Khóa luận Sử dụng hàm bessel để giải bài toán truyền nhiệt

x xJ x ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟× × × × × ×⎝ ⎠ 2.3. TÍNH TRỰC GIAO CỦA HÀM BESSEL Các hàm v i xJ L µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ trực giao và chuẩn hoá trong đoạn: 0 x L< < • Tính trực giao thứ nhất của hàm Bessel: Công thức: ( ) ( )2 2' 2 20 1 0, , 2 2 L v i v j v i v i i j x xxJ J dx L LL L J J i j µ µ µ µ+ ≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =⎪⎩ ∫ với iµ và jµ là hai nghiệm dương của phương trình ( ) ( )0 1vJ x v= > − • Tính trực giao thứ hai của hàm Bessel: Công thức: ( )2 2 2 2 22 20 0, 1 , 2 L i jv i v j v i j x xxJ J dx L v JL L i j µ µ µµ µ α β µβ µ ≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = =⎛ ⎞= ⎧−⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎨⎪ =⎩⎝ ⎠⎩ ∫ với iµ và jµ hai là nghiệm dương của phương trình ( ) ( )' 0v vJ x xJ xα β+ = ( )1v > − 2.4 CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BESSEL 2.4.1 Khai triển một hàm tuỳ ý vào các hàm Bessel. Khai triển một hàm bất kì vào chuỗi các hàm Bessel v i xJ L µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ với hệ số khai triển là ia : ( ) 1 , 1, 0i v i i xf x a J v x L L µ∞ = ⎛ ⎞= > − < <⎜ ⎟⎝ ⎠∑ • Nếu ( )1,2,3,...i iµ = là nghiệm của phương trình ( ) 0vJ x = , theo công thức ở trên thì : 32 ( ) ( )2 2' 2 20 1 0, , 2 2 L v i v j v i v i i j x xxJ J dx L LL L J J i j µ µ µ µ+ ≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =⎪⎩ ∫ Nhân hai vế với v i xxJ L µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra được hệ số: ( ) ( )2 2 1 0 2 L i v i v i xa xf x J dx LL J µµ+ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ Người ta gọi khai triển này là khai triển Fourier – Bessel. • Nếu ( )1,2,...i iµ = là nghiệm của phương trình ( ) ( )' 0v vJ x xJ xα β+ = , theo công thức ở trên thì ( ) ( )2 2 2 2 20 2 2 0, 1 , 2 L v i v j i j v i j x xxJ J dx L vL L J i j µ µ µ µ µα β µβ µ ⎧ ≠⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = =⎧⎛ ⎞⎨ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨⎜ ⎟⎪ =⎝ ⎠ ⎩⎩ ∫ Nhân hai vế với v j xxJ L µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra được hệ số: ( ) ( )2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 L i v i v i i xa xf x J dx LvL J µα β µβ µ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠−+⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ Người ta gọi khai triển này là khai triển Dyni – Bessel. 2.4.2 Đa thức Legendre. Phương trình Legendre có dạng ( ) 01 2 =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ydxdyxdxd λ (2.28) hoặc ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−+− =+−− 021 021 2 2 2 2 2 2 y dx dyx dx ydx y dx dyx dx ydx λ λ (2.29) 33 Trong đó λ là tham số nào đó, phương trình có các điểm đặc biệt tại 1±=x . Vấn đề đặt ra là tìm giá trị của tham số λ , sao cho phương trình tồn tại nghiệm không tầm thường trong đoạn [ ]1,1− . Tìm nghiệm của phương trình Legendre dưới dạng chuỗi ∑∞ = = 0n n n xay Thay y vào (2.29) ta nhận được: ( ) ( ) ∑∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = −∞ = =−+−−− 022 2 2 0211 n n n n n n n n n n n n xaxnaxannxann λ Thay n=2 vào số hạng thứ hai ta