Khóa luận Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác

) 2(ad + bc) + 1 = (a + d)2 − (b + c)2 2(ad + bc) = (a + d + b − c)(a + d + c − d) 2(ad + bc) Suy ra: cos2 A 2 = (p− c)(p − b) (ad + bc) ⇔ cos A 2 = √ (p− c)(p− b) (ad + bc) Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 61 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Ta lại có: cosA = 1 − 2 sin2 A 2 ⇒ 1 − 2 sin2 A 2 = (a2 + d2)− (b2 + c2) 2(ad + bc) ⇔ 2 sin2 A 2 = 1− (a 2 + d2)− (b2 + c2) 2(ad + bc) = (b + c)2 − (a + d)2 2(ad + bc) = (b + c + a− d)(b + c + d − a) 2(ad + bc) Suy ra: sin2 A 2 = (p− a)(p− d) (ad + bc) ⇔ sin A 2 = √ (p − a)(p− d) (ad + bc) Ta có: SABCD = ad sinA 2 + bc sinC 2 = (ad + bc) sinA (Do sinA = sinC) = (ad + bc) sin A 2 cos A 2 = (ad + bc) √ (p− c)(p− b) (ad + bc) √ (p − a)(p− d) (ad + bc) = √ (p− a)(p− b)(p− c)(p− d) *Trường hợp đặc biệt: Tứ giác vừa nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn Với a,b,c,d là độ dài các cạnh của tứ giác vừa nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn, chứng minh rằng: S = √ abcd Chứng minh Theo kết quả bài trên, với tứ giác nội tiếp ta có: S = √ (p − a)(p− b)(p− c)(p − d) Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 62 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Vì tứ giác ngoại tiếp được một đường tròn nên suy ra: a + c = b + d = p Khi đó: p − a = c ; p− c = a p − b = d ; p− d = b Suy ra S = √ abcd (đpcm) Bài toán 2.14 Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các cặp điểm lại với nhau bằng những đoạn thẳng. Gọi M là độ dài đoạn dài nhất và m là độ dài đoạn ngắn nhất. Chứng minh rằng: M m ≥ √3 Bài giải A B C M3 M2M1 Nhận thấy trong 6 điểm đã cho tồn tại 3 điểm lập thành tam giác có một góc ≥ 1200.Bởi vì: 1) Nếu 6 điểm tạo thành hình lục giác thì ta có: Tổng 6 góc của hình lục giác bằng 7200 nên theo nguyên lý Derichle tồn tại ít nhất một góc ≥ 1200 2) Nếu 6 điểm không tạo thành hình lục giác thì tồn tại 3 điểm tạo thành một tam giác và có một điểm nằm trong tam giác đó(như hình vẽ) Khi đó ta có: ∠M1 + ∠M2 + ∠M3 = 3600 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 63 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Suy ra theo nguyên lý Derichle tồn tại ít nhất một góc ≥ 1200 Gọi 3 điểm đó là A,B,C với ∠BAC ≥ 1200 Ta có: BC ≤ M ( vì M là độ dài đoạn dài nhất) Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC ta được: M2 ≥ BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AC. cosA1200 Vì A ≥ 1200 ⇒ cosA ≤ −1 2 ⇒ − cosA ≥ 1 2 ⇒ M2 ≥ AB2 + AC2 + AB.AC. Ta có: AB2 + AC2 + AB.AC ≥ m2 + m2 + 2.m.m.1 2 = 3m2 ( vì m là độ dài đoạn ngắn nhất) ⇒ M2 ≥ 3m2 Vậy M m ≥ √3 ⇒Đpcm Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 64 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài tập Bài tập 2.1 Cho tam giác ABC có: b = 14; c = 10;A = 1450 Tính góc các B,C Bài tập 2.2 Cho M ABC có a = √ 