không âm, và là đơn điệu giảm khi f' là không d−ơng. Mệnh đề đã đ−ợc chứng minh. 7.5.2. Tính lồi Mệnh đề Hàm khả vi là lồi khi và chỉ khi đạo hàm của nó là một hàm đơn điệu tăng. Chứng minh (⇒) Nếu f là hàm lồi thì với mọi )1,0(,, 21 ∈∈ tRxx ta có )( )( )(])1([)(])1([ )()( 21 21 221221 21 xxxxt xfxttxf t xfxttxfxfxf −− −−+=−−+≥− Cho t giảm dần về 0 ta có ))(()()( 21221 xxxfxfxf −′≥− . Ch−ơng 7. ứng dụng của đạo hàm 11 9 T−ơng tự ta cũng có ))(()()( 12112 xxxfxfxf −′≥− . Bằng cách cộng 2 bất đẳng thức trên theo vế ta thu đ−ợc ))](()([))(())((0 1221212121 xxxfxfxxxfxxxf −′−′=−′+−′≥ . Điều này suy ra f là hàm đơn điệu tăng. (⇐) Ng−ợc lại, giả sử f'(.) là hàm đơn điệu tăng, ta sẽ chỉ ra rằng f là hàm lồi. Bằng phản chứng, giả sử rằng f không lồi, khi đó tìm đ−ợc các điểm a < b và số α ∈ (0,1) sao cho )()1()( ])1([ bfafbaf αααα −+>−+ . Đặt bac )1( αα −+= , ta có a < c < b và α = (b-c)/(b-a). Nh− vậy, )()()( bf ab acaf ab cbcf − −+− −> . Từ đây suy ra cb cfbf ac afcf − −>− − )()()()( . Theo định lý giá trị trung bình ta tìm đ−ợc các điểm ),(),,( 21 bcca ∈∈ ζζ sao cho )()()()()()( 21 ζζ fab afbf ac afcff ′=− −>− −=′ . Điều này mâu thuẫn với tính đơn điệu tăng của hàm f'(.), vì rõ ràng là 21 ζζ < . Mệnh đề đã đ−ợc chứng minh đầy đủ. Hệ quả Hàm khả vi bậc 2 là lồi khi và chỉ khi đạo hàm bậc 2 của nó không âm. Chứng minh Suy ra từ 2 định lý trên. 7.5.3. Điểm uốn Cho đ−ờng cong y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b). Với ),( bac∈ , ta nói điểm M(c, f(c)) là điểm uốn của đồ thị nếu tìm đ−ợc một số 0>δ sao cho hàm số lồi trên khoảng ),( cc δ− và lõm trên khoảng ),( δ+cc , hoặc ng−ợc lại, hàm số lõm trên khoảng ),( cc δ− và lồi trên khoảng ),( δ+cc . Nhận xét Có thể nói một cách ngắn gọn nh− sau: Điểm uốn là điểm mà tại đó đồ thị hàm số chuyển từ lõm sang lồi hoặc ng−ợc lại. Từ mệnh đề ở phần trên, ta dễ dàng suy ra: Mệnh đề Giả sử tồn tại một số 0>δ sao cho hàm số )(xfy = có đạo hàm bậc hai trên khoảng ),( δδ +− cc . Khi ấy i. Nếu "f đổi dấu khi x đi qua c thì M(c, f(c)) là điểm uốn của đồ thị. ii. Nếu "f không đổi dấu khi x đi qua c thì M(c, f(c)) không phải là điểm uốn của đồ thị hàm số . Ch−ơng 7. ứng dụng của đạo hàm 12 0 Chứng minh Từ (i) suy ra: khi đối số x đi qua c thì đồ thị hàm số đổi miền lồi sang lõm hoặc ng−ợc lại. Chứng tỏ M(c, f(c)) là điểm uốn của đồ thị hàm số. Trong tr−ờng hợp (ii) tính lồi (lõm) của đồ thị hàm số vẫn giữ nguyên. Do đó điểm M(c, f(c)) không là điểm uốn. Thí dụ Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số 34 34 +−= xxy . Ta có: 23 124' xxy −= ; xxy 2412" 2 −= ; 0"=y khi 0=x hoặc 2=x . Vì y” là tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt nên qua điểm nghiệm 0=x và 2=x nó đổi dấu. Chứng tỏ hàm số đổi miền lồi sang lõm hoặc lõm sang lồi. Đồ thị hàm số có hai điểm uốn )3,0(1M và )13,2(2 −M . 121 _________________________________ Bài tập và Tính toán thực hành Ch−ơng 7 1. Đạo hàm bậc cao _____________________________ Bài 1 Tính đạo hàm bậc hai của các hàm số sau: 1) 1+= x xy ; 2) 1 2 −= x xy ; 3) x xy 12 −= ; 4) xy = ; 5) x xy )sin(= ; 6) )tan( 2xy = ; 7) x xy 21 )3tan( += . Bài 2 Tìm đạo hàm bậc 10 tại x = 0 của hàm số )2cos(2 xxy = Bài 3 Chứng minh rằng biểu thức 2)( 2 3 y y y yz ′ ′′′−′ ′′′= không đổi khi thay y bởi y 1 . Bài 4 Giả sử f(x) là một hàm chẵn, hai lần khả vi liên tục và f"(0) khác 0. Chứng minh rằng x = 0 là điểm cực trị của hàm số. Bài 5 Cho    −= xexf 1 )( khi 0>x và f(x) = 0 khi 0≤x . Chứng minh rằng f(x) khả vi vô hạn lần. 2. Khai triển Taylor của hàm số _____________________ Bài 1 Tìm khai triển Taylor bậc 5 của các hàm số sau tại điểm x = 0 1) )cos()sin( xxy += ; 2) )sin(xxy = ; 3) )sin(xey x= ; 4) y = tan(x) + cot(x) ; 5) )( 2xey −= ; 6) y = arcsin(x) + sin(x) . Bài 2 Tìm khai triển Taylor bậc 6 của các hàm số sau đây tại điểm x = 1 1) x xy )sin(= ; 2) )cos()sin( xxy = ; 3) 132743 234710 ++++++= xxxxxxy Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 7 12 2 4) x xy 1)sin( += ; 5) x x e x x ey )sin( )sin( += ; 6) )1arcsin()2( −+= + xxey x . 