được: ( )[ ] ( )( ) 0121 2 =++−−+ +nn annann λ Hay là ( ) ( )( ) nn ann nna 21 1 2 ++ −+=+ λ các hệ số 0a và 1a tuỳ ý. Khi 00 ≠a , 01 =a ta có nghiệm riêng của phương trình Legendre chỉ chứa các bậc chẵn của x. Khi 00 ≠a , 01 ≠a ta có nghiệm riêng của phương trình Legendre chỉ chứa các bậc lẻ của x. Khi λ =n(n+1) phương trình có nghiệm dưới dạng chuỗi dến bậc n. Tìm nghiệm tương ứng của phương trình ( ) ( ) 011 2 =++⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ynndxdyxdxd Hay ( ) ( ) 0121 222 =++−− ynndxdyxdx ydx có dạng chuỗi bậc n. Xét đa thức bậc 2n: ( )nxz 12 −= Phương trình trên thoã phương trình vi phân sau: ( ) 0212 =−− nxz dx dzx Lấy đạo hàm hai vế phương trình trên n lần theo x, ta nhận được: ( ) ( ) ( ) ( ) 011 12 =++− −nn znn dx dzx 34 Nếu lấy vi phân phương trình này một lần nữa theo x, sẽ tìm được ( )nz thoã mãn phương trình (2.28): ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;012111 122112 =++−−=′++− ++−+ nnnnn znnxzzxznnzx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0121 2 =++−− nnn znn dx dzx dx dzx . Như vậy phương trình (2.29) có nghiệm: ( ) ( ) n nn n dx xdCCzy 1 2 −== , trong đó C là hằng số. Đặt !2 1 n C n= , ta có ( ) ( ) ( )...2,1,0,1 !2 1 2 =−== n dx xd n xPy n nn nn (2.30) Đây là đa thức Legendre, là nghiệm của phương trình (2.28) khi ( )1+= nnλ . Một vài giá trị đầu tiên của nghiệm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).35 2 1 ;13 2 1 ; ;1 3 3 2 2 1 0 xxxP xxP xxP xP −= −= = = Chứng minh rằng, các đa thức Legendre với bậc khác nhau trực giao và chuẩn hoá với nhau trong khoảng (-1;+1). Phương trình của hai đa thức Legendre khác nhau là: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ).,01 01 2 2 nm xPxPx dx d xPxPx dx d nnn mmm ≠ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =+′− =+′− λ λ Nhân phương trình thứ nhất với ( )xPn , phương trình thứ hai với ( )xPm , trừ hai phương trình vừa có được với nhau, sau đó lấy tích phân hai vế trong khoảng từ (- 1;+1), ta được: 35 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] dxxPx dx dxPxPx dx dxPdxxPxP mnnmmnnm ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ′−−′−=− ∫∫ −− 22 1 1 1 1 11λλ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 01 1 1 2 =′−′−= =−=xxmnnm xPxPxPxPx Như vậy ( ) ( ) ( ) 0 1 1 =− ∫ − dxxPxP mnnm λλ Hay là ( ) ( ) ( )nmdxxPxP mn ≠=∫ − ;0 1 1 tức là các đa thức Legendre trực giao nhau trên đoạn (-1;+1). Bây giờ chuẩn hoá đa thức Legendre ( ) 01 1 2 == ∫ − dxxPH nn Sử dụng công thức tường minh của đa thức Legendre, tích phân trên có dạng ( ) ( ) ( ) .11 !2 1 2 21 1 2 2 22 dx dx xd dx xd n H n nn n nn nn −−= ∫ − Tích phân từng phần n lần và chú ý rằng sẽ xuất hiện một hạng thức bên ngoài tích phân bằng không, ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .1!2 !2111!2 1 1 1 2 222 21 1 2 22 1 1 2 dxx n ndx dx xdx n dxxP n n n n nn n n n n ∫∫∫ −−− −−=−−−= Biết rằng: ( ) ( ) ( ) ,12...5.3 2...4.2.2.11 1 1 2 +−=−∫− n ndxx nn Do đó ( ) 12 21 1 2 +=∫− ndxxPn Như vậy, tính trực giao và chuẩn hoá của đa thức Legendre trên đoạn (-1;+1) là: ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ ≠ =∫ − nmn nm dxxPxP mn , 12 2 ,01 1 (2.31) 36 Với tính trực giao của các đa