6, b = 2, c = (1 + √ 3). Tính các góc A,B và chiều cao ha của tam giác ABC Bài tập 2.3 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có: 1. cosB + cosC = 2 b + c a . sin2 A 2 2. sin(A−B) sin(A + B) = a2 − b2 c2 Bài tập 2.4 Chứng minh đẳng thức trong tam giác ABC: ha = 2R sinB. sinC Bài tập 2.5 Chứng minh đẳng thức trong tam giác: 1. a− b a + b = tg A − B 2 .tg C 2 2. a cosA + b cosB + c cosC = 2S R Bài tập 2.6 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có: (b + c) cosA + (c + a) cosB + (a + b) cosC = a + b + c Bài tập 2.7 Tam giác ABC có: cos A 2 = 1 2 √ b2 + c2 bc Chứng minh rằng: a2 = 2bc Bài tập 2.8 Cho M ABC có BC=a, CA=b, AB=c. Chứng minh rằng: a = b cosC + c cosB Bài tập 2.9 Tam giác ABC có: sin A 2 sin B 2 = sin A 2 1. Chứng minh rằng: tg A 2 .tg B 2 = 1 2 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 65 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác 2. Chứng minh rằng: a + b = 3c Bài tập 2.10 Cho tam giác ABC cân tại A với A=200, BC=a,AB=b Chứng minh: a3 + b3 = 3ab2 Bài tập 2.11 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có: 1. cos A 2 = √ p(p− a) bc 2. sin A 2 = √ (p − b)(p− c) bc 3. tan A 2 = √ (p− b)(p− c) p(p − a) Bài tập 2.12 Tam giác ABC là nhọn, vuông hay tù nếu trong tam giác đó có: 2 √ sin3 A + 2 √ sin3 B = 2 √ sin3 C Bài tập 2.13 Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB=a ; đáy lớn CD=b ; cạnh bên AD=c , BC=d ; đường chéo AC=p ; BD=q. Chứng minh rằng: p2 + q2 = c2 + d2 + 2ab Bài tập 2.14 Ba cạnh của M ABC lập thành cấp số cộng(a<b<c) a) Chứng minh rằng: cotg A 2 , cotg B 2 , cotg C 2 cũng lập thành cấp số cộng b) Chứng minh rằng: ac = 6Rr c) Ngược lại,chứng minh rằng nếu trong tam giác: ac=6Rr thì a,b,c lập thành cấp số cộng Bài tập 2.15Tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn a) M là điểm thay đổi trên đường tròn, chứng minh rằng tổng: MA2+ MB2 + MC2 không thay đổi b) N là điểm thay đổi trên đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng tổng NA2 + NB2 +NC2 luôn không đổi Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 66 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài tập 2.16 Xét M ABC với độ dài các cạnh: AB=c,AC=b,BC=a. Tính diện tích tam giác biết rằng: b sinC(b cosC + c cosB) = 20 Bài tập 2.17 Với a,b,c >0, chứng minh rằng:√ a2 − ab + b2 + √ b2 − bc + c2 ≥ √ a2 + ac + c2 Lời giải O A B C a b c 600 600 Bài tập 2.1 Theo định lý côsin ta có: a2 = b2 + c2 − 2bc cosA = 142 + 102 − 2.14.10. cos 1450 ≈ 196 + 100 − 280.(−0, 8191) ≈ 525, 35 ⇒ a ≈ 23 Theo định lý sin: a sinA = b sinB ⇒ sinB = b. sinA a = 14. sin 1450 23 ≈ 0, 349 ⇒ B = 20026′ ⇒ C = (1800 − (A+ B) ≈ 1800 − 1450 − 20026′ ≈ 14034′ Bài tập 2.2 Theo định lý côsin ta có: cosA = b2 + c2 − a2 2bc = 22 + (1 + √ 3)2 − 6 2.2.(1 + √ 3) = 1 2 ⇒ A = 600 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 67 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác cosA = b2 + c2 − a2 2bc = (1 + √ 3)2 + 6 − 4 2. √ 6.