3. Khảo sát hàm số và ứng dụng ____________________ 3.1. Tính đơn điệu Bài 1 Tính đạo hàm bậc nhất và khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau: 1) xexy 2= ; 2) )1ln( 2 += xxy ; 3) 2 )arctan( xexy −= ; 4) 2 3 −= x xy . Bài 2 Chứng minh rằng f'(x) + af(x) không giảm khi và chỉ khi axexf )(′ không giảm. 3.2. Sử dụng tính đơn điệu để giải ph−ơng trình và bất ph−ơng trình Bài 1 Tìm các nghiệm âm của ph−ơng trình 032 56 =−− xx . Bài 2 Giải bất ph−ơng trình ).16()4(6 282 ++<− xxxx Bài 3 Giải hệ ph−ơng trình    =+−+−+ =+−+−+ =+−+−+ xzzxz zyyxy yxxxx )1ln(33 )1ln(33 )1ln(33 23 23 23 Bài 4 Cho biết 032 =+ cb . Chứng minh rằng ph−ơng trình 0)cos()2cos( =++ cxbxa luôn luôn có nghiệm thuộc khoảng ) 2 ,0( π . 3.3. Sử dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Bài 1 Chứng minh rằng )ln(11 x x ≤− với mọi )1,0(∈x . Bài 2 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi 0≥x : )1ln(2 xaxx +≤− Bài 3 Chứng minh rằng với mọi x d−ơng thì )cos( 2 1 2 xx <− . Bài 4 Cho 2 0 π<<< ba . Chứng minh rằng )sin()sin()]cos()[cos(2 bbaaab −<− . Bài 5 Chứng minh rằng y xyxyx + +<+−− 1 1ln2))(2)(( với mọi x > y > 0. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 7 12 3 3.4. Khảo sát tính lồi, lõm của hàm số Tính đạo hàm bậc hai và xét tính lồi, lõm của các hàm số sau: Bài 1 1) 45 53 xxy −= ; 2) x xy 1 2 2 += . Bài 2 1) 2xxey −= ; 3) xexy += )tan( . 3.5. Khảo sát các điểm đặc biệt của hàm số Tìm các điểm đặc biệt (điểm cực trị,điểm uốn) của các hàm số sau: Bài 1 1) 234 64 xxxy +−= ; 2) 264 234 −++= xxxy . Bài 2 1) 23 1 2 +−= xxy ; 2) 1 1 2 3 + += x xy . 3.6. Tìmgiá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: 2 2 1 1 xx xxy ++ +−= . Bài 2 Chứng minh rằng với mọi 0≠a , hàm số 1 2)1( 2 2 ++ +++= xx xaxy luôn có cực trị. Bài 3 Dùng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị của các hàm số sau: 1) 22 )( xaxy −= 2) )(2 xexy −= Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ) 2 ,0(sincos π≤≤= xxxxy qp , trong đó p và q là những số tự nhiên lớn hơn 1. 4. Tính giới hạn dạng không xác định _______________ Bài 1 Sử dụng quy tắc l’Hôpital để tính các giới hạn sau ; 1)cos( 1lim)2;)cos(1lim)1 020 − −−− →→ x xe x x x xx )ln( )ln(lim)4; 1)cos( )sin(lim)3 00 axxx ee ax x xx − − − − →→ . Bài 2 Giải thích tại sao các giới hạn sau không dùng đ−ợc quy tắc l’Hôpital, và tính các giới hạn đó bằng cách khác: ;)cos(lim)2; )( )sin(lim)1 0 x xx x xx xx ++ ∞→→ cot Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 7 12 4 )sin( )1sin( lim)4;1lim)3 2 0 2 x x x x x xx →∞→ + . Bài 3 Tính )(cot )sin(lim 0 x xx x + → . 5. Thực hành tính toán trên máy ____________________ 5.1. Tính đạo hàm bậc cao trên máy Ta tính đạo hàm cấp 2 bằng cách tính 2 lần đạo hàm bậc nhất. Nghĩa là ta sẽ làm những b−ớc sau: 1. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm f(x) và thu đ−ợc hàm g(x) = f'(x); 2. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm g(x) để có đ−ợc hàm g'(x) = f"(x): B−ớc 1: Vào lệnh [> diff(f(x),x); Trong đó, f(x) là hàm mà ta cần tính đạo hàm,