thức Legendre, có thể khai triển hàm bất kỳ vào chuỗi các đa thức Legendre ( ) ( ), 0 xPaxf n n n∑∞ = = Trong đó ( ) ( )dxxPxfna nn ∫ − += 1 12 12 . Tóm lại: a)Phương trình Legendre: Là phương trình có dạng: ( ) ( ) 2 2 21 0, 1 11 1 d dy mx y x dx dx x y λ⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤− + − = − < <⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎨⎪ ± < ∞⎩ • Khi m = 0: nghiệm của phương trình Legendre xác định đa thức Legendre ( )nP x : ( ) ( ) ( )2 11 . 0,1,2,... 2 ! nn n n n d x P x n n dx −= = ; ( )1n nλ = + • Khi 0m ≠ nghiệm của (1) sẽ xác định đa thức Legendre liên kết cấp m ( ) ( ) ( ) ( )2 21 mmm nn m nd P xP x x dx += − ( )0,1,2,...m = tương ứng trị riêng ( ) ( )1 1,2,...n n n nλ = + = ; m n≤ b)Tính trực giao và chuẩn hóa của các đa thức Legendre: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0, !2 ; 2 1 ! m m n k k n P x P x dx n m k n n n m− ≠⎧⎪= +⎨ =⎪ + −⎩ ∫ ( ) ( ) ( )( ) 2 !2 . 2 1 ! m n n m P x n n m += + − c) Khai triển một hàm tuỳ ý vào các hàm Legendre: ( ) ( ) 0 n n n f x a P x ∞ = =∑ với ( )1 1 2 1 2n na f dξ ξ − += ∫ 37 2.4.3 Hàm cầu. Xét phương trình Laplce được viết trong hệ toạ độ cầu 2 2 222 2 2 sin 1sin sin 11 ϕθθθθθ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∆ u rrr ur rr u (2.32) Trong đó ( )ϕθ ,,ruu = . Dùng phương pháp tách biến đặt ( ) ( ) ( )ϕθϕθ ,,, YrRru = Thay vào (2.32) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, sin 1,sin sin , 2 2 2 2 =∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕθ θθ ϕθθθθϕθ YYrR r rRr r Y Chia hai vế cho ( ) ( )ϕθ ,YrR ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, sin 1,sin sin 1 , 11 2 2 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕθ θθ ϕθθθθϕθ YY Yr rRr rrR ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λϕ ϕθ θθ ϕθθθθϕθ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂⇔ r rRr rrR YY Y 2 2 2 2 1, sin 1,sin sin 1 , 1 Chọn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ λϕ ϕθ θθ ϕθθθθϕθ λ 2 2 2 2 , sin 1,sin sin 1 , 1 1 YY Y r rRr rrR Bằng cách chọn λ cho các biểu thức trên ta có các phương trình sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ =+⇔ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ dr rdR rR r dr rRd rR r r rRr rrR )( 2 1 2 22 2 Và ( ) ( ) ( ) 0,, sin 1,sin sin 1 2 2 2 =+∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕθλϕ ϕθ θθ ϕθθθθ Y YY Hàm R thoả mãn phương trình 022 =−′+′′ RRrRr λ Nghiệm của phương trình có dạng: ( ) 1++= nnnn r BrArR 38 trong đó n thoả mãn phương trình λ =n(n+1). Xét bài toán ngoài, do n nguyên, 10 +=⇒= nnn r B RA Phương trình Y có dạng 0 sin 1sin sin 1 2 2 2, =+∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=+∆ YYYY λϕθθθθθλϕθ Hàm Y thoã mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∞<∞< += ϕπϕθ πϕθϕθ ,,, 2,, YY YY Nghiệm phương trình Laplace có dạng ( ) ( )1,,, += nnR Yru ϕθϕθ Người ta định nghĩa hàm cầu là nghiệm của phương trình ( ) 01 sin 1sin sin 1 2 2 2 =++∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ n nn YnnYY ϕθθθθθ (2.33) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∞<∞< += ϕπϕθ πϕθϕθ ,,, 2,, YY YY Phương trình trên còn được gọi là phương trình xác định hàm cầu. Để