(1 + √ 3) = √ 2 2 ⇒ B = 450 Ta có: sinB = ha c ⇒ ha = c. sinB = (1 + √ 3). sin 450 = (1 + √ 3). √ 2 2 Bài tập 2.3 1. Ta có: V P = 2 ( sinB + sinC sinA ) . sin2 A 2 ⇒ V P = 4 cos A 2 . cos B − C 2 2 sin A 2 . cos A 2 . sin2 A 2 = = 2 cos B − C 2 . cos B +C 2 = cosB + cosC = V T 2. Ta có: V P = sin2 A− sin2 B sin2 C = (sinA − sinB)(sinA + sinB) sin2 C = = 2 sin A− B 2 cos A + B 2 .2 cos A−B 2 . sin A + B 2 sin2 C = sin(A− B). sin(A + B) sinC sin(A + B) = sin(A−B) sin(A + B) = V T Bài tập 2.4 Ta có: ha = 2S a mà S = abc 4R ⇒ ha = 2abc 2aR = bc 2R Theo định lý sin ta có: b = 2R. sinB c = 2R. sinC Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 68 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇒ ha = 2R sinB.2R sinC 2R = 2R sinB. sinC ⇒ Đpcm Bài tập 2.5 1. Ta có: V T = sinA − sinB sinA + sinB = 2 sin C 2 . sin A− B 2 2 cos C 2 . cos A− B 2 = tg A− B 2 tg C 2 = V P 2. Ta có: V T = R(sin 2A + sin 2B + sin 2C) = 4R sinA sinB sinC = = 2abc 4R2 = 2S R = V P Bài tập 2.6 Theo định lý sin ta có: V T = 2R ((sinB + sinC) cosA + (sinC + sinA) cosB + (sinA + sinB) cosC) ⇒ V T = 2R(sinB cosA + sinC cosA + sinC cosB + sinA cosB+ +sinA cosC + sinB cosC) ⇒ V T = 2R (sin(A + B) + sin(B + C) + sin(C + A)) ⇒ V T = 2R (sinC + sinA + sinB) = (a + b + c) = V P Bài tập 2.8 Theo định lý côsin ta có: b2 = a2 + c2 − 2ac cosB ⇒ c. cosB = a 2 + c2 − b2 2a (1) Ta lại có: c2 = a2 + b2 − 2ab cosC ⇒ b. cosC = a 2 + b2 − c2 2a (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: b cosC + c cosB = 2a2 2a = a ⇒ Đpcm. Bài tập 2.10 Tam giác ABC cân tại A và A=200 ⇒ B = C = 800 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 69 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Theo định lý sin ta có: a = 2R sinA ; b = 2R sinB ⇒ a = 2R sin 200 = 4R sin 100 cos 100 b = 2R sin 800 = 2R cos 100 ⇒ a = 4R sin 100 cos 100 = 2b sin 100 Ta có: a3 + b3 = (2b sin 100)3 + b3 = 2b3(4 sin3 100 + 1 2 ) = 2b3(4 sin3 100 + sin 300) = = 2b3(4 sin3 100 + sin 100 − 4 sin3 100) = 3.(2b sin 100).b2 = 3ab2 Vậy a3 + b3 = 3ab2 Bài tập 2.11 1. Ta có: cosA = 2 cos2 A 2 − 1 Theo định lý hàm số côsin ta có: cosA = b2 + c2 − a2 2bc ⇒ 2 cos2 A 2 − 1 = b 2 + c2 − a2 2bc ⇔ 2 cos2 A 2 = b2 + c2 − a2 2bc + 1 = (b + c)2 − a2 2bc = (b + c + a)(b + c− a) 2bc ⇔ cos2 A 2 = p(p− a) bc ⇔ cos2 A 2 = √ p(p − a) bc 2. Ta có: cosA = 1 − 2 sin2 A 2 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 70 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Theo định lý hàm số côsin ta có: cosA = b2 + c2 − a2 2bc ⇒ 1− 2 sin2 A 2 = b2 + c2 − a2 2bc ⇔ 2 sin2 A 2 = 1 − b 2 + c2 − a2 2bc = a2 − (b− c)2 2bc = (a + b− c)(a+ c − b) 2bc ⇔ sin2 A 2 = (p − b)(p− c) bc ⇔ sin2 A 2 = √ (p − b)(p− c) bc 3. Ta có tan A 2 = sin A 2 cos A 2 = √ (p− b)(p− c) bc√ p(p− a) bc = √ (p− b)(p− c) p(p − a) Bài tập 2.12 Ta có: 2 √ sin3 A + 2 √ sin3 B = 2 √ sin3 C ⇒ (a) 3 2 + (b) 3 2 = c 3 2 , suy ra c là cạnh lớn nhất trong tam giác. ⇒ (a c )3 2 + ( b c )3 2 = 1 Ta có: (a c )2 < (a c )3 2 ⇒ (a c )2 < ( b c )3 2 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 71 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇒ a2 + b2 < c2 ⇒ cosC = a 2 + b2 − c2 2ab < 0 Vậy tam giác ABC tù Bài tập 2.13 Kẻ AH⊥DC và BK⊥DC. A B CD H K a c d b q p áp dụng định lý côsin vào M ABC và M ABD ta có:p2 = a2 + d2 − 2ad cosBq2 = a2 + c2 − 2ac cosA ⇔ p2 = a2 + d2 + 2ad cosCq2 = a2 + c2 + 2ac cosD Suy ra: p2 + q2 = 2a2 + c2 + d2 + 2a(d cosC + c cosD) ⇒ p2 + q2 = 2a2 + c2 + d2 + 2a(CK + DH) ⇒ p2 + q2 = 2a2 + c2 + d2 + 2a(b− a) = c2 + d2 + 2ab Vậy p2 + q2 = c2 + d2 + 2ab Bài tập 2.17 Từ điểm O lấy OA=a ; OB=b ; OC=c sao cho: ∠AOB = ∠BOC = 600 Áp dụng định lý côsin trong các M OAB;M OAC và M OBC ta được: AB2 = a2 + b2 − 2ab cos 600 = a2 + b2 − ab ⇒ AB = √ a2 + b2 − ab AC2 = a2 + c2 − 2ac cos 1200 = a2 + c2 + ac ⇒ AC = √ a2 + b2 + ac Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 72 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác BC2 = b2 + c2 − 2bc cos 600 = b2 + c2 − bc ⇒ BC = √ b2 + c2 − bc Trong tam giác ta có: AB + BC ≥ AC, suy ra:√ a2 − ab + b2 + √ b2 − bc + c2 ≥ √ a2 + ac + c2 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 73 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giảng số 3: Nhận dạng tam giác Một tam giác có các dạng đặc biệt là đều,cân hoặc vuông. Các loại bài tập từ giả thiết đã cho ta xác định tính chất đặc biệt của tam giác đó được gọi là các bài toán nhận dạng tam giác. Ta chia bài giảng này thành hai phần như sau: §1: Các ví dụ loại 1 (đặc trưng của tam giác chỉ gồm một yếu tố góc hoặc cạnh) §2: Các ví dụ loại 2 (đặc trưng của tam giác được cho bởi nhiều yếu tố góc,cạnh, bán kính, đường cao, diện tích,v.v.) Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 74 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác §1: Các ví dụ loại 1 Bài toán 3.1 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các góc thỏa mãn điều kiện sau: tgA = sinA + cosB sinB + cosA Bài giải Ta có: tgA = sinA + cosB sinB + cosA ⇔ sinA cosA = sinA + cosB sinB + cosA ⇔ sinA sinB + sinA cosA = sinA cosA + cosA cosB ⇔ sinA sinB = cosA cosB ⇔ cos(A + B) = 0 ⇔ A + B = pi 2 ⇔ C = pi 2 Vậy tam giác ABC vuông tại C Bài toán 3.2 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân nếu các góc thỏa mãn điều kiện sau: sinA + sinB cosA + cosB = 1 2 (tgA + tgB) Bài giải Ta có: sinA + sinB cosA + cosB = 1 2 (tgA + tgB) Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 75 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇔ 2 sin A + B 2 cos A− B 2 2 cos A +B 2 cos A− B 2 = 1 2 . sin(A+ B) cosA cosB ⇔ sin A + B 2 cos A + B 2 = sin A + B 2 cos A + B 2 cosA cosB ⇔ cosA cosB = cos2 A + B 2 ⇔ cos(A + B) + cos(A−B) = 1 + cos(A + B) ⇔ cos(A− B) = 1 ⇒ A = B Vậy tam giác ABC cân ở C Bài toán 3.3 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các góc thỏa mãn điều kiện sau: sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC Bài giải Ta có: sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC ⇔ 2 sin A 2 cos A 2 +2 sin B +C 2 cos B − C 2 = 2 cos2 A 2 +2 cos B + C 2 cos B − C 2 ⇔ sin A 2 ( cos A 2 − cos B − C 2 ) − cos A 2 ( cos A 2 − cos B − C 2 ) = 0 ⇔ ( sin A 2 − cos A 2 )( cos A 2 − cos B − C 2 ) = 0 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 76 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇔  sin A 2 − cos A 2 = 0 ⇒ sin(A 2 − pi 4 ) = 0 ⇒ A = pi 2 cos A 2 = cos B − C 2 ⇒ A = B − C ⇒ A + C = B = pi 2 cos A 2 = cos C − B 2 ⇒ A = C − B ⇒ A + B = C = pi 2 Vậy tam giác ABC là tam giác vuông Bài toán 3.4 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu các góc thỏa mãn điều kiện sau: cosA + cosB + cosC = 3 2 Bài giải Ta có: cosA + cosB + cosC = 3 2 ⇔ 2 cos A + B 2 cos A− B 2 + (1 − 2 sin2 C 2 ) = 3 2 ⇔ 2 sin2 C 2 − 2 cos A− B 2 sin C 2 + 1 2 = 0 ⇔ 4 sin2 C 2 − 4 cos A− B 2 sin C 2 + 1 = 0 ⇔ ( 2 sin C 2 − cos A− B 2 )2 + ( 1 − cos2 A− B 2 ) = 0 ⇔ ( 2 sin C 2 − cos A− B 2 )2 + sin2 ( A− B 2 ) = 0 ⇔  sin A −B 2 = 0 2 sin C 2 − cos A− B 2 = 0 ⇔ A = BC = 600 Vậy tam giác ABC đều Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 77 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài toán 3.5 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc thỏa mãn điều kiện sau: 2 cosA + cosC 2 cosB + cosC = sinB sinA Bài giải Ta có: 2 cosA + cosC 2 cosB + cosC = sinB sinA ⇔ 2 sinA cosA + sinA cosC = 2 sinB cosB + sinB cosC ⇔ (sin 2A− sin 2B) + cosC(sinA− sinB) = 0 ⇔ 2 cos(A + B) sin(A− B) + 2 cosC ( cos A + B 2 sin A− B 2 ) = 0 ⇔ cosC ( sin(A−B) − sin A− B 2 cos A + B 2 ) = 0 ⇔ cosC sin A− B 2 ( 2 cos A− B 2 − cos A +B 2 ) = 0 ⇔  cosC = 0 ⇒ C = pi 2 sin A−B 2 ⇒ A = B 2 cos A− B 2 − cos A + B 2 = 0 (1) (1) ⇔ cos A 2 cos B 2 + 3 sin A 2 sin B 2 = 0 (vô lý) (Vì cos A 2 , cos B 2 , sin A 2 , sin B 2 > 0) Vậy M ABC vuông hoặc cân ở C Bài toán 3.6 Cho M ABC thỏa mãn điều kiện: sinA + sinB + sinC cosA + cosB + cosC = √ 3 Hỏi M ABC có tính chất gì ? Bài giải Từ giả thiết sinA + sinB + sinC cosA + cosB + cosC = √ 3 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 78 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇔ (sinA− √ 3 cosA) + (sinB − √ 3 cosB) + (sinC − √ 3 cosC) = 0 ⇔ ( 1 2 sinA− √ 3 2 cosA ) + ( 1 2 sinB − √ 3 2 cosB ) + ( 1 2 sinC − √ 3 2 cosC ) = 0 ⇔ sin ( A − pi 3 ) + sin ( B − pi 3 ) + sin ( C − pi 3 ) = 0 ⇔ 2 sin ( A + B 2 − pi 3 ) cos ( A− B 2 ) + 2 sin ( C 2 − pi 6 ) cos ( C 2 − pi 6 ) = 0 ⇔ sin ( pi 6 − C 2 ) cos ( A−B 2 ) + sin ( C 2 − pi 6 ) cos ( C 2 − pi 6 ) = 0 ⇔ sin ( pi 6 − C 2 )( cos( A− B 2 )− cos(C 2 − pi 