Giáo trình Giải toán bằng phương pháp hàm số

CHƯƠNG I. HÀM SỐ BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. y = f (x) đồng biến / (a, b) Û ta có 2. y = f (x) nghịch biến / (a, b) Û ta có 3. y = f (x) đồng biến / (a, b) Û ¦¢(x) ³ 0 "xÎ(a, b) đồng thời ¦¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm Î (a, b). 4. y = f (x) nghịch biến / (a, b) Û ¦¢(x) £ 0 "xÎ(a, b) đồng thời ¦¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm Î (a, b). b a x 5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm đổi dấu tại điểm 6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Giả sử y = ¦(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại . Khi đó: Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì Hàm bậc nhất trên đoạn đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút a; b II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH b x a v(x) u(x) 1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị với đồ thị . 2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ³ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị nằm ở phía trên so với phần đồ thị . 3. Nghiệm của bất phương trình u(x) £ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị nằm ở phía dưới so với phần đồ thị . 4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị . a b x y = m 5. BPT u(x) ³ m đúng "xÎI Û 6. BPT u(x) £ m đúng "xÎI Û 7. BPT u(x) ³ m có nghiệm xÎI Û 8. BPT u(x) £ m có nghiệm xÎI Û III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số Bài 1. Cho hàm số a. Tìm m để phương trình ¦(x) = 0 có nghiệm xÎ[1; 2] b. Tìm m để bất phương trình ¦(x) £ 0 nghiệm đúng "xÎ[1; 4] c. Tìm m để bất phương trình ¦(x) ³ 0 có nghiệm xÎ Giải: a. Biến đổi phương trình ¦(x) = 0 ta có: . Để ¦(x) = 0 có nghiệm xÎ[1; 2] thì b. Ta có "xÎ[1; 4] thì Û Û . Do giảm trên [1; 4] nên ycbt Û c. Ta có với xÎ thì Û . Đặt . Xét các khả năng sau đây: + Nếu thì bất phương trình trở thành nên vô nghiệm. + Nếu thì BPT có nghiệm . Do giảm / nên ycbt + Nếu thì nên BPT có nghiệm . Ta có . Do đó nghịch biến nên ta có Kết luận: ¦(x) ³ 0 có nghiệm xÎ Bài 2. Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng "x ³ 1 Giải: BPT . Ta có suy ra tăng. YCBT Bài 3. Tìm m để bất phương trình đúng Giải: Đặt thì đúng . Ta có nên nghịch biến trên suy ra ycbt Û Bài 4. Tìm m để phương trình: có nghiệm. Giải: Điều kiện . Biến đổi PT . Chú ý: Nếu tính rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn. Thủ thuật: Đặt Suy ra: và tăng; > 0 và giảm hay và tăng tăng. Suy ra có nghiệm Bài 5. Tìm m để bất phương trình: có nghiệm. Giải: Điều kiện . Nhân cả hai vế BPT với ta nhận được bất phương trình . Đặt Ta có . Do và tăng ; và tăng nên tăng Khi đó bất phương trình có nghiệm Bài 6. Tìm m để nghiệm đúng Cách 1. BPT đúng Lập bảng biến thiên suy ra Max Cách 2. Đặt . Ta có . Khi đó bất phương trình trở thành . Ta có: Þ tăng nên Bài 7. Tìm m để đúng Giải: Đặt Þ Þ Xét ycbt Bài 8. (Đề TSĐH khối A, 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm thực. t 0 1 + 0 – 0 – 1 Giải: ĐK: , biến đổi phương trình . Đặt . Khi đó Ta có . Do đó yêu cầu x 2 + 0 Bài 9. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi , phương trình luôn có đúng hai nghiệm phân biệt. Giải: Điều kiện: . Biến đổi phương trình ta có: . ycbt có đúng một nghiệm thuộc khoảng . Thật vậy ta có: . Do đó đồng biến mà liên tục và nên có đúng một nghiệm Î. Vậy , phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 10. (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: Giải: Đặt Ta có: Đặt x 0 2 6 + 0 – f(x) Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt Bài 11. (Đề TSĐH khối D, 2007): Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Giải: Đặt ta có và Khi đó hệ trở thành Û là nghiệm của phương trình bậc hai Hệ có nghiệm có 2 nghiệm thỏa mãn . Lập Bảng biến thiên của hàm số với t – 2 2 5/2 + – – 0 + + 22 2 7/4 + Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm Bài 12. (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001): Tìm x để bất phương trình đúng với . Giải: Đặt , BPT Do đồ thị là một đoạn thẳng với nên Bài 13. Cho Chứng minh rằng: Giải: BĐT trong đó . Như thế đồ thị là một đoạn thẳng với . Ta có nên suy ra . Vậy . Đẳng thức xảy ra . Bài 14. (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984): Cho . Chứng minh rằng: . Giải: Đồ thị với là một đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút và Do đồ thị là một đoạn thẳng với và ; nên . Đẳng thức xảy ra Bài 15. Chứng minh rằng: . Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có Đồ thị là một đoạn thẳng với nên Ta có Bài 16. CMR: Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có: Đồ thị là một đoạn thẳng nên Ta có Đồ thị là một đoạn thẳng nên Ta có Þ . Vậy hay ta có (đpcm)