giải phương trình hàm cầu, chọn ( ) ( ) ( )ϕφθϕθ ., Θ=Y và thay vào (2.33) ta có: ( ) ( ) 01 sin 1sin sin 01 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 =+++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ =+++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ φϕ φ θθθθθ φ φϕ φ θθθθθ φ nn d d d dP d d P Pnn d dP d dP d d Chọn 2 2 21 m d d −=ϕ φ φ , hàm φ thoả mãn phương trình ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =+ =+′′ ϕφπϕφ φφ 2 02m Và ( ) 0 sin 1sin sin 1 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Pmnn d dP d d θθθθθ (2.34) 39 Đặt θθ θ ddx x sin cos −=⇒ = Phương trình (2.34) được đổi sang biến mới ( ) ( ) ( ) 0 sin 11 0 sin 1sin sin 1 2 2 2 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⇔ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Pmnn dx dPx dx d Pmnn d dP d d θ θθθθθ Đây là phương trình xác định đa thức Legendre liên kết, nghiệm của phương trình là: ( ) ( ) ( ) ( )nm dx PdxxPP m n mm m n <−== ,1 22 Hay ( ) ( ) ( ) ( )( )mn m mm n d Pd PP θ θθθ cos cos sincos == Với mỗi n có n+1 nghiệm riêng của phương trình đó là: ( ) ( ) nnnnn PPPP ,...,,, 21 . Với mỗi cặp nghiệm ( ) ⎩⎨ ⎧= ϕ ϕϕφ m m m sin cos tương ứng với n+1 nghiệm, ta có 2n+1 nghiệm của hàm cầu tuyến tính là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧⎪⎩ ⎪⎨⎧ ⎪⎩ ⎪⎨⎧⎪⎩ ⎪⎨⎧ ϕθ ϕθ ϕθ ϕθ ϕθ ϕθ ϕθ ϕθ nP nP mP mP P P P P P n n n n m n m n n n n n n sincos coscos ,..., sincos coscos ,....., 2sincos 2coscos , sincos coscos , 2 2 1 1 Trong đó m =1,2,,n; n =0,1,2 Theo công thức trên, ta quy ước 2n+1 hàm cầu là ( ) ( );coscos0 θθ nn PY = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ = =− ϕθθ ϕθθ sincoscos coscoscos 11 11 nn nn PY PY . 40 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ = =− ϕθθ ϕθθ mPY mPY m n m n m n m n sincoscos coscoscos . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ = =− ϕθθ ϕθθ nPY nPY n n n n n n n n sincoscos coscoscos Vậy nghiệm phương trình (2.33) có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕθθϕϕϕθ ,cossincos, 0 ∑∑ =+= = m nmn m n n m mnn YCPmCmAY Trong đó ( ) ( )⎩⎨ ⎧ > ≤= 0, 0, mA mA C mn mn mn Hàm ( ) ( ) ( )θθ cos0 nn PY = không phụ thuộc vào ϕ được gọi là hàm đới, tức là hình cầu chia thành n+1 miền vĩ tuyến, tại đó dấu của hàm đới được bảo toàn. Xét hàm ( ) ( ) ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= = ± ϕ ϕθ θ k k tP dt dY t nk k kk n cos sin sin cos trên hàm cầu bởi vì sinθ chuyển bằng không ở trên các cực, các hàm ⎩⎨ ⎧ ϕ ϕ k k cos sin chuyển bằng không tại các đường kinh tuyến 2k. Với 2n+1 hàm cầu trực giao và chuẩn hoá có thể khai triển hàm ( )ϕθ ,f bất kỳ vào chuỗi các hàm cầu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θϕϕϕθϕθ cossincos,, 0 00 m n n n m mnmn n n PmBmAYf ∑∑∑ ∞ = = ∞ = +== TIỂU KẾT CHƯƠNG II Chương này hoàn thành việc xây dựng hàm Bessel về khái niệm, cơ sở xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel, các tính chất trực giao và các điều kiện liên quan đến hàm Bessel. Đó là những tiền đề quan trọng phục vụ cho việc giải toán. Khi ta nắm vững các tính chất của hàm thì có thể sử dụng các tính chất đó vào giải toán một cách thuận lợi. 41 CHƯƠNG III: SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ GIẢI CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 3.