6 ) ) = 0 ⇔ ⇔  sin ( pi 6 − A 2 ) = 0 ⇒ A = pi 3 sin ( pi 6 − B 2 ) = 0 ⇒ B = pi 3 sin ( pi 6 − C 2 ) = 0 ⇒ C = pi 3 Vậy M ABC có ít nhất một góc 600 Bài toán 3.7 Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông nếu:( sinB − sinC cosA sinA )2 + 2 sin2 C = 2 Bài giải Theo định lý côsin: a2 = b2 + c2 − 2bc cosA Do sin2 A + cos2 A = 1 Suy ra: a2 = b2 + c2(sin2 A + cos2 A)− 2bc cosA ⇒ (b− c. cosA)2 + c2 sin2A = a2 ⇔ ( b− c cosA a )2 + ( c sinA a )2 = 1 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 79 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác áp dụng định lý sin ta có:( sinB − sinC cosA sinA )2 + (sinC)2 = 1 Từ giả thiết ta có: ( sinB − sinC cosA sinA )2 = 2− 2 sin2 C Suy ra sin2C = 1 ⇒ C = pi 2 ⇒ Tam giác vuông tại C Vậy tam giác ABC vuông tại C Bài toán 3.8 Tính các góc của tam giác ABC nếu biết: cos 2A + cos 2B − cos 2C = 3 2 Bài giải Ta có: cos 2A + cos 2B − cos 2C = 3 2 ⇔ 2 cos(A + B) cos(A− B) − 2 cos2 C + 1 = 3 2 ⇔ − cosC cos(A−B) − cos2 C = 1 4 ⇔ 4 cos2 C + 4 cosC cos(A− B) + 1 = 0 ⇔ (2 cosC + cos(A− B))2 + 1 − cos2(A− B) = 0 ⇔ (2 cosC + cos(A− B))2 + sin2(A−B) = 0 ⇔ sin 2(A− B) = 0 2 cosC + cos(A− B) = 0 ⇔ A = BcosC = −1 2 ⇔ C = 1200A = B = 300 Vậy tam giác ABC có góc A = B = 300;C = 1200 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 80 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài toán 3.9 (Đề thi đại học khối A - năm 2004) Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn: cos 2A + 2 √ 2 cosB + 2 √ 2 cosC = 3 Bài giải Ta có: cos 2A + 2 √ 2 cosB + 2 √ 2 cosC = 3 ⇔ 2 cos2 A− 1 + 2 √ 2(cosB + cosC) − 3 = 0 ⇔ 2 cos2 A + 4 √ 2 cos B + C 2 cos B − C 2 − 4 = 0 ⇔ 2 cos2 A + 4 √ 2 sin A 2 cos B − C 2 − 4 = 0 Vì tam giác ABC không tù nên ta có: cos2 A ≤ cosA ; cos B − C 2 ≤ 1 Suy ra: 0 = 2 cos2A + 4 √ 2 sin A 2 cos B − C 2 − 4 ≤ 2 − 4 sin2 A 2 + 4 √ 2 sin A 2 − 4 ⇔ 4 sin2 A 2 − 4 √ 2 sin A 2 + 2 ≤ 0 ⇔ ( 2 sin 2 A 2 − √ 2 )2 ≤ 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 sin 2 A 2 = √ 2 cos B − C 2 = 1 cosA = 1 ⇔ A = 900B = C = 450 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 81 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác * Nhận dạng của tam giác không đơn thuần chỉ có những biến đổi như các bài toán trên mà đôi khi ta phải dùng đến các bất đẳng thức với kỹ thuật cao hơn. Bài toán 3.1.10 Chứng minh rằng nếu: 3(cosB + 2 sinC) + 4(sinB + 2 cosC) = 15 thì tam giác ABC là tam giác vuông. Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 3(cosB+2 sinC)+4(sinB+2 cosC) = (3 cosB+4 sinB)+(6 sinC+8 cosC) ≤ √ (32 + 42)(cos2 B + sin2 B) + √ (62 + 82)(cos2 C + sin2 C) = 15 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: sinB cosB = 4 3 cosC sinC = 8 6 ⇔ tgB = cotgC = 4 3 ⇒ tgB = tg(pi 2 − C) ⇔ B +C = pi 2 ⇔ A = pi 2 Vậy tam giác ABC vuông tại A Bài toán 3.11 Tam giác nhọn ABC có đặc điểm gì nếu biết: 1 3 (cos 3A + cos 3B) + cosA + cosB + cosC = 5 6 Bài giải Ta có: 1 3 (cos 3A + cos 3B) + cosA + cosB + cosC = 5 6 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 82 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇔ 1 3 (4 cos3 A− 3 cosA + 4 cos3 B − 3 cosB) + cosA + cosB + cosC) = 5 6 ⇔ 4 3 (cos3 A + cos3 B) + cosC = 5 6 Ta có: 4 3 cos3 A + 1 12 = 2 3 cos3 A + 2 3 cos3 A + 1 12 ≥ 3 3 √ ( 2 3 cos3 A)2. 