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT: Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp theo ba cách: quá trình dẫn nhiệt, quá trình bức xạ nhiệt và quá trình đối lưu. Quá trình dẫn nhiệt bên trong vật là do sự chuyển động của các phân tử bên trong vật. Trong vật rắn, dòng nhiệt chuyển từ nơi có nhiệt độ cao (là nơi có một số lớn các phân tử chuyển động có vận tốc lớn hay động năng lớn) sang nơi có nhiệt độ thấp hơn (là nơi có vận tốc và động năng các phân tử nhỏ hơn). Quá trình bức xạ nhiệt giữa hai vật xảy ra khi nhiệt truyền qua không gian từ vật nóng hơn sang vật lạnh hơn (không tính đến nhiệt độ không gian giữa hai vật), đó chính là chuyển động nhiệt dưới dạng sóng. Một ví dụ là sự truyền nhiệt của Mặt Trời cho Trái Đất. Nhiệt truyền do đối lưu xảy ra do một số loại chuyển động nhiệt di chuyển từ nơi này sang nơi khác. Cường độ của dòng đối lưu xảy ra khi cánh quạt thổi dòng nhiệt từ nơi này sang nơi khác. Có một loại truyền nhiệt khác sinh ra do bay hơi hoặc ngưng tụ. Tất cả các quá trình truyền nhiệt này được nghiên cứu trong các môn học đại cương và chuyên đề về nhiệt. Trong chương này chủ yếu tập trung nghiên cứu quá trình truyền nhiệt trong vật dẫn. Chúng ta nhắc lại định lý Gauss thường dùng để chuyển tích phân mặt sang tích phân 3 lớp. Nếu ),,,( tzyxFF rr = là một trường vectơ liên tục, xác định mọi nơi bên trong thể tích V với bề mặt kín S bao quanh nó, thì theo định lý Gauss ∫∫∫ ∫∫= V S dnFdFdiv ,. στ rrr (3.1) trong đó: τd là yếu tố thể tích và σd là yếu tố diện tích bề mặt; nr là pháp tuyến ngoài của bề mặt có độ dài bằng đơn vị. Sử dụng định lý Gauss, định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt và định luật bảo toàn năng lượng để xây dựng phương trình truyền nhiệt. theo định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt ,⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂−=∇−=−= k z uj y ui x ukukugradkq rrrr (3.2) trong đó: qr là lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian; k là hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào tính chất của vật liệu khi nhiệt truyền qua; hàm ),,( zyxuu = biễu diễn nhiệt độ của vật. Bề mặt có nhiệt độ không đổi ),,( zyxu = const được gọi là mặt đẳng nhiệt. Ta thấy rằng, vectơ gradient trùng với pháp tuyến tại bất kỳ điểm nào trên bề mặt và hướng theo chiều tăng của nhiệt độ. Vì dòng nhiệt hướng từ nóng sang lạnh nên trong công thức (3.2) của định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt lấy dấu trừ. Như vậy định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt có thể được giải thích là dòng nhiệt truyền theo hướng tăng của nhiệt độ. Đại lượng vectơ qr được gọi là vectơ dòng nhiệt, bằng lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích. 42 Sử dụng các đại lượng sau: ),,( zyxcc = là nhiệt dung của vật rắn; ),,( zyxρρ = là mật độ khối lượng tính trên một đơn vị thể tích; ),,( zyxkk = là hệ số dẫn nhiệt của chất rắn; ),,,( tzyxqq rr = là dòng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích; ),,,( tzyxHH = là nguồn nhiệt tự sinh ra trên một đơn vị thể tích; ),,,( tzyxuu = là nhiệt độ tại mọi điểm của vật. Viết định luật bảo toàn năng lượng cho một miền tùy ý V với bề mặt kín S bao quanh. Gọi HS là lượng nhiệt thay đổi trong V với khoảng thời gian t∆ . Hc là lượng nhiệt đi qua bề mặt S trong khoảng thời gian t∆ . HG là lượng nhiệt sinh ra trong V trong khoảng thời gian t∆ . Định luật bảo toàn được viết dưới dạng 0=−+⇒+= SGCGCS HHHHHH (3.3) Lượng nhiệt có trong yếu tố thể tích τd của V và τρudc . HS là lượng nhiệt thay đổi trong V trong khoảng thời gian t∆ có dạng ∫∫∫∂∂= VS udctH .τρ (3.4) HC là lượng nhiệt đi qua bề mặt S trong thời gian )( ucρ , nói cách khác là thông lượng đi qua bề mặt S là ∫∫−= S C dnqH ,. σvv (3.5) trong đó dấu trừ để đổi dấu cho vectơ pháp tuyến ngoài có độ dài đơn vị là nv . Theo định lý Gauss, tích phân bề mặt được chuyển thành ∫∫∫−= V C dqdivH .τv (3.6) Nhiệt lượng sinh ra trong V được cho bởi ∫∫∫= V C HdH .τ (3.7) Kết quả từ các công thức (3.4), (3.6) và (3.7) cho phép viết định luật bảo toàn bởi phương trình τρ duc t Hqdiv V ∫∫∫ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ∂ ∂−+− )(r (3.8) Kết quả trên cho một thể tích V tùy ý và thời gian tùy ý t∆ , như vậy số hạng trong dấu ngoặc {} phải bằng không. Thay biểu thức của vectơ qr vào phương trình (3.2) biểu thị định luật Fourier của quá trình truyền nhiệt ta thu được phương trình truyền nhiệt trong vật dẫn 43 ).()( uc t Hugradkdiv ρ∂ ∂=+ (3.9) Hoặc có thể viết dưới dạng mở rộng ).( uc t H z uk zy uk yx uk x ρ∂ ∂=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.10) Trong trường hợp đặt biệt, nếu k là hằng số ta có .)()( 2 ukukukugradkdiv ∆=∇=∇∇= (3.11) ∆=∇ 2 được gọi là toán tử Laplace. Khi các hệ số đều là hằng số, có thể viết phương trình truyền nhiệt dưới dạng ,,,2 ρρ c HQ c kaQua t u ==+∆=∂ ∂ (3.12) hệ số a được gọi là độ khuếch tán của vật liệu. Nếu 0lim =∂ ∂ ∞→ t u t thì có thể nói nhiệt độ ở trạng thái dừng hay ổn định. Trong trường hợp trạng thái dừng 0=∂ ∂ t u , trong phương trình (3.12) nhiệt độ chỉ phụ thuộc vào các vị trí bên trong. Nếu không có nguồn nhiệt, tức là 0=Q , phương trình truyền nhiệt trở thành phương trình thuần nhất. Ta có thể lập bảng sau cho phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ Đề- các. Các dạng khác nhau của phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ Đề-Các. Các trường hợp Dạng toán tử Dạng một chiều Tổng quát ( ) t ucHuk ∂ ∂=+∇∇ ρ t ucH x uk x ∂ ∂=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ Vật liệu đồng chất t u k c k Hu ∂ ∂=+∇ ρ2 t u k c k H x u ∂ ∂=+∂ ∂ ρ 2 2 Trạng thái dừng ( ) 0=+∇∇ Huk 0=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ H x uk x Trạng thái dừng với vật liệu đồng chất 02 =+∇ k Hu 02 2 =+ k H dx ud 44 Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho phương trình truyền nhiệt Cho vật thể V với mặt S bao quanh, các điều kiện biên khác nhau có thể đặt trên mặt biên S như sau: 1. Điều kiện biên Dirichlet hay bài toán biên loại I đòi hỏi nhiệt độ được xác định trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được. Loại điều kiện biên này có dạng ),,,,(),,,( 1),,( tzyxftzyxu Szyx =∈ (3.13) trong đó 1f là nhiệt độ đã được xác định. 2. Điều kiện biên Neumann hay bài toán biên loại II đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên được xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được. Loại điều kiện biên này có dạng SzyxSzyxSzyx tzyxfnugrad n tzyxu ∈∈∈ ==∂ ),,(2),,(),,( ),,,(. ),,,( r (3.14) trong đó 2f là dòng nhiệt đã được xác định. Chú ý rằng, đối với biên được bảo vệ, tức là cách nhiệt ( không cho dòng nhiệt đi qua ) thì 0. ==∂ ∂ BienBien nugrad n u r (3.15) 3. Điều kiện biên Robin hay bài toán biên loại III đòi hỏi dòng nhiệt qua biên và nhiệt độ trao đổi với môi trường xung quanh được xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được. Loại điều kiện này có dạng ( ) SzyxSzyxSzyx tzyxftzyxhu n tzyxu ∈∈∈ ==∂ ∂ ),,(3),,(),,( ),,,(,,,),,,( (3.16) trong đó: h>0 là hằng số, 3f là dòng nhiệt đã được xác định. Chú ý rằng dòng nhiệt đã được thay đổi với môi trường xung quanh phụ thuộc vào cả nhiệt độ của môi trường. 4. Điều kiện biên hỗn hợp là kết quả của các điều kiện biên loại I và loại II. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN Phương trình truyền nhiệt cũng mô tả quá trình khuếch tán, có khi người ta gọi là phương trình khuếch tán. Trong công thức phương trình truyền nhiệt ).( uc t H z k zy k yx k x ρ∂ ∂=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ để mô tả quá trình khuếch tán, người ta thay nhiệt độ ( )tzyxu ,,, bằng nồng độ của chất khuếch tán ( )tzyxC ,,, tại điểm (x,y,z) và tại thời điểm t. Định luật Fourier được thay bằng định luật Fick của quá trình khuếch tán, được phát biểu như sau: Tỷ số chất khuếch tán 45 truyền qua một đơn vị diện tích của thiết diện tỷ lệ với gradient của nồng độ chất khuếch tán theo hướng khuếch tán. Dạng công thức của định luật được viết: CDDgradCJ ∇−=−=r (3.17) trong đó: J r là khối lượng khí đi qua tính trên một đơn vị diện tích trên một giây; D là hệ số khuếch tán hay độ khuếch tán; C là nồng độ chất khuếch tán. Định luật Fick chỉ có giá trị đối với chất rắn, chất lỏng hay chất khí có môi trường đẳng hướng. Hệ số khuếch tán D phụ thuộc vào các quá trình được xét. Phương trình khuếch tán là phi tuyến nếu D là hàm của nồng độ. Đối với vật liệu phi tuyến, định luật Fick có dạng kJjJiJJ zyx rrrr −−−= (3.18) trong đó: ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=− ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=− ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=− z CD y CD x CDJ z CD y CD x CDJ z CD y CD x CDJ z y x 333231 232221 131211 (3.19) ở đây: ijD (I,j=1,2,3) là hệ số khuếch tán, nó chỉ ra các tính chất khuếch tán khác nhau theo các hướng khác nhau. Nếu tất cả các hệ số khuếch tán ijD là hằng số thì phương trình khuếch tán có dạng 2 2 33 2 32 2 31 2 232 2 22 2 21 2 13 2 122 2 11 z CD zy CD zx CD yz CD y CD yx CD zx CD yx CD x CD t C ∂ ∂+∂∂ ∂+∂∂ ∂+ ∂∂ ∂+∂ ∂+∂∂ ∂+ ∂∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂ (3.20) Trong trường hợp đặc biệt, ⎩⎨ ⎧ = ≠= jiD ji Dij , ,0 phương trình (3.20) trở thành CD z C y C x CD t C 2 2 2 2 2 2 2 ∇=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂ (3.21) Phương trình này có cùng dạng với phương trình truyền nhiệt khi nguồn nhiệt bằng không. Điều kiện biên của phương trình khuếch tán giống như của phương trình truyền nhiệt đã được xét trong phần trước. Điều kiện Dirichlet đòi hỏi nồng độ của chất khuếch tán xác định trên biên. Điều kiện Neumann đòi hỏi dòng chất khuếch tán xác định trên 46 biên. Điều kiện Robin yêu cầu xác định sự bay hơi trên bề mặt với một tỷ lệ nào đó so với nồng độ trên bề mặt và nồng độ của môi trường xung quanh. 