1 12 = cos2A (áp dụng Cauchy cho 3 số dương) Tương tự ta có: 4 3 cos3 B + 1 12 ≥ cos2 B Suy ra: 4 3 (cos3A + cos3 B) + 1 6 ≥ cos2 A + cos2 B (∗) Mặt khác: cosC > 0; cos(A−B) ≤ 1 ⇒ cosC ≥ cosA. cos(A− B) = − cos(A + B). cos(A− B) = −1 2 (cos 2A + cos 2B) = −1 2 (2 cos2 A + 2 cos2B − 2) = − cos2 A− 2 cos2 B + 1 ⇒ cos2 A + 2 cos2 B ≥ 1 − cosC Từ (*) ta suy ra: 4 3 (cos3 A + cos3 B) + 1 6 ≥ 1 − cosC ⇒ 4 3 (cos3 A + cos3B) + cosC ≥ 5 6 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 2 3 . cos3 A = 1 12 2 3 . cos3 B = 1 12 cos(A−B) = 1 ⇔  cosA = 1 2 cosB = 1 2 A = B ⇔ A = B = 600 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 83 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Suy ra tam giác ABC đều Bài toán 3.12 Cho tam giác ABC có góc A,B nhọn và thỏa mãn điều kiện: sin2 A + sin2 B = 2000 √ sinC Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông. Bài giải Ta có: Vì sinC ∈ (0, 1) ⇒ 2000√sinC = (sinC) 1 2000 ≥ sin2 C ⇒ sin2 A + sin2 B ≥ sin2 C ⇔ 4R2(sin2A + sin2 B) ≥ 4R2 sin2 C ⇔ a2 + b2 ≥ c2 ⇔ a2 + b2 − c2 ≥ 0 ⇒ cosC = a 2 + b2 − c2 2ab ≥ 0 ⇔ cosC ≥ 0 Ta biến đổi: sin2A + sin2 B = 1 − cos 2A 2 + 1 − cos 2B 2 = 1 − cos 2A + cos 2B 2 ⇒ sin2 A+ sin2 B = 1− cos(A+B) cos(A−B) = 1 + cosC cos(A−B) ≥ 1 Mặt khác ta có: 2000√ sinC ≤ 2000 √ 1 = 1 Suy ra: sin2A + sin2 B ≥ 2000 √ sinC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:cosC cos(A−B) = 0sinC = 1 ⇔ C = pi2 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 84 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Vậy tam giác ABC vuông tại C Chú ý: Ta có kết quả: sin2 A + cos2 B = (sinC)α (0 ≤ α ≤ 2) thì ABC là tam giác vuông Bài toán 3.13 (Ru 2004) Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: ( √ a + b + √ a− b) + (√a + c +√a− c) = √2(a+ b + c) (a là cạnh lớn nhất) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông Bài giải Ta có: Ta có: ( √ a + b + √ a− b) + (√a + c +√a− c) = √ 2(a+ b + c) Bình phương hai vế ta được: (2a + 2 √ a2 − b2)(2a + 2 √ a2 − c2) = 2(a + b + c)2 ⇔ 2(a + √ a2 − b2)(a+ √ a2 − c2) = (a + b + c)2 ⇔ Phải chứng minh: b2 + c2 = a2 Ta chứng minh bằng phản chứng: 1) Giả sử: b2 + c2 < a2 ⇒ a2 − b2 > c2 ⇒ √ a2 − b2 > c ⇒ a2 − c2 > b2 ⇒ √ a2 − c2 > b ⇒ 2(a+ √ a2 − b2)(a+ √ a2 − c2) > 2(a+ c)(a+ b) = 2a2 + 2(ab+ bc+ ca) ⇔ 2(a + √ a2 − b2)(a + √ a2 − c2) > a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 85 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇔ 2(a +√a2 − b2)(a +√a2 − c2) > (a+ b + c)2 (vô lý) 2) Giả sử: b2 + c2 > a2 Tương tự ta chứng minh được: 2(a + √ a2 − b2)(a +√a2 − c2) < (a + b + c)2 (vô lý) Vậy b2 + c2 = a2 ⇔M ABC vuông Bài toán 3.14 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sau: 2 sinA + 3 sinB + 4 sinC = 5 cos A 2 + 3 cos B 2 + 1 cos C 2 Chứng minh rằng tam giác ABC đều Bài giải Ta luôn có bất đẳng thức: 1 x + 1 y ≥ 4 x + y với x, y > 0 Vì sinA, sinB ≥ 0 Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: 1 sinA + 1 sinB ≥ 4 sinA + sinB ⇒ 1 sinA + 1 sinB ≥ 2 sin A + B 2 cos A− B 2 ≥ 2 cos C 2 Vậy 1 sinA + 1 sinB ≥ 2 cos C 2 Tương tự ta có: 1 2 ( 1 sinA + 1 sinB ) ≥ 2 cos C 2 (1) 5 2 ( 1 sinB + 1 sinC ) ≥ 5 cos A 2 (2) 3 2 ( 1 sinA + 1 sinC ) ≥ 2 cos B 2 (3) Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 86 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1),(2),(3) ta được: 2 sinA + 3 sinB + 4 sinC ≥ 5 cos A 2 + 3 cos B 2 + 1 cos C 2 Dấu bằng xảy ra ⇔ A = B = C. Suy ra tam giác ABC đều ⇒ Đpcm Bài toán 3.15 Xác định tính chất của tam giác ABC nếu trong tam giác đó ta có: sin 2 A + sin2B + sin2 C ≤ 2 sinA + sinB + sinC ≥ 1 +√2 Bài giải Ta có: sin2A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2 cosA cosB cosC ≤ 2 ⇒ cosA cosB cosC ≤ 0 ⇒M ABC không nhọn Ta lại có: sinA + sinB + sinC = sinA + 2 sin B + C 2 cos B − C 2 ≤ sinA + 2 cos A 2 ( vì cos B − C 2 ≤ 1) Không mất tính tổng quát giả sử: A = max{A,B,C} ⇒ A ∈ [pi 2 , pi] Suy ra  sinA ≤ 1 cos A 2 ≤ √ 2 2 ⇒ sinA + 2 cos A 2 ≤ 1 + √ 2 ⇒ sinA + sinB + sinC ≤ 1 + √ 2 Giả thiết có: sinA + sinB + sinC ≥ 1 + √ 2 ⇔ sinA + sinB + sinC = 1 + √ 2 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 87 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇔ cos B − C 2 = 1 sinA = 1 ⇔ B = CA = 900 Vậy tam giác ABC vuông cân tại A Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 88 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác §2: Các ví dụ loại 2 Bài toán 3.16 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: a = 2b. cosC Chứng minh rằng tam giác ABC cân Bài giải Cách 1: Ta có: a = 2b. cosC ⇔ 2R sinA = 2.2R sinB cosC (áp dụng định lý sin) ⇔ sinA = 2 sinB cosC = sin(B + C) + sin(B − C) = = sinA + sin(B − C) ⇔ sin(B − C) = 0 ⇔ B = C Vậy tam giác ABC cân tại A Cách 2: Ta có: a = 2b. cosC ⇒ a = 2b.a 2 + b2 − c2 2ab (áp dụng định lý côsin) ⇔ a2 + b2 − c2 = a2 ⇔ b2 − c2 = 0 ⇔ b = c Vậy tam giác ABC cân tại A Bài toán 3.17 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu: cotg B 2 = a + c b Bài giải Ta có: cotg B 2 = a + c b Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 89 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇔ tgA + C 2 = sinA + sinC sinB (áp dụng định lý sin) ⇔ sin A + C 2 cos A + C 2 = 2 sin A + C 2 cos A− C 2 2 sin A + C 2 cos A + C 2 = cos A− C 2 cos A + C 2 ⇔ sin A +C 2 = cos A− C 2 ⇔ cos B 2 = cos A − C 2 ⇒ B = A − C ⇒ B + C = A =