3.2 CÁC BÀI TOÁN CHO CÁC TOẠ ĐỘ. 3.2.1 Truyền nhiệt trong hệ tọa độ trụ: 3.2.1.1 Toạ độ trụ xuyên tâm Bài toán: Xét quá trình truyền nhiệt trong một thanh trụ dài với tiết diện hình tròn, giả sử nhiệt độ của thanh có dạng ( )truu ,= là hàm của bán kính r và thời gian t: ( )( ) ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = <<⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂ rfru tru rr r u rr ua t u 0, ;0, 0,1 0 02 2 2 (3.22) Giải: Giả sử rằng nghiệm có dạng ( ) ( ) ( )tTrRtruu == , Thay vào phương trình đã cho ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ′+′′=′ 0 1 0 2 tTrR tTrR r tTrRatTrR (3.23) Từ điều kiện biên, suy ra ( ) 00 =rR . Chia cả hai vế của phương trình trên cho ( ) ( )tTrRa2 ta thu được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 λ= ′+′′ =′ rR rR r rR tTa tT (3.24) trong đó 1λ là hằng số tách biến. Từ (3.24) ta đưa ra hai phương trình vi phân : ( ) ( ) 021 =−′ tTatT λ (3.25) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0,01 001 =<<=−′+′′ rRrrrRrRrrR λ (3.26) 47 Phương trình (3.26) là bài toán Sturn-Liouville đơn giản, trong đó với 01 =λ , 21 ωλ = nghiệm không tồn tại. Khi 21 ωλ −= ta có phương trình Bessel cấp không. Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng ( ) ( ) ( ) .,;0, 2100201 constCCrrrYCrJCrRR =≤≤+== ωω Để xác định nghiệm trên biên, vì tính chất hữu hạn của nghiệm, đặt 02 =C , chọn 11 =C , nghiệm xác định trong khoảng 00 rr ≤≤ có dạng ( ) ( )rJrRR ω0== Giá trị ω được chọn sao cho thoã mãn điều kiện biên ( ) ( ) ( )( ) ( ) ......3,2,1,0 0 0 0 0000 ===⇒=== irJrJrR i ii µωωµω tro ng đó ( )0iµ là các không điểm của hàm Bessel loại 1. Với mỗi trị riêng có một hàm riêng ( ) ( ) ( ) ...3,2,1, 0 0 00 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=== ir r JrJrRR iii µω (3.27) Các hàm riêng này trực giao nhau trong khoảng từ 0 đến 0r với hàm trọng là r. Giải phương trình (3.25) theo biến t ta có ( ) ...3,2,1,22 === − ietTT tai iω Do đó nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng (3.24) có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) taiiiii ierJtTrRtruu 220, ωω −=== Vậy nghiệm tổng quát của (3.24) có dạng ( ) ( )∑∞ = −= 1 0 22 , i ta ii ierJAtru ωω (3.28) Điều kiện ban đầu đòi hỏi ( ) ( )∑∞ = = 1 00, i ii rJAru ω Do tính trực giao của hàm Bessel ta tính được hệ số iA theo công thức ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )drrJrrfrJrrJ rJrfA i r ii i i ωωω ω 0 00 2 0 2 0 2 0 0 02, ∫== (3.29) Do đó nghiệm cuối cùng có dạng 48 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ηηωηηω ω dJf rJ rJ r truu i r i i i 0 01 0 2 0 00 2 0 02, ∫∑∞ = == (3.30) Nhận xét: Đối với bài toán truyền nhiệt trong tọa độ trụ xuyên tâm, để tính được hệ số iA đòi hỏi phải thực hiện các bước tính toán khá phức tạp. Sau khi tìm được nghiệm tổng quát của bài toán, trong đó có chứa hệ số iA . Để tìm hệ số thì ta phải sử dụng điều kiện ban đầu, tại đó